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What's the Matter with 3D Gravity?

यह शोध पत्र 3D आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण से युग्मित पदार्थ के लिए विरासोरो (Virasoro) कॉन्फॉर्मल ब्लॉक्स के हिल्बर्ट स्पेस का निर्माण करने हेतु वर्ल्डलाइन फॉर्मलिज्म और ज्यामितीय क्वांटाइजेशन का उपयोग करता है, जो थर्मल AdS $_3$ पर ज्ञात वन-लूप विभाजन फलन (one-loop partition function) को सफलतापूर्वक पुनरुत्पादित करता है और इक्विवेरिएंट लोकलाइजेशन (equivariant localization) के माध्यम से इसके सभी-क्रमों (all-orders) के मान का अनुमान लगाता है।

मूल लेखक: Robert Bourne, Jackson R. Fliss, Bob Knighton

प्रकाशित 2026-07-03

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Robert Bourne, Jackson R. Fliss, Bob Knighton

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य चित्र: एक मोड़ के साथ एक सपाट दुनिया

कल्पना कीजिए कि हमारा ब्रह्मांड एक विशाल, तीन-आयामी कमरा है। आमतौर पर, हम गुरुत्वाकर्षण को उस चीज़ के रूप में देखते हैं जो हमें नीचे खींचती है या अंतरिक्ष को एक ट्रैम्पोलिन की तरह मोड़ देती है। लेकिन इस शोध पत्र में, लेखक ब्रह्मांड के एक बहुत ही विशिष्ट, सरल संस्करण की ओर देख रहे हैं: एक तीन-आयामी दुनिया जिसमें एक ऋणात्मक कॉस्मोलॉजिकल कॉन्स्टेंट (इसे ऐसे समझें कि यह एक ऐसा ब्रह्मांड है जो स्वाभाविक रूप से अंदर की ओर मुड़ना चाहता है, जैसे कि एक सैडल या प्रिंगल्स चिप के अंदर का हिस्सा, न कि एक गोले की तरह) है।

इस विशिष्ट 3D दुनिया में, "शुद्ध" गुरुत्वाकर्षण (बिना किसी अन्य चीज़ के गुरुत्वाकर्षण) वास्तव में काफी सरल और अच्छी तरह से समझा गया है। यह एक टोपोलॉजिकल पहेली की तरह है जहाँ नियम निश्चित हैं, और इसमें गुरुत्वाकर्षण की कोई "लहराती" लहरें (ग्रैविटॉन) इधर-उधर नहीं घूम रही हैं।

समस्या:
लेखक पूछते हैं: "क्या होता है यदि हम इसमें पदार्थ (matter) जोड़ दें?" विशेष रूप से, एक विशाल स्केलर फील्ड (जिसे आप एक भारी कण या धूल के बादल के रूपas कल्पना कर सकते हैं)।

सामान्य भौतिकी में, पदार्थ जोड़ने से चीजें जटिल और गणना करने में कठिन हो जाती हैं।
इस 3D दुनिया में, पदार्थ जोड़ना उस "पहेली" के स्वरूप को तोड़ देता है। गणित अविश्वसनीय रूप से कठिन हो जाता है, जैसे कि किसी के मेज को हिलाते समय रूबिक क्यूब को हल करने की कोशिश करना।

समाधान: कणों को "दोषों (Defects)" में बदलना

लेखक एक चतुर तकनीक का उपयोग करते हैं जिसे वर्ल्डलाइन फॉर्मलिज्म (worldline formalism) कहा जाता है। पदार्थ को पूरे कमरे में भरे हुए धूल के निरंतर बादल के रूप में सोचने के बजाय, वे पदार्थ की कल्पना छोटे, भारी बिंदु कणों के एक संग्रह के रूप में करते हैं जो समय के माध्यम से विशिष्ट पथों (रेखाओं) पर चलते हैं।

