Quantum random walks on d-regular graphs with Haar-random coin operators
यह शोध पत्र स्वतंत्र हेयर-रैंडम (Haar-random) कॉइन ऑपरेटर्स द्वारा संचालित d-रेगुलर ग्राफ्स पर डिस्क्रीट क्वांटम रैंडम वॉक्स की जांच करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि जबकि औसत गतिकी (averaged dynamics) कॉइन सबस्पेस को डीपोलराइज करती है और क्लासिकल रैंडम वॉक्स की नकल करती है, वर्टेक्स सबस्पेस में विशिष्ट माप अभी भी प्रारंभिक क्वांटम अवस्था के बारे में जानकारी को अनिश्चित काल तक बनाए रख सकते हैं, जो दृढ़ता से विचलित (strongly perturbed) सबसिस्टम वाले बाइपार्टाइट सिस्टम के बारे में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं।
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कल्पना कीजिए कि आपके पास एक नन्हा, अदृश्य खोजकर्ता है जिसका नाम क्वांटम (Quantum) है। सामान्य भौतिकी की दुनिया में, यदि आप क्वांटम को एक सिक्के के उछाल के आधार पर बाएं या दाएं कदम उठाने के लिए कहते हैं, तो वह एक नशे में धुत व्यक्ति की तरह व्यवहार करता है जो गलियारे में लड़खड़ा रहा हो: अंततः, वह एक अनुमानित, बेल-कर्व (bell-curve) आकार में फैलता है। यह एक क्लासिकल रैंडम वॉक (classical random walk) है।
लेकिन क्वांटम दुनिया में, चीजें अजीब हैं। आमतौर पर, यदि आप क्वांटम को एक विशेष "जादुई सिक्का" (जैसे कि हैडामार्ड कॉइन) देते हैं, तो वह केवल लड़खड़ाता नहीं है; वह एक शॉकवेव की तरह बहुत तेज़ी से फैलता है, क्योंकि वह एक ही समय में दो जगहों पर हो सकता है और खुद के साथ हस्तक्षेप (interfere) कर सकता है। यह प्रसिद्ध क्वांटम रैंडम वॉक (quantum random walk) है, और यही वह गुप्त सामग्री है जो उन सबसे तेज़ कंप्यूटर सर्च एल्गोरिदम के पीछे है जिन्हें हम बनाने की उम्मीद करते हैं।
अब, इस शोध पत्र के सितारे से मिलिए: एलिस क्विलन का "हार-रैंडम कॉइन" (Haar-random coin)।
वह जादुई सिक्का जो हर कदम पर बदल जाता है
कल्पना कीजिए कि आप कई दरवाजों वाली एक गैलरी (ग्राफ) में चल रहे हैं। एक सामान्य क्वांटम वॉक में, आप हर कदम उठाते समय एक ही जादुई सिक्के का उपयोग करते हैं। लेकिन इस नए प्रयोग में, सिक्का एक गिरगिट (chameleon) की तरह है।
हर बार जब आप एक कदम उठाते हैं, तो आप टोपी में से एक बिल्कुल अलग, रैंडम सिक्का निकालते हैं। ये कोई साधारण सिक्के नहीं हैं; इन्हें एक विशेष, पूरी तरह से समान वितरण से निकाला गया है जिसे हार मेजर (Haar measure) कहा जाता है। इसे एक ऐसे पासे के रूप में सोचें जिसमें हर संभव संख्या के पहलू (sides) हैं, और परिणाम हर बार पूरी तरह से रैंडम होता है।
यह शोध पत्र पूछता है: यदि हम हर कदम पर सिक्के को रैंडम तरीके से बदलते हैं, तो क्या क्वांटम अपनी सुपरपावर्स खो देता है और एक अनाड़ी क्लासिकल वॉकर में बदल जाता है?
बड़ा आश्चर्य: सिक्का हार जाता है, लेकिन स्मृति बनी रहती है
लेखकों ने गणनाएँ कीं (और कुछ सिमुलेशन भी किए) और एक दिलचस्प मोड़ पाया।
1. कॉइन सबस्पेस "डीपोलराइज" हो जाता है (भूलने की बीमारी)
जब आप उन सभी रैंडम सिक्कों का औसत निकालते हैं, तो सिस्टम का "कॉइन वाला हिस्सा" सब कुछ भूल जाता है। यह एक डीपोलराइजेशन चैनल (depolarization channel) बन जाता है। कल्पना कीजिए कि सिक्का इतनी तेज़ी से और रैंडम तरीके से घूम रहा है कि वह केवल स्टेटिक (static) का एक धुंधलापन बन जाता है। इस धुंधलेपन में, वह क्वांटम इंटरफेरेंस जो आमतौर पर वॉकर को तेज़ी से दूर ले जाता है, गायब हो जाता है।
- परिणाम: वॉकर धीरे-धीरे फैलता है, ठीक वैसे ही जैसे एक क्लासिकल नशे में धुत व्यक्ति। शोध पत्र दिखाता है कि 100 वर्टिसेस (vertices) वाले ग्राफ के लिए, फैलाव (वैरिएंस) समय के साथ रैखिक (linearly) रूप से बढ़ता है, ठीक एक क्लासिकल वॉक की तरह।
- निर्णय: इस "भूलने की बीमारी" के कारण, लेखक तर्क देते हैं कि यह विशिष्ट सेटअप क्वांटम सर्च एल्गोरिदम के लिए उपयोगी नहीं होगा। उन एल्गोरिदम को चीज़ों को तेज़ी से खोजने के लिए उस सुपर-फास्ट, बैलिस्टिक फैलाव की आवश्यकता होती है। यह रैंडम कॉइन उस गति को खत्म कर देता है।
