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A Quantum Algorithm for Random Number Generation

यह शोधपत्र क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म, नियंत्रित चरण रोटेशन (controlled phase rotations) और ग्रोवर डिफ्यूजन ऑपरेटर को एकीकृत करके एक क्वांटम एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है जो रैंडम नंबर जनरेशन के लिए शास्त्रीय मार्कोव चेन मिक्सिंग की तुलना में एक प्रमाणित द्विघातीय गति (quadratic speedup) प्राप्त करता है, जो क्यूबिट और क्वडिट दोनों हार्डवेयर पर बेहतर दक्षता प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: Aastha Kataria, Devansh Desai, Ashwini Dalvi, Sagar Korde, Abhijeet Pasi, Irfan N A Siddavatam, Sudhir Ranjan Jain

प्रकाशित 2026-06-12

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Aastha Kataria, Devansh Desai, Ashwini Dalvi, Sagar Korde, Abhijeet Pasi, Irfan N A Siddavatam, Sudhir Ranjan Jain

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य विचार: ब्रह्मांड को तेज़ी से मिलाना (Shuffling)

कल्पना कीजिए कि आपके पास ताश की एक बिल्कुल नई गड्डी है, जो इक्के (Ace) से बादशाह (King) तक पूरी तरह क्रम में व्यवस्थित है। आप उन्हें तब तक मिलाना चाहते हैं जब तक कि वे पूरी तरह से रैंडम (यादृच्छिक) न हो जाएं। वास्तविक दुनिया में, यदि आप एक मानक "टॉप-टू-रैंडम" शफल (ऊपर का कार्ड निकालकर डेक में कहीं भी डालना) का उपयोग करते हैं, तो डेक के वास्तव में मिक्स होने के लिए आपको इसे लगभग $n \log n$ बार करना होगा (जहाँ $n$ ताश के पत्तों की संख्या है)।

यह पेपर एक क्वांटम एल्गोरिदम प्रस्तावित करता है जो यही काम बहुत अधिक तेज़ी से करता है। एक बार में एक कार्ड मिलाने के बजाय, यह पूरे डेक को एक साथ "मिक्स" करने के लिए क्वांटम मैकेनिक्स के विचित्र नियमों का उपयोग करता है। लेखक दावा करते हैं कि यह क्वांटम विधि शास्त्रीय (classical) कंप्यूटर की तुलना में लगभग वर्गमूल (square root) समय में समान स्तर की रैंडमनेस प्राप्त कर सकती है।

तीन जादुई उपकरण

शोधकर्ताओं ने तीन विशिष्ट उपकरणों का उपयोग करके एक "क्वांटम मिक्सिंग मशीन" बनाई है। इन्हें जादूगरों की एक टीम के रूप में समझें जो मिलकर काम कर रहे हैं:

क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (अनुवादक):
- उपमा: कल्पना कीजिए कि ताश की गड्डी एक जटिल गीत है। गीत को समझने का शास्त्रीय तरीका इसे नोट दर नोट सुनना है। क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म एक जादुई कान की तरह है जो तुरंत पूरे गीत को उसके शुद्ध संगीत आवृत्तियों (frequencies) की एक सूची में अनुवादित कर देता है।
- यह क्या करता है: यह क्वांटम कंप्यूटर की स्थिति को बदल देता है ताकि "मिक्सिंग" की प्रक्रिया की गणना करना बहुत आसान हो जाए। यह एक अव्यवस्थित समस्या को संख्याओं की एक साफ सूची में बदल देता है।
कंट्रोल्ड फेज रोटेशन (ट्यूनर):
- उपमा: एक बार जब गीत आवृत्तियों में अनुवादित हो जाता है, तो यह उपकरण एक साउंड इंजीनियर की तरह कार्य करता है। यह विशिष्ट नोट्स के पिच (फेज) को थोड़ा ट्यून करता है, इस आधार पर कि ताश के पत्तों को शफल के दौरान कैसे घूमना चाहिए।
- यह क्या करता है: यह "टॉप-टू-रैंडम" शफल के नियमों को इन फ्रीक्वेंसी ट्वीक्स में एनकोड करता है। यह एक ही झटके में सभी संभावनाओं में शफल के एक चरण का अनुकरण (simulate) करता है।
ग्रोवर डिफ्यूजन ऑपरेटर (एम्पलीफायर):
ु* उपमा: यह शो का असली सितारा है। कल्पना कीजिए कि एक कमरा लोगों से भरा है जो फुसफुसा रहे हैं। अधिकांश लोग रैंडम बातें फुसफुसा रहे हैं, लेकिन कुछ लोग "पूरी तरह से मिक्स" वाला रहस्य फुसफुसा रहे हैं। एम्पलीफायर सबकी आवाज़ सुनता है, औसत वॉल्यूम का पता लगाता है, और फिर इसका उल्टा करता है: यदि कोई बहुत धीरे फुसफुसा रहा है, तो यह उसे तेज़ कर देता है; यदि कोई बहुत तेज़ है, तो यह उसे शांत कर देता है।
- यह क्या करता है: यह क्वांटम स्टेट को "पूरी तरह से रैंडम" औसत की ओर धकेलता है। इसे दोहराकर, यह सिस्टम को स्वाभाविक रूप से होने का इंतज़ार करने के बजाय बहुत तेज़ी से एक रैंडम अवस्था में स्थिर होने के लिए मजबूर करता है।

