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Statistics of non-conserved observables in Lindblad master equations

यह शोध पत्र उन प्रेक्षणों (observables) के प्रत्याशा मानों (expectation values) और द्वितीय क्षणों (second moments) के समय विकास के लिए विश्लेषणात्मक व्यंजक व्युत्पन्न करता है जो हैमिल्टनियन गतिकी के तहत संरक्षित रहते हैं लेकिन मार्कोवियन पर्यावरणीय युग्मन के कारण गैर-संरक्षित हो जाते हैं, जो यह दर्शाता है कि कैसे कोलैप्स ऑपरेटर संरक्षण नियमों को तोड़ते हैं और विभिन्न क्वांटम मॉडलों के माध्यम से उतार-चढ़ाव उत्पन्न करते हैं।

मूल लेखक: G. Modanese

प्रकाशित 2026-06-29

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CC BY 4.0

मूल लेखक: G. Modanese

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ सरल भाषा और रोज़मर्रा के उदाहरणों का उपयोग करके शोध पत्र (paper) की व्याख्या दी गई है।

बड़ी तस्वीर: जब "नियम" टूट जाते हैं

कल्पना कीजिए कि आप एक पूरी तरह से सीलबंद, घर्षण-रहित (frictionless) कमरे में बिलियर्ड्स का खेल खेल रहे हैं। इस बंद दुनिया में, भौतिकी के नियम सख्त हैं: यदि आप एक गेंद को मारते हैं, तो उसकी कुल ऊर्जा और संवेग (momentum) पूरी तरह से संरक्षित (conserved) रहते हैं। चाहे गेंदें आपस में टकराकर कितनी भी उछलें, कमरे में "गति" की कुल मात्रा कभी नहीं बदलती। क्वांटम भौतिकी में, यह एक बंद प्रणाली (closed system) की तरह है जो एक हैमिल्टनियन (Hamiltonian) (नियम पुस्तिका) द्वारा नियंत्रित होती है। यदि कोई मात्रा (जैसे ऊर्जा या कणों की संख्या) नियमों के अनुकूल है, तो वह हमेशा के लिए बिल्कुल वैसी ही रहती है।

अब, कल्पना कीजिए कि उस कमरे में एक खिड़की खोल दी गई है। हवा अंदर आने लगती है, या शायद एक वैक्यूम क्लीनर हवा को बाहर खींचने लगता है। कमरा अब बंद नहीं रहा; यह एक खुली प्रणाली (open system) है जो अपने परिवेश (environment) के साथ परस्पर क्रिया कर रही है। अचानक, पुराने नियम उसी तरह काम नहीं करते। हवा गेंद को धक्का दे सकती है, या वैक्यूम उसका संवेग चुरा सकता है।

यह शोध पत्र एक सरल प्रश्न पूछता है: उस मात्रा का क्या होता है जो बंद कमरे में पूरी तरह सुरक्षित थी, एक बार जब हम खिड़की खोल देते हैं?

लेखक, जी. मोदानेस (G. Modanes), यह दिखाते हैं कि केवल इसलिए कि कोई मात्रा मूल नियमों (हैमिल्टनियन) के तहत "सुरक्षित" है, इसका मतलब यह नहीं है कि परिवेश के हस्तक्षेप करने पर भी वह सुरक्षित रहेगी। परिवेश एक चोर या एक जनरेटर की तरह कार्य कर सकता है, जो न केवल उस मात्रा की औसत मात्रा को बदलता है, बल्कि यह भी बदल देता है कि उसमें कितना उतार-चढ़ाव (fluctuations) होता है (वह कितनी इधर-उधर उछलती है)।

चीजों के बदलने के दो तरीके: ड्रिफ्ट (Drift) और विगल (Wiggle)

यह शोध पत्र एक ऐसे तरीके का परिचय देता है जिससे एक साथ होने वाली दो अलग-अलग चीजों को मापा जा सके:

ड्रिफ्ट (The Drift - औसत): यह एक बाल्टी में पानी के औसत स्तर की तरह है। यदि नीचे एक छेद कर दिया जाए, तो पानी का स्तर धीरे-धीरे गिरता है। क्वांटम शब्दों में, किसी संरक्षित मात्रा का "एक्सपेक्टेशन वैल्यू" (औसत) कम या बढ़ सकता है क्योंकि परिवेश उसे निकाल रहा है या उसमें जोड़ रहा है।
विगल (The Wiggle - उतार-चढ़ाव): यह सबसे दिलचस्प हिस्सा है। कल्पना कीजिए कि बाल्टी का पानी केवल निकल ही नहीं रहा है, बल्कि उसे ज़ोर-ज़ोर से हिलाया भी जा रहा है। भले ही पानी का औसत स्तर वही रहे (शायद पानी उतनी ही दर से बाहर निकल रहा है जितनी दर से उसमें डाला जा रहा है), पानी अंदर बहुत उथल-पुथल मचा रहा है। "वेरिएंस" (variance) इसी उथल-पुथल को मापता है।

शोध पत्र की मुख्य खोज यह है कि परिवेश इन चीजों को स्वतंत्र रूप से कर सकता है:

यह औसत को बदल सकता है लेकिन उथल-पुथल को वैसा ही छोड़ सकता है।
यह औसत को वैसा ही छोड़ सकता है लेकिन उथल-पुथल को बढ़ा सकता है।
यह दोनों कर सकता है।

"स्रोत" (Source) का उदाहरण

लेखक प्लंबिंग (नलसाजी) से एक चतुर उदाहरण का उपयोग करते हैं। एक बंद पाइप में, पानी एक छोर से दूसरे छोर तक बहता है, लेकिन पाइप में पानी की कुल मात्रा स्थिर रहती है।

जब आप परिवेश (लिंडब्लाड समीकरण/Lindblad equation) को जोड़ते हैं, तो यह ऐसा है जैसे किसी ने चुपके से पाइप से एक होज़ (hose) जोड़ दिया हो।

यदि होज़ पानी जोड़ता है, तो पाइप भर जाता है (औसत बढ़ता है)।
यदि होज़ पानी खींच लेता है, तो पाइप खाली हो जाता है (औसत घटता है)।
महत्वपूर्ण बात: भले ही होज़ पानी जोड़ने और निकालने की दर बिल्कुल समान रखता हो (ताकि औसत स्थिर रहे), जोड़ने और निकालने की क्रिया से विक्षोभ (turbulence) पैदा होता है। पानी छपछपाने और बुलबुले छोड़ने लगता है। "वेरिएंस" (छपछपाना) बढ़ता है, भले ही "औसत स्तर" स्थिर दिखाई दे रहा हो।

शोध पत्र एक गणितीय सूत्र प्रदान करता है कि परिवेश के साथ प्रणाली की परस्पर क्रिया के आधार पर यह "छपछपाना" (वेरिएंस) कितनी तेज़ी से बढ़ता है।

शोध पत्र के वास्तविक उदाहरण

लेखक इस बात को सिद्ध करने के लिए चार विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करते हैं:

1. लीकी बैटरी (एक-क्यूबिट एम्प्लीट्यूड डैम्पिंग)
कल्पना कीजिए कि एक बैटरी है जिसे चार्ज बनाए रखना चाहिए। एक आदर्श दुनिया में, यह इसे हमेशा के लिए थामे रखती है। लेकिन यदि आप इसे एक लीकी तार (परिवेश) से जोड़ते हैं, तो चार्ज खत्म हो जाता है। शोध पत्र दिखाता है कि जैसे-जैसे चार्ज कम होता है, वास्तव में कितना चार्ज बचा है, इसकी अनिश्चितता समय के साथ बदलती है। यह शून्य अनिश्चितता (हमें पता है कि यह फुल है) से शुरू होती है, फिर चार्ज कम होते समय अनिश्चित हो जाती है, और अंत में खाली होने पर फिर से निश्चित हो जाती है।

2. दो-बाल्टी विनिमय (दो-क्यूबिट मॉडल)
कल्पना कीजिए कि दो बाल्टियाँ एक पाइप से जुड़ी हुई हैं। पानी दोनों बाल्टियों के बीच पूरी तरह से आगे-पीछे बहता है। दोनों बाल्टियों में पानी की कुल मात्रा संरक्षित है।
अब, कल्पना कीजिए कि कोई दोनों बाल्टियों में से प्रत्येक के नीचे व्यक्तिगत रूप से छेद करने लगता है।

