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Depth-Efficient Quantum Topological Data Analysis for Regime-Specific Detection of Financial Stress

यह शोध पत्र S&P 500 डेटा में वित्तीय तनाव का पता लगाने के लिए बेट्टी संख्याओं (Betti numbers) का अनुमान लगाने हेतु पाउली कोरिलेशन एनकोडिंग (Pauli Correlation Encoding) का उपयोग करते हुए एक डेप्थ-एफिशिएंट क्वांटम एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है, जो टोपोलॉजिकल विशेषताओं की सटीक रिकवरी और इन-रेजीम (in-regime) प्रदर्शन को प्रदर्शित करता है, साथ ही आउट-ऑफ-डिस्ट्रीब्यूशन (out-of-distribution) संकट की घटनाओं में सामान्यीकरण करने की महत्वपूर्ण सीमाओं को भी रेखांकित करता है।

मूल लेखक: Arul Rhik Mazumder, Shreyan Ronit Mazumder

प्रकाशित 2026-07-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Arul Rhik Mazumder, Shreyan Ronit Mazumder

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

शेयर बाजार को संख्याओं के एक अराजक समुद्र के रूप में नहीं, बल्कि रबर बैंड और लूप्स से बनी एक विशाल, अदृश्य आकृति के रूप में कल्पना करें। जब चीजें शांत होती हैं, तो यह आकृति चिकनी और सरल होती है। लेकिन जब कोई वित्तीय संकट आने वाला होता है, तो यह आकृति मुड़ने, उलझने और अजीब छेद बनाने लगती है। यह शोध पत्र उन छेदों को क्रैश होने से पहले पहचानने की कोशिश के बारे में है, जिसमें एक नए प्रकार के "क्वांटम सूक्ष्मदर्शी" (quantum microscope) का उपयोग किया गया है जो बहुत उथला (shallow) और बनाने में आसान है।

बड़ी अवधारणा: बाजार में छेदों की गिनती करना
लेखकों ने यह देखना चाहा कि क्या वे किसी क्रैश की भविष्यवाणी करने के लिए S&P 500 स्टॉक मार्केट डेटा में "लूप्स" (गणितीय छेद) की गिनती कर सकते हैं। उन्होंने 'टोपोलॉजिकल डेटा एनालिसिस' (TDA) नामक तकनीक का उपयोग किया, जो बाजार की आकृति को अलग-अलग ज़ूम स्तरों पर फोटो लेने जैसा है। अतीत में, यह गणित इतना भारी था कि इसके लिए विशाल सुपर कंप्यूटरों की आवश्यकता होती थी।

इसे हल्का बनाने के लिए, टीम ने पॉली कोरिलेशन एनकोडिंग (PCE) नामक एक नई ट्रिक का उपयोग किया। इसे एक अत्यंत कुशल कंप्रेशन एल्गोरिदम के रूप में समझें। प्रत्येक डेटा पॉइंट के लिए एक अलग कमरा (qubit) रखने के बजाय, PCE हजारों डेटा पॉइंट्स को क्वांटम बिट्स के एक छोटे से समूह में सिकोड़ देता है। यह एक विशाल मानचित्र को अपनी जेब में फोल्ड करने जैसा है। लक्ष्य इस संकुचित मानचित्र का उपयोग करके क्वांटम कंप्यूटर के माध्यम से बाजार की आकृति में "शून्य ऊर्जा" (zero energy) अवस्थाओं (छेदों) को खोजना था।

अच्छी खबर: गणित काम करता है (कुछ हद तक)
टीम ने एक पाइपलाइन बनाई जो वास्तविक स्टॉक डेटा (2003 से 2010 के S&P 500 रिटर्न्स) से शुरू होती है।