उपमा:
कल्पना कीजिए कि अंतरिक्ष का ताना-बाना रबर की एक चिकनी, सपाट चादर है।

शुद्ध गुरुत्वाकर्षण: चादर चिकनी है।
पदार्थ जोड़ना: जब आप चादर पर एक भारी संगमरमर रखते हैं, तो वह केवल वहीं बैठता नहीं है; बल्कि यह एक तीखा, शंकु के आकार का गड्ढा बनाता है। इस शोध पत्र की भाषा में, कण एक "शंक्वाकार दोष" (conical defect) बनाता है।

लेखकों ने महसूस किया कि पूरे धूल के बादल की जटिल अंतःक्रिया की गणना करने के बजाय, वे ब्रह्मांड को इन शंकु के आकार के गड्ढों के संग्रह के रूप में मान सकते हैं। फिर उन्होंने गणना की कि इन शंकुओं को व्यवस्थित करने के कितने तरीके हैं और वे कैसे परस्पर क्रिया करते हैं।

"दोषों की गैस" और क्वांटम नृत्य

शोध पत्र पदार्थ को "दोषों की गैस" (gas of defects) के रूप में वर्णित करता है।

कल्पना कीजिए कि एक कमरा लोगों (दोषों) से भरा है जो एक विशाल, जटिल नृत्य में एक-दूसरे का हाथ पकड़े हुए हैं।
लेखकों ने एक "हिल्बर्ट स्पेस" बनाया, जो अनिवार्य रूप से इस गैस के दोषों द्वारा किए जा सकने वाले सभी संभावित नृत्य मूव्स (क्वांटम अवस्थाओं) का एक विशाल पुस्तकालय है।
उन्होंने पाया कि ये नृत्य मूव्स विरासोरो कॉन्फॉर्मल ब्लॉक्स (Virasoro conformal blocks) के अनुरूप हैं। सरल शब्दों में, ये एक संगीत रचना के विशिष्ट पैटर्न या "नोट्स" हैं जो सख्त गणितीय नियमों (जैसे कि एक सिम्फनी के नियम) का पालन करते हैं।

मुख्य उपलब्धि: "थर्मल" ऊर्जा की गणना करना

लेखकों ने अपनी नई पद्धति को एक विशिष्ट परिदृश्य पर लागू किया: थर्मल AdS3।

उपमा: कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल ओवन (थर्मल) है जिसका एक विशिष्ट तापमान है। लेखक यह गणना करना चाहते थे कि जब इसमें गुरुत्वाकर्षण और भारी कण दोनों मौजूद हों, तो इस ओवन के अंदर कुल "ऊर्जा" या "दबाव" कितना होगा।

वे इस ऊर्जा को सटीक रूप से (exactly), क्रम दर क्रम, इक्विवेरिएंट लोकलाइजेशन (equivariant localization) नामक एक तकनीक का उपयोग करके सफलतापूर्वक गणना करने में सक्षम रहे।

रूपक: आमतौर पर, इसकी गणना करना समुद्र में ज्वार आने के दौरान समुद्र तट पर रेत के प्रत्येक कण को गिनने की कोशिश करने जैसा है। लेखकों ने एक ऊँची चट्टान पर खड़े होकर "परछाइयों" को देखकर कणों को गिनने का एक तरीका खोजा। उन्होंने पाया कि सभी अंतःक्रियाओं का जटिल योग एक सुव्यवस्थित, टोपोलॉजिकल वस्तु में सरल हो जाता है जिसे वे "विल्सन स्पूल" (Wilson spool) कहते हैं।
विल्सन स्पूल को ब्रह्मांड के चारों ओर लिपटे धागे के एक विशाल स्पूल के रूप में समझें। धागा "ओवन" के चारों ओर कैसे लिपटता है, उससे आपको सिस्टम की ऊर्जा के बारे में सटीक जानकारी मिलती है।

