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Unitarity Cuts, t-channel Divergences and the KLN Theorem for Unstable Particles

यह शोध पत्र द्रव्यमानहीन या अस्थिर कणों से जुड़े फेनोमेनोलॉजिकल गणनाओं में t-चैनल डाइवर्जेंस (divergences) को संभालने के लिए व्यावहारिक नुस्खे तैयार करता है, जो विभिन्न रेगुलराइजेशन स्कीम्स (regularization schemes) में जटिल KLN प्रमेय निरसन (cancellations) को प्रदर्शित करते हुए और इन परिणामों को एम्प्लीट्यूड (amplitudes) की जटिल-विश्लेषणात्मक संरचना से जोड़ते हुए, परिमित, फिक्स्ड-ऑर्डर समावेशी कोलाइडर अवलोकनों (inclusive collider observables) के निर्माण को आगे बढ़ाता है।

मूल लेखक: Marko Beocanin, Michael A. Schmidt

प्रकाशित 2026-06-26

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Marko Beocanin, Michael A. Schmidt

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ एक शोध पत्र "Unitarity Cuts, t-channel Divergences and the KLN Theorem for Unstable Particles" का सरल भाषा में अनुवाद दिया गया है, जिसमें उपमाओं (analogies) का उपयोग किया गया है।

बड़ी समस्या: "अनंत" (Infinite) वाली गड़बड़ी

कल्पना कीजिए कि आप एक भौतिक विज्ञानी (physicist) हैं जो यह गणना करने की कोशिश कर रहे हैं कि दो कण आपस में टकराकर कितनी बार टकराते हैं और वापस उछलते हैं। क्वांटम भौतिकी की दुनिया में, ये गणनाएँ मौसम की भविष्यवाणी करने जैसी हैं: आप हर उस तरीके को जोड़ते हैं जिससे वह घटना हो सकती है।

आमतौर पर, ये गणनाएँ ठीक चलती हैं। लेकिन कभी-कभी, विशेष रूप से जब कोई कण अस्थिर (unstable) होता है (जैसे ब्लॉकों का एक डगमगाता हुआ टॉवर जो किसी भी क्षण गिर सकता है) और टक्कर एक बहुत ही विशिष्ट कोण पर होती है, तो गणित टूट जाता है। संख्याएँ बढ़कर अनंत (infinity) हो जाती हैं।

शोध पत्र में, लेखक इसे "t-channel divergence" कहते हैं। इसे ऐसे समझें जैसे आप एक ऐसी सड़क पर कार चलाने की कोशिश कर रहे हैं जो अचानक एक खड़ी चट्टान में बदल जाती है। यदि आप चट्टान से टकराने के समय कार की गति की गणना करने की कोशिश करते हैं, तो गणित कहता है "अनंत," जो कि बेकार है क्योंकि वास्तविक कारें अनंत गति से नहीं चल सकतीं।

प्रस्तावित समाधान: "KLN प्रमेय" (The KLN Theorem)

इसे ठीक करने के लिए, भौतिक विज्ञानी KLN प्रमेय (किनोशिता, ली और नौएनबर्ग के नाम पर) नामक एक नियम का उपयोग करते हैं।

उपमा: "आंखों पर पट्टी बंधे" भीड़
कल्पना कीजिए कि आप भीड़ में लोगों को गिन रहे हैं जिन्होंने लाल टोपियाँ पहनी हुई हैं।

समस्या: यदि आप केवल एक व्यक्ति को देखते हैं, तो आप भ्रमित हो सकते हैं या आपकी दृष्टि में एक गड़बड़ी (divergence) आ सकती है।
KLN समाधान: प्रमेय कहता है, "केवल एक व्यक्ति को न देखें। पूरी भीड़ को देखें, जिसमें वे लोग भी शामिल हैं जो स्थिर खड़े हैं, वे लोग जो दूर जा रहे हैं, और वे लोग भी जिन्होंने ऐसी टोपियाँ पहनी हैं जो लगभग लाल दिखती हैं।"

