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Quantum Multi-Party Threshold Private Set Intersection with Explicit Cardinality Testing

यह शोधपत्र एक क्वांटम मल्टी-पार्टी थ्रेशोल्ड प्राइवेट सेट इंटरसेक्शन प्रोटोकॉल प्रस्तावित करता है जिसमें स्पष्ट कार्डिनैलिटी परीक्षण की विशेषता है, जो एक रोटेशन-आधारित सिंगल-फोटॉन निर्माण और क्रिप्टोग्राफिक प्रिमिटिव्स का उपयोग करता है ताकि एक तीसरे पक्ष को परिणामों की व्याख्या किए बिना मापन करने में सक्षम बनाया जा सके, जबकि केवल यह सुरक्षित रूप से प्रकट किया जाता है कि इंटरसेक्शन का आकार एक थ्रेशोल्ड (सीमा) को पूरा करता है या नहीं।

मूल लेखक: Zixian Gong, Kun Tian, Yi Zhang, Fengxia Liu

प्रकाशित 2026-06-29

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Zixian Gong, Kun Tian, Yi Zhang, Fengxia Liu

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि दोस्तों का एक समूह है जिनके पास अपनी पसंदीदा फिल्मों की एक गुप्त सूची है। वे जानना चाहते हैं: "क्या हम सभी कम से कम तीन फिल्मों पर सहमत हैं?"

यदि उत्तर हाँ है, तो वे उन तीन फिल्मों की सूची देखना चाहते हैं।
यदि उत्तर नहीं है, तो वे कुछ भी नहीं जानना चाहते—यहाँ तक कि उनके बीच कितनी फिल्में समान थीं, यह भी नहीं।

यह थ्रेशोल्ड प्राइवेट सेट इंटरसेक्शन (TPSI) की समस्या है। यह शोध पत्र इसे क्वांटम मैकेनिक्स (विशेष रूप से, प्रकाश के एकल फोटॉन) और चतुर गणित का उपयोग करके हल करने का एक नया तरीका प्रस्तावित करता है, जो यह सुनिश्चित करता है कि प्रयोग चलाने वाला व्यक्ति भी उनके रहस्यों में झाँक या धोखाधड़ी नहीं कर सकता।

यहाँ इस शोध पत्र का समाधान सरल अवधारणाओं में दिया गया है:

1. पुराने तरीकों के साथ समस्या

पिछले क्वांटम प्रयासों में, समूह एक "रेफरी" (जिसे थर्ड पार्टी या TP कहा जाता है) पर निर्भर करता था जो मिलान (matches) को गिनता था।

खामी: रेफरी मिलानों को गिनता था, उस संख्या की तुलना थ्रेशोल्ड (जैसे, "क्या यह 3 है?") से करता था, और फिर समूह को क्या बताना है, इसका निर्णय लेता था।
जोखिम: इसका मतलब था कि रेफरी को मिलानों की सटीक संख्या पता चल जाती थी। यदि समूह के पास केवल 2 मिलान थे, तो रेफरी को यह पता चल जाता था। लेकिन समूह केवल यह जानना चाहता था कि क्या उनके पास पर्याप्त (3 या अधिक) मिलान हैं, न कि सटीक संख्या। यह बिल्कुल वैसा ही है जैसे किसी न्यायाधीश से पूछना, "क्या प्रतिवादी दोषी है?" लेकिन न्यायाधीश को उत्तर देने से पहले अपराध का पूरा विवरण लिखना पड़ता है।

2. नया समाधान: "आँखों पर पट्टी बंधा हुआ रेफरी"

लेखकों ने एक ऐसा प्रोटोकॉल बनाया है जहाँ रेफरी माप (measurements) तो करता है, लेकिन परिणामों के अर्थ के संबंध में अंधा (blinded) रहता है।

सेटअप: गुप्त कोड

प्रयोग शुरू होने से पहले, दोस्त आपस में एक गुप्त कोड पर सहमत होते हैं। वे अपनी वास्तविक फिल्म सूचियों को कुछ "डिकॉय" (नकली) सूचियों (एंकर) के साथ मिला देते हैं, जिन्हें रेफरी नहीं जानता।

