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From Period Finding to Lattice Sampling: Experimental Insights into Shor's and Regev's Factoring Algorithms

यह शोध पत्र N=15 के लिए वास्तविक NISQ हार्डवेयर पर शोर (Shor's) और रेगेव (Regev's) के क्वांटम गुणनखंड एल्गोरिदम का एक प्रयोगात्मक तुलना प्रस्तुत करता है, जो यह विश्लेषण करता है कि अंकगणितीय एन्कोडिंग के उनके विशिष्ट संरचनात्मक दृष्टिकोण डिवाइस के शोर और सैंपलिंग सीमाओं के साथ कैसे परस्पर क्रिया करते हैं ताकि वैकल्पिक गुणनखंड रणनीतियों के व्यावहारिक बेंचमार्किंग को सूचित किया जा सके।

मूल लेखक: Daniela Falcó, Arturo Rodríguez, Guillermo Rivas, Ricardo S. Alonso

प्रकाशित 2026-06-17

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Daniela Falcó, Arturo Rodríguez, Guillermo Rivas, Ricardo S. Alonso

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य तस्वीर: कोड तोड़ने के दो अलग तरीके

कल्पना कीजिए कि आप एक नए प्रकार के सुपर-कंप्यूटर जिसे क्वांटम कंप्यूटर कहा जाता है, का उपयोग करके एक गुप्त कोड (एक संख्या को फैक्टराइज करना) तोड़ने की कोशिश कर रहे हैं। लंबे समय से, हर कोई इसे करने के लिए एक विशिष्ट विधि का उपयोग कर रहा है, जिसे शोर (Shor) नामक एक गणितज्ञ ने बनाया था। यह कोड तोड़ने के लिए एक "गोल्ड स्टैंडर्ड" रेसिपी की तरह है।

हालाँकि, वर्तमान क्वांटम कंप्यूटर "शोर वाले" (noisy) किचन की तरह हैं। वे छोटे हैं, वे गलतियाँ करते हैं, और वे आसानी से भ्रमित हो जाते हैं। इस कारण से, वैज्ञानिक वैकल्पिक रेसिपी की तलाश कर रहे हैं जो इन अव्यवस्थों में बेहतर काम कर सकें। इनमें से एक नई रेसिपी को रेगेव (Regev) नामक एक गणितज्ञ द्वारा बनाया गया था।

यह पेपर एक प्रयोग है जहाँ लेखकों ने दोनों रेसिपी (शोर और रेगेव) को वास्तविक, शोर वाले क्वांटम कंप्यूटरों पर बनाया ताकि यह देखा जा सके कि कौन सा "शोर" को बेहतर तरीके से संभालता है। उन्होंने कोई विशाल, वास्तविक दुनिया का कोड तोड़ने की कोशिश नहीं की (जिसमें वर्षों लग सकते हैं); इसके बजाय, उन्होंने केवल यह देखने के लिए एक छोटा, आसान नंबर (15) तोड़ा कि दोनों विधियाँ कैसे व्यवहार करती हैं।

दो रेसिपी: एक "टॉर्च" बनाम एक "धुंधला नक्शा"

अंतर को समझने के लिए, कल्पना कीजिए कि आप एक अंधेरे कमरे में छिपे हुए खजाने को खोजने की कोशिश कर रहे हैं।

1. शोर का एल्गोरिदम (Shor's Algorithm): टॉर्च

यह कैसे काम करता है: शोर की विधि खजाने पर एक बहुत ही चमकीली, तेज टॉर्च चमकाने की कोशिश करती है। यह अपनी सारी ऊर्जा एक या दो विशिष्ट स्थानों (शिखरों/peaks) में केंद्रित करती है। यदि रोशनी पर्याप्त चमकदार है, तो आप खजाने को तुरंत देख लेते हैं।
समस्या: शोर वाले किचन में, टॉर्च टिमटिमाती है। यदि रोशनी बहुत धुंधली या हिलने वाली हो जाती है, तो आप अब खजाना नहीं देख पाते। "तेज शिखर" धुंधला हो जाता है, और सिग्नल खो जाता है।
पेपर का निष्कर्ष: IBM कंप्यूटर पर (जो थोड़ा कम शोर वाला था), टॉर्च अभी भी ठीक से काम कर रही थी। लेकिन QMIO कंप्यूटर पर (जो अधिक शोर वाला था), रोशनी इतनी धुंधली हो गई कि वे खजाना नहीं ढूंढ सके।

