⚛️ general relativity

Study of Cosmic Acceleration of the Universe in the Presence of Bulk Viscous Matter

यह शोध प्रबंध वैकल्पिक गैर-रीमानियन गुरुत्वाकर्षण सूत्रीकरणों, विशेष रूप से बल्क विस्कोसिटी (bulk viscosity) के साथ $f(Q)$ गुरुत्वाकर्षण की जांच करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि ये मॉडल ब्रह्मांड के प्रेक्षित विलंबित-समय त्वरित विस्तार की सफलतापूर्वक व्याख्या करते हैं और पदार्थ-प्रभावी युगों से वर्तमान त्वरण चरण तक इसके विकासवादी इतिहास को पुनरुत्पादित करते हैं।

मूल लेखक: Dheeraj Singh Rana

प्रकाशित 2026-06-23

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Dheeraj Singh Rana

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, फैलते हुए गुब्बारे की तरह है। दशकों से, वैज्ञानिक यह समझने की कोशिश कर रहे हैं कि यह गुब्बारा वास्तव में कैसे फूल रहा है और इसे तेजी से और तेजी से फैलने के लिए क्या चीज धकेल रही है।

यह शोध प्रबंध (thesis), जिसे धीरज सिंह राणा ने लिखा है, इसी रहस्य की एक गहरी पड़ताल है। केवल गुब्बारे की सतह को देखने के बजाय, लेखक इसके अंदर की "हवा" और उस "घर्षण" (friction) को देखते हैं जो इसके खिंचने के दौरान हो सकता है।

यहाँ इस शोध पत्र का एक सरल विवरण दिया गया, जिसमें रोजमर्रा के उदाहरणों का उपयोग किया गया है:

1. बड़ी समस्या: मानक मॉडल (Standard Model) में कुछ कमी है

ब्रह्मांड के वर्तमान मानक सिद्धांत (जिसे ΛCDM कहा जाता है) को एक ऐसे मानचित्र के रूप में सोचें जो 99% समय काम करता है। यह हमें बताता है कि ब्रह्मांड सामान्य चीजों, अदृश्य "डार्क मैटर" और "डार्क एनर्जी" नामक एक रहस्यमय बल से बना है जो सब कुछ एक दूसरे से दूर धकेलता है।

हालाँकि, इस मानचित्र में कुछ दरारें हैं। यह एक ऐसे GPS की तरह है जो कुछ क्षेत्रों में रास्ता भटक जाता है या विरोधाभासी निर्देश देता है। वैज्ञानिक एक बेहतर मानचित्र की तलाश कर रहे हैं। एक विचार यह है कि शायद "गुरुत्वाकर्षण के नियम" को ही थोड़ा बदलने की जरूरत है, न कि केवल टैंक में अधिक अदृश्य ईंधन (डार्क एनर्जी) डालने की।

2. नया गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत: "f(Q)"

लेखक गुरुत्वाकर्षण के वर्णन के एक नए तरीके का उपयोग करते हैं जिसे f(Q) ग्रेविटी कहा जाता है।

पुराना तरीका (सामान्य सापेक्षता/General Relativity): कल्पना कीजिए कि गुरुत्वाकर्षण एक ट्रैम्पोलिन की तरह है। यदि आप उस पर एक भारी बॉलिंग बॉल (एक तारा) रखते हैं, तो कपड़ा मुड़ जाता है, और कंचे उसकी ओर लुढ़कने लगते हैं।
नया तरीका (f(Q)): कल्पना कीजिए कि ट्रैम्पोलिन का कपड़ा थोड़ा "कठोर" या अलग तरह से "लहराता" है। केवल मुड़ने के बजाय, कपड़े में नॉन-मेट्रिसिटी (non-metricity) नामक एक गुण है। यह ऐसा है जैसे कपड़ा केवल मुड़ नहीं रहा है; बल्कि खिंचते समय अपनी बनावट (texture) भी थोड़ा बदल रहा है। यह नया सिद्धांत (f(Q)) बिना बहुत अधिक "डार्क एनर्जी" की आवश्यकता के ब्रह्मांड के विस्तार को समझाने की कोशिश करता है।

3. गुप्त सामग्री: बल्क विस्कोसिटी (Bulk Viscosity)

