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Constituency Optimisation Through Hamiltonian Representation Of Mandates (COTHROM): Algorithmic Redistricting of Irish Election Boundaries

यह शोध पत्र COTHROM को प्रस्तुत करता है, जो एक नवीन कम्प्यूटेशनल ढांचा है जो एक पॉट्स हैमिल्टोनियन मॉडल (Potts Hamiltonian model) के माध्यम से प्रतिस्पर्धी संवैधानिक उद्देश्यों को संतुलित करके, PR-STV प्रणाली के तहत आयरिश चुनावी पुनर्गठन को एल्गोरिदम के माध्यम से अनुकूलित करने के लिए सांख्यिकीय भौतिकी और बहु-मानदंड निर्णय विश्लेषण को लागू करता है।

मूल लेखक: Ruaidhrí Campion, Matthew Fenlon, Joshua Cooney Mercedal, Casey Farren-Colloty, Eliza Somerville, Michael A. J. Mitchell

प्रकाशित 2026-06-23

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ruaidhrí Campion, Matthew Fenlon, Joshua Cooney Mercedal, Casey Farren-Colloty, Eliza Somerville, Michael A. J. Mitchell

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

आयरलैंड के मानचित्र की कल्पना एक विशाल जिग्सॉ पज़ल (jigsaw puzzle) के रूप में करें, जो हज़ारों छोटे टुकड़ों से बना है जिन्हें "निर्वाचन मंडल" (Electoral Divisions) कहा जाता है। हर कुछ वर्षों में, सरकार को इन टुकड़ों को बड़े "निर्वाचन क्षेत्रों" (constituencies) में समूहबद्ध करने वाली रेखाओं को फिर से खींचना पड़ता है ताकि लोग अपने प्रतिनिधियों को वोट दे सकें।

इस पहेली के नियम सख्त लेकिन अस्पष्ट हैं। संविधान कहता है:

निष्पक्षता (Fairness): प्रत्येक व्यक्ति के पास लगभग समान संख्या में वोट होने चाहिए (आनुपातिक प्रतिनिधित्व)।
आकार (Shape): टुकड़ों को एक साथ सघन रूप से पैक किया जाना चाहिए, न कि सांप की तरह फैला हुआ (सघनता)।
सीमाएँ (Borders): ज़िला रेखाओं (जैसे किसी ज़िले को बीच से विभाजित करना) को काटने से बचने का प्रयास करें।
संपर्क (Connectivity): एक निर्वाचन क्षेत्र के सभी टुकड़े एक-दूसरे से जुड़े होने चाहिए।

समस्या यह है कि ये नियम अक्सर आपस में टकराते हैं। यदि आप जनसंख्या के मामले में एक निर्वाचन क्षेत्र को पूरी तरह से निष्पक्ष बनाते हैं, तो आपको ज़िला रेखा को काटना पड़ सकता है। यदि आप ज़िला रेखाओं को सटीक रखते हैं, तो जनसंख्या असंतुलित हो सकती है। वर्तमान में, मनुष्य इन रेखाओं को हाथ से खींचकर इन संघर्षों के बीच निर्णय लेते हैं।

पेपर का समाधान: COTHROM
लेखकों ने एक कंप्यूटर प्रोग्राम बनाया जिसे COTHROM (Constituency Optimisation Through Hamiltonian Representation Of Mandates) कहा जाता है ताकि इस पहेली को स्वचालित रूप से हल किया जा सके। उन्होंने इसे निम्नलिखित रोचक उपमाओं का उपयोग करके किया है:

1. "चुंबकीय" मानचित्र (भौतिकी की उपमा)

मानचित्र को राजनीतिक समस्या के बजाय, लेखकों ने इसे एक भौतिकी (physics) की समस्या के रूप में माना। कल्पना करें कि प्रत्येक छोटा पज़ल टुकड़ा (निर्वाचन मंडल) एक छोटा चुंबक है।

प्रत्येक चुंबक एक विशिष्ट समूह (निर्वाचन क्षेत्र) का हिस्सा बनना चाहता है।
चुनाव के "नियम" (निष्पक्षता, आकार, सीमाएँ) चुंबकीय बलों की तरह कार्य करते हैं।
- यदि कोई समूह बहुत बड़ा या बहुत छोटा है, तो चुंबक पुनर्गठन के लिए एक "धक्का" महसूस करते हैं।
  // यदि कोई समूह फैला हुआ है, तो चुंबक एक सघन गोले में वापस आने के लिए एक "खिंचाव" महसूस करते हैं।
- यदि कोई समूह ज़िला रेखा को पार करता है, तो चुंबक "घर्षण" (friction) का दंड महसूस करते हैं।

