⚛️ high-energy theory

Gluon mass and small-x dynamics in hadrons

यह शोध पत्र कैनोनिकल फ्रंट-फॉर्म क्यूसीडी (QCD) हैमिल्टोनियन आइजनस्टेट चित्र में तीव्र विचलन, विशेष रूप से स्मॉल-x और क्वाड्रेटिक अल्ट्रावॉयलेट ट्रांसवर्स डाइवर्जेंस को हल करने के लिए एक ग्लूऑन मास पैरामीटर और एक ऑक्सिलरी कलर-ऑक्टेट स्केलर फील्ड का उपयोग करते हुए एक रेगुलराइजेशन विधि प्रस्तावित करता है, जिससे भारी और हल्के क्वार्क डायनेमिक्स दोनों के लिए प्रभावी हैमिल्टोनियन का व्युत्पन्न प्राप्त करना सक्षम होता है।

मूल लेखक: Stanisław D. Głazek

प्रकाशित 2026-06-30

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Stanisław D. Głazek

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड न दिखने वाले छोटे, अदृश्य लेगो ब्रिक्स (Lego bricks) से बना है जिन्हें क्वार्क (quarks) और ग्लूऑन (gluons) कहा जाता है। जब ये ईंटें आपस में जुड़ती हैं, तो वे बड़ी संरचनाएं बनाती हैं जिन्हें हैड्रॉन (hadrons) (जैसे प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) कहा जाता है। भौतिकविदों के पास नियमों का एक सेट है, जिसे क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स (QCD) कहा जाता है, जो यह बताता है कि ये ईंटें कैसे परस्पर क्रिया करती हैं। हालांकि, जब वैज्ञानिक इन नियमों का उपयोग यह गणना करने के लिए करते हैं कि एक प्रोटॉन वास्तव में कितना भारी है या यह कैसे आपस में जुड़ा रहता है, तो उन्हें एक गणितीय दुःस्वप्न का सामना करना पड़ता है: अनंत (infinity)।

विशेष रूप से, जब एक ग्लूऑन (वह "गोंद" वाली ईंट) एक विशिष्ट दिशा में बहुत धीरे चलता है, तो गणित बिगड़ जाता है, जिससे "अनंत ऊर्जा" जैसे उत्तर मिलते हैं। यह एक पंख का वजन मापने के लिए ऐसे तराजू का उपयोग करने जैसा है जो हवा चलने पर ही टूट जाता है।

स्टैनिस्लाव डी. ग्लाज़ेक (Stanisław D. Głazek) का यह शोध पत्र, इन अनंतताओं को ठीक करने का एक चतुर तरीका प्रस्तावित करता है ताकि हम अंततः इन कणों के गुणों की गणना कर सकें। यहाँ उनके द्वारा इसे करने की कहानी है, सरल उपमाओं का उपयोग करते हुए।

1. समस्या: "स्पीड ट्रैप" (The Speed Trap)

इन कणों की दुनिया में, समय और स्थान को देखने का एक विशेष तरीका है जिसे "फ्रंट फॉर्म" (Front Form) कहा जाता है। कल्पना कीजिए कि आप एक फिल्म देख रहे हैं, लेकिन फ्रेम-दर-फ्रेम देखने के बजाय, आप प्रोजेक्टर की प्रकाश किरण को देख रहे हैं। इस दृश्य में, कणों की एक "फॉरवर्ड स्पीड" (जिसे $x$ कहा जाता है) होती है।

समस्या तब आती है जब एक ग्लूऑन की फॉरवर्ड स्पीड शून्य के बहुत करीब पहुँच जाती है। गणित में, यह एक "सिंगुलैरिटी" (singularity) पैदा करता है—एक ऐसा बिंदु जहाँ संख्याएँ अनंत हो जाती हैं। यह एक ऐसी कार के करीब पहुँचने जैसा है जहाँ स्पीड ट्रैप है और गति सीमा शून्य है; गणित कहता है कि कार को रुकने के लिए अनंत ईंधन की आवश्यकता होगी।

2. समाधान: "ट्रेनिंग व्हील्स" (The Training Wheels)