यह इस शोध का मुख्य आकर्षण है। लेखक बल्क विस्कोसिटी (Bulk Viscosity) को पेश करते हैं।

उदाहरण: कल्पना कीजिए कि आप शहद को हिला (stir) रहे हैं। शहद गाढ़ा और चिपचिपा होता है। जब आप इसे हिलाते हैं, तो यह गति का विरोध करता है। वह प्रतिरोध ही विस्कोसिटी (viscosity) है।
अंतरिक्ष में: आमतौर पर, वैज्ञानिक ब्रह्मांड को एक आदर्श, घर्षण रहित गैस की तरह मानते हैं। लेकिन यह शोध प्रबंध सुझाव देता है कि ब्रह्मांड उस गाढ़े शहद की तरह है। जैसे-जैसे ब्रह्मांड फैलता है, इसके भीतर का "कॉस्मिक फ्लूइड" (ब्रह्मांडीय तरल) आंतरिक घर्षण पैदा करता है।
प्रभाव: ठीक वैसे ही जैसे शहद को हिलाने से गर्मी पैदा होती है, यह ब्रह्मांडीय घर्षण एक प्रकार का "आंतरिक दबाव" पैदा करता है। लेखक का तर्क है कि यह घर्षण इतना शक्तिशाली है कि यह ब्रह्मांड को तेजी से फैलने के लिए धकेल सकता है, जो विस्तार के लिए एक प्राकृतिक इंजन की तरह कार्य करता है।

4. लेखक ने क्या किया (प्रयोग)

लेखक ने केवल अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने गणितीय मॉडल बनाए और उन्हें वास्तविक डेटा के विरुद्ध परखा, जैसे कोई मैकेनिक एक नए इंजन डिजाइन का रेस ट्रैक पर परीक्षण करता है।

मॉडल: उन्होंने इस "चिपचिपे ब्रह्मांड" के कई अलग-अलग संस्करण बनाए। कुछ में घर्षण ब्रह्मांड के विस्तार की गति के आधार पर बदलता था, तो कुछ में इस आधार पर कि इसमें कितना "पदार्थ" मौजूद है। उन्होंने इनका परीक्षण दो मुख्य प्रकार के गुरुत्वाकर्षण मॉडलों के विरुद्ध किया:
1. रैखिक मॉडल (Linear Models): सरल, सीधी रेखा वाले संबंध।
2. गैर-रैखिक मॉडल (Non-Linear Models): अधिक जटिल, घुमावदार संबंध (जैसे कि एक द्विघात वक्र/quadratic curve)।
डेटा की जाँच: उन्होंने अपने मॉडलों की तुलना वास्तविक अवलोकनों से की, जैसे:
- सुपरनोवा (Supernovae): फटने वाले तारे जो दूरी मापने के लिए "माइल मार्कर" के रूप में कार्य करते हैं।
- कॉस्मिक क्रोनोमीटर (Cosmic Chronometers): आकाशगंगाओं की आयु को मापना ताकि यह देखा जा सके कि विस्तार के सापेक्ष समय कितनी तेजी से बीत रहा है।
- BAO (Baryon Acoustic Oscillations): प्रारंभिक ब्रह्मांड से आने वाली जीवाश्म ध्वनि तरंगें जो एक पैमाने (ruler) के रूप में कार्य करती हैं।

5. परिणाम: उन्हें क्या मिला?

इस शोध प्रबंध ने पाया कि इस नए गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत (f(Q)) में इस "ब्रह्मांडीय घर्षण" (viscosity) को जोड़ने से बहुत अच्छा परिणाम मिलता है।