कंप्यूटर मानचित्र की कुल "ऊर्जा" (energy) की गणना करता है। खराब सीमाओं वाले मानचित्र की ऊर्जा अधिक होती है (एक तनावपूर्ण स्प्रिंग की तरह), और एक अच्छे मानचित्र की ऊर्जा कम होती है (एक शिथिल स्प्रिंग की तरह)। लक्ष्य उस स्थिति को खोजना है जहाँ मानचित्र सबसे अधिक "शिथिल" (relaxed) हो।

2. "ठंडा करने" की प्रक्रिया (सिमुलेटेड एनीलिंग)

अरबों संभावनाओं में से सबसे अच्छा विन्यास कैसे खोजा जाए? आप उन सभी की जाँच नहीं कर सकते।
लेखक सिमुलेटेड एनीलिंग (Simulated Annealing) नामक तकनीक का उपयोग करते हैं, जो पिघली हुई धातु को ठंडा करने जैसा है।

गर्म (Hot): कल्पना करें कि चुंबक बेतहाशा कंपन कर रहे हैं (उच्च तापमान)। वे अजीब, अस्त-व्यस्त मानचित्र आकृतियों को आज़माने के लिए इधर-उधर कूद रहे हैं। यह कंप्यूटर को "बुरे" स्थानीय समाधानों (जैसे एक ऐसा मानचित्र जो ठीक दिखता है लेकिन सर्वश्रेष्ठ नहीं है) से बचने में मदद करता है।
ठंडा होना (Cooling Down): धीरे-धीरे, कंप्यूटर तापमान को कम करता है। चुंबक बेतहाशा कूदना बंद कर देते हैं और स्थिर स्थितियों में बैठने लगते हैं।
जमना (Frozen): जब तक यह ठंडा हो जाता है, चुंबक सबसे कुशल, निम्नतम-ऊर्जा वाले विन्यास में व्यवस्थित हो जाते हैं।

3. "समझौतों का मेनू" (पारेटो इष्टतमता - Pareto Optimality)

यहाँ पेचीदा हिस्सा है: कानून यह नहीं कहता कि निष्पक्षता बनाम ज़िला सीमाओं को कितना महत्व दिया जाए। क्या हमें निष्पक्षता को 50% और सीमाओं को 50% महत्व देना चाहिए? या 90% निष्पक्षता?
केवल एक "परफेक्ट" संतुलन का अनुमान लगाने के बजाय, लेखकों ने कंप्यूटर को विभिन्न "भार" (weights) (जैसे एक डायल घुमाना) के साथ कई बार चलाया।

उन्होंने आपको केवल एक मानचित्र नहीं दिया।
उन्होंने आपको सर्वश्रेष्ठ संभव मानचित्रों का एक मेनू (जिसे पारेटो फ्रंट कहा जाता है) दिया।
इस मेनू पर, प्रत्येक मानचित्र एक "गैर-प्रभावी" (non-dominated) समाधान है। इसका अर्थ है: "यदि आप अधिक निष्पक्षता चाहते हैं, तो आपको कम ज़िला सीमाओं का सम्मान स्वीकार करना ही होगा। यदि आप ज़िला सीमाओं के लिए अधिक सम्मान चाहते हैं, तो आपको कम निष्पक्षता स्वीकार करनी ही होगी।"
यह समझौतों को दृश्यमान बनाता है। यह निर्णय लेने वालों को स्पष्ट रूप से दिखाता है कि कुछ प्राप्त करने के लिए वे क्या छोड़ रहे हैं।

4. उन्होंने क्या पाया (द कॉर्क टेस्ट)

उन्होंने इसका परीक्षण काउंटी कॉर्क (County Cork) पर किया।

उन्होंने उनके कंप्यूटर-जनित मानचित्रों की तुलना 2023 में निर्वाचन आयोग द्वारा बनाए गए वास्तविक कानूनी मानचित्रों से की।
परिणाम: लगभग हर तरीके से नियमों को तौलने पर, कंप्यूटर ने मानव-निर्मित मानचित्रों से बेहतर मानचित्र खोजे। कंप्यूटर के मानचित्रों में जनसंख्या असंतुलन कम था और वे अधिक सघन थे, जबकि उन्होंने नियमों का सम्मान भी किया।
नोट: लेखक स्वीकार करते हैं कि उनके कंप्यूटर ने "सामुदायिक भावनाओं" या विशिष्ट नदियों जैसे कारकों को ध्यान में नहीं रखा, जिन पर मनुष्य विचार करते हैं। लेकिन शुद्ध गणितीय नियमों के आधार पर, कंप्यूटर जीत गया।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