इसे ठीक करने के लिए, लेखक एक अस्थायी चाल का परिचय देते हैं: वह ऐसा दिखावा करते हैं जैसे ग्लूऑन्स का थोड़ा सा द्रव्यमान (mass) है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक पतली रस्सी (tightrope) पर साइकिल को संतुलित करने की कोशिश कर रहे हैं। यदि रस्सी बिल्कुल सपाट है और साइकिल का कोई वजन नहीं है, तो यह असंभव है। लेकिन यदि आप थोड़ा वजन (ट्रेनिंग व्हील्स) जोड़ देते हैं, तो साइकिल चलाने के लिए पर्याप्त स्थिर हो जाती है।
सावधानी: ग्लूऑन्स को द्रव्यमान रहित (जैसे प्रकाश) होना चाहिए। इसलिए, यह द्रव्यमान केवल एक अस्थायी "ट्रेनिंग व्हील" है ताकि गणित टूट न जाए। लक्ष्य ट्रेनिंग व्हील्स के साथ गणना करना है, और फिर अंत में उन्हें सावधानी से हटा देना है।

3. गड़बड़ी: "घोस्ट" कण (The Ghost Particle)

जब लेखक यह अस्थायी द्रव्यमान जोड़ते हैं, तो एक नई समस्या उत्पन्न होती है। गणित अब एक अलग प्रकार की अनंतता पैदा करता है, जो विशेष रूप से ग्लूऑन की "लॉन्जिट्यूडिनल" (आगे-पीछे की) गति से संबंधित है। यह ऐसा है जैसे साइकिल में वजन जोड़ने से हैंडल अनियंत्रित रूप से डगमगाने लगा हो।

इसे ठीक करने के लिए, लेखक एक सहायक कण (helper particle) पेश करते हैं।

उपमा: इस सहायक को एक "भूत" (ghost) या "सहायक क्षेत्र" (auxiliary field) के रूप में सोचें। यह अंतिम चित्र में वास्तव में मौजूद नहीं होता है, लेकिन यह एक काउंटर-वेट (प्रति-भार) के रूप में कार्य करता है। जब ग्लूऑन एक तरफ डगमगाता है, तो भूत दूसरी तरफ डगमगाता है।
जादू: ये दोनों डगमगाहटें एक-दूसरे के बिल्कुल विपरीत होती हैं। जब आप गणित में उन्हें जोड़ते हैं, तो वे एक-दूसरे को पूरी तरह से रद्द कर देते हैं। डगमगाहट गायब हो जाती है, और गणित फिर से सुचारू हो जाता है।

4. परिणाम: एक स्थिर समीकरण

एक बार जब लेखक "द्रव्यमान ट्रेनिंग व्हील्स" और "घोस्ट काउंटर-वेट" का उपयोग कर लेते हैं, तो अनंतताएं गायब हो जाती हैं। अब वह गणना चला सकते हैं।

प्रक्रिया: वह अस्थायी द्रव्यमान के साथ सिस्टम की ऊर्जा की गणना करते हैं।
खुलासा: जैसे-जैसे वह धीरे-धीरे द्रव्यमान को हटाते हैं (ट्रेनिंग व्हील्स उतारते हैं), गणित स्थिर रहता है। "घोस्ट" कण भी फीका पड़कर गायब हो जाता है, जिससे पीछे एक साफ, परिमित (finite) उत्तर बचता है।

5. बड़ी खोज: कन्फाइनमेंट (Confinement)

इस पद्धति का सबसे रोमांचक परिणाम यह है कि यह कन्फाइनमेंट (confinement) के बारे में क्या कहती है।