प्रमेय कहता है कि यदि आप उन सभी संभावित परिणामों को जोड़ते हैं जो भौतिक रूप से एक समान हैं (जिन्हें आपका डिटेक्टर अलग नहीं कर सकता), तो "अनंत" वाली गड़बड़ियाँ एक-दूसरे को पूरी तरह से काट देती हैं, जिससे आपको एक सीमित (finite) और समझ में आने वाला नंबर मिलता है।

लेखकों ने क्या किया: "इलस्ट्रेटिव मॉडल" (The Illustrative Model)

लेखकों ने केवल इस बारे में बात नहीं की; उन्होंने एक सरल, नकली ब्रह्मांड (एक "टॉय मॉडल") बनाया जिसमें दो प्रकार के कण थे:

$\phi$ (फाई): एक अस्थिर कण (जैसे एक टिक-टिक करता हुआ टाइम बम)।
$\alpha$ (अल्फा): एक स्थिर कण (जैसे एक पत्थर)।

उन्होंने देखा कि क्या होता है जब दो $\phi$ कण आपस में टकराते हैं। उन्होंने पाया कि जब कण एक विशिष्ट तरीके से $\alpha$ कण का आदान-प्रदान करते हैं (t-channel), तो गणित टूट जाता है।

गणित को ठीक करने के लिए, उन्हें चार अलग-अलग परिदृश्यों को देखना पड़ा जो एक ही समय में होते हैं:

द क्रैश (The Crash): दोनों कण आपस में टकराकर उछल जाते हैं (t-channel)।
द बॉक्स (The Box): एक अधिक जटिल लूप जहाँ कण एक चौकोर आकार में परस्पर क्रिया करते हैं।
द एक्सप्लोजन (The Explosion): अस्थिर $\phi$ कण टक्कर के दौरान ही दो $\alpha$ कणों में टूट जाता है।
द घोस्ट (The Ghost): एक अजीब परिदृश्य जहाँ कण शून्य ऊर्जा उत्सर्जित करते हैं ("zero-energy" emission)।

जादुई ट्रिक:
जब उन्होंने चारों परिदृश्यों के गणित को जोड़ा, तो "क्रैश" से आने वाला "अनंत" (infinity), "एक्सप्लोजन" और अन्य परिदृश्यों से आने वाले "ऋणात्मक अनंत" (negative infinity) के साथ पूरी तरह से कट गया। कुल परिणाम एक साफ, सीमित संख्या थी।

पेचीदा हिस्सा: संचालन का क्रम (The Order of Operations)

शोध पत्र काफी विस्तार से बताता है कि आपको गणित एक बहुत ही विशिष्ट क्रम में करना होगा, अन्यथा यह प्रतिफल (cancellation) विफल हो जाएगा।

उपमा: केक बनाना
कल्पना कीजिए कि आप एक केक बना रहे हैं, लेकिन रेसिपी में एक "शून्य" (zero) है।

चरण 1: आप सामग्री मिलाते हैं (integration करते हैं)।
चरण 2: आप केक को ओवन से बाहर निकालते हैं (imaginary part को शून्य होने देते हैं)।
चरण 3: आप विशेष "रेगुलेटर" सामग्री हटाते हैं (जैसे नमक की एक चुटकी जो केक को जलने से बचाती है)।

लेखकों ने पाया कि यदि आप ओवन से केक निकालने से पहले नमक हटा देते हैं, तो केक जल जाता है (गणित टूट जाता है)। आपको पहले मिलाना होगा, फिर पकाना होगा, और फिर नमक हटाना होगा। यदि आप इसे गलत क्रम में करते हैं, तो "अनंत" वाली गड़बड़ियाँ रद्द नहीं होती हैं, और आपको एक जला हुआ ढेर मिलता है।

उन्होंने यह भी पाया कि "नमक" (रेगुलेटर) मायने रखता है। यदि आप बहुत अधिक "नमक" का उपयोग करते हैं, तो केक का स्वाद उस केक से अलग होता है जिसमें कम नमक है। इसका अर्थ है कि जिस तरह से आप गणित को ठीक करते हैं, वह मध्यवर्ती चरणों (intermediate steps) को बदल सकता है, भले ही अंतिम परिणाम वही होना चाहिए।

आश्चर्य: एक "ऋणात्मक" प्रायिकता (A "Negative" Probability)

