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Conditional Optimal Bridge for Riemannian Activation Steering

यह शोध पत्र \textsc{Cobras} को प्रस्तुत करता है, जो एक नवीन एक्टिवेशन स्टीयरिंग विधि है जो एक सिद्धांतपूर्ण, क्वेरी-अनुकूलित स्टीयरिंग दिशा प्राप्त करने के लिए रेसिडुअल-स्ट्रीम हाइपरस्फीयर पर एक श्रोडिंगर ब्रिज (Schrödinger Bridge) के रूप में समस्या को सूत्रबद्ध करती है, जो मौजूदा बेसलाइनों से बेहतर प्रदर्शन करती है और आउट-ऑफ-डिस्ट्रीब्यूशन प्रदर्शन गिरावट से बचती है।

मूल लेखक: Seyed Arshan Dalili, Ajay Narayanan Sridhar, Vijaykrishnan Narayanan, Mehrdad Mahdavi

प्रकाशित 2026-07-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Seyed Arshan Dalili, Ajay Narayanan Sridhar, Vijaykrishnan Narayanan, Mehrdad Mahdavi

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक सुपर-स्मार्ट रोबोट दिमाग (एक लार्ज लैंग्वेज मॉडल) है जो कहानियाँ लिख सकता है, सवालों के जवाब दे सकता है और आपसे चैट कर सकता है। लेकिन कभी-कभी, यह दिमाग थोड़ा चिड़चिड़ा हो जाता है, झूठ बोलता है, या बुरी बातें कहता है। इसे ठीक करने के लिए, वैज्ञानिक आमतौर पर इस दिमाग को "फाइन-ट्यून" करने की कोशिश करते हैं, जो पूरे रोबोट को फिर से शुरू से प्रशिक्षित करने जैसा है। यह बहुत भारी, धीमा और महंगा काम है।

एक नया, हल्का विचार एक्टिवेशन स्टीयरिंग (Activation Steering) है। कल्पना कीजिए कि रोबोट का दिमाग एक विशाल, चमकता हुआ नक्शा है। जब रोबोट सोचता है, तो उस नक्शे पर एक छोटा सा चमकता हुआ बिंदु (एक "एक्टिवेशन") घूमता है। वैज्ञानिकों ने पाया कि यदि आप उस बिंदु को एक विशिष्ट दिशा में धकेलते हैं, तो रोबोट अचानक अधिक मददगार, सत्यवादी या अच्छा बन जाता है।

पुराने धक्कों (Nudges) के साथ समस्या
कुछ समय के लिए, शोधकर्ताओं ने एक "एक ही आकार सबके लिए" (one-size-fits-all) वाला धक्का इस्तेमाल किया। उन्होंने नक्शे पर एक एकल दिशा की गणना की और हर एक विचार को उसी दिशा में धकेला, चाहे सवाल कुछ भी हो।

दोष: यह कार को स्टीयर करने की कोशिश करने जैसा है जहाँ आप हमेशा पहिए को बाईं ओर मोड़ते हैं। यह तब काम कर सकता है जब आप पार्क जाने की कोशिश कर रहे हों, लेकिन अगर आप किराने की दुकान पर जाने की कोशिश कर रहे हैं, तो आप दुर्घटनाग्रस्त हो जाएंगे!
परिणाम: पेपर दिखाता है कि ये पुराने तरीके अक्सर उन चीजों में रोबोट को बदतर बना देते हैं जिनमें वह पहले से अच्छा था। यदि आप इसे "सत्यवादी" बनाने के लिए धकेलते हैं, तो यह गणित की समस्याओं या सामान्य ज्ञान के सवालों के जवाबों में बकवास (gibberish) देने लगेगा। रोबोट भ्रमित हो जाता है क्योंकि धक्का यह परवाह नहीं करता कि पूछा गया विशिष्ट प्रश्न क्या है।

नया समाधान: कोबरास (Cobras)
लेखक एक नया तरीका पेश करते हैं जिसे कोबरास (Cobras) (कंडीशनल ऑप्टिमल ब्रिज फॉर रीमानियन एक्टिवेशन स्टीयरिंग) कहा जाता है। एक कठोर, पूर्व-निर्धारित धक्के के बजाय, कोबरास एक स्मार्ट, अनुकूलन योग्य जीपीएस (GPS) की तरह कार्य करता है।

