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How thermal is a filtered state?

यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि फ्लोकेट (Floquet) और पारंपरिक हैमिल्टोनियन (Hamiltonian) दोनों प्रणालियों में, ऊर्जा-फ़िल्टर्ड अवस्थाओं और तापीय अवस्थाओं के बीच की ट्रेस दूरी (trace distance), फ़िल्टर की चौड़ाई के वर्गमूल द्वारा सीमित होती है, जिससे इस बात को मापा जाता है कि फ़िल्टर्ड अवस्थाओं को तापीय व्यवहार का सटीक रूप से अनुमान लगाने के लिए कितनी सटीकता की आवश्यकता है।

मूल लेखक: Yilun Yang, J. Ignacio Cirac, Mari Carmen Bañuls

प्रकाशित 2026-07-09

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Yilun Yang, J. Ignacio Cirac, Mari Carmen Bañuls

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक बड़ा चित्र: शुरुआत से एक "थर्मल" भोजन बनाना

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक अराजक रसोई (एक क्वांटम सिस्टम) है जो हजारों सामग्रियों (कणों) से भरी है जो बेतहाशा इधर-उधर घूम रहे हैं। आप एक विशिष्ट व्यंजन बनाना चाहते हैं: एक थर्मल स्टेट (Thermal State)। भौतिकी में, एक थर्मल स्टेट एक बिल्कुल संतुलित सूप की तरह है जहाँ तापमान समान है और सामग्रियां बिल्कुल सही तरीके से मिली हुई हैं। यह उस संतुलन का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें प्रकृति स्वाभाविक रूप से स्थिर होती है।

समस्या यह है कि इस "सूप" को सीधे एक क्वांटम कंप्यूटर में तैयार करना अविश्वसनीय रूप से कठिन है। यह एक विशाल बर्तन के सूप को बिना एक बूंद गिराए अपने हाथों से मिलाने की कोशिश करने जैसा है।

समाधान: ऊर्जा फिल्टर (The Energy Filter)
सूप को सीधे मिलाने के बजाय, लेखक एक चतुर तरकीब प्रस्तावित करते हैं: एनर्जी फिल्टरिंग (Energy Filtering)।
कल्पना कीजिए कि आपके पास एक बड़ी छलनी (एक फिल्टर) है जो केवल उन सामग्रियों को गुजरने देती है जिनका वजन (ऊर्जा) एक विशिष्ट सीमा में होता है। यदि आप सामग्रियों के एक सरल, व्यवस्थित ढेर (एक "प्रोडक्ट स्टेट") से शुरू करते हैं और उन्हें इस छलनी से छानते हैं, तो आपको एक नया ढेर मिलता है जो दिखने और स्वाद में उस थर्मल सूप जैसा होना चाहिए।

वह बड़ा सवाल जिसका उत्तर यह शोध पत्र देता है, वह है: छलनी की जाली कितनी महीन होनी चाहिए?

यदि छेद बहुत बड़े हैं, तो आपको एक गड़बड़ मिलेगी।
यदि छेद सूक्ष्म (घातांकीय रूप से छोटे) हैं, तो आपको एक आदर्श थर्मल स्टेट मिलेगा, लेकिन इसे बनाने में बहुत समय लगेगा।
लक्षत: उस "स्वीट स्पॉट" को खोजना जहाँ छेद इतने छोटे हों कि सूप का स्वाद थर्मल जैसा हो जाए, लेकिन इतने छोटे भी न हों कि प्रक्रिया असंभव हो जाए।

नया उपकरण: "स्ट्रोबोसकोपिक" कैमरा (फ्लोकेट डायनेमिक्स)

यह पता लगाने के लिए, लेखकों ने यह नहीं देखा कि सूप लगातार कैसे उबल रहा है। इसके बजाय, उन्होंने एक स्ट्रोबोसकोपिक कैमरा का उपयोग किया।

कल्पना कीजिए कि आप हर सेकंड एक घूमते हुए पंखे की फोटो लेते हैं। आप धुंधलापन नहीं देखते; आप पंखे को विशिष्ट, स्थिर स्थितियों में देखते हैं। भौतिकी में, इसे फ्लोकेट डायनेमिक्स (Floquet dynamics) कहा जाता है। सिस्टम को समय के साथ सुचारू रूप से विकसित होते देखने के बजाय, वे नियमित अंतराल पर इसके "स्नैपशॉट" देखते हैं।

