🤖 machine learning

Neural Discovery of Memory and Nonlocal Kernels in Integro-Differential Equations with Constrained Kolmogorov--Arnold Networks

यह शोधपत्र विरल और शोर युक्त अवलोकनों से व्याख्यात्मक मेमोरी और नॉनलोकल कर्नेल को मजबूती से खोजने के लिए बाधा-युक्त कोलमोगोरोव-आर्नोल्ड नेटवर्क (विशेष रूप से हार्ड-कंस्ट्रेंड MC-KAN और सॉफ्ट-पेनल्टी Cheb-KAN) का उपयोग करते हुए एक डिफरेंशिएबल-सॉल्वर फ्रेमवर्क प्रस्तावित करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि निर्माण द्वारा भौतिक आकार संबंधी बाधाओं को लागू करना सॉफ्ट पेनल्टी की तुलना में बेहतर सटीकता प्रदान करता है, विशेष रूप से बहु-आयामी समस्याओं के लिए।

मूल लेखक: Aruzhan Tleubek, Salah A Faroughi

प्रकाशित 2026-07-14

📖 7 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Aruzhan Tleubek, Salah A Faroughi

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो एक रहस्यमय मशीन को नियंत्रित करने वाले "घोस्ट रूल्स" (ghost rules) को समझने की कोशिश कर रहे हैं। आप मशीन के आंतरिक गियर देख नहीं सकते, लेकिन आप देख सकते हैं कि जब आप उसे धकेलते हैं तो वह कैसे चलती है। भौतिकी (physics) की दुनिया में, कई प्रणालियाँ (जैसे रबर बैंड जो धीरे-धीरे वापस खिंचते हैं, या किसी पदार्थ में गर्मी का फैलना जिसमें एक स्मृति होती है) केवल उस पर प्रतिक्रिया नहीं देतीं जो अभी हो रहा है। वे अतीत को याद रखती हैं। उनकी एक "धुंधली याद" (fading memory) होती है।

गणितज्ञ इस स्मृति को एक विशेष घटक का उपयोग करके वर्णित करते हैं जिसे कर्नेल (kernel) कहा जाता है। कर्र्नल को एक रेसिपी कार्ड की तरह समझें जो सिस्टम को यह बताता है कि उसके अतीत के हर क्षण को कितना महत्व देना है। यदि आप रेसिपी जानते हैं, तो आप भविष्य की सटीक भविष्यवाणी कर सकते हैं। लेकिन आमतौर पर, रेसिपी कार्ड गायब होता है! वैज्ञानिकों के पास मशीन की गतिविधियों का डेटा तो है, लेकिन उनके पास रेसिपी नहीं है। यह एक पेचीदा पहेली है क्योंकि कई अलग-अलग रेसिपी एक ही तरह की गति पैदा कर सकती हैं, खासकर यदि आपके अवलोकन धुंधले या अधूरे हों।

पुराना तरीका बनाम नया तरीका

लंबे समय तक, वैज्ञानिकों ने प्रत्येक समस्या के लिए विशिष्ट जटिल गणितीय व्युत्पत्ति (derivations) करने या एक रेसिपी का अनुमान लगाने और उम्मीद करने की कोशिश की कि वह फिट बैठ जाएगी। इस शोध पत्र के लेखक कहते हैं, "आइए कुछ अलग प्रयास करें।" उन्होंने एक न्यूरल नेटवर्क (एक प्रकार का AI मस्तिष्क) बनाया जो एक जासूस की तरह कार्य करता है। अनुमान लगाने के बजाय, यह AI मस्तिष्क सीधे उस सिस्टम की हलचल के शोर-शराबे वाले (noisy) डेटा से रेसिपी सीखता है।

लेकिन यहाँ एक पेंच है: यदि आप केवल एक मानक AI मस्तिष्क को अनुमान लगाने के लिए छोड़ देते हैं, तो वह ऐसी रेसिपी बना सकता है जिसका भौतिक विज्ञान में कोई अर्थ न हो। उदाहरण के लिए, यह सुझाव दे सकता है कि घटना जितनी पुरानी होगी, स्मृति उतनी ही मजबूत होती जाएगी, या अतीत का प्रभाव अचानक नकारात्मक हो जाएगा। वास्तविक दुनिया में, स्मृति आमतौर पर सुचारू रूप से कम होती है और कभी भी अपने संकेत (signs) को उलटती नहीं है।