अवधारणा: हमारी दुनिया में, आपके पास एक अकेला ईंट हो सकता है। लेकिन क्वार्क की दुनिया में, आप कभी भी एक अकेले, अलग-थलग क्वार्क को नहीं पा सकते। वे हमेशा समूहों में बंधे रहते हैं (जैसे प्रोटॉन)। इसे कन्फाइनमेंट कहा जाता है।
पेपर का दावा: लेखक दिखाते हैं कि यदि आप उनके तरीके का उपयोग करके एक अकेले, अलग-थलग क्वार्क की ऊर्जा की गणना करने की कोशिश करते हैं, तो अस्थायी द्रव्यमान को हटाने पर ऊर्जा अनंत तक पहुँच जाती है। इसका अस्तित्व होना असंभव हो जाता है।
तुलना: हालाँकि, यदि आप क्वार्क के एक जोड़े (एक क्वार्क और एक एंटी-क्वार्क) की गणना करते हैं जो कलर-न्यूट्रल (जैसे एक संतुलित तराजू) हैं, तो ऊर्जा सीमित और तर्कसंगntपूर्ण रहती है।
रूपक: यह एक चुंबक को अलग करने की कोशिश करने जैसा है। यदि आप उत्तर ध्रुव को दक्षिण ध्रुव से अलग करने की कोशिश करते हैं, तो आवश्यक बल अनंत हो जाता; वे वापस जुड़ जाते हैं। गणित सिद्ध करता है कि "अकेले" रंगीन कणों को अलग करना असंभव है, जबकि "संतुलित" समूह स्थिर होते हैं।

6. "हारमोनिक ऑसिलेटर" का आश्चर्य (The Harmonic Oscillator Surprise)

जब लेखक भारी कणों (जैसे कि "चार्म" या "बॉटम" क्वार्क से बने कणों) के लिए गणना पूरी करते हैं, तो गणित उन्हें एक साथ रखने वाले बल के लिए एक विशिष्ट आकार प्रकट करता है।

आकार: यह एक स्प्रिंग (spring) की तरह दिखता है। क्वार्क जितने दूर जाते हैं, उन्हें वापस खींचने वाला बल उतना ही अधिक होता जाता है।
उपमा: कल्पना कीजिए कि दो लोग एक बंजी कॉर्ड (bungee cord) पकड़े हुए हैं। यदि वे पास खड़े होते हैं, तो कॉर्ड ढीली होती है। यदि वे दूर जाते हैं, तो कॉर्ड खिंचती है और उन्हें वापस खींचती है। पेपर दिखाता है कि भारी क्वार्क्स के बीच का "गोंद" बिल्कुल इसी बंजी कॉर्ड (एक हारमोनिक ऑसिलेटर पोटेंशियल) की तरह काम करता है।
यह क्यों महत्वपूर्ण है: जटिल गणित से प्राप्त यह सरल "स्प्रिंग" मॉडल, भारी कणों के द्रव्यमान की सफलतापूर्वक भविष्यवाणी करता है जो वास्तविक प्रयोगों में वैज्ञानिकों द्वारा देखे जाने वाले द्रव्यमान से मेल खाते हैं।

सारांश

यह शोध पत्र एक गणितीय टूलकिट है। यह कहता है: "यदि आप यह गणना करना चाहते हैं कि कण आपस में कैसे जुड़ते हैं बिना अपने कैलकुलेटर को फटने दिए, तो ऐसा व्यवहार करें जैसे गोंद का थोड़ा वजन है और त्रुटियों को रद्द करने के लिए एक घोस्ट पार्टनर जोड़ें। गणित करें, वजन हटा दें, और आप पाएंगे कि गोंद एक स्प्रिंग की तरह काम करता है, और अकेले कणों का अस्तित्व संभव ही नहीं है।"

यह दृष्टिकोण केवल गणित को ठीक नहीं करता है; यह एक स्पष्ट, गणना योग्य कारण प्रदान करता है कि ब्रह्मांड इस तरह से क्यों बना है: कण इसलिए सीमित (confined) हैं क्योंकि अकेले होने की ऊर्जा लागत अनंत है।

तकनीकी सारांश: हैड्रोन में ग्लुऑन द्रव्यमान और स्मॉल- $x$ गतिकी (Small- $x$ Dynamics)