कुल पानी का स्तर गिर जाएगा (औसत बदल जाएगा)।
लेकिन यहाँ मुख्य बात यह है: भले ही आप पानी की एक निश्चित मात्रा के साथ शुरू करें, छेद पानी के स्तर को संयुक्त प्रणाली में "धुंधला" (fuzzy) बना देते हैं। आप किसी भी सेकंड में यह सटीक भविष्यवाणी नहीं कर सकते कि कितना पानी बचा है क्योंकि छेद रैंडम तरीके से पानी निकाल रहे हैं। "वेरिएंस" शून्य से शिखर तक बढ़ता है और फिर स्थिर हो जाता है।

3. हवा वाली सड़क (मोमेंटम डिफ्यूजन)
कल्पमा कीजिए कि एक कार एक बिल्कुल समतल सड़क पर चल रही है। इसकी गति स्थिर है। अब, कल्पना कीजिए कि एक तेज़ हवा बगल से बहने लगती है।

हवा कार को बराबर रूप से बाएँ और दाएँ धकेल सकती है, जिससे औसत गति बिल्कुल वही रहती है।
हालाँकि, कार अब ज़ोर-ज़ोर से झटकों का सामना कर रही है। इसकी गति में भारी उतार-चढ़ाव हो रहा है।
शोध पत्र दिखाता है कि एक ऐसी स्थिति है जहाँ औसत संवेग (momentum) पूरी तरह संरक्षित रहता है (कार औसतन तेज़ या धीमी नहीं होती), लेकिन वेरिएंस (झटके) रैखिक रूप से (linearly) बढ़ता है। कार अधिक "डगमगाती" जा रही है, भले ही उसकी औसत गति ठीक है।

4. लाइट स्विच (जेन्स-कम्िंग्स मॉडल)
यह एक परमाणु और प्रकाश की किरण का एक प्रसिद्ध मॉडल है।

परिदृश्य A: यदि परिवेश परमाणु के साथ इस तरह से इंटरैक्ट करता है कि वह प्रकाश कणों (फोटॉन) की कुल संख्या का सम्मान करता है, तो फोटॉन की "गिनती" पूरी तरह स्थिर रहती है। कोई ड्रिफ्ट नहीं, कोई उतार-चढ़ाव नहीं।
परिदृश्य B: यदि परिवेश फोटॉन को कमरे से बाहर निकलने देता है (जैसे टूटा हुआ बल्ब), तो फोटॉन की कुल संख्या गिर जाती है, और गिनती के बारे में अनिश्चितता बढ़ जाती है।
ट्विस्ट: शोध पत्र दिखाता है कि आप ऐसी स्थिति पैदा कर सकते हैं जहाँ परिवेश "डीफेज़िंग" (प्रकाश तरंगों की टाइमिंग को बिगाड़ना) का कारण बनता है, बिना फोटॉन की गिनती को बदले। फोटॉन की गिनती के आँकड़े (statistics) एकदम सही रहते हैं, भले ही सिस्टम परिवेश के साथ परस्पर क्रिया कर रहा हो।

"वेव-फंक्शन" कनेक्शन

अंत में, शोध पत्र एक दार्शनिक बिंदु को छूता है। कुछ सिद्धांतों में, जब हम किसी चीज़ को देखते हैं, तो ब्रह्मांड तुरंत "कोलैप्स" (collapse) हो जाता है, जो चीज़ों को फिर से ठीक करने से पहले एक पल के लिए स्थानीय संरक्षण नियमों को तोड़ देता है।

लेखक सुझाव देते हैं कि खुली क्वांटम प्रणालियों (लिंडब्लाड समीकरणों) के लिए उपयोग किया जाने वाला गणित इस प्रकार के कोलैप्स का एक "सॉफ्ट" संस्करण है। परिवेश एक निरंतर, कोमल "स्रोत" या "सिंक" के रूप में कार्य करता है जो सांख्यिकीय रूप से संरक्षण नियमों को तोड़ता है।