परिणाम और आश्चर्य

यह काम करता है: उनकी गणना सरल मामलों (वन-लूप गणनाओं) के ज्ञात परिणामों से मेल खाती है, जो यह सिद्ध करती है कि उनकी विधि सही है।
"ब्लैक होल" थ्रेशोल्ड: जब उन्होंने गहराई से देखा, तो उन्हें एक अजीब सीमा मिली। यदि आप ओवन में बहुत अधिक कण डालते हैं, तो वे आपस में टकराने लगते हैं।
- यदि कणों का कुल "भार" बहुत अधिक है, तो वे केवल एक बड़ा गड्ढा नहीं बनाते; बल्कि वे एक ब्लैक होल के समान चीज़ में ढह जाते हैं।
- लेखकों ने पाया कि उनका गणित एक "थ्रेशोल्ड" (एक विशिष्ट भार सीमा) की भविष्यवाणी करता है। यदि आप इसे पार करते हैं, तो गणित एक विशिष्ट तरीके से टूट जाता है, जो ब्लैक होल की उपस्थिति का संकेत देता है।
अनंत की समस्या: उन्होंने पाया कि यदि आप इस ब्लैक होल थ्रेशोल्ड के ऊपर अवस्थाओं की संख्या गिनने की कोशिश करते हैं, तो यह संख्या अनंत हो जाती है।
- उपमा: यह पहले से ही भरी हुई आकाश में अनंत संख्या में सितारों को व्यवस्थित करने के तरीकों को गिनने की कोशिश करने जैसा है। लेखक सुझाव देते हैं कि यह संभवतः यह दर्शाता है कि एक साधारण "मुक्त" कण को गुरुत्वाकर्षण में जोड़ने से बहुत उच्च ऊर्जाओं पर यह सिद्धांत "बीमार" या अस्थिर हो जाता है, जब तक कि अन्य छिपे हुए नियम मौजूद न हों जिन्हें हमने अभी तक नहीं खोजा है।

सारांश

यह शोध पत्र एक कठिन समस्या (3D गुरुत्वाकर्षण में पदार्थ जोड़ना) को हल करता है:

पदार्थ को अंतरिक्ष में तीखे शंकु के आकार के गड्ढों में बदलकर।
इन गड्ढों को एक क्वांटम गैस के रूप में मानकर जो एक विशिष्ट संगीत स्कोर (विरासोरो ब्लॉक्स) की लय पर नाचती है।
सिस्टम की कुल ऊर्जा की गणना करने के लिए एक टोपोलॉजिकल स्पूल (विल्सन स्पूल) का उपयोग करके।
यह पता लगाकर कि इस प्रणाली में एक ब्रेकिंग पॉइंट (ब्लैक होल थ्रेशोल्ड) है जहाँ गणित अनंत संख्या में अवस्थाओं का सुझाव देता है, जो यह संकेत देता है कि उच्च ऊर्जाओं पर इस सिद्धांत को पूरी तरह से पूर्ण बनाने के लिए और अधिक कार्य की आवश्यकता है।

उन्होंने कोई नया इंजन का आविष्कार नहीं किया या किसी बीमारी का इलाज नहीं किया; उन्होंने एक गहरे गणितीय पहेली को हल किया कि कैसे गुरुत्वाकर्षण और पदार्थ एक सरलीकृत, तीन-आयामी ब्रह्मांड में एक साथ काम करते हैं।

तकनीकी सारांश: "3D ग्रेविटी के साथ क्या समस्या है?" (What's the Matter with 3D Gravity?)

समस्या विवरण (Problem Statement)
यह शोध पत्र एक ऋणात्मक कॉस्मोलॉजिकल कॉन्स्टेंट ( $\Lambda < 0$ ) वाले तीन-आयामी आइंस्टीन ग्रेविटी के साथ पदार्थ (matter) को न्यूनतम रूप से युग्मित (minimally coupling) करने की चुनौती को संबोधित करता है। जबकि शुद्ध 3D ग्रेविटी एक टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड थ्योरी (TQFT) के रूप में अच्छी तरह से समझी जा सकती है और UV परिमित (finite) है, प्रसारित होने वाले पदार्थ क्षेत्रों (विशेष रूप से एक द्रव्यमान वाले स्केलर फील्ड) का समावेश इस सिद्धांत की टोपोलॉजिकल प्रकृति को तोड़ देता है। स्केलर फील्ड स्थानीय डिग्री ऑफ फ्रीडम पेश करता है, जिससे शास्त्रीय फेज स्पेस अनंत-आयामी हो जाता है और उस काहलर संरचना (Kähler structure) को नष्ट कर देता है जो शुद्ध ग्रेविटी के ज्यामितिक क्वांटाइजेशन को सुगम बनाती है। लेखक इस युग्मित प्रणाली के सुसंगत क्वांटाइजेशन का निर्माण करने, परिणामी हिल्बर्ट स्पेस की संरचना निर्धारित करने और न्यूटन के स्थिरांक ( $G_N$ ) के सभी ऑर्डर्स तक थर्मल AdS $_3$ पर सटीक विभाजन फलन (partition function) की गणना करने का लक्ष्य रखते हैं।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक "बॉटम-अप" दृष्टिकोण अपनाते हैं, जो स्केलर फील्ड थ्योरी के वर्ल्डलाइन फॉर्मलिज्म को शुद्ध ग्रेविटी के कैनोनिकल क्वांटाइजेशन (Virasoro TQFT के माध्यम से) के साथ जोड़ता है।

