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Worst-Case Quantum Algorithm for Optimal Polynomial Intersection Beyond Decoded Quantum Interferometry

यह शोधपत्र एक वर्स्ट-केस क्वांटम एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है जो डिकोडेड क्वांटम इंटरफेरोमेट्री की सीमाओं से परे ऑप्टिमल पॉलिनॉमियल इंटरसेक्शन समस्या को हल करता है, जो $R>0.75$ के लिए $s=1$ की संतुष्टि दर प्राप्त करता है और ब्रास्कैम्प-लीब प्रकार की असमानताओं के एक नवीन अनुप्रयोग के माध्यम से अस्तित्वगत सीमा (existential bound) को सुधारकर $R>0.7158$ तक ले जाता है।

मूल लेखक: Shuji Horinaga, Takashi Yamakawa

प्रकाशित 2026-07-17

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Shuji Horinaga, Takashi Yamakawa

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक ऐसी दुनिया की कल्पना करें जहाँ कंप्यूटर केवल नंबरों की गणना नहीं करते बल्कि संभावनाओं के साथ नृत्य करते हैं, एक साथ कई संभावनाओं को तलाशते हैं जैसे कि एक गायक एक ही समय में एक गीत के हर स्वर को गा रहा हो। यह क्वांटम कंप्यूटिंग का क्षेत्र है, जो एक ऐसा क्षेत्र है जो कुछ पहेलियों को हमारे वर्तमान मशीनों की तुलना में बहुत तेज़ी से हल करने का वादा करता है। ऐसी ही एक पहेली "ऑप्टिमल पॉलिनॉमियल इंटरसेक्शन" (Optimal Polynomial-Intersection) समस्या है। इसे समझने के लिए, एक विशाल ग्रिड की कल्पना करें, जहाँ ग्रिड के प्रत्येक स्थान पर एक विशिष्ट नियम है कि कौन से रंग अनुमत हैं। आपका काम एक एकल, सुचारू, लहरदार रेखा (पॉलिनॉमियल) खींचना है जो इन स्थानों में से अधिक से अधिक स्थानों से होकर गुजरती है, और केवल "अनुमत" रंगों को छूती है। वास्तविक दुनिया में, यह केवल एक खेल नहीं है; यह शोर वाले चैनलों (noisy channels) पर भेजे गए संदेशों को डिकोड करने का गणितीय हृदय है, जैसे कि एक खराब हुए टेक्स्ट मैसेज को ठीक करना या खोई हुई फ़ाइल को पुनः प्राप्त करना। वर्षों से, वैज्ञानिक इस रेखा को खींचने का सबसे अच्छा तरीका खोजने की कोशिश कर रहे हैं। जबकि क्लासिकल कंप्यूटर (जो आपके फोन में होते हैं) को संभावनाओं की एक-एक करके जाँच करनी पड़ती है, क्वांटम कंप्यूटर "इंटरफेरेंस" (interference) नामक एक तकनीक का उपयोग करके गलत उत्तरों को रद्द कर सकते हैं और सही उत्तरों को बढ़ा सकते हैं, जिससे वे संभावित रूप से बहुत तेज़ी से पूर्ण रेखा पा सकते हैं।

हालाँकि, इसमें एक पेच है। सबसे अच्छा ज्ञात क्वांटम तरीका, जिसे डिकोडेड क्वांटम इंटरफेरोमेट्री (DQI) कहा जाता है, तब बहुत अच्छा काम करता है जब नियम यादृच्छिक (random) और अनुमान लगाने में आसान होते हैं, लेकिन जब नियम जटिल या "वर्स्ट-केस" (worst-case) परिदृश्यों में होते हैं, तो यह लड़खड़ा जाता है। यह एक ऐसे मानचित्र की तरह है जो एक धूप वाले पार्क में तो पूरी तरह काम करता है लेकिन एक घने, कोहरे वाले जंगल में पूरी तरह विफल हो जाता है। हाल ही में, शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि इन कोहरे वाले जंगलों में एक समाधान होना ही चाहिए, लेकिन वे यह नहीं दिखा सके कि उसे कैसे खोजा जाए। शिजु होरिनागा और ताकाशी यामाकावा का यह शोध पत्र उस अंतर को पाटता है। उन्होंने एक नया क्वांटम एल्गोरिदम डिज़ाइन किया है जो उन कठिन, वर्स्ट-केस जंगलों में भी रास्ता बना सकता है और पूर्ण रेखा को न केवल सिद्धांत में, बल्कि सफलता की गारंटी के साथ खोज सकता है। वे सिद्ध करते हैं कि एक विशिष्ट प्रकार की कठिन पहेली के लिए, उनकी विधि एक ऐसा समाधान ढूंढ सकती है जो नियमों को लगभग पूरी तरह से संतुष्ट करता है, भले ही स्थितियाँ पिछले क्वांटम तरीकों की तुलना में अधिक कठिन हों। उन्होंने यह भी खोजा कि समाधान पहले की तुलना में और भी व्यापक श्रेणियों में मौजूद हैं, जो इस गणितीय परिदृश्य में हम जो संभव मानते हैं उसकी सीमाओं को आगे बढ़ाते हैं।