क्लासिकल चेक: सबसे पहले, उन्होंने यह सुनिश्चित करने के लिए एक सामान्य कंप्यूटर पर गणित चलाया कि उन्हें सही उत्तर पता है। उन्होंने पाया कि उनकी विधि 190 अलग-अलग टाइम विंडोज़ पर 'रिपर' (ripser) नामक एक मानक टूल से पूरी तरह मेल खाती है।
क्वांटम टेस्ट (टॉय मॉडल्स): उन्होंने अपने क्वांटम तरीके का परीक्षण छोटे, नकली "टॉय" आकारों (जैसे सरल त्रिकोण और वर्ग) पर किया। इन छोटे और आसान समस्याओं पर, क्वांटम विधि ने पूरी तरह से काम किया और छेदों की सही संख्या खोजी।
ग्रेडिएंट की समस्या: क्वांटम कंप्यूटिंग में एक बड़ा डर "बैरेन प्लेटो" (barren plateau) है, जहाँ कंप्यूटर एक सपाट परिदृश्य में इतना खो जाता है कि वह उत्तर नहीं ढूंढ पाता। लेखकों ने इसे मापा और पाया कि उनके विशिष्ट तरीके के लिए, भ्रम तेजी से (exponentially) नहीं बढ़ा। इसके बजाय, यह केवल धीरे-धीरे (polynomially) बढ़ा क्योंकि उन्होंने अधिक क्वबिट्स (4 से 12 तक) जोड़े। यह सुझाव देता है कि यह विधि प्रशिक्षित होने योग्य हो सकती है, भले ही उनका विशिष्ट गणितीय सूत्र पिछले सुरक्षा प्रमाणों द्वारा कवर नहीं किया गया था।

बुरी खबर: वास्तविक दुनिया कठिन है
यहाँ शोध पत्र ईमानदारी से बताता है कि इसने क्या हासिल नहीं किया। जब उन्होंने वास्तविक S&P 500 डेटा (जिसमें बहुत बड़े और जटिल आकार हैं) पर इस क्वांटम विधि को चलाने की कोशिश की, तो यह विफल रही।

रैंडम स्टार्ट की विफलता: जब उन्होंने क्वांटम कंप्यूटर को शून्य से शुरू होने दिया (यानी रैंडम अनुमान लगाने के लिए छोड़ा), तो यह किसी भी छेद को खोजने में विफल रहा, भले ही छेद स्पष्ट रूप से वहां मौजूद थे। कंप्यूटर गणितीय परिदृश्य के एक स्थानीय जाल (local trap) में फंस गया।
"वार्म स्टार्ट" समाधान: हालांकि, जब उन्होंने क्वांटम कंप्यूटर को एक क्लासिकल कंप्यूटर से "संकेत" (hint) दिया (उसे बताया कि कहाँ देखना है), तो इसने पूरी तरह से काम किया। इसने छेदों को बिल्कुल सटीक रूप से खोज लिया।
निष्कर्ष: पेपर का तर्क है कि एनकोडिंग (डेटा को सिकोड़ने का तरीका) ठीक है। समस्या ऑप्टिमाइज़ेशन (खोज प्रक्रिया) में है। क्वांटम कंप्यूटर को अपनी यात्रा शुरू करने के लिए एक बेहतर मानचित्र की आवश्यकता है; वह केवल अंधेरे में भटक नहीं सकता।

भविष्यवाणी परीक्षण: क्या इसने क्रैश को पहचाना?
टीम ने यह भी पूछा: "यदि हम इन छेदों का उपयोग क्रैश की भविष्यवाणी करने के लिए करते हैं, तो क्या यह काम करता है?"

2008 के संकट के दौरान: जब उन्होंने 2007-2009 के वित्तीय संकट के डेटा पर इस विधि का परीक्षण किया, तो इसने अच्छा काम किया। इसने एक स्कोर (ROC AUC) 0.818 दिया, जो केवल अनुमान लगाने से कहीं बेहतर है। ऐसा लगा जैसे इसने लेहमैन ब्रदर्स के पतन से पहले बढ़ते तनाव को महसूस किया।
संकट के बाहर (वास्तविकता की जांच): लेकिन जब उन्होंने इसी विधि का परीक्षण दो अलग-अलग प्रमुख घटनाओं—2020 कोविड शॉक और 2022 ब्याज दर चक्र—पर किया, तो यह बुरी तरह विफल रहा।
- 2020 के क्रैश के लिए, स्कोर गिरकर 0.009 हो गया। यह काम करने वाले डिटेक्टर के बिल्कुल विपरीत था; यह पूरी तरह से गलत था।
- 2022 के लिए, यह केवल एक सिक्के के उछाल (coin flip) जैसा था (0.515)।
सीख: पेपर निष्कर्ष निकालता है कि यह "होल-काउंटिंग" सिग्नल 2008 के प्रकार के तनाव (धीमा, सहसंबद्ध तनाव) के लिए विशिष्ट है। यह हर तरह के बाजार क्रैश के लिए एक सार्वभौमिक अलार्म के रूप में काम नहीं करता है। इसे अलग-अलग युगों के लिए पुन: कैलिब्रेट करने की आवश्यकता है।