लेखक तर्क देते हैं कि यह विधि इस प्रक्रिया को पारदर्शी और निष्पक्ष बनाती है।

कोई छिपा हुआ निर्णय नहीं: वर्तमान में, मनुष्य रेखाएँ खींचते हैं और कहते हैं, "यह निष्पक्ष है।" कोई यह साबित नहीं कर सकता कि एक बेहतर मानचित्र मौजूद है या नहीं।
ऑडिट करने योग्य (Auditability): इस कोड के साथ, कोई भी गणित देख सकता है। आप कह सकते हैं, "यदि हम ज़िला सीमाओं को इतना महत्व देते हैं, तो यहाँ सबसे अच्छा संभव मानचित्र है।"
पुनरुत्पादनीयता (Reproducibility): कोई भी उसी कोड को चलाकर वही परिणाम प्राप्त कर सकता है, जिससे अनुमान लगाने की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।

संक्षेप में, लेखकों ने एक "चुंबकीय पहेली समाधानकर्ता" बनाया है जो हमें दिखाता है कि आयरलैंड के चुनावों के नियमों को संतुलित करना वास्तव में कितना कठिन है, और यह सिद्ध करता है कि कंप्यूटर वर्तमान मैनुअल प्रक्रिया की तुलना में बेहतर, अधिक गणितीय रूप से पूर्ण मानचित्र खोज सकते हैं।

तकनीकी सारांश: जनादेशों के हैमिल्टोनियन प्रतिनिधित्व के माध्यम से निर्वाचन क्षेत्र अनुकूलन (COTHROM)

समस्या विवरण
यह शोध पत्र आयरलैंड में प्रोपोर्शनल रिप्रेजेंटेशन सिंगल ट्रांसफरेबल वोट (PR-STV) प्रणाली के तहत चुनावी सीमाओं के पुनर्गठन की कम्प्यूटेशनल चुनौती को संबोधित करता है। यह प्रक्रिया आयरिश संविधान और निर्वाचन सुधार अधिनियम 2022 द्वारा शासित है, जो विशिष्ट "कठोर" बाधाओं (जैसे 171-181 कुल सीटें, 3-5 सीटों वाले निर्वाचन क्षेत्र, निरंतरता) और "सॉफ्ट" उद्देश्यों (जैसे आनुपातिक प्रतिनिधित्व, काउंटी सीमाओं के उल्लंघन से बचना, सघनता, और भौगोलिक विचार) को अनिवार्य बनाती है।

मुख्य कठिनाई संभावित सीमा विन्यास (boundary configurations) का कॉम्बिनेटोरियल विस्फोट और सॉफ्ट उद्देश्यों के बीच अंतर्निहित तनाव है। उदाहरण के लिए, एक विन्यास जो काउंटी सीमाओं का सख्ती से पालन करता है, उसके परिणामस्वरूप आनुपातिक प्रतिनिधित्व से महत्वपूर्ण विचलन हो सकता है, जबकि एक गणितीय रूप से इष्टतम आनुपातिक मानचित्र के लिए कई काउंटी उल्लंघनों की आवश्यकता हो सकती है। वर्तमान में, निर्वाचन आयोग (EC) मैन्युअल रूप से सीमाएं खींचता है, एक ऐसी प्रक्रिया जिसमें तुलनात्मक आधार का अभाव है या यह प्रदर्शित करने की क्षमता नहीं है कि प्रस्तावित योजना विशाल स्वीकार्य विकल्पों के सापेक्ष निकट-इष्टतम (near-optimal) है।

कार्यप्रणाली
लेखक COTHROM का प्रस्ताव करते हैं, जो एक कम्प्यूटेशनल ढांचा है जो सांख्यिकीय भौतिकी, विशेष रूप से पॉट्स मॉडल (Potts model) का उपयोग करके पुनर्गठन समस्या को मॉडल करता है।

हैमिल्टोनियन सूत्रीकरण (Hamiltonian Formulation):
कानूनी और संवैधानिक आवश्यकताओं को एक हैमिल्टोनियन (ऊर्जा फलन), $H(\sigma)$ , में एनकोड किया गया है, जहाँ $\sigma$ चुनावी विभाजनों (EDs) का एक विशिष्ट विन्यास है जिसे निर्वाचन क्षेत्रों में सौंपा गया है। कुल ऊर्जा विशिष्ट उद्देश्य फलनों का एक भारित योग है:

$H_P$ (आनुपातिक प्रतिनिधित्व): प्रति सीट राष्ट्रीय औसत से जनसंख्या के विचलन को दंडित करता है।
$H_C$ (निरंतरता): निर्वाचन क्षेत्रों के कई असंबद्ध घटकों में विभाजित होने पर दंडित करता है।
$H_D$ (सघनता): एक डिस्क्रीट कट-एज मीट्रिक जो गैर-गोलाकार आकृतियों को दंडित करता है (यह 'सलामैंडरिंग' के बजाय सघनता को प्रोत्साहित करता है)।
$H_B$ (काउंटी सीमाएँ): निर्वाचन क्षेत्र के भीतर ऐसे EDs की गिनती करता है जो निर्वाचन क्षेत्र के प्राथमिक काउंटी के बाहर स्थित हैं।

उद्देश्य फलन $H = \sum J_\alpha (H_\alpha / Z_\alpha)$ है, जहाँ $J_\alpha$ कपलिंग स्थिरांक (coupling constants) हैं जो प्रत्येक उद्देश्य के सापेक्ष भार का प्रतिनिधित्व करते हैं, और $Z_\alpha$ सामान्यीकरण कारक (normalization factors) हैं।

सिमुलेटेड एनीलिंग के माध्यम से अनुकूलन:
$H$ को न्यूनतम करने वाले विन्यासों को खोजने के लिए, लेखक सिमुलेटेड एनीलिंग शेड्यूल के साथ मार्कोव चेन मोंटे कार्लो (MCMC) विधियों का उपयोग करते हैं।

एल्गोरिदम: एक गिब्स सैंपलर (Gibbs sampler) का उपयोग किसी दिए गए ED के लिए सभी संभावित असाइनमेंटों के कंडीशनल डिस्ट्रीब्यूशन से व्यक्तिगत ED के निर्वाचन क्षेत्र असाइनमेंट को अपडेट करने के लिए किया जाता है। मेट्रोपोलिस एल्गोरिदम के विपरीत, जो यादृच्छिक चालें प्रस्तावित करता है, गिब्स सैंपलर उच्च-ऊर्जा परिदृश्यों में दक्षता में सुधार करता है।
एनीलिंग: सिस्टम एक उच्च "तापमान" से शुरू होता है (जो विन्यास स्थान के व्यापक अन्वेषण की अनुमति देता है) और धीरे-धीरे एक ज्यामितीय शेड्यूल ( $T_k = \alpha^k T_0$ ) के अनुसार ठंडा होता है। यह सिस्टम को स्थानीय मिनिमा (local minima) से बाहर निकलने और एक वैश्विक न्यूनतम (ग्लोबल मिनिमम/ग्राउंड स्टेट) की ओर अभिसरित होने की अनुमति देता है, जो भारों के एक दिए गए सेट के लिए एक इष्टतम सीमा सेट का प्रतिनिधित्व करता है।

बहु-मानदंड निर्णय विश्लेषण (MCDA):
यह पहचानते हुए कि उद्देश्यों का सापेक्ष भार ( $J_\alpha$ ) एक मानदण्डिक (normative) विकल्प है जो कानून द्वारा निर्देशित नहीं है, यह ढांचा एक एकल वेटिंग के प्रति प्रतिबद्ध नहीं है। इसके बजाय, यह पारेटो फ्रंट (Pareto front) को मैप करने के लिए MCDA का उपयोग करता है। एक विन्यास पारेटो इष्टतम है यदि कोई अन्य विन्यास एक उद्देश्य को दूसरे को बदतर बनाए बिना किसी अन्य उद्देश्य में सुधार नहीं करता है। यह दृष्टिकोण प्रतिस्पर्धी संवैधानिक लक्ष्यों के बीच ट्रेड-ऑफ को स्पष्ट और मापने योग्य बनाता है।

प्रमुख परिणाम
इस ढांचे को काउंटी कॉर्क का डेटा उपयोग करके मान्य किया गया था, जो पांच निर्वाचन क्षेत्रों में 20 सीटों वाला एक क्षेत्र है।

