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Exceptional-Point-Anchored Variational Quantum Eigensolver for Non-Hermitian Many-Body Phase Diagrams: Bridging Skin-Effect Topology and Entanglement Criticality on NISQ Hardware

यह शोध पत्र बायऑर्थोगोनल वेरिएशनल क्वांटम आइजनसोलवर (B-VQE) को प्रस्तुत करता है, जो एक स्केलेबल NISQ एल्गोरिदम है जो स्वतंत्र वेरिएशनल सर्किट और इम्पॉर्टेंस सैंपलिंग का उपयोग करके गैर-हर्मिटियन (non-Hermitian) अनेक-निकाय प्रणालियों को कुशलतापूर्वक सिम्युलेट करता है, और बिना किसी महंगे पोस्ट-सिलेक्शन के उनके फेज़ डायग्राम और एक्सेपशनल पॉइंट्स को सटीक रूप से मैप करता है।

मूल लेखक: Akoramurthy B, Surendiran B, Xiaochun Cheng

प्रकाशित 2026-06-18

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Akoramurthy B, Surendiran B, Xiaochun Cheng

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक बड़ी तस्वीर: एक अजीब दुनिया के लिए एक नया उपकरण

कल्पना कीजिए कि आप एक जटिल मशीन को समझने की कोशिश कर रहे हैं, जैसे कि एक कार का इंजन। आमतौर पर, आप यह मान लेते हैं कि इंजन एक बंद प्रणाली (closed system) है: ईंधन अंदर जाता है, शक्ति बाहर आती है, और कुछ भी लीक नहीं होता। मानक क्वांटम भौतिकी में, यही नियम है: ऊर्जा संरक्षित रहती है, और गणित "हर्मिटी" (Hermitian) है (संतुलित और पूर्वानुमानित)।

लेकिन वास्तविक दुनिया में, प्रणालियाँ अक्सर लीक होती हैं। वे वातावरण में ऊर्जा खो देती हैं, या बाहर से ऊर्जा प्राप्त करती हैं। इसे एक नॉन-हर्मिटी (Non-Hermitian) प्रणाली कहा जाता है। इसे एक ऐसी कार के इंजन के रूप में सोचें जिसमें ईंधन टैंक में छेद है या एक टर्बोचार्जर है जो कभी-कभी अप्रत्याशित रूप से अतिरिक्त ईंधन जोड़ देता है। इन प्रणालियों के लिए गणित अव्यवस्थित, जटिल है, और मानक कंप्यूटरों के साथ इसे हल करना आमतौर पर असंभव है क्योंकि संख्याएँ बहुत तेज़ी से बड़ी हो जाती हैं।

यह शोध पत्र एक नए उपकरण B-VQE (बायोर्थोगोनल वेरिएशनल क्वांटम आइजनसोल्वर) को पेश करता है। यह एक विशेष सॉफ़्टवेयर एल्गोरिदम है जिसे वर्तमान, अपूर्ण क्वांटम कंप्यूटरों (जिन्हें NISQ डिवाइस कहा जाता है) पर चलाने के लिए डिज़ाइन किया गया है ताकि इन "लीकी" या "ओपन" क्वांटम प्रणालियों को हल किया जा सके।

समस्या: "एक हाथ वाला" दृष्टिकोण काम नहीं करता

मानक क्वांटम एल्गोरिदम (जैसे मूल VQE) एक ऐसी चीज़ की तरह हैं जैसे आप केवल एक हाथ से चलती हुई वस्तु को मापने की कोशिश कर रहे हों। वे मानते हैं कि प्रणाली संतुलित है। यदि आप उन्हें एक "लीकी" प्रणाली पर उपयोग करने का प्रयास करते हैं, तो गणित टूट जाता है क्योंकि:

उत्तर केवल सरल संख्याएँ नहीं हैं; वे जटिल (काल्पनिक संख्याओं सहित) हो सकते हैं।
सिस्टम की "इनपुट" अवस्था और "आउटपुट" अवस्था अब एक जैसी नहीं रहतीं। वे एक-दूसरे से अलग हो जाती हैं।