अनंतों को सफलतापूर्वक रद्द करने और एक "सीमित" परिणाम (एक "inclusive observable" जिसे एक वास्तविक कोलाइडर माप सकता है) बनाने के बाद, उन्हें एक नई बाधा का सामना करना पड़ा।

उपमा: एक ऋणात्मक बैंक खाता
उन्होंने टक्कर के कुल "स्कोर" की गणना की। आमतौर पर, एक स्कोर (जैसे प्रायिकता या क्रॉस-सेक्शन) एक धनात्मक संख्या होनी चाहिए। आपके पास कुछ होने की -5% संभावना नहीं हो सकती।

हालाँकि, उनके गणना में, कुछ उच्च-ऊर्जा टक्करों के लिए, अंतिम स्कोर ऋणात्मक (negative) निकला।

क्यों? उन्हें संदेह है कि ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि उन्होंने अपने नकली ब्रह्मांड में केवल कुछ ही "परिदृश्यों" (cuts) को देखा। वास्तविक दुनिया में, अन्य अदृश्य परिदृश्य (जैसे अस्थिर कण अलग तरीकों से टूटते हैं) हो सकते हैं जिन्हें उन्होंने अभी तक शामिल नहीं किया है।
निष्कर्ष: गणित सीमित (finite) है (कोई अनंत नहीं है), लेकिन यह अभी तक "भौतिक" (physical) नहीं है (यह ऋणात्मक है)। यह सुझाव देता है कि एक वास्तव में वास्तविक-दुनिया का उत्तर प्राप्त करने के लिए, उन्हें और भी जटिल परिदृश्यों को शामिल करने की आवश्यकता हो सकती है या पूरी तरह से समस्या को देखने के तरीके को बदलने की आवश्यकता हो सकती है।

शोध पत्र के दावों का सारांश

अनंत घटित होते हैं: जब अस्थिर कण विशिष्ट कोणों पर टकराते हैं, तो मानक गणित अनंत परिणाम देता है।
KLN प्रमेय काम करता है: सभी एक समान परिणामों (कणों के बीच टकराव के दौरान टूटने सहित) को जोड़कर, ये अनंत आपस में कट जाते हैं।
क्रम मायने रखता है: आपको गणित के चरणों को एक सख्त अनुक्रम में करना होगा (पहले समाकलन करें, फिर सीमाएं लें) ताकि प्रतिफल (cancellation) काम करे।
रेगुलेटर्स मायने रखते हैं: जिस विधि का उपयोग गणित को अस्थायी रूप से "ठीक" करने के लिए किया जाता है (रेगुलेटर), वह मध्यवर्ती चरणों को बदल देता है, और कुछ विधियाँ (जैसे कण को बहुत बड़ा नकली द्रव्यमान देना) भौतिकी को इतना विकृत कर देती हैं कि वे उपयोगी नहीं रहतीं।
परिणाम सीमित लेकिन अजीब है: उन्होंने एक कोलाइडर मापने योग्य (collider observable) के लिए एक सीमित गणना सफलतापूर्वक बनाई, लेकिन यह कभी-कभी ऋणात्मक संख्याएँ देती है, जो यह संकेत देती है कि उनके वर्तमान "एक समान परिदृश्यों" की सूची अभी भी अधूरी हो सकती है।

उन्होंने क्या नहीं किया:
उन्होंने इसे वास्तविक दुनिया के चिकित्सा उपचारों, नए ऊर्जा स्रोतों या विशिष्ट भविष्य की तकनीकों पर लागू नहीं किया। उन्होंने यह दावा नहीं किया कि उन्होंने सभी भौतिकी के लिए ऋणात्मक प्रायिकता की समस्या को हल कर लिया है; उन्होंने केवल यह दिखाया कि यह उनके विशिष्ट मॉडल में कैसे होता है और इसके कारणों पर केवल अनुमान दिए हैं। उनका पूरा ध्यान इन अनंतों को संभालने के गणितीय तंत्र पर केंद्रित था।

तकनीकी सारांश: यूनिटैरिटी कट्स, t-चैनल डाइवर्जेंस और अस्थिर कणों के लिए KLN प्रमेय