अभिसरण (Convergence): सिस्टम ने स्पष्ट फेज़ ट्रांज़िशन (phase transitions) प्रदर्शित किए, जहाँ यादृच्छिक प्रारंभिक विन्यास तापमान कम होने के साथ संरचित, निरंतर निर्वाचन क्षेत्रों में "क्रिस्टलाइज" हो गए।
इष्टतमता (Optimality): 2023 EC सीमाओं की COTHROM-जनित पारेटो फ्रंट के विरुद्ध तुलना करते समय, मौजूदा कानूनी सीमाएं 'डोमिनेटेड' पाई गईं। COTHROM लगातार आनुपातिक प्रतिनिधित्व से विचलन के कम वेरिएंस या समान स्तर के आनुपातिक प्रतिनिधित्व के लिए बेहतर सघनता के साथ विन्यास उत्पन्न करता है।
काउंटी सीमाएँ: मिडलैंड काउंटियों के एक टेस्ट केस में, ढांचे ने काउंटी सीमाओं के सख्त पालन के लिए आनुपातिक प्रतिनिधित्व का ट्रेड-ऑफ करने की क्षमता प्रदर्शित की। काउंटी सीमाओं के लिए कपलिंग स्थिरांक ( $J_B$ ) को बढ़ाकर, एल्गोरिदम ने लगभग सटीक रूप से 2023 की सीमाओं को पुनरुत्पादित किया, लेकिन जनसंख्या विचरण की उच्च लागत पर।
पारेटो विश्लेषण: अध्ययन ने खुलासा किया कि वर्तमान EC सीमाएं पारेटो फ्रंट पर नहीं हैं, जिससे यह सुझाव मिलता है कि अन्य उद्देश्यों का त्याग किए बिना प्रतिनिधित्व या सघनता में सुधार संभव है, बशर्ते कि विशिष्ट ट्रेड-ऑफ को स्वीकार किया जाए।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि यह विशेष रूप से आयरिश चुनावी पुनर्गठन के लिए डिज़ाइन किया गया पहला कम्प्यूटेशनल ढांचा प्रस्तुत करता है जो कई संवैधानिक आवश्यकताओं के लिए व्यवस्थित रूप से अनुकूलित करता है। इसके प्राथमिक योगदान हैं:

पारदर्शिता और ऑडिटेबिलिटी: कानूनी आदेशों को एक स्पष्ट गणितीय मॉडल में एनकोड करके, यह ढांचा परिणामों के पुनरुत्पादन और यह निरीक्षण करने की अनुमति देता है कि विशिष्ट वेटिंग कैसे परिणामों को प्रभावित करती है। यह वर्तमान मैन्युअल प्रक्रिया के विपरीत है, जहाँ किसी योजना की इष्टतमता को कठोरता से सिद्ध नहीं किया जा सकता है।
स्पष्ट ट्रेड-ऑफ क्वांटिफिकेशन: पारेटो फ्रंट विश्लेषण का उपयोग बहस को निहित विचार-विमर्श से स्पष्ट मात्रात्मक विश्लेषण की ओर ले जाता है। यह निर्णय लेने वालों को यह देखने की अनुमति देता कि सघनता या काउंटी सीमा अखंडता में विशिष्ट सुधार प्राप्त करने के लिए आनुपातिक प्रतिनिधित्व का कितना त्याग करना होगा।
एल्गोरिद्मिक गवर्नेंस: यह कार्य एक "एल्गोरिद्मिक गवर्नेंस" के मार्ग का सुझाव देता जहाँ EC सार्वजनिक परामर्श के लिए गणितीय रूप से अनुकूलित शुरुआती बिंदु उत्पन्न कर सकता है, यह सुनिश्चित करते हुए कि अंतिम सीमाएं न केवल कानून के अनुरूप हैं, बल्कि परिभाषित कानूनी परिदृश्य के भीतर निकट-इष्टतम भी हैं।
सीमाएं और दायरा: लेखक विनम्रतापूर्वक नोट करते हैं कि उनके वर्तमान मॉडल में अभी तक जटिल भौगोलिक विशेषताओं (पर्वत, नदियाँ) या सामुदायिक संबंधों के सूक्ष्म अंतर्दृष्टि को शामिल नहीं किया गया है, हालांकि वे इन्हें भविष्य के विस्तार के रूप में प्रस्तावित करते हैं। वे यह भी स्वीकार करते हैं कि "काउंटी सीमा उल्लंघन" की परिभाषा वर्तमान में क्षेत्र अंशों पर आधारित एक सरलीकृत ह्यूरिस्टिक है, जिसे EC के विशिष्ट कानूनी व्याख्याओं से मेल खाने के लिए और अधिक परिष्कृत करने की आवश्यकता है।

संक्षेप में, COTHROM एक बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन परिदृश्य को नेविगेट करने के लिए एक कठोर, भौतिकी-आधारित उपकरण प्रदान करता है, जो चुनावी सीमाओं को उत्पन्न करने, तुलना करने और न्यायसंगत बनाने का एक तरीका प्रदान करता है जो भौगोलिक बाधाओं का सम्मान करते हुए आनुपातिक प्रतिनिधित्व के संवैधानिक जनादेश को बेहतर ढंग से संतुष्ट करता है।