यह कैसे काम करता है, यहाँ एक मजेदार उपमा दी गई है:
कल्पना कीजिए कि रोबोट के विचार एक विशाल, घुमावदार गोले (जैसे एक बीच बॉल) पर चलने वाले यात्री हैं।

पुराना तरीका: आपने हर यात्री को एक नक्शा दिया जिस पर एक एकल तीर बना था: "उत्तर की ओर चलो!" यदि यात्री पहले से ही उत्तर की ओर चल रहा था, तो बहुत अच्छा। यदि वह पूर्व की ओर जाने की कोशिश कर रहा था, तो तीर ने उसे उत्तर की ओर धकेल दिया, और वह रास्ता भटक गया।
कोबरास का तरीका: कोबरास देखता है कि यात्री अभी वास्तव में कहाँ खड़ा है। यह "अच्छे व्यवहार" वाले क्षेत्र की ओर जाने के लिए एकदम सही, घुमावदार पथ की गणना करता है और साथ ही "बुरे व्यवहार" वाले क्षेत्र से बचता है। यह केवल धक्का नहीं देता; यह मार्गदर्शन करता है।

गुप्त सूत्र: श्रोडिंगर ब्रिज (The Schrödinger Bridge)
कोबरास कैसे जानता है कि सही पथ कौन सा है? लेखकों ने एक फैंसी गणितीय अवधारणा का उपयोग किया जिसे श्रोडिंगर ब्रिज कहा जाता है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास "अच्छे" यात्रियों का एक बादल है और "बुरे" यात्रियों का एक बादल है। आप कम से कम ऊर्जा का उपयोग करके "बुरे" बादल को "अच्छे" बादल की ओर ले जाना चाहते हैं।
जादू: पेपर सिद्ध करता है कि इस सबसे कुशल पथ को खोजना गणितीय रूप से वही है जो रोबोट को स्टीयर करने का सबसे अच्छा तरीका खोजना है। यह एक बड़ी बात है क्योंकि अब तक, अधिकांश स्टीयरिंग विधियाँ केवल अनुमान (heuristics) थीं। कोबरास पहला है जो यह दिखाता है कि लोकप्रिय "लॉग-डेंसिटी-रेशियो" विधि (यह कहने का एक फैंसी तरीका कि "अच्छे की ओर बढ़ो, बुरे से दूर") वास्तव में एक ठोस, कठोर गणितीय समस्या से आती है। यह केवल एक अनुमान नहीं है; यह एक समाधान है।

पेपर ने क्या पाया (प्रमाण)
लेखकों ने चार अलग-अलग रोबोट दिमागों (Falcon-7B, Mistral-7B, LLaMA3.1-8B, और Qwen2.5-7B) और तीन अलग-अलग लक्ष्यों पर कोबरास का परीक्षण किया: मददगार होना, सत्यवादी होना और सुरक्षित रहना (डिटॉक्सिफिकेशन)।

बेहतर परिणाम: कोबरास ने लगातार सभी अन्य तरीकों को पछाड़ दिया। उदाहरण के लिए, "TruthfulQA" टेस्ट पर, इसने Mistral-7B मॉडल की सत्यवादिता को 29.5 प्रतिशत अंक और LLaMA3.1-8B को 25.1 प्रतिशत अंक सुधारा।
कोई दुर्घटना नहीं (OOD प्रदर्शन): यह सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा है। जब उन्होंने रोबोट का परीक्षण उन सवालों पर किया जिन्हें उसने पहले नहीं देखा था (आउट-ऑफ-डिस्ट्रीब्यूशन या OOD कार्य जैसे गणित या सामान्य ज्ञान), तो पुराने तरीकों ने अक्सर रोबط को विफल कर दिया। हालाँकि, कोबरास ने रोबोट को स्मार्ट बनाए रखा। इसने गणित कौशल को खराब किए बिना सत्यवादिता में सुधार किया।
"एब्स्टेन" (Abstain) गेट: कोबरास में एक सुरक्षा स्विच है। यदि रोबोट से ऐसा प्रश्न पूछा जाता है जो उससे बहुत अलग है (जैसे कि एक अजीब, आउट-ऑफ-डिस्ट्रीब्यूशन क्वेरी), तो कोबरास कहता है, "मुझे यकीन नहीं है, मैं आपको धक्का नहीं दूँगा।" यह रोबोट को अर्थहीन बातें बनाने से रोकता है।