समस्या विवरण
द्रव्यमान रहित या अस्थिर कणों से संबंधित फेनोमेनोलॉजिकल गणनाओं में अक्सर तब डाइवर्जेंस (divergences) का सामना करना पड़ता है जब मध्यवर्ती कण 'ऑन-शेल' (on-shell) हो जाते हैं, विशेष रूप से $t$ -चैनल एक्सचेंजों में। ये डाइवर्जेंस लूप इंटीग्रल्स में "पिंच" (pinch) या एंडपॉइंट कॉन्फ़िगरेशन से उत्पन्न होने वाले थ्रेशोल्ड सिंगुलैरिटीज़ और इन्फ्रारेड (IR) डाइवर्जेंस के रूप में प्रकट होते हैं। जबकि किनिशोता-ली-नाउएनबर्ग (KLN) प्रमेय यह गारंटी देता है कि सभी भौतिक रूप से डिजेनरेट प्रक्रियाओं का योग समावेशी (inclusive) अवलोकनों को परिमित (finite) बनाता है, इसका व्यावहारिक कार्यान्वयन तकनीकी कठिनाइयों से भरा है। इनमें डिस्कनेक्टेड डायग्राम्स, अपरिभाषित डिस्ट्रिब्यूशनल प्रोडक्ट्स (जैसे कि स्क्वेर्ड $\delta$ -फंक्शन्स), थ्रेशोल्ड व्यवहार, और सूक्ष्म रेगुलेटर डिपेंडेंसी शामिल हैं। इसके अलावा, मौजूदा दृष्टिकोण अक्सर रेसमाइजेशन तकनीकों (जैसे कि ब्रेट-विग्नर प्रोपेगेटर्स) पर निर्भर करते हैं जो क्रमों (orders) को मिला देते हैं और गेज इनवेरियंस को बनाए रखने के लिए सावधानीपूर्वक उपचार की आवश्यकता होती है, या वे भौतिक कटऑफ (बीम साइज, थर्मल मास) का उपयोग करते हैं जो मनमाने फिक्स्ड-ऑर्डर गणनाओं के लिए सामान्य नहीं हो सकते हैं। यह कार्य रेसमाइजेशन पर निर्भर किए बिना, शुद्धता (unitarity) का कड़ाई से पालन करते हुए, एक अस्थिर कण के लिए एक परिमित, फिक्स्ड-ऑर्डर, समावेशी $t$ -चैनल ऑब्जर्वेबल के निर्माण की चुनौती को संबोधित करता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक दृष्टांत दो-कण मॉडल (two-scalar model) के भीतर एक फिक्स्ड-ऑर्डर पर्सर्बेटिव दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं, जिसे लैग्रेंजियन $\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\alpha\partial^\mu\alpha + \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 + \frac{g}{2!}\alpha^2\phi$ द्वारा परिभाषित किया गया है। इस मॉडल में, $\phi$ कण अस्थिर है (दो $\alpha$ कणों में क्षय होता है), जबकि $\alpha$ स्थिर है। प्रक्रिया $\phi\alpha \to \phi\alpha$ में $s=2m^2$ पर एक कोलिनियर $t$ -चैनल डाइवर्जेंस दिखाई देता है।

KLN कैंसिलेशन का विश्लेषण करने के लिए, लेखक निम्नलिखित कदम उठाते हैं:

यूनिटैरिटी कट्स के माध्यम से समस्या को सूत्रबद्ध करना: वे स्क्वेर्ड एम्प्लीट्यूड और इंटरफेरेंस टर्म्स को अंतर्निहित फाईनमैन डायग्राम्स के विशिष्ट कट्स के रूप में व्याख्यायित करते हैं (स्क्वेर्ड $t$ -चैनल के लिए एक बॉक्स डायग्राम और $s$ - $t$ इंटरफेरेंस के लिए एक ट्रायंगल डायग्राम)। फ्राई एट अल (Frye et al.) के प्रेस्क्रिप्शन का पालन करते हुए, वे एक एकल फॉरवर्ड-स्कैटरिंग डायग्राम के सभी कट्स (डिस्कनेक्टेड और फॉरवर्ड-स्कैटरिंग योगदान सहित) को जोड़ते हैं ताकि यह प्रदर्शित किया जा सके कि कुल योग शून्य है।
बहु-रेगुलाइजेशन स्कीम्स लागू करना: गणनाओं को तीन अलग-अलग रेगुलाइजेशन स्कीम्स के माध्यम से किया गया है ताकि मजबूती का परीक्षण किया जा सके और बारीकियों की पहचान की जा सके:
- लार्ज मास (LM) रेगुलेटर: स्थिर मीडिएटर $\alpha$ को एक काल्पनिक द्रव्यमान $m_0 > m$ प्रदान करना।
- स्मॉल मास (SM) रेगुलेटर: $0 < m_0 < m$ प्रदान करना।
- डायमेंशनल रेगुलाइजेशन (DR): स्पेसटाइम को $d = 4 - 2\epsilon$ के साथ विस्तारित करना जहाँ $\epsilon < -1$ अभिसरण (convergence) के लिए है।
- नो रेगुलेटर (NR): ऑफ-पोल (off-pole) गणना करना जहाँ इंटीग्रल स्वाभाविक रूप से परिमित है।
डिस्ट्रिब्यूशनल आइडेंटिटीज का विश्लेषण: कार्यप्रणाली का एक महत्वपूर्ण हिस्सा $\delta$ -फंक्शन्स, उनके डेरिवेटिव्स और प्रोडक्ट्स (जैसे $[\delta(q^2)]^2$ ) के कठोर प्रबंधन में शामिल है। लेखक $\delta$ -फंक्शन्स (जैसे $\delta_{\text{dim}}$ ) के गैर-कम्यूटेटिव लिमिट्स पर जोर देते हैं: लूप इंटीग्रेशन को $i\epsilon_F \to 0$ के लिमिट से पहले होना चाहिए, जो बदले में रेगुलेटर्स के एनालिटिक कंटीन्यूएशन ( $m_0 \to 0$ या $\epsilon \to 0$ ) से पहले होना चाहिए। वे इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स से उत्पन्न होने वाले बाउंड्री योगदानों को संभालने के लिए $\delta$ -फंक्शन्स के विशिष्ट निरूपणों का उपयोग करते हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम

KLN कैंसिलेशन का प्रदर्शन: लेखक सभी प्रासंगिक कट्स (t-चैनल, बॉक्स, 3-बॉडी, 4-बॉडी, और $s$ - $t$ इंटरफेरेंस) की स्पष्ट रूप से गणना करते हैं और प्रदर्शित करते हैं कि डाइवर्जेंट टर्म्स सभी रेगुलाइजेशन स्कीम्स में सटीक रूप से रद्द हो जाते हैं। विशेष रूप से, $t$ -चैनल में डाइवर्जेंट स्क्वेर्ड $\delta$ -फंक्शन योगदान को 3-बॉडी कट द्वारा रद्द किया जाता है, और शेष परिमित पोल्स (poles) बॉक्स डायग्राम के योगदानों के विरुद्ध रद्द हो जाते हैं।
तकनीकी बारीकियों की पहचान:
- बाउंड्री योगदान: पेपर इस बात पर प्रकाश डालता है कि $\delta'$ के इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स या $\delta_{\text{dim}}$ प्रतिनिधित्व से उत्पन्न होने वाले बाउंड्री टर्म्स कैंसलेशन के लिए महत्वपूर्ण हैं। इन्हें नजरअंदाज करने से गलत परिणाम मिलते हैं।
- आंशिक योगों की रेगुलेटर डिपेंडेंसी: जबकि कुल KLN योग शून्य (रेगुलेटर स्वतंत्र) है, आंशिक योग (जैसे कि अकेले बॉक्स डायग्राम का योगदान) रेगुलेटर पर निर्भर होते हैं। लेखक दिखाते हैं कि लार्ज मास रेगुलेटर एम्प्लीट्यूड की एनालिटिक संरचना को बदल देता है (यूक्लिडियन क्षेत्र को शिफ्ट करता है), जिससे स्मॉल मास या डायमेंशनल रेगुलराइजेशन की तुलना में एक अलग कैंसलेशन पैटर्न बनता है। फलस्वरूप, लार्ज मास रेगुलेटर को इस संदर्भ में भौतिक अवलोकनों के निर्माण के लिए एक खराब विकल्प माना जाता है।
- जीरो-एनर्जी एमिशन: 4-बॉडी डायग्राम, जो केवल जीरो एनर्जी पर किनेमैटिक रूप से संभव है, मास और डायमेंशनल रेगुलराइजेशन में शून्य हो जाता है, लेकिन कैंसलेशन प्राप्त करने के लिए 'नो रेगुलेटर' केस में एक आवश्यक गैर-शून्य योगदान प्रदान करता है।
एक समावेशी ऑब्जर्वेबल का निर्माण: लेखक ऑन-शेल पॉइंट के आसपास प्रयोगात्मक ऊर्जा रिज़ॉल्यूशन $\Lambda$ $Λ$ द्वारा परिभाषित एक किनेमैटिक विंडो के ऊपर $t$ $t$ -चैनल और 3-बॉडी योगदानों को जोड़कर एक परिमित, फिक्स्ड-ऑर्डर समावेशी क्रॉस-सेक्शन का निर्माण करते हैं।
- परिणामी समावेशी क्रॉस-सेक्शन परिमित और रेगुलेटर स्वतंत्र है (लार्ज मास के मामले को छोड़कर)।
- नेगेटिव क्रॉस-सेक्शन का मुद्दा: एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष यह है कि $\kappa = s/m^2 \gtrsim 4$ के लिए यह समावेशी क्रॉस-सेक्शन नकारात्मक हो जाता है। लेखक नोट करते हैं कि हालांकि व्यक्तिगत डायग्राम भौतिक नहीं हैं, लेकिन $O(g^4)$ समावेशी योग का सकारात्मक न रहना या तो अतिरिक्त भौतिक रूप से डिजेनरेट प्रक्रियाओं (जैसे प्रारंभिक-अवस्था के योग) को शामिल करने की आवश्यकता को दर्शाता है, या इस किनेमैटिक क्षेत्र में फिक्स्ड-ऑर्डर पर्सर्बेटिव विस्तार की विफलता को दर्शाता है।

महत्व और दावे
यह पेपर दावा करता है कि यह रेसमाइजेशन पर निर्भर किए बिना, अस्थिर कणों की उपस्थिति और $t$ -चैनल डाइवर्जेंस के मामले में KLN कैंसलेशन को संभालने के लिए एक व्यावहारिक नुस्खा प्रदान करता है। अपनी गणना को प्रथम सिद्धांतों (यूनिटैरिटी कट्स) पर आधारित करके, यह दृष्टिकोण डबल-काउंटिंग और गेज इनवेरियंस उल्लंघन जैसे मुद्दों से जुड़े ऑर्डर मिक्सिंग के मुद्दों से बचता है।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनका कार्य KLN प्रमेय की उपयोगिता को उजागर करने के साथ-साथ इसके अनुप्रयोग में शामिल तकनीकी बारीकियों, जैसे कि बाउंड्री टर्म्स की गैर-तुच्छ भूमिका और कट्स की रेगुलेटर मापदंडों के प्रति गैर-एनालिटिसिटी को भी उजागर करता है। वे निष्कर्ष निकालते हैं कि हालांकि एक परिमित समावेशी ऑब्जर्वेबल बनाया जा सकता है, उच्च ऊर्जाओं पर नकारात्मक क्रॉस-सेक्शन का उभरना यह संकेत देता कि फिक्स्ड-ऑर्डर पर धनात्मकता (positivity) के लिए आवश्यक डिजेनरेट प्रक्रियाओं के सेट की पूर्णता या स्वयं फिक्स्ड-ऑर्डर दृष्टिकोण की वैधता के संबंध में खुले प्रश्न हैं। यह कार्य भविष्य के अध्ययनों के लिए एक शैक्षणिक और तकनीकी आधार के रूप में कार्य करता है, जिसमें समान $t$ -चैनल डाइवर्जेंस वाले संभावित परिमित-तापमान कॉस्मोलॉजिकल परिवेशों में विस्तार शामिल है।