"चिपचिपा" ब्रह्मांड विस्तार की व्याख्या करता है: मॉडलों ने दिखाया कि बल्क विस्कोसिटी से उत्पन्न घर्षण यह समझा सकता है कि ब्रह्मांड के विस्तार की गति क्यों बढ़ रही है, बिना किसी रहस्यमय "डार्क एनर्जी" बल की आवश्यकता के।
दो प्रकार के मॉडल:
- मॉडल I (देरी करने वाला - The Late-Timer): यह मॉडल ब्रह्मांड की वर्तमान गति को समझाने में बहुत अच्छा है। यह एक सुचारू, स्थिर त्वरण की भविष्यवाणी करता है (जैसे क्रूज कंट्रोल पर चलती कार)। हालाँकि, इसे संक्रमण (transition) को समझाने में कठिनाई होती है—कि ब्रह्मांड कैसे धीमा होने (गुरुत्वाकर्षण के कारण) से तेज होने की अवस्था में पहुँचा।
- मॉडल II (कहानी सुनाने वाला - The Storyteller): यह अधिक जटिल मॉडल पूरी कहानी बताता है। यह ब्रह्मांड के पूरे इतिहास का सफलतापूर्वक वर्णन करता है: प्रारंभिक विकिरण युग (radiation era), पदार्थ-प्रधान युग (matter-dominated era), संक्रमण चरण और वर्तमान त्वरण। यह एक फिल्म की तरह है जो केवल अंत नहीं, बल्कि शुरुआत, मध्य और अंत भी दिखाती है।
"क्विंटेसेंस" व्यवहार: मॉडल सुझाव देते हैं कि ब्रह्मांड एक विशिष्ट प्रकार के ऊर्जा क्षेत्र (जिसे "क्विंटेसेंस" कहा जाता है) की तरह व्यवहार कर रहा है जो समय के साथ धीरे-धीरे बदल रहा है, न कि एक स्थिर, अपरिवर्तित बल की तरह।

6. निष्कर्ष

शोध प्रबंध यह निष्कर्ष निकालता है कि यदि हम ब्रह्मांड को नए गुरुत्वाकर्षण नियमों (f(Q)) के तहत फैलते हुए एक थोड़े "चिपचिपे" तरल के रूप में देखते हैं, तो हमें ब्रह्मांड के विकास की एक बहुत सटीक तस्वीर मिलती है।

सरल निष्कर्ष: ब्रह्मांड केवल एक घर्षण रहित गुब्बारा नहीं है जिसे एक रहस्यमय बल द्वारा धकेला जा रहा है। यह एक गाढ़े, फैलते हुए तरल की तरह है जहाँ तरल का आंतरिक घर्षण स्वयं विस्तार को धकेलने में मदद करता है, जो आकाश में दिखने वाले डेटा के साथ बहुत अच्छी तरह मेल खाता है।

लेखक का सुझाव है कि जबकि यह "चिपचिपा तरल" विचार वर्तमान युग के लिए बहुत अच्छा काम करता है, भविष्य के कार्यों को यह देखना चाहिए कि यह ब्रह्मांड की शुरुआत (इन्फ्लेशन/inflation) और आकाशगंगाओं के निर्माण को कैसे प्रभावित करता है।

तकनीकी सारांश: बल्क विस्कस मैटर (Bulk Viscous Matter) की उपस्थिति में ब्रह्मांड के कॉस्मिक त्वरण का अध्ययन

समस्या विवरण
मानक $\Lambda$ CDM कॉस्मोलॉजिकल मॉडल, हालांकि व्यापक अवलोकन संबंधी कार्यों का वर्णन करने में सफल है, फिर भी महत्वपूर्ण सैद्धांतिक चुनौतियों का सामना करता है, जिसमें कॉस्मोलॉजिकल कांस्टेंट समस्या, कॉस्मिक कोइन्सिडेंस समस्या, और हबल स्थिरांक ( $H_0$ ) के मापन में तनाव शामिल हैं। इसके अलावा, मानक मॉडल इस धारणा पर निर्भर करता है कि कॉस्मिक तरल पदार्थ पूर्ण और गैर-विघटनकारी (non-dissipative) हैं, जो एक आदर्श स्थिति है जो वास्तविक कॉस्मिक माध्यमों में लागू नहीं हो सकती है। यह शोध विलंब-कालिक त्वरित विस्तार (late-time accelerated expansion) को समझाने के लिए एक वैकल्पिक तंत्र के रूप में बल्क विस्कोसिटी (bulk viscosity) की भूमिका की जांच करता है। यह अध्ययन संशोधित गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों के ढांचे के भीतर किया गया है, विशेष रूप से $f(Q)$ ग्रेविटी (सिमेट्रिक टेलीपैरेलल ग्रेविटी) पर ध्यान केंद्रित करते हुए, जहाँ गुरुत्वाकर्षण को वक्रता (curvature) के बजाय नॉन-मेट्रिसिटी (non-metricity) के रूप में माना जाता है। केंद्रीय परिकल्पना यह है कि कॉस्मिक विस्तार के दौरान गैर-संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी प्रक्रियाओं (non-equilibrium thermodynamic processes) से उत्पन्न बल्क विस्कस मैटर, कॉस्मोलॉजिकल कांस्टेंट या विदेशी डार्क एनर्जी घटकों की आवश्यकता के बिना त्वरण को संचालित कर सकता है।