समस्या विवरण
यह शोध पत्र कैनोनिकल फ्रंट फॉर्म (FF) के अंतर्गत क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स (QCD) में हैड्रोन के लिए एक सटीक, परिमित हैमिल्टोनियन आइजनस्टेट (eigenstate) चित्र के निर्माण की चुनौती को संबोधित करता है। यद्यपि FF किसी भी गति की अवस्था में (विशेष रूप से उच्च गति पर) हैड्रोन का वर्णन करने के लिए अनुकूल है क्योंकि इसमें किनेमैटिकल लोरेन्त्ज़ बूस्ट (Lorentz boosts) होते हैं, लेकिन कैनोनिकल FF हैमिल्टोनियन एक सिंगुलर ऑपरेटर है। इसमें लघुगणकीय (logarithmic) से भी अधिक तीव्र विचलन (divergences) हैं, विशेष रूप से गंभीर स्मॉल- $x$ विचलन (जहाँ $x = p^+/P^+$ अनुदैर्ध्य संवेग अंश है) और पराबैंगनी (ultraviolet) अनुप्रस्थ विचलन।

FF में, क्वांटा के निकाय का इनवेरिएंट मास स्क्वेयर्ड ( $M^2$ ), अनुप्रस्थ संवेग $k_\perp$ और अनुदैर्ध्य अंश $x$ के माध्यम से $P^+ k^- = (k_\perp^2 + m^2)/x$ से संबंधित होता है। द्रव्यमान रहित ग्लुऑन्स के लिए, यदि $k_\perp$ भी छोटा हो, तो स्मॉल- $x$ स्वाभाविक रूप से इनवेरिएंट मास के ऊपरी स्तर द्वारा विनियमित नहीं होता है। फलस्वरूप, स्मॉल- $x$ का क्षेत्र इन्फ्रारेड और अल्ट्रावॉयलेट दोनों व्यवस्थाओं में योगदान देता है, जिससे सिंगुलैरिटीज़ (जैसे $1/x^2$ ) उत्पन्न होती हैं जो बाउंड-स्टेट आइजनवैल्यू समस्याओं के समाधान में बाधा डालती हैं। मानक रेगुलाइजेशन विधियाँ अक्सर अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ कटऑफ को अलग-अलग उपचार देकर रिनॉर्मलाइजेशन प्रक्रिया को जटिल बना देती हैं।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक रेगुलाइजेशन और रिनॉर्मलाइजेशन योजना प्रस्तावित करते हैं जो एक ग्लुऑन द्रव्यमान पैरामीटर, $m_g$ , और एक सहायक कलर-ऑक्टेट स्केलर क्षेत्र, $\phi$ , को पेश करती है।