समाधान: "दो हाथों वाला" दृष्टिकोण (B-VQE)

लेखकों ने एक "दो हाथों वाला" दृष्टिकोण बनाया है। एक ही सर्किट द्वारा सब कुछ करने के बजाय, B-VQE दो अलग-अलग सर्किटों का उपयोग करता है जो तालमेल में काम करते हैं:

दायां हाथ (Right Circuit): सिस्टम की "फॉरवर्ड" अवस्था तैयार करता है (जब आप बटन दबाते हैं तो क्या होता है)।
बायां हाथ (Left Circuit): "बैकवर्ड" अवस्था तैयार करता है (यदि आप समय को पीछे घुमाते हैं तो सिस्टम कैसा दिखता है)।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक डगमगाते हुए सी-सॉ (seesaw) पर संतुलन बिंदु खोजने की कोशिश कर रहे हैं।

एक मानक एल्गोरिदम एक तरफ बैठने और संतुलन का अनुमान लगाने की कोशिश करता है।
B-VQE एक व्यक्ति को बाईं ओर बैठाता है और दूसरे को दाईं ओर बैठाता है। वे एक-दूसरे से बात करते हैं, अपनी स्थिति को तब तक समायोजित करते हैं जब तक कि वे सटीक स्थान न ढूंढ लें जहाँ सी-सॉ पूरी तरह से संतुलित हो, भले ही उनके नीचे की ज़मीन हिल रही हो।

नए उपकरण की मुख्य विशेषताएं

1. "कोलेसेंस" डिटेक्टर (टिपिंग पॉइंट खोजना)

इन अजीब प्रणालियों में, एक्सेप्शनल पॉइंट्स (EPs) नामक विशेष बिंदु होते हैं। एक EP पर, सिस्टम की दो अलग-अलग अवस्थाएं अचानक एक में विलीन हो जाती हैं, जैसे दो नदियाँ मिलकर एक चौड़ी नदी बन जाती हैं। यह एक महत्वपूर्ण क्षण है जहाँ सिस्टम का व्यवहार नाटकीय रूप से बदल जाता है।

नवाचार: B-VQE में एक अंतर्निहित "EP डिटेक्टर" है। यह मापता है कि "बायां हाथ" और "दायां हाथ" की अवस्थाएं एक-दूसरे के कितने करीब हैं। जब वे एक समान (coalesce) हो जाती हैं, तो डिटेक्टर चिल्लाता है, "हमने एक्सेप्शनल पॉइंट खोज लिया है!"
महत्व: यह वैज्ञानिकों को यह मैप करने की अनुमति देता है कि सिस्टम में ये खतरनाक, अस्थिर टिपिंग पॉइंट्स कहाँ स्थित हैं।

2. "इंपॉर्टेंस सैंपलिंग" ट्रिक (लॉटरी से बचना)

आमतौर पर, इन लीकी प्रणालियों को क्वांटम कंप्यूटर पर सिम्युलेट करने के लिए एक "पोस्ट-सिलेक्शन" चरण की आवश्यकता होती है। यह एक लॉटरी खेलने जैसा है जहाँ आपको अपने 99% परिणाम फेंकने पड़ते हैं क्योंकि वे एक विशिष्ट मानदंड से मेल नहीं खाते। जैसे-जैसे सिस्टम बड़ा होता जाता है, आपको अपने सभी परिणाम फेंकने पड़ सकते हैं, जिससे सिमुलेशन असंभव हो जाता है।

नवाचार: लेखकों ने एक "इंपॉर्टेंस सैंपलिंग" विधि विकसित की है। "बुरे" परिणामों को फेंकने के बजाय, वे उन्हें रखते हैं लेकिन अंतिम गणना में उन्हें एक अलग भार (weight) देते हैं।
उपमा: केवल उन लॉटरी टिकटों को गिनने के बजाय जो जैकपॉट जीतते हैं (और बाकी को फेंक देते हैं), वे हर टिकट को गिनते हैं लेकिन जैकपॉट विजेताओं को एक बड़ा मल्टीप्लायर और हारने वालों को एक छोटा मल्टीप्लायर देते हैं। यह उन्हें केवल एक विजेता प्राप्त करने के लिए लाखों बार लॉटरी चलाने से बचाता है। यह कंप्यूटिंग लागत को प्रबंधनीय रखता है।