उन्होंने पाया कि यदि आप इस "स्नैपशॉट" मोड में अपने ऊर्जा फिल्टर को लागू करते हैं, तो परिणामी अवस्था गणितीय रूप से सभी स्नैपशॉट्स के औसत (average) के बराबर होती है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक घंटे तक हर सेकंड एक डांसर की फोटो लेते हैं। यदि आप उन सभी फोटो को एक के ऊपर एक रखते हैं, तो आपको एक "भूतिया" (ghostly) छवि मिलती है जो दिखाती है कि डांसर ने हर स्थिति ली थी। यह पेपर सिद्ध करता है कि "फिल्टर्ड स्टेट" अनिवार्य रूप से यही भूतिया औसत है।

मुख्य खोज: यह कितना "थर्मल" है?

लेखकों ने गणना की यह देखने के लिए कि यह "भूतिया औसत" एक वास्तविक थर्मल स्टेट के कितने करीब पहुँचता है। उन्होंने ट्रेस डिस्टेंस (Trace Distance) नामक मीट्रिक का उपयोग करके फिल्टर की गई अवस्था और पूर्ण थर्मल अवस्था के बीच की दूरी को मापा।

परिणाम:
फिल्टर्ड स्टेट और पूर्ण थर्मल स्टेट के बीच का अंतर मोटे तौर पर फिल्टर की चौड़ाई का वर्गमूल (square root) है।

रूपक: फिल्टर की चौड़ाई ( $\delta$ $δ$ ) को अपने फोटो के "धुंधलेपन" (blur) के रूप में सोचें।
- यदि आप फिल्टर को दोगुना सटीक (चौड़ाई को आधा) बनाते हैं, तो त्रुटि (error) आधी नहीं होती है। इसके बजाय, यह वर्गमूल (लगभग 30%) द्वारा कट जाती है।
- निष्कर्ष: आपको एक बहुत ही अच्छी थर्मल स्टेट प्राप्त करने के लिए सूक्ष्म, पूर्ण फिल्टर की आवश्यकता नहीं है। एक मध्यम सटीक फिल्टर आपको "काफी हद तक करीब" लाने के लिए पर्याप्त है। जैसे-जैसे आप फिल्टर को कसते हैं, त्रुटि अनुमानित रूप से कम होती जाती है।

एंटैंगलमेंट पहेली: सूप कितना "अव्यवस्थित" है?

क्वांटम भौतिकी में, "थर्मल" अवस्थाएं आमतौर पर बहुत "अव्यवस्थित" या "एंटैंगल्ड" होती हैं। इसका मतलब है कि सामग्रियां इतनी मिली हुई हैं कि आप पूरे बर्तन का वर्णन किए बिना एक हिस्से का वर्णन नहीं कर सकते। इस अव्यवस्था को एंट्रॉपी (Entropy) द्वारा मापा जाता है।

पिछले अध्ययनों ने सुझाव दिया था कि फिल्टर की गई अवस्थाएँ वास्तव में थर्मल होने के लिए पर्याप्त अव्यवस्थित नहीं हो सकती हैं। लेखकों ने गहराई से जांच की और पाया कि "अव्यवस्था" इस बात पर निर्भर करती है कि आप इसे कैसे मापते हैं (एक पैरामीटर जिसे $\alpha$ कहा जाता है):

यदि आप "औसत" अव्यवस्था को देखते हैं ( $\alpha > 1$ ): फिल्टर की गई अवस्था आश्चर्यजनक रूप से पूर्ण थर्मल अवस्था जितनी अव्यवस्थित नहीं है। जैसे-जैसे आप फिल्टर को कसते हैं, यह बहुत धीरे-धीरे (लॉगारिदमिक रूप से) बढ़ती है। यह एक ऐसे सूप की तरह है जो मिश्रित तो है, लेकिन आप अभी भी सामग्रियों के कुछ अलग क्लंप देख सकते हैं।
यदि आप "मानक" अव्यवस्था को देखते हैं ( $\alpha = 1$ ): अव्यवस्था रैखिक रूप से बढ़ती है। यह उस चीज़ के करीब है जिसकी हम थर्मल अवस्था में अपेक्षा करते हैं।
यदि आप "चरम" अव्यवस्था को देखते हैं ( $\alpha < 1$ ): अव्यवस्था बहुत तेज़ी से (द्विघातीय रूप से) बढ़ सकती है, यह इस पर निर्भर करता है कि फिल्टर को कहाँ काटा गया है।