2. वर्टेक्स सबस्पेस रहस्य को सुरक्षित रखता है (छिपी हुई डायरी)
यहाँ असली जादू है। भले ही सिक्के ने सब कुछ भुला दिया, लेकिन वॉकर की स्थिति (वर्टेक्स) ने अपनी सारी याददाश्त नहीं खोई।
शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि यदि आप एक विशिष्ट प्रकार का "सुपरपोजिशन" (एक ऐसी अवस्था जहाँ वॉकर दो अलग-अलग "फ्रीक्वेंसी" पैटर्न के मिश्रण में होता है) से शुरू करते हैं, तो रैंडम सिक्के उन पैटर्न के बीच के संबंध को पूरी तरह से नहीं मिटा पाते हैं।
- उपमा: कल्पना कीजिए कि वॉकर एक डायरी ले जा रहा है। रैंडम सिक्के उस डायरी के पन्ने फाड़ देते हैं जो यह बताते हैं कि वॉकर कहाँ जा रहा है (कॉइन स्टेट), लेकिन वे डायरी की बाइंडिंग (binding) को बरकरार रखते हैं। यदि आप डायरी की बांडिंग को ध्यान से देखते हैं (दो विशिष्ट दरवाजों के बीच सहसंबंध/correlations को मापकर), तो आप अभी भी उस प्रारंभिक गुप्त कोड को पढ़ सकते हैं जो वॉक शुरू होने से पहले लिखा गया था।
- शर्त: यह केवल तभी काम करता है जब गैलरी (ग्राफ) का आकार बहुत विशिष्ट हो। शोध पत्र सिद्ध करता है कि यह एबेलियन समूहों (Abelian groups) के केली ग्राफ (Cayley graphs) (जैसे एक सरल वृत्त या हाइपरक्यूब) पर होता है केवल तभी जब समूह की संरचना एक विशेष "पीरियड-2" ऑर्बिट की अनुमति देती है। यदि ग्राफ इस सख्त गणितीय सांचे में फिट नहीं बैठता है, तो स्मृति पूरी तरह से मिट जाती है, और वॉकर केवल एक समान धुंधलापन बन जाता है।
यह शोध पत्र वास्तव में क्या सिद्ध करता है (और क्या नहीं)
लेखकों ने केवल अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने इस बिंदु को सिद्ध करने के लिए एक गणितीय मॉडल बनाया और सिमुलेशन चलाए।
- उन्होंने सिद्ध किया: इस वॉक का औसत व्यवहार एर्गोडिक (ergodic) नहीं है। सरल शब्दों में, "एर्गोडिक" का अर्थ है "अंततः सब कुछ भूल जाना और एक समान बिखराव बन जाना।" लेखकों ने दिखाया कि इस वॉक के कई फिक्स्ड पॉइंट्स (fixed points) होते हैं। यह केवल एक उबाऊ, समान अवस्था में नहीं settles होता; यह संभावनाओं के एक लूप में फंस जाता है जो इसके शुरुआती स्वरूप पर निर्भर करता है।
- उन्होंने सिमुलेशन किया: उन्होंने दिखाया कि 100 वर्टिसेस वाले एक साइकिल ग्राफ (एक वृत्त) के लिए, वॉकर को खोजने की संभावना एक बेल कर्व (Gaussian) की तरह दिखती है, बिल्कुल एक क्लासिकल वॉक की तरह।
- उन्होंने सुझाव दिया: क्योंकि सिक्का बहुत रैंडम है, यह सिस्टम एक क्वांटम सिस्टम के लिए एक बेहतरीन मॉडल है जो एक "शोर वाले" (noisy) वातावरण या एक गर्म थर्मल बाथ के साथ परस्पर क्रिया कर रहा है। यह समझने के लिए एक आदर्श टेस्टबेड है कि कैसे सूचना जीवित रहती है जब एक सिस्टम को लगातार छेड़ा और उकसाया जाता है।
निचोड़ (Bottom Line)
यह शोध पत्र हमें बताता है कि यदि आप हर कदम पर एक रैंडम कॉइन के साथ एक क्वांटम सिस्टम को हिलाते हैं, तो आप उस "क्वांटम स्पीड" को खो देते हैं जो सर्चिंग के लिए क्वांटम कंप्यूटरों को शानदार बनाती है। वॉकर एक क्लासिकल गति तक धीमा हो जाता है।
हालाँकि, शोध पत्र एक छिपी हुई लचीलापन (resilience) को प्रकट करता है। इस शोर भरे, अराजक वातावरण में भी, सिस्टम अपनी पिछली बातों को पूरी तरह से नहीं भूलता है। यदि आप जानते हैं कि कहाँ देखना है (ग्राफ पर विशिष्ट स्थानों के बीच सहसंबंधों की जाँच करके), तो आप वॉक के हजारों कदमों के बाद भी प्रारंभिक अवस्था की एक झलक देख सकते हैं। यह "टेलीफोन गेम" की तरह है जहाँ संदेश बिगड़ जाता है, लेकिन यदि आप बैकग्राउंड की गूँज को सुनते हैं, तो आप अभी भी मूल आवाज़ सुन सकते हैं।
इसलिए, भले ही यह "हार-रैंडम कॉइन" वॉक तेज़ सर्च इंजन की कुंजी नहीं है, लेकिन यह एक शोर भरी, अराजक दुनिया में क्वांटम सूचना कैसे जीवित रहती है, इसे समझने के लिए एक शानदार नया उपकरण है।
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