दो जासूसी रणनीतियाँ

AI को बेतुके अनुमान लगाने से रोकने के लिए, शोधकर्ताओं ने दो अलग-अलग तरीकों का परीक्षण किया।

रणनीति 1: "सॉफ्ट" दंड (The Cheb-KAN)
कल्पना कीजिए कि आप एक कुत्ते को प्रशिक्षित कर रहे हैं। आप उसे कहते हैं, "सोफे पर मत कूदो," और यदि वह ऐसा करता है, तो आप उसे एक हल्का "नहीं" (soft penalty) देते हैं। कुत्ता सुन सकता है, लेकिन वह यह भी कर सकता है कि यदि वह बहुत अधिक चाहता है तो वह कूद जाए। यह Cheb-KAN करता है। यह रेसिपी सीखने की कोशिश करता है, लेकिन यदि रेसिपी नियमों को तोड़ती है (जैसे कि नकारात्मक होना या गलत तरीके से मुड़ना), तो कंप्यूटर AI के होमवर्क में एक छोटा "दंड" स्कोर जोड़ देता है। AI इस दंड को कम करने की कोशिश करता है, लेकिन नियमों को तोड़ने से उसे सख्ती से रोका नहीं गया है।

रणनीति 2: "हार्ड" बाधा (The MC-KAN)
अब, कल्पना कीजिए कि आपने कुत्ते के चारों ओर एक पिंजरा बना दिया है। कुत्ता शारीरिक रूप से सोफे पर नहीं कूद सकता क्योंकि वहाँ पिंजरा है। यह MC-KAN (Monotone–Convex Kolmogorov–Arnold Network) है। शोधकर्ताओं ने केवल AI को अच्छा बनने के लिए कहने के बजाय, AI के मस्तिष्क को विशेष गणितीय ब्लॉकों (Bernstein polynomials) से बनाया है जो इसे ऐसी रेसिपी बनाने से असंभव बना देते हैं जो नियमों को तोड़ती हो। AI को केवल सकारात्मक, हमेशा कम होने वाली और सही दिशा में मुड़ने वाली रेसिपी बनाने के लिए इसके आर्किटेक्चर द्वारा मजबूर किया जाता है। यह केवल एक सुझाव नहीं है; यह मशीन का एक कानून है।

बड़ा परीक्षण: क्या AI रेसिपी खोज सकता है?

टीम ने दोनों रणनीतियों को तीन अलग-अलग परिदृश्यों में परखा, जो सरल से लेकर बहुत जटिल तक हैं।

1. सरल स्मृति (1D Volterra Equation)
उन्होंने एक सरल प्रणाली से शुरुआत की जहाँ स्मृति एक मानक घातांकीय वक्र (exponential curve) की तरह कम होती है (जैसे कॉफी का ठंडा होना)। उन्होंने AI को अलग-अलग स्तर के "शोर" (noise/static) के साथ डेटा दिया।

परिणाम: दोनों रणनीतियों ने सही रेसिपी खोज ली। भले ही डेटा बहुत शोर भरा था, दोनों ने इसे सही पाया। हालाँकि, हार्ड कंस्ट्रेंट (MC-KAN) अधिक सटीक था, जिसने सॉफ्ट पेनल्टी संस्करण की तुलना में लगभग 13% से 54% कम त्रुटि के साथ रेसिपी खोजी। यह ऐसा था जैसे पिंजरे वाला कुत्ता एक भी गलती नहीं करता, जबकि हल्के "नहीं" वाले कुत्ते ने कुछ छोटी गलतियाँ कीं।

2. खिंचाव वाली स्मृति (1D Viscoelastic Wave)
अगले में, उन्होंने एक कंपन करती हुई रबर की छड़ को देखा। यहाँ स्मृति एक साधारण वक्र नहीं थी; यह एक "स्ट्रेच्ड एक्सपोनेंशियल" थी, जो एक अधिक जटिल आकार है जो अक्सर ग्लास पॉलीमर में पाया जाता है। उन्होंने डेटा को बहुत विरल (sparse) बना दिया, जिसका अर्थ है कि उन्होंने AI को छड़ की गति के केवल कुछ ही स्नैपशॉट दिए (1001 में से केवल 11 स्नैपशॉट)।