यह क्यों मायने रखता है?
यह दिखाता है कि हालांकि फिल्टर की गई अवस्थाएं कुछ विशिष्ट गणितीय तरीकों (विशेष रूप से कुछ प्रकार के मापों के लिए) में पूरी तरह से थर्मल नहीं हैं, लेकिन वे स्थानीय रूप से थर्मल (locally thermal) हैं। इसका मतलब है कि यदि आप सूप के एक छोटे चम्मच को देखते हैं (सिस्टम का एक स्थानीय हिस्सा), तो यह बिल्कुल एक थर्मल अवस्था की तरह दिखता है और व्यवहार करता है।

सेतु: स्नैपशॉट्स से वास्तविक समय तक

यह शोध पत्र "स्नैपशॉट" (फ्लोकेट) पद्धति का उपयोग करके शुरू हुआ क्योंकि इसकी गणना करना आसान है। लेकिन वास्तविक क्वांटम सिस्टम आमतौर पर निरंतर विकसित होते हैं (हैमिल्टोनियन डायनेमिक्स)।

लेखकों ने दिखाया कि आप अपने "स्नैपशॉट" परिणामों को वापस "निरंतर" दुनिया में अनुवादित कर सकते हैं।

उपमा: उन्होंने सिद्ध किया कि उनके "स्नैपशॉट सूप" का नुस्खा "निरंतर हिलाए जाने वाले सूप" के लिए भी उतना ही अच्छा काम करता है, बशर्ते आप समय को सही ढंग से समायोजित करें।
परिणाम: वही नियम लागू होता है: त्रुटि फिल्टर की चौड़ाई के वर्गमूल के समानुपाती होती है, यहाँ तक कि वास्तविक, निरंतर दुनिया में भी।

दावों का सारांश

फिल्टर चौड़ाई का नियम: एक ऐसी अवस्था प्राप्त करने के लिए जो थर्मल व्यवहार करती है, आपको असंभव रूप से सटीक फिल्टर की आवश्यकता नहीं है। अवस्था में त्रुटि फिल्टर की चौड़ाई के वर्गमूल (square root) के साथ स्केल होती है।
तुल्यता (Equivalence): एक फिल्टर की गई अवस्था, सिस्टम के इतिहास (समय औसत) के भारित औसत (weighted average) के गणितीय रूप से समान है।
स्थानीय बनाम वैश्विक: हालांकि फिल्टर की गई अवस्था गणितीय रूप से हर गहरे तरीके से (विशेष रूप से यह कि पूरे सिस्टम में कितनी एंटैंगल्ड है) "पूर्णतः" थर्मल नहीं हो सकती है, लेकिन यह स्थानीय रूप से थर्मल है। यदि आप इसके किसी भी छोटे हिस्से को मापते हैं, तो यह बिल्कुल एक थर्मल अवस्था की तरह दिखता है।
व्यावहारिकता: आप एक बहुत ही सरल, व्यवस्थित अवस्था (जैसे प्रोडक्ट स्टेट) से शुरू कर सकते हैं और इस फिल्टरिंग विधि का उपयोग करके एक थर्मल जैसी अवस्था बना सकते हैं, जो शून्य से थर्मल अवस्था बनाने की तुलना में बहुत आसान है।

संक्षेप में: यह पेपर सिद्ध करता है कि ऊर्जा फिल्टर का उपयोग करना एक थर्मल अवस्था को "नकली" बनाने का एक विश्वसनीय तरीका है। आपको एक पूर्ण फिल्टर की आवश्यकता नहीं है; एक मध्यम स्तर का फिल्टर आपको 99% तक पहुँचा देता है, और गणित आपको बताता है कि आप कितने करीब हैं।

तकनीकी सारांश: "थर्मल एक फ़िल्टर्ड अवस्था कैसे है?"