यह पेपर क्या खारिज करता है
पेपर स्पष्ट रूप से इस विचार के विरुद्ध तर्क देता है कि एक फिक्स्ड, क्वेरी-इंडिपेंडेंट स्टीयरिंग वेक्टर सबसे अच्छा तरीका है। वे दिखाते हैं कि जबकि फिक्स्ड वेक्टर्स उन विशिष्ट प्रश्नों के लिए काम कर सकते हैं जिनके लिए उन्हें प्रशिक्षित किया गया था, वे नए, अनदेखे प्रश्नों पर प्रदर्शन को खराब कर देते हैं। पेपर सुझाव देता है कि "सभी के लिए एक ही दिशा" वाला दृष्टिकोण ही कारण है जिससे पिछले तरीके आउट-ऑफ-डिस्ट्रीब्यूशन कार्यों पर विफल हो जाते हैं।

वे कितने आश्वस्त हैं?
लेखक अपने परिणामों को लेकर बहुत आश्वस्त हैं, लेकिन वे अपनी भाषा के प्रति सावधान हैं।

उन्होंने चार मॉडलों और तीन कार्यों में इन परिणामों को मापा।
उन्होंने गणितीय रूप से सिद्ध किया कि उनकी विधि एक अनुकूलन समस्या (श्रोडिंगर ब्रिज) का एक वैध समाधान है।
उन्होंने प्रदर्शन किया कि कोबरास उस "आउट-ऑफ-डिस्ट्रीब्यूशन डिग्रेडेशन" से बचता है जो अन्य तरीकों में देखा जाता है।
वे यह दावा नहीं करते हैं कि यह हर संभावित भविष्य के परिदृश्य के लिए एक पूर्ण, हल की गई समस्या है। वे सीमाओं को नोट करते हैं, जैसे कि यह विधि कम्प्यूटेशनल रूप से महंगी है (पथों की गणना करने में समय लगता है) और इस धारणा पर निर्भर करती है कि रोबोट के विचार एक गोले पर रहते हैं (जो उनके द्वारा परीक्षण किए गए लेयर्स के लिए सच है, लेकिन हर रोबोट के हर हिस्से के लिए नहीं हो सकता है)।

संक्षेप में
कोबरास एक अंधे होकर धक्का देने से एक गाइडेड टूर (निर्देशित यात्रा) में अपग्रेड करने जैसा है। यह एक उन्नत गणित का उपयोग करता है ताकि यह पता लगाया जा सके कि रोबोट को बिना उसके दिमाग को नुकसान पहुँचाए स्मार्ट और सुरक्षित बनाने के लिए सटीक, घुमावदार पथ क्या है। यह AI अलाइनमेंट को केवल एक अनुमान नहीं, बल्कि एक गणनात्मक, विश्वसनीय विज्ञान बनाने की दिशा में एक कदम है।

तकनीकी सारांश: कोबरा (Cobras - Riemannian Activation Steering के लिए Conditional Optimal Bridge)

समस्या विवरण (Problem Statement)

एक्टिवेशन स्टीयरिंग (Activation steering), इन्फरेंस के समय लार्ज लैंग्वेज मॉडल्स (LLMs) को नियंत्रित करने के लिए फाइन-ट्यूनिंग के एक हल्के विकल्प के रूप में उभरा है, जो लीनियर रिप्रजेंटेशन हाइपोथीसिस (linear representation hypothesis) के तहत कार्य करता है, जहाँ उच्च-स्तरीय गुण एक्टिवेशन स्पेस में लीनियर दिशाओं के अनुरूप होते हैं। हालाँकि, मौजूदा विधियाँ दो प्राथमिक सीमाओं से ग्रस्त हैं:

अनुमानी उद्देश्य (Heuristic Objectives): अधिकांश विधियाँ हेयुरिस्टिक रूप से एक लॉग-डेंसिटी-रेशियो ऑब्जेक्टिव ( $\nabla \log \frac{p_+}{p_-}$ ) को अनुकूलित करती हैं, जिनमें एक सुव्यवस्थित अनुकूलन समस्या (well-posed optimization problem) से प्राप्त सिद्धांतिक व्युत्पत्ति का अभाव है।
क्वेरी-स्वतंत्रता (Query-Independence): वर्तमान स्टीयरिंग सिग्नल आमतौर पर क्वेरी-स्वतंत्र (निश्चित वेक्टर या रूपांतरण) होते हैं। यह कठोरता अक्सर आउट-ऑफ-डिस्ट्रीब्यूशन (OOD) इनपुट्स पर गंभीर प्रदर्शन गिरावट का कारण बनती है, जहाँ इन-डिस्ट्रीब्यूशन प्रॉम्प्ट्स के लिए फायदेमंद दिशा OOD क्वेरीज के लिए निरर्थक या गलत आउटपुट का कारण बन सकती है।

कार्यप्रणाली: कोबरा (Methodology: Cobras)

लेखक कोबरा (Cobras) प्रस्तावित करते हैं, जो रेसिडुअल-स्ट्रीम हाइपरस्फीयर (residual-stream hypersphere) पर एक्टिवेशन स्टीयरिंग को एक श्रोडिंजर ब्रिज (Schrödinger Bridge - SB) समस्या के रूप में पुनर्गठित करता है।

1. रीमानियन ज्योमेट्री फॉर्मूलेशन (Riemannian Geometry Formulation)

यह विधि इस अवलोकन पर आधारित है कि ट्रांसफॉर्मर लेयर्स में रेसिडुअल-स्ट्रीम एक्टिवेशंस नॉर्म में मजबूती से केंद्रित होते हैं, जो प्रभावी रूप से एक हाइपरस्फीयर $S = \{x \in \mathbb{R}^d : \|x\| = R\}$ पर रहते हैं। कोबरा पूरी तरह से इस रीमानियन मैनिफोल्ड के भीतर कार्य करता है, और निम्नलिखित का उपयोग करता है:

टैंजेंट प्रोजेक्टर (Tangent Projectors): $\Pi_x = I - R^{-2}xx^\top$ ।
जियोडेसिक डिस्टेंस (Geodesic Distance): $d_S(x, y) = R \arccos(R^{-2}x^\top y)$ ।
एक्सपोनेंशियल/लॉगारिदम मैप्स (Exponential/Logarithm Maps): मैनिफोल्ड और टैंजेंट स्पेस के बीच जाने के लिए।

2. श्रोडिंजर ब्रिज ऑब्जेक्टिव (The Schrödinger Bridge Objective)

एक वेक्टर को हेयुरिस्टिक रूप से जोड़ने के बजाय, कोबरा उस इष्टतम स्टोकेस्टिक प्रोसेस (optimal stochastic process) की खोज करता है जो अवांछित एक्टिवेशंस ( $p_-$ ) के वितरण को वांछित एक्टिवेशंस ( $p_+$ ) तक न्यूनतम "प्रयास" के साथ ट्रांसपोर्ट करता है, जिसे हाइपरस्फीयर पर एक संदर्भ ब्राउनियन मोशन से क्लैब-लेब्लर (KL) डाइवर्जेंस के रूप में परिभाषित किया गया है।

अनुकूलन (Optimization): इस समस्या को मार्जिनल्स $P_0 = p_-$ और $P_T = p_+$ के अधीन $KL(P \| Q)$ को कम करने के रूप में प्रस्तुत किया गया है।
समाधान (Solution): यह एक एंट्रोपिक ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट समस्या में बदल जाता है जिसे सिंकहॉर्न एल्गोरिदम (Sinkhorn algorithm) के माध्यम से हल किया जा सकता है, जिससे ड्यूल पोटेंशियल $\{\phi_j\}$ और $\{\psi_i\}$ प्राप्त होते हैं।

3. स्टीयरिंग दिशा का व्युत्पन्न (Deriving the Steering Direction)