डिफेक्ट्स के रूप में वर्ल्डलाइन फॉर्मलिज्म: स्केलर फील्ड $\phi$ पर सीधे इंटीग्रेशन करने के बजाय, लेखक स्केलर फील्ड को "डिफेक्ट्स के गैस" (gas of defects) के रूप में दर्शाने के लिए वर्ल्डलाइन फॉर्मलिज्म का उपयोग करते हैं। $\phi$ पर पाथ इंटीग्रल को सापेक्षिक बिंदु कणों (relativistic point particles) की वर्ल्डलाइन्स के योग में बदल दिया जाता है। ग्रेविटेशनल पाथ इंटीग्रल में, ये वर्ल्डलाइन्स प्रारंभिक समय सतह $\Sigma$ पर शंक्वाकार दोष (conical defects/curvature singularities) के रूप में प्रकट होती हैं।
फेज स्पेस निर्माण: कणों की एक निश्चित संख्या $n$ के लिए, ग्रेविटेशनल फेज स्पेस को मैपिंग क्लास ग्रुप के मॉड्यूलो के रूप में, शंकु सतहों के टीचमुलर स्पेस (Teichmüller spaces) के उत्पाद $T_{\Sigma, n, \theta} \times \bar{T}_{\Sigma, n, \theta}$ के रूप में पहचाना जाता है। यहाँ, $\theta$ कण के द्रव्यमान द्वारा निर्धारित डिफेक्ट एंगल है। यह स्पेस एक काहलर संरचना बनाए रखता है, जिससे ज्यामितिक क्वांटाइजेशन संभव होता है।
ज्यामितिक क्वांटाइजेशन (Geometric Quantization): लेखक एक प्री-क्वांटम लाइन बंडल $L$ का निर्माण करके $T_{\Sigma, n, \theta}$ का क्वांटाइजेशन करते हैं जिसका प्रथम चेर्न क्लास (first Chern class) सिम्प्लेक्टिक फॉर्म (वेइल-पीटर्सन फॉर्म) से मेल खाता है। $n$ कणों के लिए हिल्बर्ट स्पेस $\mathcal{H}_{grav, n}$ को इस बंडल के होलोमॉर्फिक सेक्शन्स (holomorphic sections) के स्थान के रूप में पहचाना जाता है। ये सेक्शन्स $h < c/24$ के कॉन्फॉर्मल वेट वाले विरासोरो कॉन्फॉर्मल ब्लॉक्स (Virasoro conformal blocks) के अनुरूप होते हैं।
कॉम्पैक्टिफिकेशन और रीसमेशन (Compactification and Resummation): कणों के सहवर्ती सीमा (coincident limit) को संभालने के लिए, लेखक टीचमुलर स्पेस के एक विशिष्ट कॉम्पैक्टिफिकेशन को अपनाते हैं जहाँ डिफेक्ट्स या तो आपस में जुड़ जाते हैं या यदि उनका कुल द्रव्यमान एक सीमा से अधिक हो जाता है, तो वे नोडल स्फेयर्स (nodal spheres) के रूप में "बबल ऑफ" हो जाते हैं। पूर्ण हिल्बर्ट स्पेस का निर्माण सभी कण संख्याओं $n$ के प्रत्यक्ष योग (direct sum) के रूप में किया जाता है, जिसे मैपिंग क्लास इनवेरिएंट्स पर प्रोजेक्ट किया गया है।
विभाजन फलन गणना (Partition Function Calculation): थर्मल AdS $_3$ पर विभाजन फलन की गणना इक्विवेरिएंट लोकलाइजेशन (equivariant localization) और इंडेक्स थ्योरम्स (विशेष रूप से एटियाह-बॉट फिक्स्ड-पॉइंट थ्योरम) का उपयोग करके की जाती है। हिल्बर्ट स्पेस पर ट्रेस को मॉडुलि स्पेस पर हैमिल्टोनियन एक्शन के फिक्स्ड पॉइंट्स की पहचान करके निकाला जाता है।