भविष्य के बारे में क्या? (सिमुलेशन बनाम वास्तविकता)
लेखक बहुत सावधानी से यह दावा नहीं करते हैं कि उन्होंने अभी तक एक काम करने वाला क्वांटम क्रैश डिटेक्टर बनाया है।

केवल सिमुलेशन: उनके सभी क्वांटम परिणाम वर्चुअल क्वांटम कंप्यूटरों (सिमुलेशन) पर चलाए गए थे, वास्तविक हार्डवेयर पर नहीं।
क्रॉसओवर पॉइंट: उन्होंने गणना की कि यह विधि केवल तभी एक नियमित कंप्यूटर की तुलना में तेज़ होगी जब डेटा का आकार लगभग 10,000 (nk ≳ 10⁴) हो जाए। वर्तमान में, उनके द्वारा उपयोग किया गया डेटा (429 बिंदुओं तक) अभी भी एक सेकंड से कम समय में क्लासिकल कंप्यूटर द्वारा तेजी से हल किया जाता है।
निर्णय: यह एक "मेथोडोलॉजिकल ब्लूप्रिंट" है, न कि एक तैयार उत्पाद। यह डेप्थ-एफिशिएंट क्वांटम कंप्यूटिंग (बिना अतिरिक्त हेल्पर बिट्स के उथले सर्किट का उपयोग करना) के लिए एक रास्ता दिखाता है, लेकिन "क्वांटम एडवांटेज" अभी सिद्ध नहीं हुआ है। अब आवश्यक वास्तविक सफलता यह है कि एक ऐसा तरीका खोजा जाए जिससे क्वांटम कंप्यूटर बिना क्लासिकल कंप्यूटर के शुरुआती संकेत के उत्तर ढूंढ सके।

संक्षेप में: पेपर ने सफलतापूर्वक एक नया, उथला क्वांटम टूल बनाया है जो काम करता है यदि आप उसे थोड़ा सहारा दें, लेकिन यह अभी भी हर वित्तीय तूफान की भविष्यवाणी करने के लिए एक स्वतंत्र क्रिस्टल बॉल नहीं है।

तकनीकी सारांश: वित्तीय तनाव के शासन-विशिष्ट (Regime-Specific) पता लगाने के लिए गहराई-कुशल क्वांटम टोपोलॉजिकल डेटा एनालिसिस

समस्या विवरण
वित्तीय बाजार जटिल गैररेखीय गतिकी (nonlinear dynamics) प्रदर्शित करते हैं जहाँ संरचनात्मक अस्थिरता अक्सर क्रैश से पहले दिखाई देती है, फिर भी ये विशेषताएं पारंपरिक सांख्यिकीय मापों जैसे विचरण (variance) या वैल्यू-एट-रिस्क (VaR) द्वारा अदृश्य रहती हैं। टोपोलॉजिकल डेटा एनालिसिस (TDA) डेटा मैनिफोल्ड्स के आकार का विश्लेषण करके, विशेष रूप से बेट्टी संख्याओं ( $\beta_k$ ) के माध्यम से, इन संरचनात्मक परिवर्तनों का पता लगाने के लिए एक सुदृढ़ ढांचा प्रदान करता है, जो $k$ -आयामी छिद्रों (जैसे, $\beta_1$ लूप्स की गिनती करता है) को गिनते हैं। हालाँकि, बेट्टी संख्याओं की गणना करने के लिए क्लासिकल रूप से कॉम्बिनेटोरियल लैपलेसियन (combinatorial Laplacians) का निर्माण और विकर्णन (diagonalization) आवश्यक है, जो $O(n_k^3)$ जटिलता के साथ बड़े पैमाने पर वास्तविक समय के वित्तीय अनुप्रयोगों के लिए निषेधात्मक हो जाता है। जबकि LGZ एल्गोरिदम (क्वांटम फेज एस्टीमेशन का उपयोग करके) जैसे क्वांटम एल्गोरिदम गति में वृद्धि (speedups) का वादा करते हैं, वे आमतौर पर गहरे सर्किट और कई अनसाइल क्विबिट्स (ancilla qubits) की मांग करते हैं, जो निकट-अवधि (near-term) हार्डवेयर के लिए अव्यवहारिक है।