छिपाने की कुंजी (Hiding Key): वे एक गुप्त कुंजी का उपयोग करके अपनी फिल्मों के स्थानों को इधर-उधर (shuffle) करते हैं। रेफरी के लिए, सूचियाँ केवल रैंडम शोर (random noise) की तरह दिखती हैं।
फ्लिप (The Flip): वे एक गुप्त "फ्लिप" (जैसे एक गुप्त हाथ मिलाने का तरीका) पर सहमत होते हैं जो परिणामों के अर्थ को बदल देता है। यदि एक रोशनी "On" होती है, तो इस गुप्त फ्लिप के आधार पर वह वास्तव में "Off" भी हो सकती है।

क्वांटम नृत्य (द रोटेशन)

यह प्रयोग संदेशवाहक के रूप में फोटॉन (प्रकाश के कणों) का उपयोग करता है।

रेफरी फोटॉन की एक पंक्ति तैयार करता है और उन्हें पहले मित्र को भेजता है।
मित्र 1 अपनी गुप्त सूची को देखता है। यदि उनके पास एक निश्चित स्थान पर एक विशिष्ट फिल्म है, तो वे फोटॉन को एक सूक्ष्म "स्पिन" (घूर्णन) देते हैं। यदि उनके पास वह नहीं है, तो वे उसे बिना छेड़े छोड़ देते हैं। वे एक गुप्त "मास्क" रोटेशन भी जोड़ते हैं जिसे केवल वे और रेफरी जानते हैं।
श्रृंखला (The Chain): फोटॉन दूसरे मित्र के पास, फिर तीसरे मित्र के पास जाते हैं, और इसी तरह आगे बढ़ते हैं। प्रत्येक मित्र अपनी गुप्त सूची के आधार पर अपना स्पिन जोड़ता है।
वापसी: फोटॉन वापस रेफरी के पास लौट आते हैं।

"छिपे हुए लेबल" का जादू

जब फोटॉन वापस आते हैं, तो रेफरी अपने मास्क हटा देता है और प्रकाश को मापता है।

परिणाम: रेफरी को "समान" (Same) या "विपरीत" (Opposite) प्रकाश का एक पैटर्न दिखाई देता है।
कैच (The Catch): चूंकि दोस्तों द्वारा सहमत गुप्त "फ्लिप" के कारण, रेफरी यह नहीं समझ सकता कि पैटर्न का क्या अर्थ है। एक "समान" परिणाम "मैच" हो सकता है या "नो मैच", यह उस गुप्त बिट पर निर्भर करता जिसे केवल दोस्त जानते हैं। रेफरी के पास डेटा तो होता है, लेकिन वह उनके लिए निरर्थक (gibberish) जैसा दिखता है।

3. अंतिम जाँच: "अंधा मतदान" (The Blind Vote)

अब दोस्तों और रेफरी को यह तय करना है कि: "क्या हम थ्रेशोल्ड तक पहुँचे?" बिना यह जाने कि सटीक संख्या क्या है।

गणित का तरीका (OLE): वे ऑब्लिवियस लीनियर इवैल्यूएशन (OLE) नामक एक क्रिप्टोग्राफिक टूल का उपयोग करते हैं। इसे एक सुरक्षित कैलकुलेटर के रूप में सोचें जहाँ रेफरी अपने "निरर्थक" नंबर डालता है, और दोस्त अपनी "गुप्त कुंजियाँ" डालते हैं।
गारबल्ड सर्किट (Garbled Circuit): वे एक छोटा, लॉक किया गया कंप्यूटर प्रोग्राम चलाते हैं (गारबल्ड सर्किट)। यह प्रोग्राम आंतरिक रूप से संख्याओं को जोड़ता है।
आउटपुट: प्रोग्राम केवल एक बिट आउटपुट देता है: 1 (हाँ, हमारे पास पर्याप्त मिलान हैं) या 0 (नहीं, हमारे पास पर्याप्त नहीं हैं)।
- यदि उत्तर 1 है, तो दोस्त रेफरी के "निरर्थक" पैटर्न को डिकोड करने के लिए गुप्त कुंजी प्रकट करते हैं, और वे मिलान वाली फिल्में देखते हैं।
- यदि उत्तर 0 है, तो वे सब कुछ फेंक देते हैं। रेफरी कभी यह नहीं जान पाता कि मिलानों की सटीक संख्या क्या थी, वह केवल इतना जानता है कि वह पर्याप्त नहीं थी।