बेयर हैमिल्टोनियन संशोधन (Bare Hamiltonian Modification): कैनोनिकल FF हैमिल्टोनियन को एक ग्लुऑन मास टर्म ( $m_g^2 A_\mu A^\mu$ ) और एक स्केलर क्षेत्र $\phi$ के काइनेटिक टर्म को जोड़कर संशोधित किया गया है। महत्वपूर्ण रूप से, $\phi$ क्वार्क्स और अनुप्रस्थ ग्लुऑन्स के "गुड" कलर करंट्स के साथ $m_g$ के समानुपाती शक्ति के साथ जुड़ता है। यह सेटअप मैसिव QED के ढांचे की नकल करता है लेकिन इसे नॉन-अबेलियन गेज थ्योरी के लिए अनुकूलित किया गया है।
निरसन तंत्र (Cancellation Mechanism): $m_g$ का परिचय स्मॉल- $x$ सिंगुलैरिटीज़ को अल्ट्रावॉयलेट विचलन में बदल देता है। हालाँकि, यह ट्रांज़िशन एम्प्लीट्यूड में नई सिंगुलैरिटीज़ भी पैदा करता है। शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि सहायक क्षेत्र $\phi$ (जो अनुदैर्ध्य ध्रुवीकृत ग्लुऑन्स का प्रतिनिधित्व करता है) एक ऐसा योगदान प्रदान करता है जो वर्चुअल स्कैटरिंग एम्प्लीट्यूड और सेल्फ-इंटरेक्शन में उत्पन्न होने वाली गंभीर $1/x^2$ सिंगुलैरिटीज़ को सटीक रूप से रद्द कर देता है। यह निरसन इसलिए होता है क्योंकि अनुदैर्ध्य ग्लुऑन योगदान ( $m_g^2/k^+$ ) और अनुप्रस्थ ग्लुऑन योगदान ( $k_\perp^2/k^+$ ) पोलराइजेशन के योग के दौरान $1/k^+$ विचलन को समाप्त करने के लिए मिलते हैं।
इफेक्टिव पार्टिकल्स के लिए रिनॉर्मलाइजेशन ग्रुप प्रोसीजर (RGPEP): बाउंड-स्टेट समस्या को हल करने के लिए, शोध पत्र RGPEP का उपयोग करता है। यह प्रक्रिया हैमिल्टोनियन को कैनोनिकल स्केल ( $s=0$ ) से एक प्रभावी स्केल ( $s \sim 1/m$ , जहाँ $m$ हैड्रोन का द्रव्यमान है) तक एक यूनिटरी ट्रांसफॉर्मेशन का उपयोग करके विकसित करती है। यह विकास फॉर्म फैक्टर्स को पेश करके सिंगुलर इंटरैक्शन को सुचारू बनाता है, जो मुक्त ऊर्जा में बड़े परिवर्तनों वाले ट्रांज़िशन को दबा देते हैं।
कमजोर-कपलिंग विस्तार (Weak-Coupling Expansion): RGPEP समीकरणों को कपलिंग स्थिरांक $g$ के क्रम-दर-क्रम (order-by-order) में हल किया जाता है। शोध पत्र भारी क्वार्कोनिया (heavy quarkonia) के लिए दूसरे क्रम के विस्तार पर ध्यान केंद्रित करता है, जहाँ कपलिंग इतनी कम है कि पर्सरबेटिव दृष्टिकोण को उचित ठहराया जा सके। काउंटरटर्म्स को प्रारंभिक स्केल पर पेश किया जाता है ताकि उन विचलनों को रद्द किया जा सके जो प्रभावी हैमिल्टोनियन में बने रह सकते हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम

स्मॉल- $x$ सिंगुलैरिटीज़ का समाधान: शोध पत्र एक कठोर व्युत्पत्ति प्रदान करता है जो दिखाता है कि FF हैमिल्टोनियन में गंभीर स्मॉल- $x$ विचलन ( $1/x^2$ ), क्वार्क्स और ग्लुऑन्स के ट्रांज़िशन एम्प्लीट्यूड में रद्द हो जाते हैं, भले ही $m_g > 0$ हो। यह निरसन सहायक क्षेत्र $\phi$ के कलर करंट्स के साथ विशिष्ट जुड़ाव पर निर्भर करता है।
भारी क्वार्क्स के लिए परिमित प्रभावी हैमिल्टोनियन: $m_g \to 0$ $m_{g} \to 0$ लेने के बाद, लेखक भारी क्वार्क-एंटीक्वार्क ( $Q\bar{Q}$ $Q \overset{ˉ}{Q}$ ) सिस्टम के लिए एक परिमित प्रभावी हैमिल्टोनियन व्युत्पन्न करते हैं। परिणामी आइजनवैल्यू समीकरण में शामिल है:
- एक कूलम्ब जैसा पोटेंशियल (जिसे $m_g$ द्वारा युकावा रूप में संशोधित किया गया है, लेकिन $m_g \to 0$ होने पर कूलम्ब में वापस आ जाता है)।
- एक रोटेशन-इनवेरिएंट हार्मोनिक ऑसिलेटर पोटेंशियल, जो ग्लुऑन मास से जुड़े लघुगणकीय विचलनों के निरसन से उत्पन्न होता है।
कन्फाइनमेंट (Confinement) तंत्र: शोध पत्र इस प्रभावी सिद्धांत के भीतर कन्फाइनमेंट के लिए एक तंत्र की पहचान करता है। कलर-सिंगलेट अवस्थाओं (मेसॉन्स) में, $\ln(m_g)$ पर निर्भर लघुगणकीय विचलन रद्द हो जाते हैं, जिससे $m_g \to 0$ होने पर परिमित द्रव्यमान आइजनवैल्यू प्राप्त होती है। इसके विपरीत, कलर-ऑक्टेट अवस्थाओं (या एकल क्वार्क्स) के लिए, कलर फैक्टर्स इस निरसन को रोकते हैं। परिणामस्वरूप, decolored अवस्थाओं के लिए द्रव्यमान आइजनवैल्यू $m_g \to 0$ होने पर अनंत की ओर बढ़ती हैं। यह कन्फाइनमेंट की एक कम्प्यूटेशनल परिभाषा प्रदान करता है: decolored कॉन्फ़िगरेशन के लिए परिमित-द्रव्यमान आइजनस्टेट का अभाव।
तीन-बॉडी गतिकी (Three-Body Dynamics): विश्लेषण तीन-बॉडी घटकों ( $Q\bar{Q}G$ ) तक विस्तृत है, जो यह दर्शाता है कि स्मॉल- $x$ सिंगुलैरिटीज़ का निरसन इन सेक्टर्स के लिए भी मान्य है। तीन-बॉडी सेक्टर में कलर फैक्टर्स को कलर-सिंगलेट अवस्थाओं के लिए शून्य होने के रूप में दिखाया गया है, जो प्रभावी इंटरैक्शन की परिमितता सुनिश्चित करता है।
नॉन-रिलेटिविस्टिक लिमिट: भारी क्वार्क्स के लिए नॉन-रिलेटिविस्टिक सीमा में, व्युत्पन्न प्रभावी हैमिल्टोनियन पिछले कार्यों (जैसे, संदर्भ [6]) में पाए गए हार्मोनिक ऑसिलेटर पोटेंशियल की आवृत्ति को पुनरुत्पादित करता है, जो मौजूदा फेनोमेनोलॉजिकल मॉडल के विरुद्ध इस दृष्टिकोण को मान्य करता है।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि यह हैड्रोन के लिए प्रभावी हैमिल्टोनियन के अधिक सरल और प्रत्यक्ष व्युत्पन्न की पेशकश करता है। सहायक ग्लुऑन द्रव्यमान पैरामीटर और सहायक क्षेत्र का उपयोग करके, लेखक स्मॉल- $x$ विचलनों को संभालने के लिए आवश्यक जटिल, क्रमिक काउंटरटर्म गणनाओं की आवश्यकता से बचते हैं।