कार्यप्रणाली
लेखक एक गहराई-कुशल पाइपलाइन प्रस्तावित करते हैं जो बेट्टी संख्या अनुमान के लिए पॉली कोरिलेशन एनकोडिंग (PCE) को अनुकूलित करती है। यह पाइपलाइन चार चरणों से बनी है:

टाइम-डिले एम्बेडिंग (Time-Delay Embedding): S&P 500 के दैनिक लॉग रिटर्न को टैकेंस एम्बेडिंग थ्योरम (Takens' embedding theorem) का उपयोग करके $\mathbb{R}^4$ में एक पॉइंट क्लाउड में परिवर्तित किया जाता है। एम्बेडिंग डायमेंशन ( $m=4$ ) और डिले ( $\tau=13$ ) का चयन म्यूचुअल इंफॉर्मेशन और फॉल्स नियरएस्ट नेबर विश्लेषण के माध्यम से किया जाता है।
विएटोरिस-रिप्स फिल्ट्रेशन (Vietoris–Rips Filtration): पॉइंट क्लाउड से एक फिक्स्ड थ्रेशोल्ड $\epsilon^*$ पर विएटोरिस-रिप्स कॉम्प्लेक्स का निर्माण किया जाता है, जो एक कॉम्बिनेटोरियल लैपलेसियन $\Delta_k$ उत्पन्न करता है।
PCE एनकोडिंग और वेरिएशनल ऑप्टिमाइजेशन: LGZ की तरह $\lceil \log_2 n_k \rceil$ $⌈ lo g_{2} n_{k} ⌉$ क्विबिट्स में सीधे $n_k$ $n_{k}$ -आयामी लैपलेसियन स्पेस को एनकोड करने के बजाय, लेखक $\kappa$ $κ$ -बॉडी पॉली कोरिलेटर्स का उपयोग करके $n_k$ $n_{k}$ बेस कोएफिशिएंट्स को $n = O(n_k^{1/\kappa})$ $n = O (n_{k}^{1/ κ})$ क्विबिट्स में एनकोड करते हैं।
- कंटीन्यूअस-PCE (Continuous-PCE): मानक PCE के विपरीत जो बाइनरी वेरिएबल्स को डिकोड करता है, यह दृष्टिकोण ट्रायल आइजनवेक्टर के लिए पॉली एक्सपेक्टेशन वैल्यूज को निरंतर कोएफिशिएंट्स $c_i \in [-1, +1]$ के रूप में मानता है।
- लॉस फंक्शन (Loss Function): उद्देश्य को रेले क्वोटिएंट मिनिमाइजेशन (Rayleigh quotient minimization) के रूप में तैयार किया गया है: $L(\vec{\theta}) = \frac{\sum_{i,j} [\Delta_k]_{ij} c_i c_j}{\sum_i c_i^2}$ ।
- वेरिएशनल डिफलेशन (Variational Deflation): शून्य आइजनवैल्यूज़ की बहुलता ( $\beta_k$ ) को गिनने के लिए, लेखक एक डिफलेशन रणनीति का उपयोग करते हैं। एक अनुमानित नल वेक्टर खोजने के बाद, बाद के खोजों को ऑर्थोगोनल वेक्टर्स खोजने के लिए मजबूर करने हेतु लॉस में एक पेनल्टी टर्म जोड़ा जाता है।
ऑप्टिमाइजेशन: एक हार्डवेयर-एफिशिएंट एंसेट (HEA) को COBYLA (ग्रेडिएंट-फ्री) या L-BFGS (ग्रेडिएंट-बेस्ड) का उपयोग करके लॉस को कम करने के लिए अनुकूलित किया जाता है।

