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Agnostic learning of qudit stabilizer states

यह शोध पत्र क्वडिट (qudit) प्रणालियों के लिए स्टेबलाइज़र बूटस्ट्रैपिंग फ्रेमवर्क का सामान्यीकरण करके क्वडिट स्टेबलाइज़र अवस्थाओं को अज्ञेय रूप से (agnostically) सीखने के लिए पहला कुशल क्वांटम एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है, जो केवल सिंगल- और फोर-कॉपी मापों का उपयोग करके इष्टतम के करीब फिडेलिटी (fidelity) के साथ एक स्टेबलाइज़र अवस्था प्रदान करने में सक्षम बनाता है।

मूल लेखक: Wentao Qi, Boyan Xu, Shiguang Feng, Lvzhou Li

प्रकाशित 2026-07-20

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Wentao Qi, Boyan Xu, Shiguang Feng, Lvzhou Li

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, त्रि-आयामी पहेली को हल करने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन चित्र वाले टुकड़ों के बजाय, आप ब्रह्मांड के अदृश्य निर्माण खंडों (building blocks) से जूझ रहे हैं: क्वांटम अवस्थाएँ (quantum states)। क्वांटम कंप्यूटिंग की दुनिया में, ये अवस्थाएँ सुपर-जटिल व्यंजनों (recipes) की तरह हैं जो एक कंप्यूटर को यह बताती हैं कि उसे कैसे व्यवहार करना है। आमतौर पर, एक क्वांटम अवस्था के सटीक नुस्खे को समझना असंभव है क्योंकि सामग्रियों की संख्या इतनी तेजी से बढ़ती है कि उन्हें सूचीबद्ध करने में ब्रह्मांड की आयु से भी अधिक समय लग जाएगा। हालाँकि, वैज्ञानिकों ने इन अवस्थाओं के लिए एक विशेष "शॉर्टकट" श्रेणी की खोज की है जिसे स्टेबलाइजर स्टेट्स (stabilizer states) कहा जाता है। इन्हें क्वांटम दुनिया के "लेगो" (Lego) टुकड़ों के रूप में समझें: ये अत्यधिक संरचित, वर्णन करने में आसान और वास्तविक दुनिया के शोर (noise) से बचने के लिए त्रुटि-सुधार करने वाली मशीनों के निर्माण में अविश्वसनीय रूप से उपयोगी हैं।

लेकिन यहाँ एक पेच है: वास्तविक दुनिया में, कुछ भी पूर्ण नहीं होता। क्वांटम कंप्यूटर शोर वाले होते हैं, और उनके द्वारा बनाई गई अवस्थाएँ अक्सर इन पूर्ण लेगो संरचनाओं के थोड़े टूटे हुए या अस्त-व्यस्त संस्करण होती हैं। यहीं पर एग्नोस्टिक लर्निंग (agnostic learning) काम आती है। एक पूर्ण मिलान की मांग करने के बजाय, एगोस्टिक लर्निंग एक अधिक व्यावहारिक प्रश्न पूछती है: "यदि अवस्था पूर्ण नहीं है, तो हम सबसे करीबी पूर्ण लेगो संरचना कौन सी ढूंढ सकते हैं?" यह एक गाने को पहचानने जैसा है जिसे एक खराब स्पीकर के माध्यम से बजाया जा रहा है; आपको पूर्ण ऑडियो फ़ाइल की आवश्यकता नहीं है, आपको बस यह जानने की आवश्यकता है कि कौन सा गाना पर्याप्त अच्छी तरह से बज रहा है ताकि उसे पहचाना जा सके। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यदि हम एक शोर वाले क्वांटम सिस्टम के लिए "सर्वश्रेष्ठ फिट" वाला स्टेबलाइजर स्टेट जल्दी पहचान सकें, तो हम त्रुटियों को ठीक कर सकते हैं और क्वांटम कंप्यूटरों को बहुत अधिक विश्वसनीय बना सकते हैं।