समस्या विवरण
क्वांटम सिमुलेशन अनेक-निकाय प्रणालियों (many-body systems) के तापीय संतुलन गुणों की जांच करने के लिए एक मार्ग प्रदान करता है। हालांकि, क्वांटम उपकरणों पर सीधे थर्मल अवस्थाओं को तैयार करना चुनौतीपूर्ण है। एक आशाजनक विकल्प में सरल, आसानी से तैयार की जा सकने वाली शुद्ध अवस्थाओं (जैसे, प्रोडक्ट स्टेट्स) से थर्मल एन्सेम्बल्स का अनुमान लगाने के लिए ऊर्जा फिल्टरों का उपयोग करना शामिल है। जबकि यह स्थापित है कि एक चरघातांकीय रूप से संकीर्ण (exponentially narrow) फिल्टर (जो व्यक्तिगत आइजनस्टेट्स को हल करता है) आइजनस्टेट थर्मल हाइपोथेसिस (ETH) के तहत थर्मल व्यवहार उत्पन्न करता है, फिल्टर की चौड़ाई $\delta$ के सटीक आवश्यक मानों को सुनिश्चित करने के लिए क्या होना चाहिए, यह एक खुला प्रश्न बना हुआ है। पिछले कार्यों ने एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी स्केलिंग और कैनोनिकल यूनिवर्सलिटी के माध्यम से इसकी खोज की है, जो सिस्टम साइज $N$ और रेनी एंट्रॉपी (Rényi entropy) के क्रम $\alpha$ के साथ $\delta$ के आवश्यक स्केलिंग के संबंध में परस्पर विरोधी या अपूर्ण परिणाम देते हैं। यह कार्य कठोरता से यह निर्धारित करने का लक्ष्य रखता है कि थर्मल व्यवहार सुनिश्चित करने के लिए फिल्टर को कितना संकीर्ण होना चाहिए।

कार्यप्रणाली
लेखक निरंतर-समय हैमिल्टोनियन विकास (continuous-time Hamiltonian evolution) से बदलकर एक विविक्त-समय फ्लोक्वेट शासन (Floquet regime) का उपयोग करके इस समस्या का विश्लेषण करते हैं। वे एक स्थानीय हैमिल्टोनियन या फ्लोक्वेट ऑपरेटर पर लागू एक कोसाइन फिल्टर (विशेष रूप से एक ट्रंकेटेड संस्करण) का उपयोग करते हैं।

फ्लोक्वेट मैपिंग: फिल्टर को विविक्त चरणों (discrete steps) पर समय-विकास ऑपरेटरों के एक रैखिक संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है। लेखक "हैमिल्टोनियन शासन" (जहाँ ऊर्जा को हल करने के लिए समय चरण $T$ , सिस्टम साइज के साथ स्केल होता है) और "पूर्ण फ्लोक्वेट शासन" (जहाँ $T$ स्थिर है और स्पेक्ट्रम फोल्ड होता है) के बीच अंतर करते हैं।
रिड्यूस्ड डेंसिटी मैट्रिक्स (RDM) संरचना: एक केंद्रीय तकनीकी चरण फिल्टर की गई अवस्था के RDM का विश्लेषण करना है। लेखक प्रदर्शित करते हैं कि सामान्य प्रारंभिक प्रोडक्ट अवस्थाओं के लिए, लॉसचड्ट इको (Loschmidt echo - समय-विकसित अवस्थाओं के बीच ओवरलैप) सिस्टम साइज के साथ चरघातांकीय रूप से घटता है। यह क्षय इंगित करता है कि RDM के ऑफ-डायगोनल ब्लॉक्स लुप्त हो जाते हैं, जिससे RDM प्रभावी रूप से व्यक्तिगत समय-विकसित चरणों के RDMs का एक वेटेड डायरेक्ट सम (weighted direct sum) बन जाता है।
एंट्रॉपी गणना: इस ब्लॉक-डायगोनल संरचना का लाभ उठाते हुए, लेखक डायगोनल ब्लॉक्स के योगदान और फिल्टर गुणांकों के वितरण को जोड़कर रेनी- $\alpha$ एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी की गणना करते हैं।
थर्मल अभिसरण (Thermal Convergence): "थर्मलनेस" को मापने के लिए, लेखक फिल्टर की गई अवस्था और थर्मल (डायगोनल) एन्सेम्बल के बीच ट्रेस डिस्टेंस (या स्थानीय अवलोकनीयों के अपेक्षा मानों के अंतर) की गणना करते हैं। वे फ्लोक्वेट ETH का उपयोग करते हैं, जो यह प्रतिपादित करता है कि आइजनबेसिस में अवलोकनीयों के मैट्रिक्स तत्व रैंडम मैट्रिक्स सांख्यिकी का पालन करते हैं, ताकि ऑफ-डायगोनल टर्म्स के योगदान को सीमित किया जा सके।
हैमिल्टोनियन शासन में विस्तार: अंत में, वे हैमिल्टोनियन-फिल्टर्ड अवस्थाओं को प्रभावी फ्लोक्वेट-फिल्टर्ड अवस्थाओं में मैप करने के लिए समय-विकास पदों को समूहित करते हैं, जिससे फ्लोक्वेट परिणामों को मानक हैमिल्टोनियन सेटिंग में लागू किया जा सके।