2. रेगेव का एल्गोरिदम (Regev's Algorithm): धुंधला नक्शा

यह कैसे काम करता है: रेगेव की विधि एक अकेली टॉर्च का उपयोग नहीं करती है। इसके बजाय, यह एक नक्शे पर बहुत सारी बिंदुदार रेखाएं (dotted lines) फैला देती है। कोई भी एक बिंदु सीधे खजाने की ओर इशारा नहीं करता, लेकिन यदि आप सभी बिंदुओं के पैटर्न को एक साथ देखते हैं, तो वे स्थान को प्रकट करने वाला एक आकार बनाते हैं। यह जानकारी को कई बिंदुओं पर फैला देता है।
समस्या: शोर वाले किचन में, धुंध घनी हो जाती है। नक्शे पर बिंदु बिखर जाते हैं और आपस में मिल जाते हैं। क्योंकि जानकारी फैली हुई है, इसलिए जब शोर हस्तक्षेप करता है, तो पैटर्न को देखना कठिन हो जाता है।
पेपर का निष्कर्ष: रेगेव की विधि ने बिंदुओं का एक "सपाट" वितरण बनाया। शोर वाले QMIO कंप्यूटर पर, बिंदु इतने बिखर गए कि पैटर्न पूरी तरह से गायब हो गया।

प्रयोग: क्या हुआ?

शोधकर्ताओं ने दोनों "रेसिपी" को दो अलग-अलग क्वांटम कंप्यूटरों (IBM और QMIO) पर चलाया और उनकी तुलना एक आदर्श, शोर-मुक्त सिमुलेशन से की।

"आदर्श" दुनिया: एक आदर्श सिमुलेशन में, शोर की विधि ने कुछ बहुत ऊंचे, तेज स्पाइक्स (टॉर्च) दिखाए। रेगेव की विधि ने एक पैटर्न में बिखरे हुए कुछ थोड़े ऊंचे बिंदु दिखाए (नक्शा)। दोनों पूरी तरह से काम कर रहे थे।
"वास्तविक" दुनिया (IBM):
- शोर: स्पाइक्स थोड़े चौड़े और छोटे हो गए, लेकिन आप उन्हें अभी भी देख सकते थे। "टॉर्च" हिल रही थी लेकिन दिखाई दे रही थी।
- रेगेव: बिंदु अधिक बिखर गए, लेकिन कुछ अभी भी बाकी अन्य की तुलना में थोड़े ऊंचे थे। "नक्शा" धुंधला था, लेकिन पैटर्न अभी भी हल्का सा मौजूद था।
"वास्तविक" दुनिया (QMIO - अधिक शोर वाली मशीन):
- शोर: स्पाइक्स पूरी तरह से सपाट हो गए। टॉर्च बुझ गई। कंप्यूटर सिग्नल और शोर के बीच अंतर नहीं कर सका।
- रेगेव: बिंदु एक समान बादल बन गए। पैटर्न पूरी तरह से गायब हो गया। "नक्शा" इतना धुंधला था कि वह रैंडम स्टैटिक (static) जैसा दिख रहा था।

मुख्य निष्कर्ष

पेपर यह निष्कर्ष निकालता है कि इन छोटे, शोर वाले मशीनों के लिए अभी कोई भी विधि स्पष्ट रूप से "बेहतर" नहीं है।

शोर की विधि एक उच्च-परिशुद्धता (high-precision) उपकरण की तरह है: यह तब बहुत अच्छा काम करती है जब वातावरण साफ हो, लेकिन अगर थोड़ी सी भी गंदगी (शोर) हो, तो यह आसानी से टूट जाती है।
रेगेव की विधि एक वितरित नेटवर्क (distributed network) की तरह है: यह कम जटिल चरणों (shallower circuits) का उपयोग करती है, जो अच्छा लगता है, लेकिन क्योंकि यह अपनी जानकारी को फैला देती है, इसलिए शोर पैटर्न को उतनी ही प्रभावी ढंग से बिखेर देता है जितना कि वह टॉर्च को बिखेरता है।

निचोड़:
लेखकों ने पाया कि इन एल्गोरिदम के द्वारा जानकारी संग्रहीत करने का तरीका मौलिक रूप से भिन्न है। शोर जानकारी को "केंद्रित" करता है (लेजर की तरह), जबकि रेगेव इसे "वितरित" करता है (स्प्रे की तरह)। आज के शोर वाले कंप्यूटरों पर, दोनों रणनीतियां संघर्ष करती हैं, लेकिन वे अलग-अलग तरीकों से विफल होती हैं। शोर अपनी तेज एकाग्रता खो देता है, जबकि रेगेव अपना ज्यामितीय पैटर्न खो देता है।