4. यह सुरक्षित क्यों है (सुरक्षा)

शोध पत्र तीन मुख्य सुरक्षा बिंदुओं को सिद्ध करता है:

कोई जासूस नहीं: यदि कोई जासूस फोटॉन को रोकने की कोशिश करता है, तो "डिकॉय" लाइटें (जिन्हें जासूस नहीं जानता) बदल जाएँगी, जिससे सभी को पता चल जाएगा कि लाइन को टैप किया गया है।
रेफरी ईमानदार लेकिन जिज्ञासु है: भले ही रेफरी धोखाधड़ी करने या अनुमान लगाने के लिए उन्नत क्वांटम ट्रिक्स का उपयोग करने की कोशिश करे, गणित यह सुनिश्चित करता है कि वे रहस्यों में अंतर नहीं कर सकते। वे डेटा के अर्थ के प्रति वास्तव में अंधे हैं।
दोस्त एक-दूसरे को धोखा नहीं दे सकते: भले ही दो दोस्त तीसरे पर जासूसी करने के लिए हाथ मिला लें, वे तीसरे दोस्त की सूची का पता नहीं लगा सकते क्योंकि इसमें गुप्त मास्क और फोटॉन के घूमने का तरीका शामिल है।

5. "टॉय मॉडल" प्रमाण

यह दिखाने के लिए कि यह वास्तव में काम करता है, लेखकों ने IBM के क्वांटम कंप्यूटर सिम्युलेटर (Qiskit) का उपयोग करके एक छोटा सिमुलेशन बनाया।

उन्होंने छोटी सूचियों के साथ 3 दोस्तों का सिमुलेशन किया।
उन्होंने "शोर" (वास्तविक दुनिया की खामियों को दर्शाने के लिए) जोड़ा।
परिणाम: सिस्टम ने सही ढंग से पहचाना कि दोस्तों के बीच 2 फिल्में समान थीं (जो उनके 3 के थ्रेशोल्ड से कम था)। सिस्टम ने "नहीं" कहा, और दोस्तों को कुछ भी पता नहीं चला।
इसके बाद उन्होंने दिखाया कि यदि 3 मिलान होते, तो सिस्टम सही ढंग से "हाँ" कहता और सूची प्रकट कर देता।

सारांश

यह शोध पत्र एक क्वांटम मल्टी-पार्टी थ्रेशोल्ड PSI प्रोटोकॉल पेश करता है।

लक्ष्य: साझा रहस्य को केवल तभी प्रकट करना जब समूह पर्याप्त बड़ा हो।
नवाचार: यह मापने (जो रेफरी द्वारा किया जाता है) और व्याख्या करने (जो समूह द्वारा किया जाता है) के कार्यों को अलग करता है।
तंत्र: यह घूमने वाले फोटॉन और गुप्त "फ्लिप" का उपयोग करके "छिपे हुए लेबल" बनाता है जिन्हें रेफरी पढ़ नहीं सकता, यह सुनिश्चित करता है कि मिलानों की सटीक संख्या निजी बनी रहे।
परिणाम: समूह केवल थ्रेशोल्ड के बारे में एक सरल "हाँ/नहीं" सीखता है, और केवल "हाँ" होने पर ही वे वास्तविक साझा वस्तुओं को देखते हैं।

तकनीकी सारांश: स्पष्ट कार्डिनैलिटी टेस्टिंग के साथ क्वांटम मल्टी-पार्टी थ्रेशोल्ड प्राइवेट सेट इंटरसेक्शन