3. "फेज़ डायग्राम" को मैप करना

टीम ने इस उपकरण का उपयोग तीन अलग-अलग जटिल प्रणालियों को मैप करने के लिए किया:

नॉन-हर्मिटी हबर्ड चेन (Non-Hermitian Hubbard Chain): इलेक्ट्रॉनों के घूमने का एक मॉडल जो "अटक" (localized) सकता है या स्वतंत्र रूप से बह सकता है।
XXZ स्पिन चेन (XXZ Spin Chain): चुंबकीय स्पिन का एक मॉडल जो "स्कार्स" (विशेष अवस्थाएं जो अपना अतीत नहीं भूलतीं) बना सकते हैं।
2D t-J मॉडल: एक मॉडल जो दिखाता है कि कण किसी सामग्री के किनारों पर कैसे जमा होते हैं (जिसे "स्किन इफेक्ट" कहा जाता है)।

उन्होंने सफलतापूर्वक मानचित्र बनाए जो दिखाते हैं कि सिस्टम कहाँ स्थिर है, कहाँ अराजक (chaotic) है, और कहाँ किनारे पर "अटक" जाता है।

परिणाम: क्या यह काम करता है?

लेखकों ने अपने उपकरण का परीक्षण एक सिम्युलेटर पर किया जो वास्तविक, शोर वाले क्वांटम कंप्यूटरों (विशेष रूप से IBM के Heron प्रोसेसर) की नकल करता है।

सटीकता: उन्होंने बहुत उच्च सटीकता (0.5% से कम त्रुटि) के साथ सिस्टम के ऊर्जा स्तरों को पाया।
गति: उन्होंने लगभग 0.02 यूनिट की सटीकता के साथ "टिपिंग पॉइंट्स" (एक्सेप्शनल पॉइंट्स) को खोजा।
दक्षता: उनकी विधि ने पुराने तरीकों की तुलना में बहुत कम कंप्यूटिंग शक्ति की आवश्यकता हुई। जहाँ पुराने तरीकों को बड़े सिस्टम के लिए घातीय (exponentially) रूप से अधिक शक्ति की आवश्यकता होती (जैसे एक छोटी समस्या के लिए सुपरकंप्यूटर की आवश्यकता), वहीं उनकी विधि को केवल एक बहुपद (polynomial) वृद्धि की आवश्यकता थी (जैसे एक थोड़े बड़े लैपटॉप की आवश्यकता)।

सारांश

यह शोध पत्र एक नया "दो हाथों वाला" एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है जो वर्तमान, अपूर्ण क्वांटम कंप्यूटरों को "लीकी" क्वांटम प्रणालियों का अध्ययन करने की अनुमति देता है। दो सर्किटों का उपयोग करके सिस्टम को दोनों दिशाओं से ट्रैक करके, और डेटा को फेंकने से बचने के लिए एक चतुर गणितीय ट्रिक का उपयोग करके, लेखक सटीक रूप से मैप कर सकते हैं कि ये प्रणालियाँ कब अस्थिर होती हैं और इनमें कण कैसे व्यवहार करते हैं। यह सैद्धांतिक भौतिकी और आज के हार्डवेयर पर हम वास्तव में क्या गणना कर सकते हैं, के बीच के अंतर को पाटता है।

तकनीकी सारांश: गैर-हर्मिटीन (Non-Hermitian) अनेक-निकाय अवस्था आरेखों के लिए अपवाद्य-बिंदु-लंगरयुक्त (Exceptional-Point-Anchored) परिवर्तनीय क्वांटम आइजनसोलवर