परिणाम: आश्चर्यजनक रूप से, दोनों विधियों ने इतने कम डेटा के साथ भी रेसिपी खोज ली। लेकिन फिर से, हार्ड कंस्ट्रेंट (MC-KAN) अधिक सुसंगत था। इसने सॉफ्ट पेनल्टी संस्करण की तुलना में लगभग 40% कम त्रुटि के साथ रेसिपी खोजी। सॉफ्ट पेनल्टी संस्करण कभी-कभी डगमगा गया, जबकि हार्ड कंस्ट्रेंट संस्करण स्थिर रहा।

3. 2D अराजकता (Nonlocal Reaction-Diffusion)
अंत में, उन्होंने सबसे कठिन चुनौती का सामना किया: एक 2D प्रणाली जहाँ स्मृति स्थान (space) के दो दिशाओं में निर्भर करती है (जैसे सतह पर पैटर्न बनना)। डेटा विरल (sparse) था (32x32 ग्रिड पर केवल 7 समय स्नैपशॉट) और शोर युक्त (noisy) था (0.15 मानक विचलन तक)।

परिणाम: यहाँ अंतर बहुत बड़ा हो गया। सॉफ्ट पेनल्टी रणनीति ने भ्रम (hallucination) पैदा करना शुरू कर दिया। इसने ऐसी रेसिपी बनाई जिनमें अजीब लहरें थीं और जो सही ढंग से कम नहीं हो रही थीं। हार्ड कंस्ट्रेंट (MC-KAN) पूरी तरह अडिग रहा।
- उच्चतम शोर स्तर (σ = 0.15) पर, हार्ड कंस्ट्रेंट विधि में 12.36% की कर्नेल त्रुटि थी, जबकि सॉफ्ट पेनल्टी विधि में 21.95% की त्रुटि थी। हार्ड कंस्ट्रेंट लगभग दोगुना सटीक था।
- सॉफ्ट पेनल्टी विधि ने "गैर-स्वीकार्य" (non-admissible) रूप (ऐसी रेसिपी जो सही घातांकीय आकारों के बजाय पावर लॉ की तरह दिखती थीं) भी दिखाए जब शोर अधिक था। हार्ड कंस्ट्रेंट ने कभी नियम नहीं तोड़े।

अंतिम निर्णय

शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि जबकि दोनों विधियाँ साफ और सरल डेटा के लिए अच्छी तरह से काम करती हैं, नियमों को AI की संरचना में शामिल करके लागू करना (Hard Constraints) शोर-शराबे वाले, विरल या उच्च-आयामी डेटा के लिए बहुत अधिक मजबूत है।

शोधकर्ताओं ने पाया कि सबसे कठिन 2D समस्या के लिए, हार्ड कंस्ट्रेंट विधि ने सॉफ्ट पेनल्टी विधि की तुलना में लगभग 44% तक त्रुटि को कम कर दिया। उन्होंने एक उपकरण का भी सफलतापूर्वक उपयोग किया जिसे PySR कहा जाता है, ताकि AI की सीखी हुई "ब्लैक बॉक्स" रेसिपी को एक स्पष्ट, पठनीय गणितीय सूत्र (जैसे $e^{-0.99\tau}$ ) में बदला जा सके, जिससे यह सिद्ध हुआ कि AI ने केवल नंबरों का अनुमान नहीं लगाया; वास्तव में उसने अंतर्निहित भौतिक नियम को सीखा।

जो पेपर में सच नहीं बताया गया है:

पेपर यह दावा नहीं करता कि यह हर प्रकार की स्मृति के लिए काम करता है। यह स्पष्ट रूप से उन कर्नेल को खारिज करता है जो हिलते (oscillate) हैं, संकेत बदलते हैं, या कम नहीं होते। हार्ड कंस्ट्रेंट विधि विशेष रूप से "फेडिंग मेमोरी" के लिए बनाई गई है जो सकारात्मक और सुचारू है।
पेपर यह नहीं कहता कि यह सभी इन्वर्स समस्याओं के लिए एक जादुई समाधान है। यह स्वीकार करता है कि 2D समस्या के लिए, उन्हें पूरी रेसिपी खोजने के लिए इसे टुकड़ों में तोड़ना पड़ा था, और दोनों दिशाओं के बीच का जुड़ाव पूरी तरह से एक बार में प्राप्त नहीं हुआ था।
परिणाम सिमुलेशन (कंप्यूटर-जनित डेटा) पर आधारित हैं, वास्तविक दुनिया के प्रयोगों पर नहीं। लेखक सुझाव देते हैं कि यह अगला कदम है, लेकिन वर्तमान प्रमाण उनके द्वारा उत्पन्न आंकड़ों में है।

संक्षेप में: यदि आप शोर-शराबे वाले डेटा से घटती स्मृति की गुप्त रेसिपी खोजना चाहते हैं, तो अपने AI के चारों ओर एक पिंजरा बनाना (Hard Constraints) उसे विनम्रता से व्यवहार करने के लिए कहने (Soft Penalties) से कहीं बेहतर काम करता है।

तकनीकी सारांश: बाधित कोलमोगोरोव-आर्नोल्ड नेटवर्क के साथ इंटेग्रो-डिफरेंशियल समीकरणों में मेमोरी और नॉनलोकल कर्नेल की न्यूरल खोज

1. समस्या विवरण

यह शोध पत्र स्पार्स (sparse) और नॉइज़ी स्पैटियोटेम्पोरल अवलोकनों से अज्ञात मेमोरी या नॉनलोकल कर्नेल की पहचान करने की इल-पोज़्ड इनवर्स प्रॉब्लम (ill-posed inverse problem) को संबोधित करता है, जो इंटेग्रो-डिफरेंशियल समीकरणों (IDEs) को नियंत्रित करते हैं। IDEs उन भौतिक प्रणालियों को मॉडल करते हैं जिनमें मेमोरी प्रभाव (जैसे विस्कोइलास्टिक रिलैक्सेशन, एनोमलस डिफ्यूजन) या स्थानिक नॉनलोकैलिटी (जैसे पेरिडायनामिक्स, नॉनलोकल रिएक्शन-डिफ्यूजन) होते हैं, जहाँ अवस्था (state) एक कन्वोल्यूशन कर्नेल $K$ के माध्यम से ऐतिहासिक विकास या दूरस्थ स्थानिक अंतःक्रियाओं पर निर्भर करती है।

मौजूदा पहचान विधियाँ महत्वपूर्ण सीमाओं का सामना करती हैं:

शास्त्रीय दृष्टिकोण (Classical approaches) समस्या-विशिष्ट विश्लेणात्मक व्युत्पत्तियों, विशिष्ट अवलोकन आवश्यकताओं (जैसे बाउंड्री फ्लक्स माप), या वेल-पोज़्डनेस सुनिश्चित करने के लिए प्रतिबंधात्मक धारणाओं पर निर्भर करते हैं।
वर्तमान वैज्ञानिक मशीन लर्निंग (SciML) विधियाँ अक्सर कर्नेल को न्यूरल नेटवर्क मापदंडों के भीतर अंतर्निहित रूप से दर्शाती हैं, जिनमें क्लोज्ड-फॉर्म व्याख्यात्मकता (interpretability) का अभाव होता है, या ग्रेडिएंट गणना के लिए केस-विशिष्ट एडजॉइंट व्युत्पत्ति की आवश्यकता होती है। इसके अलावा, कई विधियाँ भौतिक बाधाओं (धनात्मकता, एकोणीयता, उत्तलता) को लागू करने में संघर्ष करती हैं जो इल-पोज़्ड सेटिंग्स में स्थिर कर्नेल रिकवरी के लिए आवश्यक हैं।