समस्या विवरण (Problem Statement)
प्राइवेट सेट इंटरसेक्शन (PSI) पक्षों को अपने निजी सेटों के गैर-प्रतिच्छेदी तत्वों को प्रकट किए बिना उनके प्रतिच्छेदन (intersection) की गणना करने की अनुमति देता है। थ्रेशोल्ड PSI (TPSI) इस प्रक्रिया को तब तक विस्तार देता है जब तक कि इसका कार्डिनैलिटी (cardinality) एक सार्वजनिक थ्रेशोल्ड $\tau$ के बराबर या उससे अधिक न हो जाए। जबकि शास्त्रीय TPSI प्रोटोकॉल मौजूद हैं, मौजूदा क्वांटम TPSI प्रोटोकॉल (जैसे, [MSD+24, LZY+26, WLS+26]) आमतौर पर अंतिम मापन (measurements) और परिणामों की व्याख्या करने के लिए एक तृतीय पक्ष (Third Party - TP) पर निर्भर करते हैं। इन योजनाओं में, TP सटीक प्रतिच्छेदन कार्डिनैलिटी को पुनः प्राप्त करता है और फिर उसकी तुलना $\tau$ से करता है। यह दृष्टिकोण आदर्श TPSI प्रतिमान (paradigm) से विचलित होता है, क्योंकि यह केवल एक-बिट प्रेडिकेट $\mathbb{1}[|\bigcap X_i| \ge \tau]$ प्रकट करने के बजाय, TP को सटीक कार्डिनैलिटी सांख्यिकी को उजागर कर देता है। यह एक फंक्शनैलिटी मिसमैच (functionality mismatch) और अधिकार के संकेंद्रण को जन्म देता है जहाँ TP एक क्वांटम संसाधन प्रदाता और निजी डेटा के सिमेंटिक व्याख्याकार (semantic interpreter) दोनों के रूप में कार्य करता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक मल्टी-पार्टी क्वांटम TPSI (MP-QTPSI) प्रोटोकॉल प्रस्तावित करते हैं जो मापन भूमिका को सिमेंटिक व्याख्या भूमिका से अलग करता है। प्रोटोकॉल में $n$ प्रतिभागी ( $P_1, \dots, P_n$ ) और एक सेमी-होनेस्ट (semi-honest) TP शामिल है।