मुख्य परिणाम

रेनी एंट्रॉपी स्केलिंग: लेखक फिल्टर की गई अवस्थाओं के लिए $\alpha$ $α$ के आधार पर एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी $S_\alpha$ $S_{α}$ के विभिन्न स्केलिंग व्यवहारों को पुनः प्रस्तुत और स्पष्ट करते हैं:
- $\alpha > 1$ : एंट्रॉपी व्युत्क्रम फिल्टर चौड़ाई ( $\log(1/\delta)$ ) के साथ लॉगरिदमिक रूप से स्केल होती है। यह पूर्ण थर्मल अवस्थाओं से अपेक्षित वॉल्यूम लॉ (volume law) के विपरीत है, जो यह सुझाव देता है कि बहुपद रूप से छोटे $\delta$ के लिए, फिल्टर की गई अवस्थाएं उच्च-क्रम एंटैंगलमेंट के मामले में पूरी तरह से थर्मल नहीं होती हैं।
- $\alpha = 1$ (वॉन न्यूमैन): एंट्रॉपी $1/\delta$ (एक लॉगरिदमिक सुधार के साथ) के साथ रैखिक रूप से स्केल होती है, जो $t \sim 1/\delta$ समय के लिए विकसित अवस्था के समान है।
- $\alpha < 1$ : स्केलिंग फिल्टर के प्रकार पर निर्भर करती है। एक ट्रंकेटेड फिल्टर के लिए, यह $1/\delta$ के साथ रैखिक रूप से स्केल होती है। एक अनट्रंकेटेड (सटीक कोसाइन) फिल्टर के लिए, यह $1/\delta$ (या $1/\delta^2$ ) के साथ द्विघात रूप से स्केल होती है।
थर्मल अवस्थाओं में अभिसरण: फ्लोक्वेट ETH की धारणा के तहत, लेखक सिद्ध करते हैं कि एक फ्लोक्वेट-फिल्टर्ड अवस्था और थर्मल अवस्था के बीच ट्रेस डिस्टेंस $O(\sqrt{\delta})$ द्वारा ऊपरी रूप से सीमित है। विशेष रूप से, किसी भी स्थानीय अवलोकनीय के अपेक्षा मानों में अंतर $O(\sqrt{\delta})$ द्वारा सीमित है।
हैमिल्टोनियन शासन तुल्यता: $O(\sqrt{\delta})$ बाउंड हैमिल्टोनियन-फिल्टर्ड अवस्थाओं तक विस्तारित है। एक हैमिल्टोनियन-फिल्टर्ड अवस्था को एक प्रभावी फ्लोक्वेट अवस्था में मैप करके, जिसमें एक संशोधित समय चरण है, लेखक दिखाते हैं कि अभिसरण दर $O(\sqrt{\delta_H})$ बनी रहती है।
संख्यात्मक सत्यापन: गैर-एकीकृत (non-integrable) आइसिंग मॉडल के लिए मैट्रिक्स प्रोडक्ट स्टेट (MPS) सिमुलेशन और छोटे सिस्टम के लिए सटीक विकर्णों (exact diagonalization) का उपयोग करके सैद्धांतिक भविष्यवाणियों को मान्य किया गया है, जो स्थानीय अवलोकनीयों के लिए $O(\sqrt{\delta})$ स्केलिंग और विशिष्ट एंट्रॉपी स्केलिंग की पुष्टि करते हैं।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र फिल्टर की गई अवस्थाओं के थर्मल एन्सेम्बल्स में अभिसरण का मात्रात्मक लक्षण वर्णन (quantitative characterization) प्रदान करने का दावा करता है।