लहरदार रेखा की पहेली

आइए "ऑप्टिमल पॉलिनॉमियल इंटरसेक्शन" (OPI) की कहानी में उतरें। कल्पना करें कि आप एक नदी के पार एक पुल (पॉलिनॉमियल) बनाने की कोशिश कर रहे एक वास्तुकार हैं। नदी में $n$ विशिष्ट चेकपॉइंट्स (इनपुट) हैं, और प्रत्येक चेकपॉइंट पर, एक बाड़ (अनुमत मानों का एक उपसमुच्चय) है। आपके पुल को अधिक से अधिक चेकपॉइंट्स पर उस बाड़ से होकर गुजरना चाहिए। लक्ष्य एक ऐसा पुल खोजने का है जो सुचारू और सरल (कम-डिग्री वाला) हो लेकिन उच्च प्रतिशत चेकपॉइंट्स पर बाड़ को छुए।

लंबे समय तक, हमारे पास इसके लिए सबसे अच्छा उपकरण DQI नामक एक क्वांटम विधि थी। DQI को एक जादुвई कंपास के रूप में सोचें जो तब शानदार काम करता है जब बाड़ यादृच्छिक रूप से रखी जाती है। यदि आप बाड़ कहाँ रखी जाए यह तय करने के लिए एक बोर्ड पर डार्ट फेंकते हैं, तो DKI लगभग हमेशा एक आदर्श पुल ढूंढ सकता है। लेकिन यदि कोई जानबूझकर बाड़ों को सबसे परेशान करने वाली, कठिन संरचना (worst-case) के रूप में व्यवस्थित करता है, तो DQI भटक जाता है। यह केवल तभी एक समाधान की गारंटी दे सकता है यदि पुल को बहुत जटिल होने की अनुमति दी जाए, जो उद्देश्य को ही विफल कर देता है।

नया क्वांटम खोजकर्ता

इस पेपर के लेखक, होरिनागा और यामाकावा ने एक साहसिक प्रश्न पूछा: "क्या हम एक ऐसा क्वांटम खोजकर्ता बना सकते हैं जो सबसे कठिन, वर्स्ट-केस जंगलों में भी न भटके?" उनका उत्तर एक जोरदार 'हाँ' है। उन्होंने एक नया क्वांटम एल्गोरिदम बनाया है जो DQI में सुधार करता है।

यहाँ बताया गया है कि उन्होंने इसे कैसे किया, कुछ चतुर युक्तियों का उपयोग करते हुए:

लिस्ट डिकोडर: सटीक पथ का तुरंत अनुमान लगाने के बजाय, उनका एल्गोरिदम एक "लिस्ट डिकोडर" का उपयोग करता है। कल्पना करें कि आप एक पड़ोस में एक विशिष्ट घर को खोजने की कोशिश कर रहे हैं। एक घर का अनुमान लगाने के बजाय, आप शीर्ष 5 सबसे संभावित उम्मीदवारों की एक छोटी सूची बनाते हैं। उनका एल्गोरिदम भी ऐसा ही करता है: यह संभावित समाधानों की एक सूची बनाता है और फिर उनमें से एक को यादृчески चुनता है। यदि सूची छोटी है (जो कि समस्या के गणित के कारण है), तो इस यादृच्छिक चयन के सही होने की अच्छी संभावना होती है।
ब्रास्कैम्प-ली (Brascamp–Lieb) असमानता: यह असली गुप्त सामग्री है। यह एक जटिल गणितीय नियम है जो एक अत्यंत सटीक रूलर (पैमाने) की तरह कार्य करता है। लेखकों ने एक नए संस्करण के रूलर का उपयोग किया, जिसे उनके विशिष्ट प्रकार की समस्या (MDS कोड) के लिए अनुकूलित किया गया था, यह सिद्ध करने के लिए कि "बुरे" पथ (वे जो मृत अंत की ओर ले जाते हैं) इतने दुर्लभ हैं कि उन्हें अनदेखा किया जा सकता है। यह ऐसा है जैसे यह सिद्ध करना कि एक विशाल भूलभुलैया में, मृत अंत वाले गलियारों की संख्या इतनी कम है कि यदि आप यादृच्छिक रूप से चलते हैं, तो आप लगभग निश्चित रूप से निकास पा लेंगे।
परिणाम: उन्होंने सिद्ध किया कि उनका एल्गोरिदम वर्स्ट-केस परिदृश्य में काम करता है। विशेष रूप से, जब बाड़ लगभग आधे संभावित रंगों को कवर करती है (एक "बैलेंस्ड" मामला), तो उनका एल्गोरिदम एक ऐसा पुल ढूंढ सकता है जो चेकपॉइंट्स के 100% को छूता है, बशर्ते कि पुल की जटिलता (दर $R$ ) 0.75 से अधिक हो। हालाँकि, यह ध्यान देना महत्वपूर्ण है कि एल्गोरिदम इस पूर्ण समाधान को एक ऐसी प्रायिकता के साथ पाता है जो समस्या के आकार के एक पॉलिनॉमियल के व्युत्क्रमानुपाती (inversely proportional) है (इसका अर्थ है कि यह अक्सर सफल होता है, लेकिन हर बार पूर्ण निश्चितता के साथ नहीं)।

यह क्यों मायने रखता है

इस पेपर से पहले, सबसे अच्छा क्वांटम एल्गोरिदम (DQI) केवल तभी पूर्ण समाधान (100% हिट रेट) की गारंटी दे सकता था जब पुल को अत्यंत जटिल ( $R=1$ ) होने की अनुमति दी जाए। यदि आप एक सरल पुल चाहते थे, तो आपको कुछ चेकपॉइंट्स छोड़ने के लिए समझौता करना पड़ता था। औसत-मामले (average-case) वाले एल्गोरिदम (जो केवल यादृच्छिक पहेलियों पर काम करते हैं) 100% तक पहुँच सकते थे, लेकिन वे वर्स्ट-केस में विफल हो जाते थे।

होरिनागा और यामाकावा का एल्गोरिदम खेल बदल देता है। उन्होंने दिखाया कि वर्स्ट-केस में भी, आप एक ऐसा समाधान पा सकते हैं जो 100% चेकपॉइंट्स को छूता है, जब तक कि जटिलता 0.75 से अधिक हो, और सफलता की प्रायिकता इतनी महत्वपूर्ण है कि वह उपयोगी हो (विशेष रूप से, इनवर्स-पॉलिनॉमियल)। यह सर्वोत्तम औसत-मामले वाली विधियों के प्रदर्शन थ्रेशोल्ड से मेल खाता है लेकिन तब भी काम करता है जब पहेली को जितना संभव हो उतना कठिन बनाया गया हो।

इसके अलावा, उन्होंने केवल एल्गोरिदम ही नहीं बनाया; उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि समाधान और भी कठिन श्रेणियों में मौजूद हैं। उन्होंने दिखाया कि एक समाधान तब भी गारंटी के साथ मौजूद होता है जब जटिलता 0.7158 से अधिक हो, जो पिछले सर्वश्रेष्ठ गारंटी 0.7495 में सुधार करता है।