क्वांटम चरण (हिडन-लेबल निर्माण):
- सेटअप: प्रतिभागी एक TP-मुक्त क्वांटम कॉन्फ्रेंस की एग्रीमेंट (QCKA) के माध्यम से एक मास्टर की स्थापित करते हैं ताकि एक पोजीशन-हाइडिंग की $k$ , एक हिडन लेबल-फ्लिप वेक्टर $\mathbf{b}$ , और रोटेशन शेयर्स $\Delta_i$ प्राप्त किया जा सके। TP और प्रत्येक प्रतिभागी रोटेशन मास्क $T_i$ के लिए युग्मवार (pairwise) कुंजियाँ स्थापित करते हैं।
- एन्कोडिंग: प्रतिभागी अपने सेटों में पॉजिटिव एंकर सेट जोड़ते हैं और एक पोजीशन-हाइडिंग मैप $x \mapsto kx \mod M$ लागू करते हैं। वे अपने सेटों को इंडिकेटर वेक्टर्स $Y_i$ में एनकोड करते हैं।
- इंटरैक्शन: TP सिंगल-फोटॉन सीक्वेंस तैयार करता है और एक प्रारंभिक ब्लाइंडिंग रोटेशन लागू करता है। सीक्वेंस क्रमवार प्रतिभागियों के माध्यम से गुजरते हैं। प्रत्येक प्रतिभागी $P_i$ अपने डेटा ($0 $या$ \pi/n $), अपने युग्मवार मास्क$ T_i $, और अपने रोटेशन शेयर$ \Delta_i$ के आधार पर एक रोटेशन लागू करता है।
- मापन: TP अपने ज्ञात मास्क को हटा देता है और सीक्वेंस को मापता है। सहसंबद्ध एग्रीगेट रोटेशन के कारण, परिणाम केवल उन स्थितियों के लिए नियत (deterministic) होते हैं जहाँ सभी प्रतिभागी तत्व रखते हैं (इंटरसेक्शन) या कोई नहीं रखता (गैर-इंटरसेक्शन), लेकिन इन परिणामों का सिमेंटिक अर्थ (कि कौन सा लेबल "इंटरसेक्शन" के अनुरूप है) हिडन फ्लिप वेक्टर $\mathbf{b}$ द्वारा अंधा (blinded) कर दिया जाता है। TP हिडन-लेबल इंडिकेटर वेक्टर्स $z_S$ (सेम) और $z_O$ (अपोजिट) प्राप्त करता है लेकिन बिना प्रतिभागी-पक्ष की जानकारी के उनकी व्याख्या नहीं कर सकता।
शास्त्रीय चरण (कार्डिनैलिटी टेस्टिंग):
- मास्क्ड कंसिस्टेंसी टेस्ट: प्रोटोकॉल हिडन मापन को एक मास्क्ड लेबल-कंसिस्टेंसी टेस्ट में परिवर्तित करता है। प्रतिभागियों के पास संदर्भ लेबल $\rho$ और वास्तविक एवं एंकर डोमेन के लिए सेलेक्टर मास्क होते हैं।
- ऑब्लिवियस लीनियर इवैल्यूएशन (OLE): TP और प्रतिभागी एक-दूसरे को वेक्टर्स प्रकट किए बिना कंसिस्टेंसी काउंट्स (विसंगतियां $d_{\mathcal{R}}$ और $d_{\mathcal{A}}$ ) के एडिटिव शेयर्स की गणना करने के लिए OLE-आधारित ऑब्लिवियस इनर प्रोडक्ट (OIP) का उपयोग करते हैं।
- थ्रेशोल्ड निर्णय: एक लाइटवेट गारबल्ड सर्किट प्रेडिकेट $\text{flag} = 1 \iff (d_{\mathcal{A}} = 0) \land (d_{\mathcal{R}} \le |\mathcal{R}| - \tau)$ का मूल्यांकन करता है। यह केवल बूलियन परिणाम आउटपुट करता है, यह सुनिश्चित करते हुए कि सटीक कार्डिनैलिटी कभी भी प्रकट नहीं होती है।
- पुनर्निर्माण (Reconstruction): यदि $\text{flag}=1$ , तो TP हिडन वेक्टर्स को ब्रॉडकास्ट करता है, और प्रतिभागी अपने संदर्भ लेबल और इनवर्स की $k^{-1}$ का उपयोग करके इंटरसेक्शन को पुनर्गठित करते हैं।

मुख्य योगदान (Key Contributions)

स्पष्ट कार्डिनैलिटी टेस्टिंग: यह प्रोटोकॉल कार्डिनैलिटी-टेस्टिंग प्रतिमान का सख्ती से पालन करने वाला पहला क्वांटम TPSI है, जो TP को सटीक कार्डिनैलिटी प्रकट किए बिना केवल थ्रेशोल्ड प्रेडिकेट $\mathbb{1}[|\bigcap X_i| \ge \tau]$ आउटपुट करता है।
हिडन-लेबल क्वांटम डिज़ाइन: प्रतिभागी-पक्ष के सहसंबद्ध एग्रीगेट रोटेशन और एक हिडन फ्लिप वेक्टर का उपयोग करके, प्रोटोकॉल यह सुनिश्चित करता है कि TP के मापन परिणाम सिमेंटिक रूप से ब्लाइंडेड हों। TP केवल एक मापन पार्टी के रूप में कार्य करता है, जो विशिष्ट सेट तत्वों या कार्डिनैलिटी को मैप करने में असमर्थ है।
कोल्यूजन (Collusion) और TP के विरुद्ध सुरक्षा: प्रोटोकॉल डिकॉय फोटॉन्स के माध्यम से बाहरी ईव्सड्रॉपर्स, सेमी-होनेस्ट TP (जो न तो सेट और न ही कार्डिनैलिटी जान पाता है), और कोल्यूडिंग प्रतिभागियों (जो युग्मवार मास्क और अज्ञात ब्लाइंडिंग रोटेशन के कारण दूसरों के सेट का अनुमान नहीं लगा सकते) के विरुद्ध सुरक्षा सिद्ध करता है।
टैम्पर डिटेक्शन: हिडन एंकर सेट्स का समावेश एक कंसिस्टेंसी चेक ( $d_{\mathcal{A}}=0$ ) की अनुमति देता है जो यह पता लगा सकता है कि क्या TP द्वारा रिपोर्ट किए गए मापन वेक्टर्स में बदलाव किया गया है।