लंबे समय तक, वैज्ञानिक केवल सबसे सरल क्वांटम बिट्स, जिन्हें क्यूबिट्स (qubits) कहा जाता है (जो सिक्कों की तरह हैं जो या तो चित या पट हो सकते हैं), के लिए इस "सर्वश्रेष्ठ फिट" वाली पहेली को हल कर सकते थे। लेकिन अगली पीढ़ी के क्वांटम कंप्यूटर क्वाडिट्स (qudits) का उपयोग करने की योजना बना रहे हैं, जो सिक्कों की तरह हैं जो किसी भी संख्या से 1 से $d$ तक (जहाँ $d$ एक अभाज्य संख्या है जैसे 3, 5, या 7) गिर सकते हैं। क्वाडिट्स के लिए गणित मौलिक रूप से अलग और बहुत अधिक जटिल है; क्यूबिट्स के लिए उपयोग किए जाने वाले पुराने तरीके इन उच्च-आयामी सिक्कों पर लागू होने पर विफल हो जाते थे।

क्वी, ज़ू, फेंग और ली का यह शोध पत्र इस समस्या को हल करता है। उन्होंने सफलतापूर्वक पहला कुशल एल्गोरिदम बनाया है जो एक शोर वाले क्वाडिट सिस्टम के लिए निकटतम स्टेबलाइजर स्टेट को खोज सकता है। कल्पना कीजिए कि उन्होंने एक क्यूबिट-हल करने वाले रोबोट का ब्लूप्रिंट लिया और क्वाडिट्स की जटिल ज्यामिति को संभालने के लिए उसके मस्तिष्क को पूरी तरह से फिर से डिजाइन किया। उनका तरीका अज्ञात, शोर वाले स्टेट की कई कॉपियाँ लेने और एक विशेष प्रकार के क्वांटम नृत्य को करने से काम करता है जिसे स्क्यूड बेल डिफरेंस सैंपलिंग (skewed Bell difference sampling) कहा जाता है। यह प्रक्रिया एक फिल्टर की तरह कार्य करती है, जो शोर को छानकर उसके नीचे छिपी संरचना को प्रकट करती है।

लेखक सिद्ध करते हैं कि उनका एल्गोरिदम अत्यधिक प्रभावी है। यदि अज्ञात अवस्था में एक पूर्ण स्टेट के साथ एक निश्चित स्तर की समानता (जिसे "फिडेलिटी" कहा जाता है, जिसे $\tau$ द्वारा दर्शाया गया है) है, तो उनका एल्गोरिदम एक ऐसा विवरण आउटपुट करेगा जो एक पूर्ण स्टेबलाइजर स्टेट के सबसे अच्छे मिलान के लगभग उतना ही अच्छा होगा। विशेष रूप से, यदि इनपुट स्टेट लक्ष्य के $\tau$ के करीब है, तो एल्गोरिदम एक ऐसी अवस्था पाता है जो $\tau - \varepsilon$ के करीब है, जहाँ $\varepsilon$ एक बहुत छोटा त्रुटि मार्जिन है जिसे आप चुन सकते हैं। वे दिखाते हैं कि यह कुशलता से काम करता है, जिसमें नमूनों (samples) और समय की संख्या सिस्टम के आकार ( $n$ ) और आयाम ( $d$ ) के साथ उचित रूप से स्केल करती है, विशेष रूप से लगभग $(d/\tau)^{O(d^2 \log(1/\tau))}$ की जटिलता का पालन करते हुए।

इसके अलावा, यह शोध पत्र कम शोर होने पर एक विशेष "सुपर-मोड" को भी प्रकट करता है। यदि अज्ञात अवस्था एक पूर्ण स्टेबलाइजर स्टेट के बहुत करीब है (विशेष रूप से, यदि फिडेलिटी $\cos^2(\pi/8)$ , जो कि लगभग 0.85 है, से अधिक है), तो एल्गोरिदम और भी सरल और तेज़ हो जाता है, जो बहुपद समय (polynomial time) में चलता है। यह ऐसा है जैसे यदि गाना केवल थोड़ा धुंधला है, तो आप जटिल फ़िल्टरिंग प्रक्रिया की आवश्यकता के बिना तुरंत उसे पहचान सकते हैं।

यह पत्र स्पष्ट रूप से यह भी संबोधित करता है कि पिछले तरीके क्यों विफल रहे। वे प्रदर्शित करते हैं कि क्यूबिट तकनीकों को सीधे क्वाडिट्स पर कॉपी करना इसलिए काम नहीं करता क्योंकि उच्च आयामों द्वारा पेश किया गया गणितीय "विकृति" (distortion) डेटा को पूरी तरह से यादृच्छिक (random) और बेकार बना देता है। वे इस तथ्य को भी सुलझाते हैं कि क्यूबिट्स के लिए उपयोग किए जाने वाले गणितीय उपकरण (हर्मिटियन ऑपरेटर्स) क्वाडिट्स के लिए उसी तरह मौजूद नहीं हैं, जिससे उन्हें सहसंबंधों (correlations) को मापने के नए तरीके खोजने के लिए मजबूर होना पड़ा।