बड़ा परिदृश्य

यह कार्य क्वांटम कंप्यूटिंग की सीमाओं को समझने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है। यह हमें "हमें लगता है कि एक समाधान मौजूद है" से "यहाँ एक क्वांटम मशीन है जो उच्च प्रायिकता के साथ इसे खोज सकती है" की ओर ले जाता है। हालाँकि उनका एल्गोरिदम वर्तमान में विशिष्ट प्रकार के गणितीय ढाँचों (रीड-सोलोमन कोड और उनके सामान्यीकरण) के लिए सबसे अच्छा काम करता है, लेकिन उनके द्वारा विकसित तकनीकें—विशेष रूप से ब्रैस्कैम्प-ली असमानता का उपयोग करने का नया तरीका—कोडिंग थ्योरी और क्रिप्टोग्राफी में अन्य कठिन समस्याओं को हल करने में मदद कर सकती है।

संक्षेप में, उन्होंने एक ऐसा क्वांटम टॉर्च बनाया है जो सबसे अंधेरे, सबसे भ्रमित करने वाले जंगलों में भी काम करता है, यह सिद्ध करते हुए कि भले ही नियम आपके विरुद्ध रचे गए हों, फिर भी एक क्वांटम कंप्यूटर सफलता की विश्वसनीय संभावना के साथ पूर्ण पथ खोज सकता है।

तकनीकी सारांश: डिकोडेड क्वांटम इंटरफेरोमेट्री से परे इष्टतम बहुपद प्रतिच्छेदन (Optimal Polynomial Intersection) के लिए वर्स्ट-केस क्वांटम एल्गोरिदम

समस्या की परिभाषा
यह शोध पत्र इष्टतम बहुपद प्रतिच्छेदन (Optimal Polynomial Intersection - OPI) समस्या को संबोधित करता है। एक परिमित क्षेत्र (finite field) $\mathbb{F}_q$ , विशिष्ट मूल्यांकन बिंदुओं का एक सेट $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ , और प्रत्येक $i \in [n]$ के लिए उपसमुच्चय $S_i \subseteq \mathbb{F}_q$ दिया गया है, तो लक्ष्य एक ऐसा बहुपद $P \in \mathbb{F}_q[X]$ खोजना है जिसका डिग्री $k$ से कम हो, ताकि $P(\alpha_i) \in S_i$ कम से कम एक अंश $s$ इनपुट के लिए सत्य हो। यह समस्या दर $R = k/n$ और घनत्व $\rho = |S_i|/q$ द्वारा पैरामीटराइज्ड है।

इस कार्य से पूर्व, डिकोडेड क्वांटम इंटरफेरोमेट्री (Decoded Quantum Interferometry - DQI) [JSW+25] एल्गोरिदम ने विशिष्ट पैरामीटर व्यवस्थाओं में OPI के लिए एक क्वांटम समाधान प्रदान किया था, जो सर्वोत्तम ज्ञात शास्त्रीय ह्यूरिस्टिक्स (Prange's algorithm) से बेहतर था। हालाँकि, DQI का वर्स्ट-केस प्रदर्शन सीमित है; उदाहरण के लिए, जब $\rho = 1/2$ हो, तो DQI $s=1$ की संतुष्टि दर प्राप्त नहीं कर सकता जब तक कि $R=1$ न हो। जबकि हालिया औसत-मामले (average-case) विश्लेषणों [Cha25] ने इन सीमाओं में सुधार किया (जब $\rho=1/2$ हो तो $R > 0.75$ के लिए $s=1$ की अनुमति मिलती है), वे $S_i$ के यादृच्छिक चयन पर निर्भर करते हैं। सन और वूटर्स [SW26] द्वारा दिए गए एक विशुद्ध अस्तित्ववादी परिणाम (existential result) ने प्रदर्शित किया कि समाधान उन व्यापक पैरामीटर व्यवस्थाओं में भी मौजूद हैं जिन्हें DQI कवर करता है, यहाँ तक कि वर्स्ट-केस में भी, लेकिन उन्होंने इसके अनुरूप कोई क्वांटम एल्गोरिदम प्रदान नहीं किया।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक ऐसा क्वांटम एल्गोरिदम प्रस्तावित करते हैं जो वर्स्ट-केस सेटिंग में DQI से बेहतर प्रदर्शन करता है। दृष्टिकोण Regev-शैली के क्वांटम रिडक्शन [Reg09] का एक संस्करण है जिसे Yamakawa और Zhandry [YZ24] तथा Chailloux [Cha25] के फ्रेमवर्क के समान लिस्ट-डिकोडिंग रणनीति के साथ जोड़ा गया है।