परिणाम (Results)

सटीकता (Correctness): सैद्धांतिक प्रमाण प्रदर्शित करते हैं कि प्रोटोकॉल इंटरसेक्शन पैटर्न को सही ढंग से एनकोड करता है और शास्त्रीय सब-प्रोटोकॉल थ्रेशोल्ड स्थिति का सही ढंग से मूल्यांकन करता है।
सिमुलेशन: लेखकों ने IBM Qiskit प्लेटफॉर्म पर एक टॉय मॉडल ( $n=3$ , डोमेन साइज 8) का उपयोग करके क्वांटम चरण को लागू किया। सिमुलेशन में डिपोलराइजिंग, फेज-डैम्पिंग और रीडआउट त्रुटियों को शामिल किया गया। शोर युक्त सिमुलेशन परिणाम (तालिका 3) सैद्धांतिक संभावनाओं से निकटता से मेल खाते हैं, जो सफलतापूर्वक एंकर चेक और थ्रेशोल्ड टेस्ट को पास करते हुए सही इंटरसेक्शन $\{1, 3\}$ का पुनर्निर्माण करते हैं।
जटिलता (Complexity): क्वांटम संचार लागत $\mathcal{O}(n(\ell M + \delta))$ है, और गणना लागत $\mathcal{O}(n(\ell M + \delta))$ के समान है, जहाँ $M$ संवर्धित डोमेन आकार है, $\ell$ पुनरावृत्ति संख्या है, और $\delta$ डिकॉय की संख्या है।

महत्व और दावे (Significance and Claims)
यह पेपर दावा करता है कि इसका प्राथमिक महत्व मौजूदा क्वांटम TPSI प्रोटोकॉल में "फंक्शनैलिटी गैप" को हल करने में निहित है। क्वांटम मापन भूमिका को सिमेंटिक व्याख्या भूमिका से अलग करके, प्रस्तावित प्रोटोकॉल आदर्श शास्त्रीय TPSI परिभाषा के साथ संरेखित होता है जहाँ थ्रेशोल्ड निर्णय एक प्रत्यक्ष प्रेडिकेट है न कि प्रकट सांख्यिकी पर एक पोस्ट-प्रोसेसिंग स्टेप। लेखक जोर देते हैं कि उनका निर्माण केवल सिंगल-फोटॉन रोटेशन और एक लाइटवेट क्लासिकल पोस्ट-प्रोसेसिंग स्टेप (OLE और गारबल्ड सर्किट) पर निर्भर करता है, जो अन्य हालिया कार्यों में उपयोग किए जाने वाले क्वांटम होमोमोर्फिक एन्क्रिप्शन (QHE) की जटिलता से बचता है। वे दावा करते हैं कि यह डिज़ाइन एक अधिक गोपनीयता-संरक्षण दृष्टिकोण प्रदान करता है जहाँ TP को इंटरसेक्शन का आकार नहीं जानना चाहिए। पेपर निष्कर्ष निकालता है कि यह फ्रेमवर्क लचीला है और संभावित रूप से भारित (weighted) या अनुपात-आधारित थ्रेशोल्ड के लिए विस्तारित किया जा सकता है, हालांकि वर्तमान में यह सेमी-होनेस्ट TP मॉडल के तहत काम करता है।