यदि आप कई प्रयोगों के औसत को देखते हैं, तो संरक्षण नियम लागू होता हुआ दिखाई देगा (स्रोत और सिंक एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं)।
लेकिन यदि आप उतार-चढ़ाव (वेरिएंस) को देखते हैं, तो आप उन संरक्षण-तोड़ने वाली घटनाओं के "निशान" देख सकते हैं। गणित हमें उस "शोर" (noise) को देखने की अनुमति देता है जो परिवेश द्वारा पीछे छोड़ा गया है, भले ही "सिग्नल" (औसत) एकदम सही दिख रहा हो।

सारांश

संक्षेप में, यह शोध पत्र एक सरल टूलकिट प्रदान करता है जिससे यह मापा जा सके कि परिवेश क्वांटम मैकेनिक्स के "परफेक्ट नियमों" को कैसे बिगाड़ता है। यह हमें सिखाता है कि संरक्षण (conservation) नाजुक है। केवल इसलिए कि एक मात्रा एक आदर्श, अलग-थलग दुनिया में संरक्षित है, इसका मतलब यह नहीं है कि वह वास्तविक, शोर भरी दुनिया में भी संरक्षित रहेगी। परिवेश औसत को बदल सकता है, या यह केवल मात्रा को अस्थिर (jittery) बना सकता है, या दोनों। यह शोध पत्र हमें यह गणना करने के लिए गणित देता है कि परिवेश द्वारा कितना "जिटर" (वेरिएंस) पैदा किया जाता है।

तकनीकी सारांश: लिंडब्लाड मास्टर समीकरणों में गैर-संरक्षित प्रेक्षणों (Non-Conserved Observables) का सांख्यिकी

समस्या विवरण
बंद क्वांटम प्रणालियों (closed quantum systems) में, संरक्षण नियम सख्ती से हैमिल्टोनियन $H$ के साथ एक प्रेक्षण $O$ के कम्यूटेशन ( $[H, O] = 0$ ) द्वारा नियंत्रित होते हैं, जो यह सुनिश्चित करता है कि प्रत्याशा मान (expectation value) $\langle O \rangle$ सभी प्रारंभिक अवस्थाओं के लिए स्थिर रहता है। हालांकि, मार्कोवियन परिवेश (Markovian environments) के माध्यम से वर्णित ओपन क्वांटम प्रणालियों में, यह स्थिति अपर्याप्त है। विपाटीय पद (dissipative terms) हैमिल्टोनियन संरक्षण नियमों को तोड़ सकते हैं, जिससे पूर्व में संरक्षित राशियाँ विकसित होने लगती हैं। जबकि प्रत्याशा मान में संरक्षण की हानि अच्छी तरह से समझी जा चुकी है, पूर्ण सांख्यिकीय वितरण—विशेष रूप से दूसरे क्षण (second moment) $\langle O^2 \rangle$ और प्रसरण (variance) $\text{Var}(O)$ —पर इसके प्रभाव के लिए अधिक सूक्ष्म विश्लेषण की आवश्यकता है। यह शोध पत्र इस बात को संबोधित करता है कि कैसे कोलैप्स ऑपरेटर्स (collapse operators) उन प्रेक्षणों की सांख्यिकी को संशोधित करते हैं जो हैमिल्टोनियन द्वारा संरक्षित हैं लेकिन पूर्ण ओपन-सिस्टम गतिकी द्वारा नहीं।

कार्यप्रणाली
लेखक एक प्रेक्षण $O$ के प्रथम और द्वितीय क्षणों के समय विकास के लिए प्रारंभिक व्यंजक प्राप्त करने हेतु एडजॉइंट लिंडब्ल्ड फॉर्मलिज्म (adjoint Lindblad formalism) का उपयोग करते हैं।