एल्गोरिद्मिक फ्रेमवर्क: एल्गोरिदम कोड (Reed-Solomon code $C$ ) और बाधा सेट $S = \prod S_i$ के प्रतिच्छेदन के समान एक क्वांटम अवस्था तैयार करता है। यह परिमित क्षेत्रों पर क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (QFT) और ड्युअल कोड $C^\perp$ के लिए एक डिकोडर का उपयोग करता है।
लिस्ट-डिकोडिंग रणनीति: अद्वितीय डिकोडिंग (unique decoding) पर आधारित पिछले वर्स्ट-केस प्रयासों के विपरीत, यह एल्गोरिदम ड्युअल कोड $C^\perp$ के लिए एक लिस्ट डिकोडर का उपयोग करता है। डिकोडर उम्मीदवारों की सूची में से एक यादृच्छिक तत्व आउटपुट करता है। एल्गोरिदम तब सफल होता है जब सूची का आकार बहुपद (polynomial) हो और डिकोडर व्युत्क्रम-बहुपद (inverse-polynomial) प्रायिकता के साथ सफल हो।
Brascamp–Lieb असमानता के माध्यम से वर्स्ट-केस विश्लेषण: लेखकों ने एक वर्स्ट-केस परिदृश्य में "त्रुटि" (error) पदों को सीमित करने की मुख्य तकनीकी चुनौती को संबोधित किया है, जहाँ सेट $S_i$ $S_{i}$ को प्रतिकूल रूप से (adversarially) चुना गया है। लेखक एक Brascamp–Lieb-प्रकार की असमानता का नवीन अनुप्रयोग पेश करते हैं जो मैक्सिमम डिस्टेंस सेपरेबल (MDS) कोड के अनुकूलित है।
- वे त्रुटि प्रायिकता को ड्युअल कोड पर शिफ्ट सहसंबंधों (shift correlations) $\Gamma(u)$ में विभाजित करते हैं।
- वे द्विसंख्यिकीय जनरेटिंग बहुपदों (bivariate generating polynomials) और उनके गुणांकों के $\ell_1$ नॉर्म का उपयोग करके इन सहसंबंधों को सीमित करते हैं।
- महत्वपूर्ण रूप से, वे फूरियर बायस (Fourier bias) के उत्पादों के योग को नियंत्रित करने के लिए ड्युअल कोड पर फूरियर बायस को सीमित करने हेतु MDS Brascamp–Lieb असमानता (प्रमेय 3.1) लागू करते हैं। यह असमानता योग को नियंत्रित करने के लिए MDS गुण (उच्च न्यूनतम दूरी) का लाभ उठाती है, जिससे लेखक यह दिखाने में सक्षम होते हैं कि वर्स्ट-केस सेटों के लिए भी त्रुटि नगण्य है।
फूरियर बायस बाउंड्स: विश्लेषण को पूरा करने के लिए, लेखकों ने $S_i$ के संकेतक फलनों (indicator functions) के फूरियर गुणांकों के $Q$ -वें घात के योग के सटीक बाउंड्स प्राप्त किए हैं। ये बाउंड्स एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स (विशेष रूप से, पॉलार्ड के प्रमेय और ग्रीन-रुज़ा परिणामों के माध्यम से एडिटिव एनर्जी पर बाउंड्स) और फूरियर बायस अनुमानों पर आधारित हैं।