यह अध्ययन यह नहीं कहता कि हम अभी बैंक के कोड तोड़ सकते हैं। इसके बजाय, यह हमें बताता है कि जैसे-जैसे हम बेहतर क्वांटम कंप्यूटर बनाएंगे, हमें यह समझने की आवश्यकता है कि ये विभिन्न एल्गोरिदम शोर के प्रति कैसे प्रतिक्रिया करते हैं, ताकि हम सही मशीन के लिए सही एल्गोरिदम चुन सकें।

तकनीकी सारांश: आवर्तता खोज (Period Finding) से जालक प्रतिदर्श (Lattice Sampling) तक

समस्या विवरण
यद्यपि शोर का एल्गोरिदम (Shor's algorithm) सैद्धांतिक रूप से बहुपद समय (polynomial time) में पूर्णांक गुणनखंडन को हल करता है, लेकिन वर्तमान शोरयुक्त मध्यवर्ती-पैमाने के क्वांटम (NISQ) हार्डवेयर पर इसका व्यावहारिक कार्यान्वयन सर्किट की गहराई, गेट त्रुटियों और डिकोहेरेंस (decoherence) द्वारा गंभीर रूप से बाधित है। इन सीमाओं ने वैकल्पिक गुणनखंड एल्गोरिदम, जैसे कि रेगेव के एल्गोरिदम (Regev's algorithm) में रुचि जगाई है, जो समस्या को एक-आयामी आवर्तता-खोज (period-finding) समस्या के बजाय एक उच्च-आयामी जालक प्रतिचयन (lattice sampling) कार्य के रूप में पुनर्गठित करता है। हालाँकि, मौजूदा प्रयोगात्मक विश्लेषणों में अक्सर व्यवस्थित, बहु-बैकएंड तुलनाओं का अभाव होता है जो यह समझ सकें कि ये विशिष्ट एल्गोरिदम संरचनाएं वास्तविक हार्डवेयर शोर के साथ कैसे परस्पर क्रिया करती हैं। यह अध्ययन शोर के प्रति उनकी सापेक्ष मजबूती और विफलता के तरीकों (failure modes) को समझने के लिए वास्तविक क्वांटम हार्डवेयर पर शोर और रेगेव के एल्गोरिदम की प्रयोगात्मक तुलना करके इस अंतर को संबोधित करता है।

कार्यप्रणाली
लेखकों ने बेंचमार्क उदाहरण $N = 15$ का उपयोग करके एक नियंत्रित प्रयोगात्मक अध्ययन किया। दोनों एल्गोरिदम को Qiskit का उपयोग करके लागू किया गया था और दो अलग-अलग क्वांटम बैकएंड पर निष्पादित किया गया: सेन्ट्रो डी सुपरकंपुटेशन डे गैलिसिया (CESGA) में QMIO क्वांटम कंप्यूटर और एक IBM ओपन-एक्सेस क्वांटम प्रोसेसर (ibm_torino)। आदर्श (शोररहित) सिमुलेशन एक संदर्भ आधार के रूप में उपयोग किए गए।