एडजॉइंट जनरेटर: डेंसिटी मैट्रिक्स $\rho$ के लिए मानक लिंडब्लाड मास्टर समीकरण से शुरू करते हुए, प्रत्याशा मान के समय व्युत्पन्न को एडजॉइंट जनरेटर $\mathcal{L}^\dagger$ के माध्यम से व्यक्त किया जाता है:
$\frac{d}{dt}\langle O \rangle = \langle \mathcal{L}^\dagger(O) \rangle$
जहाँ $\mathcal{L}^\dagger(O) = i[H, O] + \mathcal{D}^\dagger(O)$ , और $\mathcal{D}^\dagger$ विपाटीय योगदान (dissipative contribution) को दर्शाता है।
मोमेंट समीकरण: फॉर्मलिज्म को दूसरे क्षण $\langle O^2 \rangle$ और प्रसरण $\text{Var}(O) = \langle O^2 \rangle - \langle O \rangle^2$ के लिए विस्तारित किया गया है। शोध पत्र एक प्रसरण-उत्पादन दर (variance-production rate) $\Pi_O(t)$ को व्युत्पन्न करता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$\Pi_O(t) = \langle \mathcal{L}^\dagger(O^2) \rangle - 2\langle O \rangle \langle \mathcal{L}^\dagger(O) \rangle$
हैमिल्टोनियन-संरक्षित प्रेक्षणों ( $[H, O]=0$ ) के लिए, यह दर पूरी तरह से विपाटीय भाग $\mathcal{D}^\dagger$ द्वारा उत्पन्न होती है।
विश्लेषणात्मक मॉडल: व्युत्पन्न सूत्रों को चार विशिष्ट विश्लेषणात्मक मॉडलों पर लागू किया गया है ताकि विभिन्न गतिक व्यवहारों को प्रदर्शित किया जा सके:
- एक-क्यूबिट एम्प्लीट्यूड डैम्पिंग (One-qubit amplitude damping)।
- स्थानीय क्षय (local decay) के साथ एक टू-क्यूबिट एक्सचेंज मॉडल।
- एक मोमेंटम-डिफ्यूजन मॉडल।
- अलग-अलग कपलिंग प्रकारों के साथ जेन्स-क्यूमिंग्स (Jaynes–Cummings) मॉडल।