दो संस्करण: क्यूबिट्स बनाम क्वडिट्स (Qubits vs. Qudits)

पेपर इस मशीन को बनाने के दो अलग-अलग तरीकों का परीक्षण करता है:

क्यूबिट संस्करण (बाइनरी डेक):
यह मानक क्वांटम बिट्स (0 और 1) का उपयोग करता है। यदि आपके पास 8 कार्डों की गड्डी है, तो आपको 3 क्यूबिट्स की आवश्यकता होगी। पेपर दिखाता है कि इस संस्करण के लिए, मिक्स होने का समय एक लंबे इंतज़ार से घटकर बहुत कम हो जाता है (एक "क्वाड्रेटिक स्पीडअप")।
क्विडिट संस्करण (बहु-पक्षीय पासा):
यह अधिक उन्नत संस्करण है। केवल 0 और 1 के बजाय, ये "क्विडिट्स" 0 से 9 तक की संख्याएं (जैसे 10-तरफ़ा पासा) हो सकते हैं।
- उपमा: कल्पना कीजिए कि आप 100 कार्डों की गड्डी को मिक्स करने की कोशिश कर रहे हैं। मानक क्यूबिट्स के साथ, आपको 100 अवस्थाओं को दर्शाने के लिए 7 बिट्स की आवश्यकता होगी (क्योंकि $2^7 = 128$ )। क्विडिट्स के साथ, आप बस दो "10-तरफ़ा पासे" का उपयोग कर सकते हैं ( $10 \times 10 = 100$ )।
- लाभ: क्योंकि क्विडिट्स स्वाभाविक रूप से डेक के आकार में फिट होते हैं (जैसे 100-कार्ड डेक के लिए 10-तरफ़ा पासे का उपयोग करना), मशीन अधिक कुशल है और कार्डों को मिक्स करने के लिए कम चरणों की आवश्यकता होती है।

उन्होंने वास्तव में क्या पाया (प्रयोग)

लेखकों ने केवल गणित नहीं लिखा; उन्होंने IBM द्वारा बनाए गए वास्तविक क्वांटम कंप्यूटरों (विशेष रूप से ibm_marrakesh प्रोसेसर) पर कोड चलाया।

शास्त्रीय परीक्षण (Classical Test): उन्होंने 25 कार्डों की गड्डी पर एक मानक कार्ड शफल का अनुकरण किया। इसे "पर्याप्त रैंडम" होने के लिए (पूर्ण रैंडमनेस से 1% से कम विचलन) लगभग 7 शफल लगे।
क्वांटम क्यूबिट परीक्षण: उन्होंने 3 क्यूबिट्स (8-कार्ड डेक) पर क्वांटम एल्गोरिदम चलाया। उन्होंने देखा कि रैंडमनेस में सुधार हुआ, लेकिन यह सीधे नीचे नहीं गया। इसके बजाय, यह एक लहर की तरह ऊपर-नीचे होता रहा (एक "ग्रोवर ऑसिलेशन")। यह क्वांटम मैकेनिक्स का एक अनूठा संकेत है: सिस्टम पूर्ण मिश्रण से आगे निकल जाता है और फिर खुद को ठीक करता है। उन्होंने पाया कि लेयर 16 पर "स्वीट स्पॉट" था जहाँ यह सबसे अधिक रैंडम था।
क्वांटम क्विडिट परीक्षण: उन्होंने 100-अवस्था वाली प्रणाली (दो 10-तरफ़ा क्विडिट्स का उपयोग करके) पर एल्गोरिदम चलाया। यह सबसे बड़ा आश्चर्य था। केवल एक एकल चरण में, सिस्टम पूरी तरह से व्यवस्थित अवस्था से लगभग पूरी तरह से रैंडम अवस्था में कूद गया। स्टेप 20 तक, यह और भी बेहतर हो गया।