एल्गोरिदम कॉन्फ़िगरेशन:
- शोर का एल्गोरिदम (Shor's Algorithm): क्रम $r=4$ खोजने के लिए आधार $a=2$ के साथ $k=3$ क्विबिट्स का नियंत्रण रजिस्टर उपयोग किया गया। सर्किट ने गहराई को कम करने के लिए सामान्य अंकगणित के बजाय परम्यूटेशन (permutations) पर आधारित विशेष, उथले मॉड्यूलर एक्सपोनेंशियल निर्माणों का उपयोग किया।
- रेगेव का एल्गोरिदम (Regev's Algorithm): इसे आधार $a_1=4, a_2=49$ के साथ द्वि-आयामी उदाहरण ( $d=2$ ) के रूप में कॉन्फ़िगर किया गया। इसने ड्यूल लैटिस (dual lattice) में वेक्टर्स को अनुमानित करने के लिए $\mathbb{Z}^d$ पर एक गॉसियन सुपरपोजिशन और उसके बाद फूरियर सैंपलिंग का उपयोग किया।
कंपाइलेशन और निष्पादन: सर्किट को प्रत्येक बैकएंड के नेटिव गेट सेट और कनेक्टिविटी के लिए समायोजित मापदंडों के साथ Qiskit का उपयोग करके ट्रांसपाइल किया गया। सभी हार्डवेयर रन में 4,096 शॉट्स का उपयोग किया गया।
मूल्यांकन मेट्रिक्स: प्रत्येक रन के लिए पूर्ण शास्त्रीय पुनर्निर्माण (classical reconstruction) पर निर्भर किए बिना शोर के प्रभाव को मापने के लिए, लेखकों ने वितरण-आधारित मेट्रिक्स पेश किए:
- शैनन एंट्रॉपी ( $H(p)$ ): संभाव्यता वितरण के फैलाव को मापता है।
- प्रभावी सपोर्ट आकार ( $N_{eff}$ ): उन परिणामों की संख्या का अनुमान लगाता है जो वितरण में महत्वपूर्ण योगदान देते हैं।
- टॉप-के मास ( $M_4$ ): चार सबसे अधिक बार आने वाले परिणामों में कुल संभाव्यता का अंश।

प्रमुख योगदान

नियंत्रित प्रयोगात्मक बेंचमार्क: यह शोध पत्र कई हार्डवेयर प्लेटफार्मों और आदर्श सिमुलेशनों पर एक ही समस्या उदाहरण ( $N=15$ ) पर शोर और रेगेव के एल्गोरिदम की प्रत्यक्ष, निम्न-स्तरीय तुलना प्रदान करता है।
बहु-बैकएंड मूल्यांकन: परिणाम IBM और QMIO उपकरणों दोनों के लिए रिपोर्ट किए गए हैं, जो यह अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं कि विभिन्न हार्डवेयर आर्किटेक्चर एल्गोरिदम के प्रदर्शन को कैसे प्रभावित करते हैं।
सूचना एन्कोडिंग व्याख्या: अध्ययन प्रयोगात्मक परिणामों की व्याख्या "सूचना संकेंद्रण" (Shor) बनाम "सूचना वितरण" (Regev) के दृष्टिकोण से करता है। यह प्रदर्शित करता है कि कैसे ये संरचनात्मक अंतर माप हिस्टोग्राम में गुणात्मक रूप से भिन्न शोर-प्रेरित गिरावट की ओर ले जाते हैं।
पुनरुत्पादकता (Reproducibility): लेखक प्रयोगात्मक वितरण उत्पन्न करने के लिए उपयोग किए गए विशिष्ट एल्गोरिदम मापदंडों और कंपाइलेशन पाइपलाइनों की रिपोर्ट करते हैं।

परिणाम
प्रयोगात्मक डेटा NISQ बाधाओं के तहत दोनों एल्गोरिदम के लिए विशिष्ट विफलता मोड प्रकट करता है:

शोर का एल्गोरिदम (सूचना संकेंद्रण):
- आदर्श सिमुलेशन में, संभाव्यता द्रव्यमान (probability mass) कुछ चुनिंदा स्पेक्ट्रल चोटियों पर अत्यधिक केंद्रित होता है (कम एंट्रॉपी, $N_{eff} \approx 4$ , $M_4 = 1.0$ )।
- IBM हार्डवेयर पर, वितरण विस्तृत होता है लेकिन प्रमुख चोटियाँ बरकरार रहती हैं ( $M_4 = 0.921$ ), जिससे क्रम रिकवरी में आंशिक सफलता मिलती है।
- अधिक शोर वाले QMIO डिवाइस पर, स्पेक्ट्रल चोटियाँ काफी हद तक सपाट और अस्पष्ट हो जाती हैं ( $M_4 = 0.564$ , $N_{eff} \approx 7.8$ ), जिससे शास्त्रीय पुनर्निर्माण के लिए आवश्यक आवधिक संरचना का नुकसान होता है।
- अवलोकन: शोर का एल्गोरिदम फेज एरर (phase errors) के प्रति अत्यधिक संवेदनशील है; एक बार जब तीक्ष्ण चोटियाँ शोर द्वारा विस्तृत हो जाती हैं, तो एल्गोरिदम उपयोगी जानकारी प्रदान करने में विफल रहता है।
रेगेव का एल्गोरिदम (सूचना वितरण):
- आदर्श सिमुलेशन में, वितरण स्वाभाविक रूप से शोर के एल्गोरिदम की तुलना में अधिक फैला हुआ है, फिर भी यह ड्यूल लैटिस के अनुरूप कुछ प्रमुख वेक्टर्स प्रदर्शित करता है ( $N_{eff} \approx 2.34$ , $M_4 = 0.944$ )।
- IBM हार्डवेयर पर, वितरण अधिक फैला हुआ हो जाता है ( $M_4 = 0.645$ ), फिर भी परिणामों का एक उपसमूह पर्याप्त रूप से प्रभावी रहता है जो संभावित रूप से लैटिस रिडक्शन का समर्थन कर सकता है।
- QMIO पर, ज्यामितीय संकेत (geometric signal) अत्यधिक पतला हो जाता है ( $M_4 = 0.29$ , $N_{eff} \approx 15.8$ ), जहाँ संभाव्यता द्रव्यमान कई वेक्टर्स में समान रूप से फैल जाता है, जो प्रभावी रूप से जालक संरचना को अस्पष्ट कर देता है।
- अवलोकन: रेगेव का एल्गोरिदम कई सहसंबंधित नमूनों (correlated samples) के बीच सांख्यिकीय पूर्वाग्रह (statistical bias) पर निर्भर करता है। हालांकि यह उथले सर्किट का उपयोग करता है (तालिका 2 दिखाता है कि दोनों प्लेटफार्मों पर रेगेव का संकलित डेप्थ कम है), बहु-आयामी नमूनाकरण चरण शोर संवेदनशीलता को बढ़ाता है जो ज्यामितीय संकेत के तेजी से प्रसार का कारण बनता है।
सर्किट डेप्थ बनाम मजबूती (Robustness): हालांकि रेगेव के एल्गोरिदम में उथला संकलित सर्किट डेप्थ है (जैसे, IBM पर 147 बनाम 210), इस कमी का वर्तमान हार्डवेयर पर बेहतर मजबूती में अनुवाद नहीं हुआ। शोर के तहत रेगेव के माप वितरण शोर के एल्गोरिदम की तुलना में अधिक तेज़ी से बिखरे।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र विनम्रतापूर्वक दावा करता है कि वर्तमान NISQ उपकरणों पर छोटे $N$ शासन ( $N=15$ ) में दोनों एल्गोरिदम में से कोई भी दूसरे पर व्यावहारिक लाभ प्रदर्शित नहीं करता है। इसके बजाय, यह अध्ययन एक मौलिक ट्रेड-ऑफ (trade-off) को रेखांकित करता है:

शोर का एल्गोरिदम कम शोर होने पर अत्यधिक संरचित, केंद्रित आउटपुट से लाभान्वित होता है, लेकिन फेज कोहेरेंस (phase coherence) खो जाने पर विनाशकारी रूप से विफल हो जाता है।
रेगेव का एल्गोरिदम सूचना को उच्च-आयामी स्थान में वितरित करता है, जो बड़ी समस्याओं के लिए अलग स्केलिंग गुण प्रदान कर सकता है, लेकिन वर्तमान में बहु-आयामी नमूनाकरण में बढ़ी हुई शोर संवेदनशीलता से ग्रस्त है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि ये परिणाम यह समझने के लिए प्रयोगात्मक बेंचमार्किंग के मूल्य को रेखांकित करते कि एल्गोरिदम डिजाइन विकल्पों के व्यावहारिक निहितार्थ क्या हैं। वे इस बात पर जोर देते हैं कि फॉल्ट-टोलरेंट सेटिंग में विषम संबंध (asymptotic relationships) वर्तमान NISQ हार्डवेयर पर समान व्यवहार की गारंटी नहीं देते हैं, जहाँ अंकगणितीय सूचना का विशिष्ट एन्कोडिंग (संकेंद्रण बनाम वितरण) यह निर्धारित करता है कि शोर कैसे प्रकट होता है और एल्गोरिदम कैसे विफल होते हैं। भविष्य के कार्यों के लिए बड़े $N$ तक इन बेंचमार्क को विस्तारित करने और इन विशिष्ट ट्रेड-ऑफ को लक्षित करने वाली त्रुटि न्यूनीकरण (error mitigation) रणनीतियों का पता लगाने का प्रस्ताव दिया गया है।

मुख्य तस्वीर: कोड तोड़ने के दो अलग तरीके

दो रेसिपी: एक "टॉर्च" बनाम एक "धुंधला नक्शा"

प्रयोग: क्या हुआ?

मुख्य निष्कर्ष

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