प्राथमिक महत्व इस बात के प्रदर्शन में निहित है कि $m_g \to 0$ की सीमा में कन्फाइनमेंट को व्युत्पन्न करने के लिए एक गणितीय रूप से सुपरिभाषित, परिमित गणना की जा सकती है। शोध पत्र का तर्क है कि प्रभावी इंटरैक्शन (कूलम्ब और हार्मोनिक ऑसिलेटर पोटेंशियल) बिना प्रारंभिक स्थिति ( $s=0$ ) में स्पष्ट रूप से वैक्यूम प्रभावों को शामिल किए भी, RGPEP विकास के माध्यम से स्वाभाविक रूप से उभरते हैं। यह सुझाव देता है कि फ्रंट फॉर्म में वैक्यूम-जैसे प्रभाव $s > 0$ पर RGPEP विकास के माध्यम से गतिशील रूप से उत्पन्न हो सकते हैं।

लेखक अपने दायरे के संबंध में विनम्र रहते हैं, यह नोट करते हुए कि परिणाम विशेष रूप से भारी क्वार्क्स के लिए कमजोर-कपलिंग विस्तार (दूसरे क्रम) के भीतर व्युत्पन्न किए गए हैं। वे स्वीकार करते हैं कि हल्के क्वार्क्स के लिए विस्तार करने हेतु रनिंग कपलिंग स्थिरांक को ध्यान में रखने के लिए उच्च-क्रम (चौथे क्रम तक) की गणना की आवश्यकता होगी, और बड़े दूरियों पर रोटेशन सिमेट्री के टूटने और हल्के क्वार्क्स की पूर्ण गतिकी के लिए आगे के अनुसंधान की आवश्यकता है। हालाँकि, यह कार्य एक आधारभूत ढांचा स्थापित करता है जहाँ हैड्रोन के लिए हैमिल्टोनियन आइजनवैल्यू समस्या को अकल्पनीय सिंगुलैरिटीज़ का सामना किए बिना तैयार किया जा सकता है।