निष्कर्ष (The Bottom Line)

पेपर दावा करता है कि उसने यह सिद्ध किया है कि क्वांटम कंप्यूटर शास्त्रीय कंप्यूटरों की तुलना में काफी तेज़ी से रैंडम नंबर मिक्स कर सकते हैं।

शास्त्रीय (Classical): $n \log n$ चरणों में समय लेता है।
क्वांटम (Quantum): लगभग $\sqrt{n \log n}$ चरणों में समय लेता है।

उन्होंने इसे सत्यापित किया कि उनके क्वांटम एल्गोरिदम ने वास्तविक हार्डवेयर पर, शास्त्रीय सिमुलेशन की तुलना में बहुत कम चरणों में उच्च रैंडमनेस की स्थिति प्राप्त की। उन्होंने यह भी प्रदर्शित किया कि "क्विडिट्स" (बहु-स्तरीय क्वांटम सिस्टम) का उपयोग करना मानक बाइनरी क्यूबिट्स की तुलना में कार्डों की बड़ी गड्डियों को संभालने का एक अधिक कुशल तरीका है।

महत्वपूर्ण नोट: पेपर सख्ती से शफल करने के एल्गोरिदम और गणित पर केंद्रित है। यह दावा नहीं करता है कि यह अभी कैसीनो, क्रिप्टोग्राफी या AI में उपयोग के लिए तैयार है। यह एक प्रमाण है कि यह स्पीडअप सैद्धांतिक रूप से संभव है और एक छोटे पैमाने के प्रयोग में देखा गया है।

तकनीकी सारांश: यादृच्छिक संख्या निर्माण (Random Number Generation) के लिए एक क्वांटम एल्गोरिदम

समस्या का विवरण
यह शोध पत्र एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया (stochastic process) के यूनिफॉर्म डिस्ट्रीब्यूशन (uniform distribution) की ओर मिश्रण (mixing) को तेज करने की एल्गोरिद्मिक चुनौती को संबोधित करता है, विशेष रूप से रैंडम नंबर जनरेशन (RNG) के संदर्भ में। जबकि क्लासिकल स्यूडो-रैंडम नंबर जनरेटर (PRNGs) लीनियर कॉन्ग्रुएंशियल विधियों से लेकर PCG और Xoshiro जैसे जटिल आर्किटेक्चर तक विकसित हुए हैं, वे अभी भी नियतात्मक (deterministic) बने हुए हैं। ट्रू रैंडम नंबर जनरेटर्स (TRNGs) भौतिक एंट्रॉपी पर निर्भर करते हैं लेकिन उनके थ्रूपुट (throughput) में सीमाएँ होती हैं। लेखक एक विशिष्ट सैद्धांतिक अंतराल पर ध्यान केंद्रित करते हैं: क्या क्वांटम कंप्यूटेशन एक मार्कोव चेन (Markov chain) के "मिक्सिंग टाइम" (mixing time)—जिसे उस संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है जो एक डिस्ट्रीब्यूशन को सांख्यिकीय रूप से यूनिफॉर्मिटी से अविभेद्य बनाने के लिए आवश्यक चरणों की संख्या है—को क्लासिकल सीमाओं से परे गति प्रदान कर सकता है। यह अध्ययन इस मिश्रण प्रक्रिया के एक मानक मॉडल के रूप में "टॉप-टू-रैंडम" (top-to-random) कार्ड शफल का उपयोग करता है, जिसके लिए $n$ कार्डों के डेक के लिए क्लासिकली $O(n \log n)$ ऑपरेशन्स की आवश्यकता होती है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
प्रस्तावित समाधान एक एकीकृत क्वांटम सर्किट है जो टॉप-टू-रैंडम शफल के मार्कोव ट्रांजिशन ऑपरेटर को सिम्युलेट और त्वरित करने के लिए तीन अलग-अलग क्वांटम प्रिमिटिव्स (primitives) को एकीकृत करता है:

क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (QFT): एल्गोरिदम डेक स्टेट का प्रतिनिधित्व करने वाले एक रजिस्टर को इनिशियलाइज़ करता है और QFT लागू करता है। यह अवस्था को कंप्यूटेशनल बेसिस से फूरियर बेसिस में मैप करता है, जहाँ मार्कोव ट्रांजिशन ऑपरेटर डायगोनलाइज्ड (diagonalized) होता है। यह संभाव्यता वितरण (probability distribution) के सभी फ्रीक्वेंसी कंपोनेंट्स को एक साथ प्रोसेस करने की अनुमति देता है, जो सिमेट्रिक ग्रुप के डिआकोनिस-शाहशाहानी फूरियर विश्लेषण का लाभ उठाता है।
कंट्रोल्ड फेज रोटेशन्स (Controlled Phase Rotations): फूरियर डोमेन में, एल्गोरिदम कंट्रोल्ड फेज रोटेशन्स की एक लेयर लागू करता है। ये रोटेशन्स टॉप-टू-रैंडम शफल के आइगेनवैल्यू स्पेक्ट्रम (eigenvalue spectrum) को एनकोड करते हैं। विशिष्ट फेज एंगल्स ( $\theta_{ij} = 2\pi / 2^{j-i+1}$ ) सेट करके, सर्किट मार्कोव ट्रांजिशन यूनिट के एक स्टेप को सिम्युलेट करता है, जो संभाव्यता वितरण का शफल ऑपरेटर के साथ कॉन्वोल्यूशन (convolution) को अनुमानित करता है।
ग्रोवर डिफ्यूजन ऑपरेटर (Grover Diffusion Operator): मुख्य त्वरण तंत्र ग्रोवर डिफ्यूजन ऑपरेटर ( $D = 2|s\rangle\langle s| - I$ ) का अनुप्रयोग है, जहाँ $|s\rangle$ एक यूनिफॉर्म सुपरपोजिशन स्टेट है। यह ऑपरेटर औसत के इर्द-गिर्द एम्प्लीट्यूड को रिफ्लेक्ट करता है। क्लासिकल मिक्सिंग के विपरीत, जो बार-बार होने वाले स्टोकेस्टिक ट्रांजिशन पर निर्भर करती है, डिफ्यूजन ऑपरेटर एम्प्लीट्यूड एम्प्लीफिकेशन (amplitude amplification) करता है, जो अवस्था को तेजी से यूनिफॉर्म डिस्ट्रीब्यूशन की ओर ले जाता है।

लेखक दो वेरिएंट प्रस्तुत करते हैं:

क्यूबिट वेरिएंट (Qubit Variant): यह $2^n$ अवस्थाओं को एनकोड करने वाले $n$ क्यूब्स पर कार्य करता है। इसका मिक्सिंग टाइम क्लासिकल $O(n \log n)$ से घटकर $O(\sqrt{n} \log n)$ इटरेशन्स हो जाता है।
क्विडेंट वेरिएंट (Qudit Variant): यह दृष्टिकोण को $m$ क्विड्स के स्थानीय आयाम $d$ (जहाँ $N = d^m$ ) तक सामान्यीकृत करता है। यह फॉर्मूलेशन प्रति लेयर QFT सर्किट डेप्थ को $O(\log^2 N)$ से घटाकर $O(\log^2_d N)$ गेट्स तक कम करता है और $O(\sqrt{\log_d N})$ इटरेशन्स का मिक्सिंग टाइम प्राप्त करता है।

प्रमुख योगदान

प्रमाणित द्विघातीय गति (Provable Quadratic Speedup): पेपर क्लासिकल मार्कोव चेन मिक्सिंग की तुलना में मिक्सिंग टाइम में एक सैद्धांतिक द्विघातीय गति (quadratic speedup) स्थापित करता है। $N$ आकार के सिस्टम के लिए, क्वांटम एल्गोरिदम को $O(\sqrt{N})$ (या क्विड्स के लिए $O(\sqrt{\log_d N})$ ) इटरेशन्स की आवश्यकता होती है, जबकि क्लासिकल बाउंड $O(N \log N)$ (या $n$ कार्डों के लिए $O(n \log n)$ ) है।
एल्गोरिद्मिक निर्माण: लेखक एक विस्तृत क्वांटम सर्किट निर्माण प्रदान करते हैं जो एम्प्लीट्यूड एम्प्लीफिकेशन के माध्यम से "स्ट्रॉन्ग यूनिफॉर्म स्टॉपिंग टाइम" (एल्डस और डिआकोनिस से एक अवधारणा) को साकार करता है, बजाय इसके कि किसी विशिष्ट भौतिक घटना (जैसे नीचे के कार्ड का ऊपर आना) की प्रतीक्षा की जाए।
क्विडेंट सामान्यीकरण (Qudit Generalization): कार्य को क्विड्स तक विस्तारित करता है, यह प्रदर्शित करता है कि कैसे उच्च-आयामी स्थानीय प्रणालियाँ सर्किट डेप्थ को कम कर सकती हैं और विशिष्ट स्टेट-स्पेस साइज (जैसे $N=100$ के लिए बेस-10 क्विड्स) के लिए दक्षता में सुधार कर सकती हैं।
आउटपुट निष्कर्षण (Output Extraction): पेपर वॉन न्यूमैन अनबायसिंग (von Neumann unbiasing) और रिजेक्शन सैंपलिंग का उपयोग करके क्वांटम आउटपुट से अनबायस्ड रैंडम नंबर निकालने के तरीकों का विवरण देता है, ताकि अवशेष गैर-यूनिफॉर्मिटी और रेंज बाधाओं को संभाला जा सके।