समस्या विवरण
गैर-हर्मिटीन क्वांटम प्रणालियों का अध्ययन गणितीय जिज्ञासाओं से बढ़कर भौतिकी के एक नए क्षेत्र में विस्तारित हुआ है, जिसमें अपवाद्य बिंदु (EPs) और गैर-हर्मिटीन स्किन प्रभाव (NHSE) जैसी घटनाएं शामिल हैं। हालांकि, नोइजी इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम (NISQ) हार्डवेयर पर गैर-हर्मिटीन अनेक-निकाय प्रणालियों का अनुकरण करने में तीन मौलिक चुनौतियां आती हैं:

जटिल आइजनवैल्यू (Complex Eigenvalues): मानक परिवर्तनीय क्वांटम आइजनसोलवर (VQE) वास्तविक-मान वाले लागत कार्यों (cost functions) पर निर्भर करते हैं जो हर्मिटीन हैमिल्टोनियन से प्राप्त होते हैं; जटिल आइजनवैल्यू एक स्वाभाविक परिवर्तनीय निचली सीमा (variational lower bound) को बाधित करती हैं।
बाइऑर्थोगोनैलिटी (Biorthogonality): गैर-हर्मिटीन प्रणालियों के लिए स्वतंत्र रूप से बाएं ( $\langle \tilde{\psi}_L|$ ) और दाएं ( $|\psi_R\rangle$ ) आइजनस्टेट्स की तैयारी और मापन की आवश्यकता होती है, क्योंकि मानक आंतरिक उत्पाद (inner product) को एक बायोथ्रोगोनल मेट्रिक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
संसाधन ओवरहेड (Resource Overhead): यूनिटरी क्वांटम कंप्यूटरों पर गैर-हर्मिटीन गतिकी का अनुकरण करने के लिए आमतौर पर एंसिला-आधारित डायलेशन या पोस्ट-सिलेक्शन की आवश्यकता होती है, जिससे एक्सपोनेंशियल ओवरहेड उत्पन्न होता है जो $\sim 8$ क्विबिट्स से परे सिमुलेशन को अव्यवहार्य बना देता है।

मौजूदा प्रस्तावों ने आंशिक पहलुओं (जैसे काल्पनिक-समय विकास या डेंसिटी-मैट्रिक्स डायलेशन) को संबोधित किया है, लेकिन उनमें एक एकीकृत ढांचे का अभाव है जो बायोथ्रोगोनल ग्राउंड स्टेट्स तक पहुँचने, EPs का पता लगाने और अनेक-निकाय अवस्था आरेखों (many-body phase diagrams) को एक साथ मैप करने में सक्षम हो।

कार्यप्रणाली: B-VQE ढांचा
लेखक बाइऑर्थोगोनल परिवर्तनीय क्वांटम आइजनसोलवर (B-VQE) का परिचय देते हैं, जो विशेष रूप से NISK हार्डवेयर पर गैर-हर्मिटीन हैमिल्टोनियन के लिए डिज़ाइन किया गया एक दोहरी-सर्किट एल्गोरिदम है।