खुले प्रश्नों का समाधान: यह फिल्टर की चौड़ाई और थर्मल व्यवहार के बीच संबंध को स्पष्ट करता है, यह दिखाते हुए कि हालांकि फिल्टर की गई अवस्थाएं सभी $\alpha$ (विशेष रूप से $\alpha > 1$ ) के लिए पूर्ण वॉल्यूम-लॉ एंटैंगलमेंट प्रदर्शित नहीं कर सकती हैं, फिर भी वे स्थानीय अवलोकनीयों के लिए थर्मल अपेक्षा मानों की ओर अभिसरित होती हैं।
कैनोनिकल यूनिवर्सलिटी का व्युत्पत्ति: यह कार्य दर्शाता है कि "कैनोनिकल यूनिवर्सलिटी" गुण (जहाँ एक संकीर्ण ऊर्जा विंडो में अपेक्षा मान थर्मल मानों के करीब होते हैं) एक स्वतंत्र परिकल्पना नहीं है, बल्कि इसे सीधे फ्लोक्वेट ETH से निकाला जा सकता है। लेखक दिखाते हैं कि सहसंबद्ध ऑफ-डायगोनल मैट्रिक्स तत्वों के साथ भी (सरल स्वतंत्रता धारणाओं से परे), त्रुटि $\sqrt{\delta}$ के रूप में स्केल होती है।
एल्गोरिद्मिक दक्षता: लेखक नोट करते हैं कि फ्लोक्वेट फिल्टर थर्मल अवस्था तैयार करने में हैमिल्टोनियन फिल्टरों को बदल सकते हैं। चूंकि फ्लोक्वेट समय चरण, ऊर्जा को हल करने के लिए आवश्यक हैमिल्टोनियन समय चरण ( $O(\sqrt{N})$ ) की तुलना में बड़ा हो सकता है, इसलिए यह दृष्टिकोण क्वांटम एल्गोरिदम में आवश्यक मापन की संख्या को कम कर सकता है।
प्रारंभिक अवस्थाओं की सरलता: थर्मल प्योर क्वांटम स्टेट्स (TPQS) तैयार करने के अन्य तरीकों के विपरीत, जिनके लिए हेयर-रैंडम (Haar-random) प्रारंभिक अवस्थाओं की आवश्यकता होती है, यह दृष्टिकोण सरल प्रोडक्ट स्टेट्स के साथ काम करता है, जो इसे क्लासिकल और क्वांटम कार्यान्वयन दोनों के लिए अधिक व्यवहार्य बनाता है।

लेखक अपनी सीमाओं के संबंध में विनम्र बने रहते हैं, यह स्वीकार करते हुए कि जबकि स्थानीय अवलोकन अभिसरित होते हैं, एंटैंगलमेंट संरचना (विशेष रूप से $\alpha > 1$ के लिए) पूरी तरह से थर्मल अवस्था की नकल नहीं करती है जब तक कि फिल्टर की चौड़ाई चरघातांकीय रूप से छोटी न हो। वे यह भी नोट करते हैं कि एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी परिणामों का हैमिल्टोनियन से फ्लोक्वेट शासन में विस्तार सैद्धांतिक रूप से समान होने की गारंटी नहीं देता है क्योंकि मैपिंग में प्रभावी प्रारंभिक अवस्था में पेश किए गए एंटैंगलमेंट के कारण अंतर हो सकता है, हालांकि संख्यात्मक साक्ष्य समानता का समर्थन करते हैं।