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K-Inverse-RFM: A Modified RFM that Bridges the Gap to Neural Networks for Data-Corrupted Mathematical Tasks

यह शोध पत्र K-Inverse-RFM को प्रस्तुत करता है, जो एक संशोधित रिकर्सिव फीचर मशीन है जो डेटा-दूषित गणितीय कार्यों में प्रदर्शन संबंधी सीमाओं को दूर करने के लिए एक नवीन लेबल ट्रांसफॉर्मेशन का उपयोग करता है, जिससे यह फीडफॉरवर्ड न्यूरल नेटवर्क के बराबर या उससे भी बेहतर प्रदर्शन करने में सक्षम होता है।

मूल लेखक: Gil Pasternak

प्रकाशित 2026-07-02

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Gil Pasternak

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ "K-Inverse-RFM" थीसिस की सरल भाषा और रोज़मर्रा के उदाहरणों के साथ व्याख्या दी गई है।

बड़ी तस्वीर: गणित सीखने के दो तरीके

कल्पना कीजिए कि आप एक कंप्यूटर को गणित की समस्याएं हल करना सिखा रहे हैं, विशेष रूप से मॉड्यूलर अंकगणित (modular arithmetic) जैसी चीजें (जैसे एक घड़ी जहाँ नंबर घूमकर वापस आते हैं, जैसे 14 बजे का मतलब 2 बजे होता है)।

इस कहानी में दो मुख्य "छात्र" हैं:

न्यूरल नेटवर्क (सहज कलाकार - The Intuitive Artist): यह आधुनिक, शक्तिशाली AI है जिसके बारे में हर कोई बात करता है। यह लाखों सूक्ष्म आंतरिक 'नॉब्स' (knobs) को एडजस्ट करके सीखता है। यह पैटर्न पहचानने में माहिर है, भले ही डेटा बिखरा हुआ, शोर वाला (noisy) या असंतुलित हो।
RFM (नियमों का पालन करने वाला - The Rule-Follower): यह एक नया, सरल मॉडल है जिसे रिकर्सिव फीचर मशीन (Recursive Feature Machine) कहा जाता है। यह न्यूरल नेटवर्क की नकल करने की कोशिश करता है लेकिन एक अलग, अधिक गणितीय दृष्टिकोण का उपयोग करता है। यह उस छात्र की तरह है जो यह समझने की कोशिश करता है कि क्या महत्वपूर्ण है, इसके लिए डेटा के "औसत ढलान" (average slope) को देखता है।

समस्या: एकदम सटीक, साफ गणित की समस्याओं में, दोनों छात्र A+ पाते हैं। लेकिन जैसे ही आप इसमें वास्तविक दुनिया की गड़बड़ियाँ जोड़ते हैं—जैसे शोर (noise) (किताब में गलत उत्तर), असंतुलन (imbalance) (एक प्रकार के बहुत अधिक उदाहरण और दूसरे के बहुत कम), या अजीब एन्कोडिंग (weird encoding) (नंबरों को किसी गुप्त कोड में लिखना)—तो नियम का पालन करने वाला (RFM) बुरी तरह विफल होने लगता है। वहीं, सहज कलाकार (न्यूरल नेटवर्क) अच्छा प्रदर्शन करना जारी रखता है।

इस शोध पत्र के लेखक ने पूछा: नियम का पालन करने वाला (RFM) अव्यवस्थित डेटा के साथ संघर्ष क्यों करता है, और क्या हम इसे एक जटिल न्यूरल नेटवर्क बनाए बिना ठीक कर सकते हैं?

जांच: नियम का पालन करने वाला (RFM) क्यों विफल हुआ?