प्रमुख योगदान

TDA के लिए प्रथम PCE अनुकूलन: यह कार्य बेट्टी संख्या अनुमान के लिए PCE के पहले अनुप्रयोग को प्रस्तुत करता है, जो संकुचित क्विबिट रजिस्टर पर एक वेरिएशनल ऑप्टिमाइजेशन के रूप में बेट्टी संख्या अनुमान को पुनर्गठित करता है।
डेप्थ एफिशिएंसी (Depth Efficiency): यह दृष्टिकोण LGZ के लॉगरिदमिक क्विबिट काउंट के बदले उथले, अनसाइल-मुक्त सर्किट का उपयोग करता है जिनका डेप्थ $n$ के बहुपद (polynomially) में स्केल होता है (विशेष रूप से $O(n^2)$ ), जो इसे निकट-अवधि हार्डवेयर के लिए अधिक उपयुक्त बनाता है जहाँ सर्किट डेप्थ प्राथमिक बाधा है।
ट्रेनेबिलिटी विश्लेषण (Trainability Analysis): लेखक प्रदर्शित करते हैं कि जबकि पूर्ववर्ती PCE कार्य का औपचारिक बैरन-प्लेटो गारंटी (जो द्विपद लॉस लागू करता है) उनके रैशनल रेले-क्वोटिएंट लॉस पर सख्ती से लागू नहीं होता है, फिर भी अनुभवजन्य ग्रेडिएंट वेरिएंस $n=4–12$ क्विबिट्स पर केवल बहुपद ( $\sim 1/n$ ) दर से घटता है, जो घातांकीय (exponential) रूप से गायब होने वाले बैरन प्लेटो को टाल देता है।
हाइब्रिड वैलिडेशन: पेपर एक पूर्ण पाइपलाइन ब्लूप्रिंट प्रदान करता है, जो ripser लाइब्रेरी के विरुद्ध क्लासिकल स्टेज को वैलिडेट करता है और सिंथेटिक एवं वास्तविक मार्केट डेटा पर क्वांटम स्टेज का परीक्षण करता है।

परिणाम

क्लासिकल वैलिडेशन: क्लासिकल सटीक-आइजनसॉल्वर (CE) बेंचमार्क S&P 500 डेटा (2007–2009) की 190 स्लाइडिंग विंडोज़ में ripser परिणामों के साथ 100% सहमति दिखाता है, जो टोपोलॉजिकल फीचर एक्सट्रैक्शन की शुद्धता की पुष्टि करता है।
टॉय लैपलेसियन्स (Toy Laplacians): ज्ञात बेट्टी संख्याओं ( $\beta_1 \le 4$ ) वाले छह सिंथेटिक लैपलेसियन्स पर, PCE-VQE पाइपलाइन सही $\beta_1$ मानों को सफलतापूर्वक रिकवर करती है।
रियल मार्केट डेटा (रैंडम स्टार्ट विफलता): वास्तविक मार्केट लैपलेसियन्स ( $n_k \in [31, 429], \beta_1 \in [1, 22]$ ) पर लागू होने पर, रैंडम इनिशियलाइजेशन से शुरू करने पर, PCE-VQE किसी भी नल वेक्टर को खोजने में विफल रहता है (लॉस उच्च बना रहता है)। लेखक इसे HEA के अंतर्निहित एक ऑप्टिमाइजेशन लैंडस्केप समस्या के रूप में पहचानते हैं, न कि एनकोडिंग की सीमा के रूप में।
रियल मार्केट डेटा (वार्म-स्टार्ट सफलता): जब ऑप्टिमाइजेशन को क्लासिकल नल-स्पेस सरोगेट का उपयोग करके वार्म-स्टार्ट किया जाता है, तो PCE-VQE हर स्केल पर $\beta_1$ को सटीक रूप से रिकवर करता है (लॉस $\sim 10^{-13}$ )। यह पुष्टि करता है कि नल वेक्टर्स एंसेट के भीतर प्रतिनिधित्व योग्य हैं और एनकोडिंग व्यवहार्य है, लेकिन रैंडम-स्टार्ट ऑप्टिमाइजेशन अपर्याप्त है।
वर्गीकरण प्रदर्शन: एक क्लासिफायर जो $\beta_1$ सिग्नल का उपयोग करता है, 2007–2010 के क्रोनोलॉजिकल स्प्लिट पर 0.818 का इन-रेजीम ROC AUC प्राप्त करता है। हालांकि, यह आउट-ऑफ-डिस्ट्रीब्यूशन रेजिम्स (2020 COVID शॉक: AUC 0.009; 2022 रेट साइकिल: AUC 0.515) में सामान्यीकरण करने में विफल रहता है, जो दर्शाता है कि सिग्नल शासन-विशिष्ट (regime-specific) है और एक सार्वभौमिक अर्ली-वार्निंग इंडिकेटर के रूप में कार्य नहीं करता है।
नॉइज़ रोबस्टनेस: मैच की गई स्केल्स पर, PCE-VQE डिपोलराइजिंग नॉइज़ के तहत LGZ-QPE की तुलना में उच्च सटीकता बनाए रखता है, जिसका श्रेय PCE के उथले सर्किट डेप्थ को दिया जाता है।