कार्यप्रणाली
यह शोध विश्लेषणात्मक व्युत्पत्ति, अवलोकन संबंधी डेटा विश्लेषण और डायनेमिकल सिस्टम थ्योरी को संयोजित करने वाला एक बहुआयामी दृष्टिकोण अपनाता है:

सैद्धांतिक ढांचा: अध्ययन $f(Q)$ ग्रेविटी फॉर्मलिज्म का उपयोग करता है, जहाँ गुरुत्वाकर्षण क्रिया (gravitational action) नॉन-मेट्रिसिटी स्केलर $Q$ का एक फलन है। विश्लेषण एक फ्लैट फ्लेमड्र-रॉबर्टसन-वॉकर (FLRW) बैकग्राउंड में किया गया है, जहाँ कोसिडेंट गेज (coincident gauge) का उपयोग किया गया है, जिसमें कनेक्शन शून्य हो जाता है और मेट्रिक ही एकमात्र मौलिक चर होता है।
विस्कोसिटी पैरामीट्राइजेशन: विस्कस प्रभावों को मॉडल करने के लिए बल्क विस्कोसिटी गुणांक $\zeta$ $ζ$ के विभिन्न रूपों पर विचार किया गया है। इनमें शामिल हैं:
- हबल पैरामीटर और ऊर्जा घनत्व का रैखिक संयोजन: $\zeta = \zeta_1 H + \zeta_0 \rho H^{-1}$ ।
- डेंसिटी पैरामीटर $\Omega$ पर निर्भरता: $\zeta = \zeta_0 \sqrt{\Omega} + \zeta_1 \Omega H$ ।
- वेग और त्वरण पदों वाले सामान्यीकृत रूप: $\zeta = \zeta_0 + \zeta_1 H + \zeta_2 (\dot{H}/H + H)$ ।
- एक नया प्रस्तावित पैरामीट्राइजेशन: $\zeta = \bar{\zeta}_0 \Omega_m^s H$ ।
विश्लेषणात्मक समाधान: विशिष्ट पावर-लॉ मॉडल्स $f(Q) = \alpha Q^n$ (जिसमें रैखिक $n=1$ , द्विघात $n=2$ , और व्युत्क्रम $n=-1$ शामिल हैं) के लिए, हबल पैरामीटर $H(z)$ और अन्य कॉस्मोलॉजिकल मात्राओं को व्युत्पन्न करने के लिए फील्ड इक्वेशंस को विश्लेषणात्मक रूप से हल किया गया है।
अवलोकन संबंधी बाधाएं (Observational Constraints): मॉडल के मुक्त मापदंडों को संयुक्त अवलोकन संबंधी डेटासेट का उपयोग करके बाधित किया गया है:
- $H(z)$ मापन के लिए कॉस्मिक क्रोनोमीटर्स (CC)।
- डिस्टेंस मॉड्यूल के लिए टाइप Ia सुपरनोवा (Pantheon, Pantheon+SH0ES)।
- बेरियन एकोस्टिक ऑसिलेशन (BAO)।
- सांख्यिकीय विश्लेषण emcee सैंपलर के माध्यम से मार्कोव चेन मोंटे कार्लो (MCMC) पद्धति और बेयसियन इन्फरेंस का उपयोग करके किया गया है। मॉडल की मजबूती का आकलन अकीके सूचना मानदंड (AIC) और बेयसियन सूचना मानदंड (BIC) का उपयोग करके किया गया है।
डायनेमिकल सिस्टम विश्लेषण: कॉस्मोलॉजिकल समीकरणों को आयामहीन फेज-स्पेस चरों का उपयोग करके एक स्वायत्त अवकल समीकरण प्रणाली (autonomous system of differential equations) में परिवर्तित किया गया है। क्रिटिकल पॉइंट्स (इक्विलिब्रियम पॉइंट्स) की पहचान की गई है, और ब्रह्मांड के भविष्य के व्यवहार (जैसे, पास्ट अट्रैक्टर्स, फ्यूचर डी-सिटर फेजेस) को निर्धारित करने के लिए जैकोबियन मैट्रिक्स के आइजनवैल्यू के माध्यम से उनकी स्थिरता का विश्लेषण किया गया है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