लेखक ने यह देखने के लिए तीन मुख्य प्रयोग चलाए कि RFM कहाँ टूट रहा था:

1. "शोर वाला टेक्स्टबुक" टेस्ट (लेबल नॉइज़/Label Noise)

परिदृश्य: कल्पना कीजिए कि एक टेक्स्टबुक है जिसमें 30% उत्तर बेतरतीब ढंग से गलत हैं।
परिणाम: न्यूरल नेटवर्क ने गलत उत्तरों को अनदेखा किया और सही पैटर्न को सीखा। RFM शोर से भ्रमित हो गया और इसका प्रदर्शन गिर गया।
खोज: लेखक ने पाया कि RFM इसलिए विफल नहीं हुआ क्योंकि वह उत्तर की भविष्यवाणी नहीं कर पा रहा था; बल्कि वह इसलिए विफल हुआ क्योंकि जब डेटा शोर वाला था, तो वह सही 'फीचर्स' (डेटा को देखने का सही तरीका) नहीं सीख पा रहा था। यह उस छात्र की तरह था जो बीजगणित (algebra) सीखने की कोशिश कर रहा है लेकिन पन्ने पर बने स्क्रिबल्स (scribbles) से विचलित हो रहा है।

2. "असमान क्लास" टेस्ट (इम्बैलेंस्ड डेटा/Imbalanced Data)

परिदृश्य: कल्पना कीजिए कि एक डेटासेट है जहाँ 90% उदाहरण "सेब" (Apples) के हैं और केवल 10% "संतरे" (Oranges) के हैं।
परिणाम: न्यूरल नेटवर्क दोनों को पहचानना सीख गया। RFM "सेब" के प्रति जुनूनी हो गया और "संतरे" को संभालना पूरी तरह भूल गया। यह बहुसंख्यक समूह (majority group) पर ओवरफिट हो गया।
खोज: RFM एक समूह के बारे में सीखी गई जानकारी को दूसरे समूह के साथ साझा करने में संघर्ष कर रहा था। इसने हर क्लास को एक अलग द्वीप की तरह माना।

3. "गुप्त कोड" टेस्ट (जटिल प्रतिनिधित्व/Complex Representation)

परिदृश्य: आपको नंबर "5" देने के बजाय, आपको एक कोड दिया जाता है जैसे "5 mod 3, 5 mod 5, 5 mod 7"। यह नंबरों को स्टोर करने का एक अधिक कुशल तरीका है (चाइनीज रिमाइंडर थ्योरम), लेकिन इसे डिकोड करना कठिन है।
परिणाम: न्यूरल नेटवर्क अंततः कोड को समझ गया। RFM इस संदेश को डिकोड करने और गणित को हल करने में संघर्ष करता रहा।
खोज: RFM इस जटिल कोड को एक उपयोगी फीचर में अनुवादित करने में सक्षम नहीं था।

समाधान: "K-Inverse-RFM"

लेखक को समझ आया कि RFM की मुख्य कमजोरी यह थी कि वह लेबल्स (उत्तरों) और फीचर्स को सीखने के तरीके को कैसे संभालता था। मानक RFM बहुत कठोर था।

इसे ठीक करने के लिए, लेखक ने K-Inverse-RFM नामक एक नया संस्करण बनाया। यह कैसे काम करता है, इसके लिए यहाँ उपमा (analogy) दी गई है:

पुराना तरीका (Standard RFM): कल्पना कीजिए कि छात्र टेक्स्टबुक को पन्ना दर पन्ना याद करने की कोशिश कर रहा है। यदि पन्ना फटा हुआ है या उसमें गलतियाँ हैं, तो वह अटक जाता है। वह हर सवाल को पूरी तरह से अलग मानता है।
नया तरीका (K-Inverse-RFM): लेखक ने छात्र को एक नई रणनीति दी: "सवालों को समझने के लिए जवाबों को देखो।"
- केवल इनपुट (सवाल) को देखकर आउटपुट का अनुमान लगाने के बजाय, K-Inverse-RFM जवाबों को फीचर्स पर वापस प्रोजेक्ट करता है। यह पूछता है, "यदि मुझे यह उत्तर चाहिए, तो मुझे किन फीचर्स के संयोजन की आवश्यकता है?"
- यह सीखने की प्रक्रिया को सुचारू बनाने के लिए एक "मूविंग एवरेज" (moving average) का भी उपयोग करता है, ताकि एक बुरा उदाहरण पूरे सबक को खराब न कर दे।
- महत्वपूर्ण रूप से, यह मॉडल को विभिन्न क्लासेस (जैसे सेब और संतरे) के बीच जानकारी साझा करने की अनुमति देता है।

परिणाम: क्या यह काम आया?