दोहरी-सर्किट एंसेट (Dual-Circuit Ansatz): मानक VQE के विपरीत, B-VQE दो स्वतंत्र पैरामीटराइज्ड यूनिटरीज, $U_R(\theta)$ और $U_L(\phi)$ का उपयोग करता है, जो क्रमशः दाएं आइजनस्टेट $|\psi_R^\theta\rangle$ और बाएं आइजनस्टेट $|\tilde{\psi}_L^\phi\rangle$ का अनुमान लगाते हैं।
बाइऑर्थोगोनल लागत फलन (Biorthogonal Cost Function): एल्गोरिदम एक लागत फलन $L_{B-VQE}$ को अनुकूलित करता है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
$L_{B-VQE}(\theta, \phi) = \text{Re}[E_{bio}(\theta, \phi)] + \lambda [\text{Im}(E_{bio}(\theta, \phi))]^2$
जहाँ $E_{bio}$ बायोथ्रोगोनल रेले कोटिएंट है। दूसरा पद काल्पनिक ऊर्जा विचलन को दंडित करता है, जिससे सिस्टम को अनब्रोकन पैरिटी-टाइम (PT) समरूपता चरण में वास्तविक आइजनवैल्यू की ओर ले जाया जाता है।
अपवाद्य-बिंदु डिटेक्टर (Exceptional-Point Detector - EPD): एक ऑपरेशनल मॉड्यूल कोलेसेंस मेट्रिक $C_\lambda = 1 - |\langle \tilde{\psi}_L^\phi | \psi_R^\theta \rangle|^2$ को मापकर EPs की पहचान करता है। एक EP पर, बाएं और दाएं आइजनस्टेट्स का विलय (coalescence) हो जाता है ( $C_\lambda \to 0$ ), जो एक हार्डवेयर-नेटिव सिग्नेचर प्रदान करता है।
गैर-हर्मिटीन क्वांटम ज्यामितिक टेंसर (NH-QGT): यह ढांचा बायोथ्रोगोनल सेटिंग में क्वांटम ज्यामितिक टेंसर का विस्तार करता है। यह अवस्था टोपोलॉजी (बाइऑर्थोगोनल बेरी कर्वेचर के माध्यम से) और बैंड टोपोलॉजी दोनों के अलग-अलग लक्षण वर्णन की अनुमति देता है, जिससे गैर-हर्मिटीन प्रणालियों के विशिष्ट विसंगतियों को हल किया जा सके।
इम्पॉर्टेंस-सैंपलिंग (IS) मिटिगेशन: पोस्ट-सिलेक्शन के एक्सपोनेंशियल ओवरहेड को दूर करने के लिए, लेखक एक क्लासिकल रीवेटिंग स्कीम का प्रस्ताव करते हैं। क्वांटम सर्किट्स से बिटस्ट्रिंग्स को सैंपल करके और दाएं और बाएं आयामों के अनुपात के आधार पर क्लासिकल वेट लागू करके, यह विधि बिना किसी एंसिला पोस्ट-सिलेक्शन के पॉलीनोमियल ओवरहेड प्राप्त करती है।

प्रमुख परिणाम
इस ढांचे को IBM Heron r2 हार्डवेयर शोर मॉडल के कैलिब्रेटेड Qiskit-Aer सिमुलेशन का उपयोग करके तीन प्रतिमान मॉडलों पर सत्यापित किया गया था:

गैर-हर्मिटीन हबर्ड चेन: B-VQE ने चार अलग-अलग चरणों वाला एक फेज डायग्राम सफलतापूर्वक मैप किया: इरगोडिक (ergodic), गैर-हर्मिटीन अनेक-निकाय लोकलाइज्ड (NH-MBL), PT-ब्रोकन इरगोडिक, और स्किन-लोकलाइज्ड। एल्गोरिदम ने सापेक्ष ऊर्जा त्रुटि $\epsilon_E < 5 \times 10^{-3}$ प्राप्त की और लेवल-स्पेसिंग रेश्यो एवं एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी स्केलिंग के माध्यम से MBL ट्रांजिशन की सही पहचान की।
गैर-हर्मिटीन XXZ स्पिन चेन: पद्धति ने $\delta\lambda < 0.02t$ की सटीकता के साथ अपवाद्य बिंदुओं (EPs) का पता लगाया। इसने "अपवाद्य-बिंदु-वर्धित अनेक-निकाय स्कार्स" (exceptional-point-enhanced quantum many-body scars) का भी लक्षण वर्णन किया, और देखा कि EPs के पास स्कार कोहेरेंस समय तेजी से बढ़ता है। बायोथ्रोगोनल एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी ने EP क्रिटिकल पॉइंट पर प्रभावी सेंट्रल चार्ज $c_{eff} \approx 0.85$ के साथ एक कन्फॉर्मल फील्ड थ्योरी (CFT) स्केलिंग को प्रकट किया।
2D गैर-हर्मिटीन t-J मॉडल: एल्गोरिदम ने एक 'मैनी-बॉडी फर्मी स्किन' को हल किया, जहाँ अवस्थाएँ सीमा (boundary) पर जमा हो जाती हैं। इसने सफलतापूर्वक टोपोलॉजिकल वाइंडिंग नंबर को मापा, जो मैक्रोस्कोपिक स्किन एक्यूमुलेशन की शुरुआत के साथ ट्रिवियल ( $W=0$ ) से टोपोलॉजिकल ( $W=1$ ) चरणों के बीच एक तीव्र संक्रमण प्रदर्शित करता है।