महत्व और दावे
यह पेपर खुद को एक मेथोडोलॉजिकल ब्लूप्रिंट के रूप में स्थापित करता है, न कि वर्तमान स्तरों पर क्वांटम एडवांटेज के प्रदर्शन के रूप में।

व्यवहार्यता बनाम लाभ: लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि परीक्षण किए गए स्केल्स ( $n_k \le 429$ ) के लिए, क्लासिकल तरीके मिलीसेकंड में समस्या हल करते हैं, इसलिए कोई क्वांटम एडवांटेज का दावा नहीं किया गया है। योगदान एक गहराई-कुशल, अनसाइल-मुक्त एनकोडिंग रणनीति का प्रदर्शन है।
ऑप्टिमाइजेशन बैरियर: एक प्राथमिक निष्कर्ष यह है कि वास्तविक डेटा पर निकट-अवधि क्वांटम TDA के लिए बाधा अनसाइल (ansatz) का ऑप्टिमाइजेशन लैंडस्केप है, न कि क्विबिट एनकोडिंग या हार्डवेयर नॉइज़। वार्म-स्टार्टेड हाइब्रिड दृष्टिकोण की सफलता एनकोडिंग की अभिव्यंजना (expressivity) को सिद्ध करती है, लेकिन यह रेखांकित करती है कि स्वतंत्र क्वांटम रिकवरी के लिए समस्या-सूचित एंसेट्स (problem-informed ansatze) जैसी क्वांटम-नेटिव वार्म-स्टार्ट रणनीतियों की आवश्यकता है।
शासन-विशिष्टता (Regime Specificity): $\beta_1$ क्लासिफायर की विभिन्न संकट रेजिम्स (2008 GFC बनाम 2020 COVID) में सामान्यीकरण करने में विफलता को एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष के रूप में प्रस्तुत किया गया है: टोपोलॉजिकल फीचर्स विशिष्ट प्रकार के संरचनात्मक तनाव (सहसंबंधित लूप फॉर्मेशन) को कैप्चर कर सकते हैं लेकिन वे सभी मार्केट क्रैश के लिए सार्वभौमिक रूप से भविष्य कहनेवाला (predictive) नहीं हैं।
भविष्य का दृष्टिकोण: लेखक एक कॉस्ट क्रॉसओवर पॉइंट का अनुमान $n_k \gtrsim 10^4$ पर लगाते हैं, जहाँ क्लासिकल डायगनालाइजेशन क्वांटम इवैल्यूएशन की तुलना में धीमा हो जाता है, जो यह सुझाव देता है कि यह दृष्टिकोण भविष्य के फॉल्ट-टोलरेंट या एरर-मिटिगेटेड हार्डवेयर के लिए एक उम्मीदवार है, बशर्ते कि ऑप्टिमाइजेशन लैंडस्केप की चुनौतियों को हल कर लिया जाए।

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