हाँ, और कुछ मामलों में, यह न्यूरल नेटवर्क से भी बेहतर था।

शोर वाले डेटा के साथ (With Noisy Data): K-Inverse-RFM ने पुराने RFM और न्यूरल नेटवर्क के बीच के अंतर को लगभग 64% तक पाट दिया। यह गलत उत्तरों के प्रति बहुत अधिक मजबूत हो गया।
असमान डेटा के साथ (With Imbalanced Data): इसने बहुसंख्यक समूह के प्रति जुनून छोड़ दिया। इसने दुर्लभ उदाहरणों को पुराने RFM की तुलना में बहुत बेहतर तरीके से सीखा।
गुप्त कोड के साथ (With Secret Codes/CRT): यह सबसे बड़ा सरप्राइज था। उन कार्यों में जहाँ डेटा जटिल "चाइनीज रिमाइंडर थ्योरम" शैली में एनकोड किया गया था, K-Inverse-RFM ने वास्तव में न्यूरल नेटवर्क को भी पीछे छोड़ दिया। इसने फीचर्स को इतनी अच्छी तरह से सीखा कि इसने समस्या को अधिक तेज़ी से और सटीकता से हल किया।

"सीक्रेट सॉस" खोज (The "Secret Sauce" Finding)

इस शोध पत्र की एक और दिलचस्प खोज यह है कि न्यूरल नेटवर्क का पहला लेयर (layer) सीखना ही सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा है।

लेखक ने न्यूरल नेटवर्क के पहले लेयर द्वारा सीखे गए फीचर्स को लिया और उन्हें एक साधारण 'कर्नेल' (एक गणितीय उपकरण) में फीड किया। इस साधारण टूल ने पूर्ण, जटिल न्यूरल नेटवर्क की तुलना में बेहतर प्रदर्शन किया।

उपमा: यह उस जीनियस छात्र के नोट्स लेने जैसा है जो क्लास के पहले 10 मिनट में बनाता है, और यह महसूस करना कि वे नोट्स उस अंतिम निबंध से बेहतर थे जो छात्र ने 3 घंटे के अत्यधिक विचार-विमर्श (overthinking) के बाद लिखा था।

सारांश

यह पेपर दिखाता है कि "नियम का पालन करने वाला" (RFM) इसलिए विफल नहीं हो रहा था क्योंकि वह मूर्ख था, बल्कि इसलिए क्योंकि जब डेटा अव्यवस्थित होता था, तो वह बहुत कठोर था। इसे कैसे फीचर्स पर जवाबों को मैप किया जाए (K-Inverse विधि) में बदलाव करके, लेखक ने एक ऐसा मॉडल बनाया जो:

अव्यवस्थित डेटा (शोर और असंतुलन) के साथ स्मार्ट है।
अधिक कुशल है (इसे सीखने के लिए कम अद्वितीय उदाहरणों की आवश्यकता होती है)।
कभी-कभी जटिल न्यूरल नेटवर्क से भी अधिक शक्तिशाली है, विशेष रूप से जटिल डेटा एन्कोडिंग के मामले में।

पेपर निष्कर्ष निकालता है कि हालांकि K-Inverse-RFM अभी भी पूरी तरह से परफेक्ट नहीं है, लेकिन यह अंतर को काफी हद तक कम करता है और यह साबित करता है कि हमें कठिन गणित की समस्याओं को हल करने के लिए हमेशा विशाल, जटिल न्यूरल नेटवर्क्स की आवश्यकता नहीं होती है; कभी-कभी, एक स्मार्ट, सरल दृष्टिकोण सबसे अच्छा काम करता है।

तकनीकी सारांश: K-Inverse-RFM

समस्या विवरण (Problem Statement)