लक्ष्य एक लचीला, डेटा-संचालित ढांचा विकसित करना है जो बिना किसी समस्या-विशिष्ट विश्लेणात्मक व्युत्क्रम सूत्रों की आवश्यकता के, भौतिक आकार बाधाओं का सख्ती से पालन करते हुए, अवलोकनों से कर्नेल के कार्यात्मक रूप (functional form) को सीधे पुनर्प्राप्त कर सके।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक डिफरेंशिएबल-सॉल्वर-आधारित ढांचे का प्रस्ताव करते हैं जो IDE के लिए एक संख्यात्मक सॉल्वर के भीतर एक प्रशिक्षित न्यूरल कर्नेल प्रतिनिधित्व को एम्बेड करता है। यह ढांचा "डिस्क्रीटाइज-देन-ऑप्टिमाइज़" (discretize-then-optimize) रणनीति का पालन करता है, जो सॉल्वर के माध्यम से ऑटोमैटिक डिफरेंशिएशन का उपयोग करके ग्रेडिएंट की गणना करता है, जिससे केस-विशिष्ट एडजॉइंट समीकरणों की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।

2.1. न्यूरल कर्नेल पैरामीट्राइजेशन

अज्ञात कर्नेल $K(\tau)$ (जहाँ $\tau$ समय और/या स्थानिक अंतराल को दर्शाता है) को कोलमोगोरोव-आर्नोल्ड नेटवर्क (KANs) का उपयोग करके पैरामीटराइज किया जाता है। दो विशिष्ट आर्किटेक्चर की तुलना की गई है:

सॉफ्ट-कंस्ट्रेंड चेबिशेव KAN (Cheb-KAN):
- एज फंक्शन्स के लिए चेबिशेव बहुपद आधार (bases) का उपयोग करता है।
- भौतिक गुणों (धनात्मकता, मोनोटोनिक घटता, उत्तलता) को लॉस फंक्शन में जोड़े गए सॉफ्ट पेनल्टी टर्म्स के माध्यम से प्रोत्साहित किया जाता है।
- लॉस फंक्शन डेटा मिसमैच को नकारात्मक मानों, धनात्मक प्रथम डेरिवेटिव और नकारात्मक द्वितीय डेरिवेटिव के लिए दंड (penalties) के साथ जोड़ता है।
हार्ड-कंस्ट्रेंड मोनोटोन-कॉन्वेक्स KAN (MC-KAN):
- एज फंक्शन्स के लिए बर्नस्टीन बहुपद (Bernstein polynomial) आधार का उपयोग करता है।
- भौतिक गुणों को बहुपद गुणांकों पर बाधाओं के माध्यम से निर्माण द्वारा लागू (enforced by construction) किया जाता है।
- तंत्र (Mechanism): बर्नस्टीन गुणांकों को विशिष्ट क्रम और उत्तलता स्थितियों को संतुष्ट करने के लिए बाधित करके (जैसे, मोनोटोनिक घटत के लिए $c_0 \ge c_1 \ge \dots \ge c_N$ ), परिणामी फलन डोमेन $[0, 1]$ के भीतर धनात्मक, मोनोटोनिक रूप से घटता हुआ और उत्तल होने की गारंटी देता है।
- यह आर्किटेक्चर एक विशिष्ट लेयर ऑर्डरिंग का उपयोग करता है: पहली लेयर घटते हुए उत्तल (decreasing convex) एज फंक्शन्स का उपयोग करती है, जबकि बाद की लेयर्स बढ़ते हुए उत्तल (increasing convex) एज फंक्शन्स का उपयोग करती हैं। यह संयोजन सुनिश्चित करता है कि अंतिम कर्नेल आवश्यक भौतिक बाधाओं को संतुष्ट करता है, चाहे सीखे गए गुणांक कुछ भी हों।

2.2. प्रशिक्षण और रिकवरी

प्रशिक्षण (Training): न्यूरल कर्नेल को एक फॉरवर्ड सॉल्वर (इंटीग्रल्स के लिए क्वाड्रचर या FFT का उपयोग करके) में एम्बेड किया जाता है। मापदंडों को देखे गए स्पैटियोटेम्पोरल डेटा के बीच मिसमैच को कम करने के लिए अनुकूलित किया जाता है।
सिंबोलिक रिग्रेशन (Symbolic Regression): प्रशिक्षण के बाद, सीखे गए न्यूरल कर्नेल को सैंपल किया जाता है, और एक व्याख्यात्मक, क्लोज्ड-फॉर्म गणितीय अभिव्यक्ति (जैसे एक्सपोनेंशियल या पावर-लॉ फॉर्म) निकालने के लिए सिंबोलिक रिग्रेशन (PySR के माध्यम से) लागू किया जाता है।