अध्याय 2 (पावर लॉ $f(Q)$ के साथ $\zeta = \zeta_1 H + \zeta_0 \rho H^{-1}$ ):
- एक पावर-लॉ $f(Q)$ मॉडल के लिए $H(z)$ का एक विश्लेषणात्मक समाधान निकाला गया।
- CC+Pantheon+SH0ES डेटा का उपयोग करके, मॉडल मापदंडों को बाधित किया गया, जिससे $H_0 \approx 72$ किमी/सेकंड/एमपीसी प्राप्त हुआ, जो मानक प्लैंक परिणामों की तुलना में $H_0$ तनाव को कम करने में मदद करता है।
- डायग्नोस्टिक टेस्ट (स्टेटफाइंडर $r-s$ और $Om(z) $) ने संकेत दिया कि विस्कस मॉडल क्विंटेसेंस-जैसे व्यवहार ($ r < 1, s > 0$) को प्रदर्शित करता है और सफलतापूर्वक विलंब-कालिक त्वरण का वर्णन करता है।
- सांख्यिकीय विश्लेषण ने $\Delta$ AIC के आधार पर $\Lambda$ CDM पर इस मॉडल के लिए मजबूत समर्थन दिखाया।
अध्याय 3 ( $\Omega$ -डिपेंडेंट विस्कोसिटी के साथ पावर लॉ $f(Q)$ ):
- प्रारंभिक पदार्थ-प्रधान (matter-dominated) और विलंब-कालिक त्वरण युगों के बीच सेतु बनाने के लिए $\zeta = \zeta_0 \sqrt{\Omega} + \zeta_1 \Omega H$ विस्कोसिटी गुणांक पेश किया गया।
- फेज-स्पेस विश्लेषण ने एक अस्थिर अतीत अट्रैक्टर (मैटर-डोमिनेटेड डीसेलेरेटेड इपोक) से एक स्थिर भविष्य के अट्रैक्टर (एक्सेलेरेटेड डी-सिटर इपोक) की ओर संक्रमण को प्रकट किया।
- मॉडल ने आयामहीन हबल पैरामीटर और प्रभावी समीकरण अवस्था (EoS) में $\Lambda$ CDM विकास की नकल करने में सफलता प्राप्त की, जो मंदन ( $\omega_{eff} > -1/3$ ) से त्वरण ( $\omega_{eff} < -1/3$ ) में संक्रमण की भविष्यवाणी करता है।
अध्याय 4 (सामान्यीकृत विस्कोसिटी के साथ लीनियर और नॉन-लीनियर $f(Q)$ ):
- एक लीनियर $f(Q) = \alpha Q$ मॉडल के तहत तीन सामान्यीकृत विस्कोसिटी मामलों का विश्लेषण किया गया। सभी मामलों ने पदार्थ-प्रधान अतीत अट्रैक्टर से एक स्थिर डी-सिटर भविष्य अट्रैक्टर की ओर विकास दिखाया।
- प्रभावी दबाव ऋणात्मक पाया गया, जो त्वरण को प्रेरित करता है। $r-s$ तल में प्रक्षेपवक्र (trajectories) क्विंटेसेंस क्षेत्र में स्थित हैं और भविष्य में $\Lambda$ CDM फिक्स्ड पॉइंट की ओर अभिसरित होते हैं।
- एक नॉन-लीनियर मॉडल $f(Q) = -Q + \beta Q^2$ का विश्लेषण किया गया। $\beta \leq 0$ के लिए, व्यवहार लीनियर केस के समान था। $\beta > 0$ के लिए, सिस्टम ने दो भविष्य के अट्रैक्टर्स प्रदर्शित किए, हालांकि केवल एक ही बिग बैंग सिंगुलैरिटी से शुरू होने के लिए व्यवहार्य था।
अध्याय 5 (इनवर्स और क्वाड्रेटिक फॉर्म का तुलनात्मक विश्लेषण):
- दो विशिष्ट मॉडल्स की तुलना की गई: मॉडल I ( $f(Q) = -Q + \alpha Q^{-1}$ ) और मॉडल II ( $f(Q) = -Q + \alpha Q^2$ ) विस्कोसिटी $\zeta = \bar{\zeta}_0 \Omega_m^s H$ के साथ।
- मॉडल I: स्थिर डी-सिटर या फैंटम-टाइप त्वरित विस्तार उत्पन्न किया लेकिन संक्रमण काल या प्रारंभिक विकिरण/पदार्थ युगों का वर्णन करने में विफल रहा, जो यह सुझाव देता है कि यह केवल विलंब-कालिक कॉस्मोलॉजी के लिए उपयुक्त है।
- मॉडल II: पूर्ण थर्मल इतिहास का सफलतापूर्वक वर्णन किया, जो विकिरण युग से होकर पदार्थ-प्रधान युग से गुजरते हुए डी-सिटर त्वरित चरण तक विकसित होता है। यह मॉडल ब्रह्मांड के पूर्ण विकास, जिसमें संक्रमण चरण शामिल है, का अधिक पूर्ण विवरण प्रदान करता है।