प्रमुख योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

हिल्बर्ट स्पेस का निर्माण: शोध पत्र एक द्रव्यमान वाले स्केलर के साथ युग्मित ग्रेविटी के हिल्बर्ट स्पेस का एक ठोस निर्माण प्रदान करता है। इस स्पेस के स्टेट्स $h < c/24$ के कॉन्फॉर्मल वेट वाले विरासोरो कॉन्फॉर्मल ब्लॉक्स के अनुरूप होते हैं। लेखक वेइल इनवेरिएंस सुनिश्चित करने के लिए एक टाइमलाइक लिउविल थ्योरी कोरिलेटर का उपयोग करके इस स्पेस के इनर प्रोडक्ट को स्पष्ट रूप से परिभाषित करते हैं।
सटीक विभाजन फलन: लेखक $G_N$ के सभी ऑर्डर्स तक थर्मल AdS $_3$ पर विभाजन फलन $Z(\tau, \bar{\tau})$ का एक सटीक व्यंजक प्राप्त करते हैं। परिणाम को विरासोरो बीजगणक के कैरेक्टर्स को शामिल करते हुए, कणों की संख्या और परम्यूटेशन्स के योग के रूप में व्यक्त किया गया है।
ज्ञात परिणामों का पुनरुत्पादन:
- ट्री-लेवल (leading order in $G_N$ ) पर, परिणाम एक निश्चित थर्मल AdS $_3$ बैकग्राउंड पर एक द्रव्यमान वाले स्केलर के वन-लूप विभाजन फलन को पुनरुत्पादित करता है, जैसा कि जियोम्बी, मालनी और यिन (GMY) द्वारा गणना की गई थी।
- यह फॉर्मलिज्म "विल्सन स्पूल" (Wilson spool) अभिव्यक्ति को भी स्वाभाविक रूप से पुनरुत्पादित करता है, जो कि चेर्न-साइमन फॉर्मुलेशन में पदार्थ को 3D ग्रेविटी से जोड़ने के लिए पहले प्रस्तावित एक टोपोलॉजिकल लाइन ऑपरेटर है। लेखक प्रदर्शित करते हैं कि विल्सन स्पूल कैनोनिकल क्वांटाइजेशन परिप्रेक्ष्य से स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है।
उच्च-लूप सुधार (Higher-Loop Corrections): शोध पत्र GMY परिणाम में $G_N$ में उच्च-लूप सुधारों को निकालने के लिए एक कुशल विधि प्रदान करता है। विभाजन फलन का विस्तार करके, लेखक स्पष्ट दो-लूप सुधार प्राप्त करते हैं और दिखाते हैं कि कैसे उच्च क्रमों को वन-लूप डिटरमिनेंट पर विभेदक ऑपरेटरों (differential operators) को लागू करके उत्पन्न किया जा सकता है।
रीसमेशन के माध्यम से गैर-परटर्बेटिव अंतर्दृष्टि: विभाजन फलन के परटर्बेटिव सीरीज़ को औपचारिक रूप से रीसम (resum) करके, लेखक विभाजन फलन का एक इंटीग्रल रिप्रेजेंटेशन प्राप्त करते हैं। वे तर्क देते हैं कि इंटीग्रैंड की पोल स्ट्रक्चर (pole structure) गैर-परटर्बेटिव प्रभावों को प्रकट करती है। विशेष रूप से, पहला पोल जो मिलता है वह BTZ ब्लैक होल थ्रेशोल्ड ( $c/24$ ) के अनुरूप है, जो यह सुझाव देता है कि रीसमेशन ब्लैक होल निर्माण की ओर ले जाने वाले बैक-रिएक्शन को कैप्चर करता है।
थ्रेशोल्ड के ऊपर विचलन (Divergence Above Threshold): लेखक पाते हैं कि जब कणों की संख्या BTZ थ्रेशोल्ड (जहाँ कुल डिफेक्ट एंगल $n\theta > 2\pi$ हो जाता है) से अधिक होती है, तो हैमिल्टोनियन का फिक्स्ड-पॉइंट सेट एक नॉन-कॉम्पैक्ट टीचमुलर स्पेस की कॉपी बन जाता है, जिससे स्टेट्स की अनंत डिजेनेरेसी (infinite degeneracy) हो जाती है। वे इसे इस रूप में व्याख्यायित करते हैं कि मुक्त स्केलर (free scalar) को ग्रेविटी के साथ युग्मित करने का सिद्धांत शायद UV पूर्ण (complete) नहीं है, या वर्तमान फॉर्मलिज्म ब्लैक होल थ्रेशोल्ड के ऊपर टूट जाता है।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