रिकर्सिव फीचर मशीन्स (Recursive Feature Machines - RFMs) कर्नेल-आधारित मॉडल्स का एक वर्ग है जो फीचर्स को सीखने के लिए एवरेज ग्रेडिएंट आउटर प्रोडक्ट (Average Gradient Outer Product - AGOP) का उपयोग करते हैं, जो सैद्धांतिक रूप से क्लासिकल कर्नेल मेथड्स और फीडफॉरवर्ड न्यूरल नेटवर्क्स (FNNs) के बीच के अंतर को पाटने का काम करते हैं। जबकि RFMs ने क्लीन टैबुलर डेटा और विशिष्ट गणितीय कार्यों (जैसे मॉड्यूलर अंकगणित) पर स्टेट-ऑफ-द-आर्ट प्रदर्शन प्रदर्शित किया है, यह थीसिस पहचानती है कि जब डेटा दूषित (corrupted) होता है, तो RFMs और FNNs के बीच एक महत्वपूर्ण प्रदर्शन अंतराल (performance gap) होता है।

विशेष रूप से, लेखक यह अवलोकन करता है कि तीन विशिष्ट परिदृश्यों में RFMs, FNNs की तुलना में काफी खराब प्रदर्शन करते हैं:

लेबल नॉइज़ (Label Noise): जैसे-जैसे ट्रेनिंग लेबल नॉइज़ बढ़ती है, RFMs मजबूती से स्केल करने में विफल रहते हैं, जबकि FNNs उच्च सटीकता बनाए रखते हैं।
इम्बैलेंस्ड डेटा (Imbalanced Data): जब इनपुट या आउटपुट वितरण विषम (skewed) होता है (जैसे रीसैंपलिंग या विशिष्ट डेटा सबसेट्स के व्यवस्थित निष्कासन के माध्यम से), तो RFMs ओवरफिटिंग का शिकार होते हैं, जबकि FNNs अपेक्षाकृत स्थिर रहते हैं।
जटिल प्रतिनिधित्व (Complex Representations): जब इनपुट को चाइनीज रिमाइंडर थ्योरम (CRT) जैसी जटिल स्कीमों का उपयोग करके एनकोड किया जाता है, तो RFMs संरचना को डिकोड करने में संघर्ष करते हैं, और अक्सर FNNs से कम प्रदर्शन करते हैं।

मुख्य परिकल्पना यह है कि हालांकि FNNs में इन नॉइज़ी या जटिल व्यवस्थाओं में बेहतर फीचर लर्निंग क्षमताएं होती हैं, मानक RFMs आवश्यक फीचर संरचनाओं (विशेष रूप से मॉड्यूलर अंकगणित के लिए आवश्यक ब्लॉक-सर्कुलेंट फीचर्स) को सीखने में विफल रहते हैं।

कार्यप्रणाली: K-Inverse-RFM (Methodology)

इन सीमाओं को संबोधित करने के लिए, लेखक K-Inverse-RFM प्रस्तावित करता है, जो मानक RFM फ्रेमवर्क का एक संशोधन है। यह विधि मानक RFM ट्रेनिंग लूप (जो प्रेडिक्टर ट्रेनिंग और AGOP-आधारित फीचर लर्निंग के बीच घूमता है) में तीन प्राथमिक एल्गोरिथमिक परिवर्तन पेश करती है:

लेबल प्रोजेक्शन (K-Inverse): मानक कर्नेल रिज रिग्रेशन समीकरण को हल करने के बजाय, यह विधि एक संशोधित समीकरण को हल करती है जहाँ लेबल्स को कर्नेलाइज्ड फीचर स्पेस पर प्रोजेक्ट किया जाता है। विशेष रूप से, वेट वेक्टर $\alpha$ को इस प्रकार हल किया जाता है:
$\alpha (K(X, X; M_t) + \lambda I) = K(X, X; M_t) d y$
यहाँ, $d$ एक पावर पैरामीटर है (आमतौर पर $-1$ सेट किया जाता है, इसलिए "K-Inverse")। यह फॉर्मूलेशन लेबल्स को कर्नेलाइज्ड फीचर्स के स्पेस में मैप करता है, जो प्रभावी रूप से आउटपुट्स को डेटा पॉइंट्स के संयोजन के रूप में दर्शाता है। यह मल्टीक्लास स्ट्रक्चर को साझा करने के लिए प्रोत्साहित करता है और फीचर्स को एक क्लास से दूसरी क्लास को सूचित करने की अनुमति देता है, जिससे क्लास इम्बैलेंस और नॉइज़ के प्रभाव को कम किया जा सके।
मूविंग एवरेज AGOP (Moving Average AGOP): AGOP मैट्रिक्स में अस्थिरता और बड़े ग्रेडिएंट परिवर्तनों (विशेष रूप से उच्च-आयामी फीचर स्पेस में) को संबोधित करने के लिए, फीचर लर्निंग स्टेप ( $M_{t+1}$ ) को $k$ स्टेप्स के विंडो के माध्यम से AGOP मैट्रिसेस के मूविंग एवरेज के रूप में पुनर्गठित किया गया है। इस औसत को ट्रेनिंग लॉस के व्युत्क्रम ( $1/l_i$ ) द्वारा भारित (weighted) किया जाता है, जो खराब अपडेट के प्रभाव को कम करता है।
रिज रेगुलराइजेशन (Ridge Regularization): कर्नेल रिग्रेशन को उच्च रिज टर्म ( $\lambda$ ) के साथ कर्नेलाइज्ड रिज रिग्रेशन के रूप में पुनर्गठित किया गया है ताकि अपडेट साइज को नियंत्रित किया जा सके और ट्रेनिंग स्थिरता सुनिश्चित की जा सके।