प्रायोगिक परिणाम
लेखकों ने IBM सुपरकंडक्टिंग हार्डवेयर (विशेष रूप से ibm_marrakesh) पर दोनों क्यूबिट और क्विडेंट वेरिएंट को मान्य किया:

क्लासिकल बेसलाइन: 25-कार्ड डेक पर गिलबर्ट-शैनन-रीड्स (GSR) रिफ़ल शफल के सिमुलेशन ने दिखाया कि प्रभावी मिक्सिंग (टोटल वेरिएशन डिस्टेंस $< 0.01$ ) के लिए 7 इटरेशन्स की आवश्यकता थी।
क्यूबिट प्रयोग ( $n=3, N=8$ ): क्वांटम सर्किट ने टोटल वेरिएशन (TV) डिस्टेंस में नॉन-मोनोटोनिक "ग्रोवर ऑसिलेशन" प्रदर्शित किया, जो यूनिटरी क्वांटम डायनेमिक्स का एक सिग्नेचर है। न्यूनतम TV डिस्टेंस $0.0155 $इटरेशन$ k=16$ पर प्राप्त किया गया, जो अनुमानित मिक्सिंग टाइम के अनुरूप है।
क्विडेंट प्रयोग ( $d=10, m=2, N=100$ ): क्विडेंट सर्किट ने तीव्र संक्रमण प्रदर्शित किया, जिसने केवल एक मिक्सिंग लेयर ( $k=1$ ) के बाद $0.0372$ का TV डिस्टेंस प्राप्त किया और $k=20$ पर $0.0101$ का न्यूनतम मान तक पहुँचा। देखा गया रिजेक्शन रेट थ्योरिटिकल प्रेडिक्शन के भीतर एक प्रतिशत अंक के भीतर मेल खा गया।

महत्व और दावे
पेपर दावा करता है कि यह टॉप-टू-रैंडम शफल मॉडल के माध्यम से मार्कोव चेन मिक्सिंग के विशिष्ट समस्या के लिए एक प्रमाणित स्पीडअप प्राप्त करने वाला पहला क्वांटम एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि यह कच्चे थ्रूपुट पर भौतिक हार्डवेयर TRNGs का विकल्प या क्लासिकल PRNGs का प्रतिस्पर्धी नहीं है। इसके बजाय, महत्व स्वयं मिक्सिंग प्रक्रिया के एल्गोरिद्मिक त्वरण में निहित है।

लेखक तर्क देते हैं कि ग्रोवर डिफ्यूजन ऑपरेटर, एल्डस-डिआकोनिस स्ट्रॉन्ग यूनिफॉर्म स्टॉपिंग टाइम के क्वांटम एनालॉग के रूप में कार्य करता है, जो क्लासिकल कटऑफ को $n \log n$ स्टेप्स से लगभग $\pi \sqrt{n}/8$ स्टेप्स में संकुचित करता है। नॉइजी इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम (NISQ) हार्डवेयर पर प्रायोगिक परिणाम इस तंत्र के प्रमाण प्रदान करते हैं, विशेष रूप से TV डिस्टेंस प्रोफाइल में "ग्रोवर ऑसिलेशन" को एक विशिष्ट सिग्नेचर के रूप में उजागर करते हैं, जो वास्तव में क्वांटम मिक्सिंग को दर्शाता जिसे क्लासिकल स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं द्वारा पुनरुत्पादित नहीं किया जा सकता है जो डिटेल बैलेंस (detailed balance) का पालन करती हैं। यह कार्य सुझाव देता है कि जैसे-जैसे सिस्टम का आकार बढ़ता है, मिक्सिंग टाइम में क्वांटम लाभ और भी स्पष्ट होता जाएगा।

मुख्य विचार: ब्रह्मांड को तेज़ी से मिलाना (Shuffling)

तीन जादुई उपकरण

दो संस्करण: क्यूबिट्स बनाम क्वडिट्स (Qubits vs. Qudits)

उन्होंने वास्तव में क्या पाया (प्रयोग)

निष्कर्ष (The Bottom Line)

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