यह शोध पत्र थर्मल AdS $_3$ में एक द्रव्यमान वाले स्केलर फील्ड के साथ न्यूनतम रूप से युग्मित ग्रेविटी के पाथ इंटीग्रल का $G_N$ के सभी ऑर्डर्स तक सटीक रूप से मूल्यांकन करने के लिए पहली संरचित प्रक्रिया प्रदान करने का दावा करता है।

फॉर्मलिज्म का मिलन: यह वर्ल्डलाइन/डिफेक्ट चित्र और विरासोरो TQFT के बीच के अंतर को सफलतापूर्वक पाटता है, यह दिखाते हुए कि "विल्सन स्पूल" केवल एक अनुमान (ansatz) नहीं है बल्कि युग्मित प्रणाली के कैनोनिकल क्वांटाइजेशन का एक परिणाम है।
सभी ऑर्डर्स के लिए अनुमान: प्राप्त विभाजन फलन को $G_N$ के सभी ऑर्डर्स तक पाथ इंटीग्रल के मान के लिए एक अनुमान (conjecture) के रूप में प्रस्तुत किया गया है।
UV पूर्णता: शोध पत्र विनम्रतापूर्वक सुझाव देता है कि जबकि शुद्ध 3D ग्रेविटी UV परिमित है, एक मुक्त स्केलर फील्ड को शामिल करने से विचलन (ब्लैक होल थ्रेशोल्ड के ऊपर अनंत डिजेनेरेसी) उत्पन्न होते हैं, जो इस विशिष्ट मैटर-ग्रेविटी सिस्टम के लिए UV पूर्णता की कमी का संकेत दे सकते हैं, जैसा कि जैक्विक-टीटलजन (JT) ग्रेविटी में देखी गई समस्याओं के समान है।
भविष्य की दिशाएं: लेखक नोट करते हैं कि उनका फॉर्मलिज्म पदार्थ के साथ 3D ग्रेविटी के "TQFT" विवरण विकसित करने के लिए एक आधार के रूप में कार्य करता है, हालांकि वे स्वीकार करते हैं कि स्पिनिंग फील्ड्स को संभालने, थ्रेशोल्ड के ऊपर अनंत डिजेनेरेसी को हल करने और मानक परटर्बेशन थ्योरी के विरुद्ध उच्च-लूप सुधारों को सत्यापित करने के लिए आगे काम करने की आवश्यकता है।

यह कार्य यह दावा नहीं करता है कि यह सामान्य क्वांटम ग्रेविटी की समस्या को हल करता है या इसे UV पूर्ण बनाता है; बल्कि, यह एक विशिष्ट, न्यूनतम युग्मन के लिए एक सटीक, गणना योग्य ढांचा प्रदान करता है जो समृद्ध गैर-परटर्बेटिव संरचना और प्रभावी फील्ड थ्योरी विवरण की संभावित सीमाओं को प्रकट करता है।