प्रदर्शन और स्केलेबिलिटी

सटीकता: सभी मॉडलों में, B-VQE ने शोर-मुक्त सिम्युलेटर पर $5 \times 10^{-3}$ से कम ऊर्जा त्रुटि बनाए रखी और कैलिब्रेटेड हार्डवेयर शोर (जैसे IBM Kingston, Fez, Marrakesh) के तहत भी मजबूत रहा।
EP डिटेक्शन: EPD मॉड्यूल ने शोर-मुक्त सिम्युलेटर पर $\delta\lambda < 0.02t$ और यथार्थवादी शोर के तहत $\delta\lambda < 0.08t$ के भीतर अपवाद्य बिंदुओं को स्थित किया।
संसाधन दक्षता: ट्रोटरनाइजेशन (Trotterization) की तुलना में, B-VQE को समकक्ष स्टेट फिडेलिटी प्राप्त करने के लिए लगभग 2 गुना कम गहरे (shallower) सर्किटों की आवश्यकता थी। IS मिटिगेशन स्कीम ने ओवरहेड के स्केलिंग को एक्सपोनेंशियल (मानक पोस्ट-सिलेक्शन) से घटाकर पॉलीनोमियल ( $O(n^{1.55})$ ) कर दिया, जिससे $n=16$ क्विबिट्स तक $>0.4$ की सफलता दर के साथ सिमुलेशन संभव हुआ।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र B-VQE को एक स्केलेबल, पूर्ण NISQ कार्यप्रणाली के रूप में स्थापित करता है। इसके प्राथमिक योगदान हैं:

एल्गोरिथमिक गैप समाधान: यह पहला परिवर्तनीय ढांचा प्रदान करता है जो बायोथ्रोगोनल ग्राउंड स्टेट्स तक पहुँचने, व्यवस्थित रूप से अपवाद्य बिंदुओं का पता लगाने और अनेक-निकाय अवस्था आरेखों को मैप करने की क्षमता को एक साथ जोड़ता है।
टोपोलॉजिकल रिज़ॉल्यूशन: NH-QGT का उपयोग करके, यह गैर-हर्मिटीन प्रणालियों में निहित स्टेट-टोपोलॉजी/बैंड-टोपोलॉजी विसंगति को हल करता है, जो एक ऐसी विशेषता है जिसे मानक हर्मिटीन VQE या केवल बैंड-स्ट्रक्चर दृष्टिकोणों से प्राप्त नहीं किया जा सकता।
व्यावहारिक व्यवहार्यता: इम्पॉर्टेंस-सैंपलिंग मिटिगेशन स्कीम एक्सपोनेंशियल पोस्ट-सिलेक्शन बाधा को समाप्त करती है, जिससे परस्पर क्रिया करने वाली गैर-हर्मिटीन प्रणालियों का सिमुलेशन वर्तमान और निकट भविष्य के हार्डवेयर पर संभव हो जाता है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि B-VQE हार्डवेयर-नेटिव एक्सप्लोरेशन के लिए एक मार्ग प्रशस्त करता है, जो EP-वर्धित क्वांटम सेंसिंग, स्किन-इफेक्ट-आधारित ट्रांसपोर्ट और नॉन-यूनिटरी क्वांटम क्रिटिकैलिटी को लक्षित करता है, जिससे सैद्धांतिक गैर-हर्मिटीन अनेक-निकाय भौतिकी और प्रयोगात्मक क्वांटम सिमुलेशन के बीच की खाई को पाटा जा सकता है।