3. मुख्य योगदान

डिफरेंशिएबल सॉल्वर फ्रेमवर्क: एक सामान्य कर्नेल डिस्कवरी फ्रेमवर्क जो न्यूरल रिप्रेजेंटेशन को सीधे संख्यात्मक सॉल्वर्स में एकीकृत करता है, जिससे केस-विशिष्ट एडजॉइंट व्युत्पत्ति की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।
हार्ड-कंस्ट्रेंड KAN आर्किटेक्चर: MC-KAN का परिचय, जो भौतिक बाधाओं (धनात्मकता, मोनोटोनिसिटी, उत्तलता) को सॉफ्ट पेनल्टी के बजाय निर्माण द्वारा गारंटी देने के लिए बर्नस्टीन बहुपदों का उपयोग करता है।
तुलनात्मक विश्लेषण: विभिन्न स्तरों की डेटा स्पर्सिटी, शोर (noise) और आयाम (dimensionality) के तहत हार्ड-कंस्ट्रेंड (MC-KAN) बनाम सॉफ्ट-कंस्ट्रेंड (Cheb-KAN) दृष्टिकोणों का व्यवस्थित मूल्यांकन।
व्याख्यात्मकता (Interpretability): सीखे गए न्यूरल कर्नेल को क्लोज्ड-फॉर्म कॉन्स्टिट्यूटिव लॉ में बदलने के लिए सिंबोलिक रिग्रेशन का सफल एकीकरण।

4. प्रयोगात्मक परिणाम

ढांचे को तीन बेंचमार्क समस्याओं पर सत्यापित किया गया था:

प्रयोग I: 1D वोल्टेरा IDE (टेम्पोरल मेमोरी)

कार्य: नॉइज़ी टाइम-सीरीज डेटा से एक एक्सपोनेंशियल मेमोरी कर्नेल को रिकवर करना।
परिणाम: दोनों विधियों ने एक्सपोनेंशियल फॉर्म को सफलतापूर्वक पहचाना। हालांकि, MC-KAN ने सभी शोर स्तरों और नेटवर्क डेप्थ केAcross, Cheb-KAN की तुलना में लगातार कम कर्नेल रिकंस्ट्रक्शन एरर प्राप्त किया।
अवलोकन: हालांकि दोनों विधियों ने सिंबोलिक रिग्रेशन के माध्यम से सही विश्लेणात्मक रूप ( $K(\tau) = e^{-r\tau}$ ) को रिकवर किया, लेकिन हार्ड-कंस्ट्रेंड MC-KAN ने अधिक सटीक संख्यात्मक सन्निकटन (approximations) प्रदान किया, विशेष रूप से उच्च शोर स्तरों पर।

प्रयोग II: 1D विस्कोइलास्टिक वेव PIDE (टेम्पोरल मेमोरी)

कार्य: एक विस्कोइलास्टिक रॉड के कंपन के स्पार्स टेम्पोरल स्नैपशॉट्स से एक स्ट्रेच्ड-एक्सपोनेंशियल (KWW) कर्नेल को रिकवर करना।
परिणाम: दोनों विधियाँ डेटा स्पर्सिटी (पूर्ण ग्रिड के 1% तक) के प्रति मजबूत थीं। MC-KAN ने सभी स्पर्सिटी स्तरों पर Cheb-KAN की तुलना में ~40% कम कर्नेल रिकंस्ट्रक्शन एरर प्राप्त किया।
अवलोकन: MC-KAN रिकंस्ट्रक्शन पूरी तरह से धनात्मक, मोनोटोन और उत्तल रहे, जबकि Cheb-KAN में मामूली ऑसिलेटरी आर्टिफैक्ट्स (oscillatory artifacts) दिखाई दिए। दोनों विधियों ने सिंबोलिक रिग्रेशन के माध्यम से वास्तविक KWW पैरामीटर्स ( $\tau_0, \beta$ ) को सफलतापूर्वक रिकवर किया।

प्रयोग III: 2D नॉनलोकल रिएक्शन-डिफ्यूजन इक्वेशन (स्पेशियल नॉनलोकैलिटी)