महत्व और दावे
यह शोध दावा करता है कि $f(Q)$ ग्रेविटी ढांचे में बल्क विस्कस मैटर को शामिल करना कॉस्मिक त्वरण को समझाने के लिए $\Lambda$ CDM मॉडल के एक मानक विकल्प के रूप में एक व्यवहार्य मार्ग प्रदान करता है। मुख्य महत्व निम्नलिखित बिंदुओं में निहित है:

त्वरण का ज्यामितीय मूल: अध्ययन प्रदर्शित करता है कि त्वरित विस्तार को नॉन-मेट्रिसिटी (ज्यामितीय संशोधन) और बल्क विस्कोसिटी (विघटनकारी पदार्थ प्रभाव) के बीच परस्पर क्रिया द्वारा संचालित किया जा सकता है, जो संभावित रूप से कॉस्मोलॉजिकल कांस्टेंट की आवश्यकता को समाप्त कर सकता है।
तनावों का समाधान: व्युत्पन्न मॉडल, विशेष रूप से अध्याय 2 में, स्थानीय मापों (जैसे, SH0ES) के अनुरूप $H_0$ मान प्रदान करते हैं, जो हबल तनाव के समाधान का एक संभावित मार्ग है।
थर्मल इतिहास: विशिष्ट विस्कोसिटी रूपों का समावेश (अध्याय 3 और 5) मॉडलों को ब्रह्मांड के मानक थर्मल इतिहास को पुनरुत्पादित करने की अनुमति देता है, जिसमें विकिरण और पदार्थ-प्रधान युग शामिल हैं, जिसे शुद्ध ज्यामितीय संशोधन अक्सर फाइन-ट्यूनिंग के बिना प्राप्त करने में संघर्ष करते हैं।
डायनेमिकल व्यवहार्यता: डायनेमिकल सिस्टम विश्लेषण पुष्टि करता है कि ये विस्कस $f(Q)$ मॉडल स्थिर डी-सिटर अट्रैक्टर्स रखते हैं, जो यह सुनिश्चित करते हैं कि त्वरित विस्तार ब्रह्मांड के विकास की एक मजबूत, दीर्घकालिक विशेषता है।
मॉडल विभेदन: तुलनात्मक विश्लेषण इस बात पर प्रकाश डालता है कि जबकि कुछ $f(Q)$ रूप विलंब-कालिक त्वरण के लिए प्रभावी हैं, पूर्ण विकासवादी प्रक्षेपवक्र (प्रारंभिक ब्रह्मांड से वर्तमान तक) का वर्णन करने के लिए विशिष्ट (जैसे, द्विघात रूप) आवश्यक हैं।

लेखक निष्कर्ष निकालता है कि संशोधित गुरुत्वाकर्षण के भीतर बल्क विस्कस कॉस्मोलॉजी, मानक मॉडल की कमियों को दूर करने के लिए एक आशाजनक मार्ग है, जो अवलोकन संबंधी डेटा के साथ संरेखित होकर कॉस्मिक त्वरण के लिए एक भौतिक रूप से प्रेरित तंत्र प्रदान करता है।