मुख्य योगदान और परिणाम

माध्य (Mean) और प्रसरण (Variance) संरक्षण के बीच अंतर: शोध पत्र यह स्थापित करता है कि प्रत्याशा मान का संरक्षण प्रेक्षण के पूर्ण सांख्यिकी के संरक्षण को निहित नहीं करता है। तीन विशिष्ट मामले पहचाने गए हैं:
1. पूर्ण संरक्षण: $\mathcal{L}^\dagger(O) = 0$ और $\mathcal{L}^\dagger(O^2) = 0$ । माध्य और प्रसरण दोनों स्थिर हैं।
2. माध्य विचलन (Mean Drift): $\mathcal{L}^\dagger(O) \neq 0$ । माध्य मान बदलता है, जो आमतौर पर प्रसरण के परिवर्तनों के साथ होता है।
3. माध्य संरक्षण के साथ प्रसरण उत्पादन: $\mathcal{L}^\dagger(O) = 0$ लेकिन $\mathcal{L}^\dagger(O^2) \neq 0$ । माध्य स्थिर रहता है जबकि उतार-चढ़ाव (fluctuations) बढ़ते हैं।
विश्लेषणात्मक उदाहरण:
- एक-क्यूबिट एम्प्लीट्यूड डैम्पिंग: $O=\sigma_z$ और कोलैप्स ऑपरेटर $L=\sigma_-$ के लिए, माध्य $\langle \sigma_z \rangle$ ग्राउंड स्टेट की ओर घटता है। चूंकि $\sigma_z^2 = I$ , दूसरा क्षण निरर्थक है, और प्रसरण केवल माध्य के क्षय के कारण विकसित होता है।
- टू-क्यूबिट एक्सचेंज मॉडल: एक हैमिल्टोनियन के साथ जो कुल उत्तेजना संख्या $N$ को संरक्षित करता है, लेकिन स्थानीय क्षय ऑपरेटर्स $L_j = \sigma_-^{(j)}$ के साथ, माध्य $\langle N \rangle$ घटता है। महत्वपूर्ण रूप से, भले ही सिस्टम $N$ के एक आइजनस्टेट (eigenstate) में शुरू हुआ हो (शून्य प्रसरण), विपाटीय गतिकी गतिशील रूप से एक गैर-शून्य प्रसरण उत्पन्न करती है क्योंकि सिस्टम उत्तेजना क्षेत्रों ( $|11\rangle \to |10\rangle/|01\rangle \to |00\rangle$ ) के बीच संक्रमण करता है।
- मोमेंटम डिफ्यूजन: एक कण के लिए जिसका $H=p^2/2m$ है और एक पोजीशन-कपल्ड डिसिपेटर $L \propto x$ है, माध्य संवेग संरक्षित है ( $\mathcal{L}^\dagger(p)=0$ ), लेकिन प्रसरण रैखिक रूप से बढ़ता है ( $\mathcal{L}^\dagger(p^2) \neq 0$ )। यह स्पष्ट रूप से एक ऐसा मामला प्रदर्शित करता है जहाँ प्रथम क्षण संरक्षित है जबकि वितरण विस्तृत होता है।
- जेन्स-क्यूमिंग्स मॉडल: शोध पत्र $N$ $N$ के लिए दो परिदृश्यों की तुलना करता है।
  - डीफेजिंग कपलिंग (Dephasing Coupling): यदि रिज़र्वोअर स्वयं $N$ के माध्यम से जुड़ता है, तो $N$ और $N^2$ संरक्षित रहते हैं ( $\mathcal{L}^\dagger(N)=\mathcal{L}^\dagger(N^2)=0$ )। रिज़र्वोअर $N$ -सेक्टर्स के बीच कोहेरेंस को नष्ट करता है लेकिन $N$ की सांख्यिकी को अपरिवर्तित छोड़ देता है।
  - डिसिपेटिव कपलिंग (Dissipative Coupling): मानक फोटॉन लॉस ( $L_a=a$ ) और परमाणु क्षय ( $L_\sigma=\sigma_-$ ) $N$ के माध्य और दूसरे क्षण दोनों के संरक्षण को तोड़ते हैं।
फ्लक्चुएशन-डिसिपेशन से संबंध: $\Pi_O(t)$ को विपाटीय ड्रिफ्ट (dissipative drift) और उतार-चढ़ाव पीढ़ी (fluctuation generation) को जोड़ने वाले प्राकृतिक ऑब्जेक्ट के रूप में पहचाना गया है। थर्मल मॉडलों में, यह फॉर्मलिज्म मानक फ्लक्चुएशन-डिसिपेशन संतुलन को पुनः प्राप्त करता है, जहाँ वही पर्यावरणीय जुड़ाव जो डैम्पिंग का कारण बनता है, वह इक्विलिब्रियम प्रसरण को भी निर्धारित करता है।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि यह ओपन सिस्टम में हैमिल्टोनियन-संरक्षित प्रेक्षणों की क्षणिक सांख्यिकी के लिए एक "सरल और परिचालन योग्य" (simple and operational) डायग्नोस्टिक प्रदान करता है। इसका प्राथमिक महत्व एडजॉइंट जनरेटर के विपाटीय भाग को आइसोलेट करने में निहित है, जो माध्य के ड्रिफ्ट से स्वतंत्र होकर उतार-चढ़ाव उत्पन्न करता है।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि यह कार्य इनवेरिएंट ऑपरेटर्स या स्टेशनरी सबस्पेस का नया वर्गीकरण नहीं है, बल्कि लिंडब्लाड सिमेट्री के कठोर सिद्धांतों का एक पूरक है, जो विश्लेषणात्मक रूप से पारदर्शी मॉडलों पर केंद्रित है। इसके अतिरिक्त, शोध पत्र लिंडब्लाड ऑपरेटर्स और आइडियलाइज्ड वेव-फंक्शन रिडक्शन मॉडल्स के बीच समानता खींचता है। यह सुझाव देता है कि जबकि रिडक्शन मॉडल्स में (या लिंडब्लाड ऑपरेटर्स द्वारा) स्थानीय संरक्षण कानून इवेंट-दर-इवेंट उल्लंघन किए जा सकते हैं, वे औसत के बाद सांख्यिकीय रूप से बने रह सकते हैं। इस संदर्भ में, दूसरा क्षण और प्रसरण, भले ही माध्य मान संरक्षित प्रतीत होता हो, अंतर्निहित स्टोकेस्टिक गैर-संरक्षण घटनाओं के बारे में जानकारी के वाहक के रूप में कार्य करते हैं।