पावर पैरामीटर $d$ को एक हाइपरपैरामीटर के रूप में माना जाता है; जबकि मानक मामलों के लिए $d=-1$ का उपयोग किया जाता है, लेखक नोट करता है कि घने फीचर स्पेस (जैसे CRT एनकोडिंग) के लिए, छोटे या सकारात्मक पावर (जैसे $d=0.4$ या $0.6$) प्रदर्शन और स्थिरता में सुधार कर सकते हैं।

मुख्य योगदान (Key Contributions)

RFM की सीमाओं का अनुभवजन्य अन्वेषण: यह थीसिस RFMs और FNNs के बीच कहाँ विचलन होता है, इसका व्यापक विश्लेषण प्रदान करती है, विशेष रूप से लेबल नॉइज़, डेटा इम्बैलेंस और जटिल इनपुट रिप्रेजेंटेशन को गणितीय कार्यों में प्रदर्शन अंतराल के प्राथमिक कारणों के रूप में अलग करती है।
फीचर लर्निंग निदान: FNN फर्स्ट-लेयर फीचर्स पर प्रशिक्षित लैप्लेस कर्नेल्स का उपयोग करके प्रयोगों के माध्यम से, लेखक यह प्रदर्शित करता है कि नॉइज़ी और इम्बैलेंस्ड सेटिंग्स में प्रदर्शन अंतराल मुख्य रूप से RFM की मजबूत फीचर्स (AGOP तंत्र) सीखने में असमर्थता के कारण है, न कि प्रेडिक्टिव हेड (कर्नेल रिग्रेशन) के कारण।
K-Inverse-RFM एल्गोरिदम: एक संशोधित RFM का परिचय जो लेबल प्रोजेक्शन और स्टेबलाइज्ड फीचर एवरेजिंग को शामिल करता है। यह विधि नॉइज़ी और इम्बैलेंस्ड डेटा परिदृश्यों में RFMs और FNNs के बीच के प्रदर्शन अंतराल को सफलतापूर्वक पाट देती है।
सैंपल एफिशिएंसी विश्लेषण: यह कार्य प्रकट करता है कि RFM का प्रदर्शन कुल नमूनों (samples) के बजाय यूनिक ट्रेनिंग पॉइंट्स की संख्या के साथ लगभग रैखिक रूप से स्केल करता है। K-Inverse-RFM बेहतर सैंपल एफिशिएंसी प्रदर्शित करता है, जो क्लास के बीच जानकारी साझा करने की अपनी क्षमता के कारण प्रति यूनिक सैंपल उच्च प्रदर्शन लाभ प्राप्त करता है।

परिणाम (Results)

K-Inverse-RFM का विभिन्न डेटा स्थितियों के तहत मॉड्यूलर एडिशन, मल्टीप्लिकेशन, सबट्रैक्शन, डिवीजन और GCD कार्यों के विरुद्ध मानक RFMs और FNNs के मुकाबले मूल्यांकन किया गया:

लेबल नॉइज़: K-Inverse-RFM मानक RFMs और FNNs के बीच के औसत 64% प्रदर्शन अंतराल को पाट देता है। यह मानक RFMs की तुलना में काफी बेहतर प्रदर्शन करता है (39.3% तक अधिक टेस्ट एक्यूरेसी) और 14% लेबल नॉइज़ तक FNNs के तुलनीय रहता है।
इम्बैलेंस्ड डेटा: विषम इनपुट वेट्स वाले परिदृश्यों में (जैसे विभाज्य-3 जोड़े), K-Inverse-RFM मानक RFMs की तुलना में टेस्ट एक्यूरेसी में 53% का सुधार दिखाता है। परिणाम संकेत देते हैं कि K-Inverse-RFM डेटा वितरण असंतुलन के प्रति कम संवेदनशील है और यूनिक सैंपल्स की वास्तविक संख्या पर अधिक निर्भर है।
व्यवस्थित निष्कासन (Systematic Exclusion): K-Inverse-RFM सभी परीक्षण किए गए एक्सक्लूजन प्रकारों (जैसे ऑपरेंड $>50$ या $<10$ को बाहर करना) में मानक RFMs से बेहतर प्रदर्शन करता है।
जटिल प्रतिनिधित्व (CRT): चाइनीज रिमाइंडर थ्योरम एनकोडिंग का उपयोग करने वाले कार्यों में, K-Inverse-RFM न केवल FNN के साथ गैप को भरता है, बल्कि 6 में से 5 एनकोडिंग-टास्क पेयर्स में, मानक RFM और न्यूरल नेटवर्क दोनों से बेहतर प्रदर्शन करता है। यह सुझाव देता है कि सही फीचर लर्निंग मैकेनिज्म के साथ, कर्नेल-आधारित मॉडल विशिष्ट स्ट्रक्चर्ड कार्यों पर डीप नेटवर्क से बेहतर प्रदर्शन कर सकते हैं।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

यह पेपर दावा करता है कि K-Inverse-RFM कर्नेल मेथड्स की दक्षता को न्यूरल नेटवर्क्स की मजबूती के साथ एकीकृत करने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है। अपने RFM को मॉडिफाई करके ताकि यह मल्टीक्लास फीचर लर्निंग को बेहतर ढंग से संभाल सके और AGOP अपडेट को स्थिर कर सके, यह मॉडल निम्नलिखित प्राप्त करता है:

मजबूती (Robustness): यह उन नॉइज़ी, इम्बैलेंस्ड और जटिल रूप से प्रस्तुत डेटा पर विश्वसनीय रूप से कार्य करता है जहाँ मानक RFMs विफल हो जाते हैं।
दक्षता (Efficiency): यह RFMs की कम्प्यूटेशनल दक्षता को बनाए रखता है, जो CPU पर प्रशिक्षित होने में सक्षम है, जबकि FNNs के लिए GPU-हैवी ट्रेनिंग की आवश्यकता होती है।
विशिष्ट व्यवस्थाओं में श्रेष्ठता (Superiority in Specific Regimes): कुछ स्ट्रक्चर्ड कार्यों (विशेष रूप से CRT-एनकोडेड मॉड्यूलर अंकगणित) में, K-Inverse-RFM डीप न्यूरल नेटवर्क्स से बेहतर प्रदर्शन कर सकता है, जो यह सुझाव देता है कि कर्नेल मेथड्स और न्यूरल नेटवर्क्स के बीच का "गैप" अंतर्निहित नहीं है, बल्कि पूर्व में सब-ऑप्टिमल फीचर लर्निंग मैकेनिज्म का परिणाम है।

लेखक विनम्रतापूर्वक निष्कर्ष निकालते हैं कि हालांकि K-Inverse-RFM अंतराल को महत्वपूर्ण रूप से कम करता है, लेकिन यह सभी परिदृश्यों में इसे पूरी तरह से समाप्त नहीं करता है। भविष्य के कार्य के रूप में गैर-गणितीय डोमेन (NLP, कंप्यूटर विज़न) में इन निष्कर्षों को विस्तारित करने और ट्रांसफॉर्मर्स के व्यवहार की जांच करने का सुझाव दिया गया है, क्योंकि वर्तमान अध्ययन फीडफॉरवर्ड न्यूरल नेटवर्क्स तक ही सीमित है।