मुख्य योगदान और परिणाम

DQI से परे प्रथम वर्स्ट-केस क्वांटम एल्गोरिदम: यह शोध पत्र पहला क्वांटम पॉलीनोमियल-टाइम एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है जो DQI से बेहतर पैरामीटर्स के साथ वर्स्ट-केस में OPI को हल करता है।
- संतुलित मामला ( $\rho = 1/2$ ): एल्गोरिदम एक पूर्ण समाधान ( $s=1$ ) पाता है जब भी $R > 0.75$ हो। यह सर्वोत्तम ज्ञात औसत-मामले बाउंड [Cha25] से मेल खाता है, लेकिन यह $S_i$ के किसी भी चुनाव के लिए मान्य है। इसके विपरीत, DQI को इस व्यवस्था में $s=1$ के लिए $R=1$ की आवश्यकता होती है।
- सामान्य व्यवस्था: $R > 0.697ities $(जब$ \rho=1/2$ हो) के लिए, एल्गोरिदम DQI व्यवस्था में सुधार करता है। पेपर में बाइनरी एंट्रॉपी फंक्शन $H(R)$ और फूरियर बायस मोमेंट्स से संबंधित स्पष्ट स्थितियाँ (प्रमेय 1.1 में समीकरण 1 और 2) प्रदान की गई हैं जो प्राप्त करने योग्य संतुष्टि दर $s$ को निर्धारित करती हैं।
सुधारित अस्तित्ववादी बाउंड्स (Improved Existential Bounds): अपने एल्गोरिद्मिक विश्लेषण के एक उप-उत्पाद के रूप में, लेखक OPI (और MDS कोड के लिए सामान्यीकृत MaxLINSAT समस्या) के समाधान के अस्तित्व के लिए बेहतर अस्तित्ववादी बाउंड्स प्राप्त करते हैं।
- $\rho = 1/2$ के लिए, वे सिद्ध करते हैं कि एक समाधान मौजूद होता है जब भी $R > 0.7158$ हो, जो सन और वूटर्स [SW26] द्वारा स्थापित $R > 0.7495$ के पिछले थ्रेशोल्ड में सुधार करता है।
- यह अस्तित्ववादी परिणाम किसी भी MDS कोड के लिए मान्य है, जबकि एल्गोरिद्मिक परिणाम वर्तमान में उन कोडों तक सीमित है जिनके ड्युअल में कुशल लिस्ट डिकोडर उपलब्ध हैं (जैसे, रीड-सोलोमन कोड)।
तकनीकी नवीनता: यह शोध पत्र कोडिंग थ्योरी और क्वांटम एल्गोरिदम के संदर्भ में Brascamp–Lieb असमानता के एक नए अनुप्रयोग को पेश करता है। यह तकनीक वर्स्ट-केस में ड्युअल कोड पर फूरियर योगों को नियंत्रित करने की अनुमति देती है, एक ऐसा कार्य जिसे पिछले औसत-मामले वाले विश्लेषणों ने सेट के यादृच्छिक चयन को मानकर टाल दिया था।

महत्व
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह वर्स्ट-केस सेटिंग में OPI समस्या के लिए अस्तित्ववादी गारंटी और एल्गोरिद्मिक प्रदर्शन के बीच के एक महत्वपूर्ण अंतर को पाटता है। जबकि सन और वूटर्स [SW26] ने दिखाया कि समाधान उन व्यवस्थाओं में मौजूद होते हैं जहाँ DQI विफल हो जाता है, उन्होंने यह प्रश्न खुला छोड़ दिया था कि क्या कोई क्वांटम एल्गोरिदम उन्हें खोज सकता है। यह कार्य उस प्रश्न का सकारात्मक उत्तर देता है।

लेखक नोट करते हैं कि उनके परिणाम सुपर-कॉन्स्टेंट कैरेक्टरिस्टिक वाले क्षेत्रों (जहाँ $p = \omega(1)$ है) के लिए विशिष्ट हैं और ड्युअल कोड की लिस्ट-डिकोडेबिलिटी पर निर्भर करते हैं। वे यह दावा नहीं करते कि वे मनमाने कोड या कम कैरेक्टरिस्टिक वाले क्षेत्रों (जैसे $\mathbb{F}_2$ ) के लिए वर्स्ट-केस में MaxLINSAT को हल करते हैं, यह देखते हुए कि DQI और उनके अपने परिणाम वर्तमान में इन सेटिंग्स में विस्तार नहीं करते हैं। यह कार्य बहुपद प्रतिच्छेदन समस्याओं के लिए क्वांटम लाभ के लिए एक नया बेंचमार्क स्थापित करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि क्वांटम एल्गोरिदम वर्स्ट-केस में वह प्रदर्शन प्राप्त कर सकते हैं जो पहले केवल औसत या अस्तित्ववादी रूप से ही संभव माना जाता था।

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