कार्य: स्पार्स और नॉइजी डेटा से एक जटिल, एनिसोट्रोपिक (anisotropic), 2D स्थानिक अंतःक्रिया कर्नेल को रिकवर करना।
परिणाम:
- नॉइज़-फ्री केस में, Cheb-KAN थोड़ा बेहतर प्रदर्शन करता है।
- नॉइजी स्थितियों ( $\sigma \ge 0.02$ ) में, MC-KAN ने Cheb-KAN की तुलना में काफी बेहतर प्रदर्शन किया। $\sigma = 0.15$ पर, MC-KAN ने Cheb-KAN की तुलना में कर्नेल एरर को लगभग दोगुना कम कर दिया।
- मजबूती (Robustness): MC-KAN में हार्ड कंस्ट्रेंट्स ने उन गैर-भौतिक दोलनों (nonphysical oscillations) को रोका जो स्पार्स और नॉइजी डेटा होने पर Cheb-KAN के रिकंस्ट्रक्शन में दिखाई देते थे।
- नॉर्मलाइजेशन: एक पावर-लॉ इनपुट नॉर्मलाइजेशन (जो ओरिजिन के पास रेजोल्यूशन को केंद्रित करता है) ने शार्प ग्रेडिएंट वाले कर्नेल के लिए MC-KAN के प्रदर्शन को और बेहतर बनाया।
सिंबोलिक रिकवरी: हालांकि पूर्णतः युग्मित (coupled) मल्टी-डायमेंशनल रूपों को सीधे रिकवर करना कठिन था, सिंबोलिक रिग्रेशन ने सेपरेबल 1D स्लाइस और लॉग-स्पेस में कपलिंग स्ट्रक्चर (प्रोडक्ट फॉर्म) को सफलतापूर्वक पहचाना।

5. महत्व और दावे

यह शोध पत्र दावा करता है कि निर्माण द्वारा भौतिक रूप से प्रेरित आकार बाधाओं को लागू करना (MC-KAN के माध्यम से) सॉफ्ट पेनल्टी की तुलना में मल्टी-डायमेंशनल कर्नेल डिस्कवरी के लिए अधिक मजबूती प्रदान करता है, विशेष रूप से जब अवलोकन स्पार्स और नॉइजी होते हैं।

मजबूती (Robustness): मुख्य लाभ केवल सरल इनवर्स समस्याओं में बेहतर प्रदर्शन नहीं है, बल्कि डेटा की गुणवत्ता घटने पर भी भौतिक रूप से सुसंगत और सटीक प्रतिनिधित्व बनाए रखने की क्षमता है।
सामान्यीकरण (Generalizability): यह ढांचा मानक टाइम इंटीग्रेटर्स और स्पेशियल डिस्क्रीटाइजेशन के अनुकूल है, जिससे यह बिना किसी कस्टम एडजॉइंट व्युत्पत्ति के IDEs के एक विस्तृत वर्ग के लिए लागू करने योग्य बन जाता है।
सीमाएँ (Limitations): लेखक स्वीकार करते हैं कि वर्तमान MC-KAN धनात्मक, मोनोटोन और उत्तल कर्नेल तक सीमित है (ऑसिलेटरी या साइन-चेंजिंग कर्नेल को छोड़कर)। इसके अतिरिक्त, पूर्णतः युग्मित मल्टी-डायमेंशनल कर्नेल के लिए सिंबोलिक रिग्रेशन चुनौतीपूर्ण बना हुआ है, जिसमें अक्सर सेपरेबल घटकों के चरणबद्ध रिकवरी की आवश्यकता होती है।

संक्षेप में, यह कार्य प्रदर्शित करता है कि डिफरेंशिएबल सॉल्वर को स्ट्रक्चरली कंस्ट्रेंड न्यूरल नेटवर्क (विशेष रूप से बर्नस्टीन-आधारित KANs) के साथ संयोजित करना नॉनलोकल और मेमोरी-डिपेंडेंट सिस्टम में इनवर्स समस्याओं को हल करने के लिए एक शक्तिशाली, व्याख्यात्मक और मजबूत दृष्टिकोण प्रदान करता है।