समाधान एक स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन (SDE) को प्रेरित करता है। इस SDE पर प्रोबेबिलिटी फ्लो ODE (Probability Flow ODE) लागू करके, लेखक एक डिटरमिनिस्टिक ड्रिफ्ट टर्म प्राप्त करते हैं:
$v(x) \propto \nabla_S \log \frac{\hat{\psi}(x, t)}{\hat{\phi}(x, t)}$
जहाँ $\hat{\psi}$ और $\hat{\phi}$ वर्तमान एक्टिवेशन $x$ पर मूल्यांकित श्रोडिंजर पोटेंशियल हैं।

सिद्धांतिक व्युत्पत्ति (Principled Derivation): पेपर सिद्ध करता है (प्रपोजिशन 1) कि लुप्त होते ट्रांसपोर्ट कॉस्ट की सीमा में, यह ड्रिफ्ट व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले हेयुरिस्टिक $\nabla_S \log \frac{p_+}{p_-}$ की ओर अभिसरित होता है। यह पहली बार लॉग-डेंसिटी-रेशियो ऑब्जेक्टिव की एक कठोर अनुकूलन-आधारित व्युत्पत्ति प्रदान करता है।
क्वेरी-अनुकूलता (Query-Adaptivity): महत्वपूर्ण रूप से, क्योंकि पोटेंशियल को वर्तमान क्वेरी एक्टिवेशन पर मूल्यांकित किया जाता है, इसलिए परिणामी स्टीयरिंग दिशा स्वाभाविक रूप से संदर्भ-निर्भर (context-dependent) होती है।

4. एल्गोरिथमिक कार्यान्वयन (Algorithmic Implementation)

कोबरा एल्गोरिदम दो चरणों में कार्य करता है:

ऑफलाइन (Offline): ट्रेनिंग सैंपल्स ( $D_+, D_-$ ) को हाइपरस्फीयर पर प्रोजेक्ट करता है और पोटेंशियल कंप्यूट करने के लिए सिंकहॉर्न इटरेशन के माध्यम से स्टैटिक SB समस्या को हल करता है।
ऑनलाइन (Online - Inference):
1. नॉन-पैरामेट्रिक एस्टीमेशन (Non-parametric Estimation): मनमाने क्वेरी पॉइंट्स तक पोटेंशियल का विस्तार करने के लिए कर्नेल डेंसिटी एस्टीमेशन (KDE) का उपयोग करता है।
2. ODE इंटीग्रेशन (ODE Integration): हाइपरस्फीयर पर जियोडेसिक यूलर स्टेप्स का उपयोग करके प्रोबेबिलिटी फ्लो ODE को इंटीग्रेट करके क्वेरी एक्टिवेशन को स्टीयर करता है।
3. गेटिंग मैकेनिज्म (Gating Mechanisms):
  - अबस्टेन गेट (Abstain Gate): क्वेरी की ट्रेनिंग डिस्ट्रीब्यूशन से दूरी की तुलना एक संदर्भ रेडियस से करता है। यदि क्वेरी दूर (OOD) है, तो डिग्रेडेशन को रोकने के लिए स्टीयरिंग को कम (attenuate) कर दिया जाता है।
  - स्ट्रेंथ गेट (Strength Gate): क्वेरी के औसत कंट्रास्टिव डायरेक्शन के साथ संरेखण (alignment) के आधार पर स्टीयरिंग को मॉड्युलेट करता है, जिससे पहले से संरेखित इनपुट्स के लिए हस्तक्षेप कम हो जाता है।

मुख्य योगदान (Key Contributions)

सिद्धांतिक आधार (Principled Derivation): एक सुव्यवस्थित श्रोडिंजर ब्रिज ऑप्टिमाइजेशन प्रॉब्लम के माध्यम से लॉग-डेंसिटी-रेशियो स्टीयरिंग ऑब्जेक्टिव की पहली व्युत्पत्ति प्रदान करता है।
क्वेरी-अनुकूली स्टीयरिंग (Query-Adaptive Steering): एक ऐसी विधि पेश करता है जहाँ स्टीयरिंग दिशाएं विशिष्ट क्वेरी के आधार पर गतिशील रूप से कंप्यूट की जाती हैं, जिससे फिक्स्ड-वेक्टर विधियों की "वन-साइज़-फिट्स-ऑल" विफलता मोड से बचा जा सके।
अनुभवजन्य श्रेष्ठता (Empirical Superiority): चार मॉडल्स (Falcon-7B, Mistral-7B, LLaMA3.1-8B, Qwen2.5-7B) और तीन एलाइनमेंट एक्सिस (Helpfulness, Truthfulness, Detoxification) पर निरंतर श्रेष्ठ प्रदर्शन प्रदर्शित करता है।

प्रयोगात्मक परिणाम (Experimental Results)

लेखकों ने कोबरा का मूल्यांकन TruthfulQA (Truthfulness), UltraFeedback (Helpfulness), और RealToxicityPrompts (Detoxification) के साथ-साथ OOD बेंचमार्क्स (MMLU, GSM8K) पर किया।

इन-डिस्ट्रीब्यूशन प्रदर्शन (In-Distribution Performance): कोबरा सभी मॉडल्स और टास्क पर लगातार उच्चतम प्राइमरी मेट्रिक्स प्राप्त करता है। उदाहरण के लिए, TruthfulQA पर, इसने ओरिजिनल मॉडल्स की तुलना में Mistral-7B पर True×Info स्कोर में +29.5 पॉइंट्स और LLaMA3.1-8B पर +25.1 पॉइंट्स का सुधार किया, जो ODESteer, CAA, और SphericalSteer जैसे बेसलाइन्स से बेहतर है।
OOD संरक्षण (OOD Preservation): कई बेसलाइन्स के विपरीत जो इन-डिस्ट्रीब्यूशन मेट्रिक्स में सुधार के साथ OOD सटीकता में गिरावट (जैसे GSM8K में गंभीर गिरावट) दिखाते हैं, कोबरा OOD प्रदर्शन को अनस्टीयर्ड बेसलाइन के करीब या उससे ऊपर बनाए रखता है। यह अबस्टेन गेट के कारण है, जो ट्रेनिंग सपोर्ट से दूर इनपुट्स पर स्टीयरिंग को रोकता है।
विविधता (Diversity): कोबरा ने कई बेसलाइन्स (जैसे CAA और SphericalSteer) की तुलना में लेक्सिकल डाइवर्सिटी (Dist-n मेट्रिक्स) और परप्लेक्सिटी को बेहतर ढंग से संरक्षित किया, जो अक्सर जनरेशन क्वालिटी को खराब कर देते हैं।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

पेपर का दावा है कि कोबरा हेयुरिस्टिक एक्टिवेशन स्टीयरिंग और कठोर ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट थ्योरी के बीच के अंतर को पाटता है। इसकी प्राथमिक महत्ता निम्नलिखित में निहित है:

सैद्धांतिक आधार (Theoretical Grounding): यह स्थापित करना कि लोकप्रिय लॉग-डेंसिटी-रेशियो हेयुरिस्टिक एक सिद्धांतिक श्रोडिंजर ब्रिज फॉर्मूलेशन का एक सीमित मामला (limiting case) है।
मजबूती (Robustness): फिक्स्ड-डायरेक्शन स्टीयरिंग में अंतर्निहित OOD डिग्रेडेशन समस्या को एक क्वेरी-अनुकूली हस्तक्षेप बनाकर हल करना।
सामान्यीकरण (Generality): एक ऐसा फ्रेमवर्क प्रदान करना जो विभिन्न स्टीयरिंग प्रतिमानों (CAA, ITI, और Spherical Steering सहित) को एक एकल ज्योमेट्रिक ऑप्टिमाइजेशन फ्रेमवर्क के तहत एकीकृत करता है, जबकि बेहतर अनुभवजन्य प्रदर्शन भी प्रदान करता है।

लेखक सीमाओं का उल्लेख करते हैं, जिसमें पेयरवाइज जियोडेसिक डिस्टेंस और सिंकहॉर्न इटरेशन की $O(N_+ \cdot N_-)$ कम्प्यूटेशनल लागत शामिल है, जो बहुत बड़े कंट्रास्टिव सेट्स के लिए निषेधात्मक हो सकती है, और एक निश्चित गोलाकार ज्यामिति धारणा पर निर्भरता। भविष्य के कार्य के लिए पदानुक्रमित ट्रांसपोर्ट सॉल्वर (hierarchical transport solvers) और अधिक सामान्य रीमानियन मैनिफोल्ड्स का पता लगाने का सुझाव दिया गया है।