संक्षेप में, यह कार्य क्वांटम सिद्धांत के एक बड़े अंतर को पाटता है। यह सिद्ध करता है कि हम इन जटिल, उच्च-आयामी स्थानों में रहने वाली शोर वाली क्वांटम अवस्थाओं की संरचना को कुशलतापूर्वक सीख सकते हैं। यह केवल एक सैद्धांतिक जीत नहीं है; यह सीधे तौर पर "मैजिक" (magic) नामक एक गुण का अनुमान लगाने में सक्षम बनाता है, जो यह मापता है कि एक क्वांटम अवस्था एक सरल अवस्था से कितनी विचलित होती है। इस मैजिक को कुशलतापूर्वक मापने में सक्षम होकर, हमें यह बेहतर समझ मिलती है कि एक क्वांटम कंप्यूटर की अवस्था वास्तव में कितनी शक्तिशाली और जटिल है, जो अधिक मजबूत और शक्तिशाली क्वांटम प्रौद्योगिकियों का मार्ग प्रशस्त करती है।

तकनीकी सारांश: क्वोडिट स्टेबलाइजर स्टेट्स का एगोस्टिक लर्निंग (Agnostic Learning of Qudit Stabilizer States)

समस्या विवरण (Problem Statement)
यह शोध पत्र एक अज्ञात क्वांटम अवस्था (quantum state) के शास्त्रीय विवरण (classical description) को कुशलतापूर्वक सीखने के मौलिक कार्य को संबोधित करता है। जबकि मनमाने (arbitrary) स्टेट्स को सीखना 'डायमेंशनलिटी के अभिशाप' (curse of dimensionality) से ग्रस्त है, संरचित स्टेट्स (जैसे कि स्टेबलाइजर स्टेट्स) को सीखना अधिक सुलभ है। हालांकि, स्टेबलाइजर स्टेट्स के लिए मौजूदा एल्गोरिदम आमतौर पर "रियलाइजेबल" (realizable) सेटिंग में काम करते हैं, जो यह मान लेते हैं कि अज्ञात अवस्था बिल्कुल एक स्टेबलाइजर स्टेट के समान है। वास्तविक परिदृश्यों में, शोर (noise) लक्षित अवस्था को इस आदर्श संरचना से दूर ले जाता है। यह एगोस्टिक लर्निंग (agnostic learning) समस्या को प्रेरित करता है: एक अज्ञात अवस्था $|\psi\rangle$ की कॉपियों को देखते हुए, जिसका एक अज्ञात स्टेबलाइजर स्टेट के साथ फिडेलिटी (fidelity) $\tau$ है, लक्ष्य एक स्टेबलाइजर स्टेट $|\phi\rangle$ आउटपुट करना है ताकि $F(|\psi\rangle, |\phi\rangle) \ge \max_{|\phi'\rangle \in \mathcal{C}} F(|\psi\rangle, |\phi'\rangle) - \varepsilon$ हो सके, जहाँ $\mathcal{C}$ स्टेबलाइजर स्टेट्स का वर्ग है।

जबकि चेन एट अल. [STOC '25] ने हाल ही में क्यूबिट सिस्टम ( $d=2$ ) के लिए इसे हल किया है, क्वोडिट सिस्टम (जहाँ स्थानीय डायमेंशन $d > 2$ एक विषम अभाज्य संख्या है) के लिए यह समस्या काफी हद तक अनसुलझी रही है। क्यूबिट तकनीकों का सीधा सामान्यीकरण विफल हो जाता है क्योंकि वे मौलिक संरचनात्मक अंतरों, विशेष रूप से वेइल ऑपरेटर्स (Weyl operators) के व्यवहार और मापन परिणामों (measurement outcomes) के वितरण के कारण होता है।

कार्यप्रणाली और प्रमुख तकनीकें (Methodology and Key Techniques)
लेखक तीन प्राथमिक तकनीकी चुनौतियों को पार करके स्टेबलाइजर बूटस्ट्रैपिंग फ्रेमवर्क को क्वोडिट सिस्टम के लिए सामान्यीकृत करते हैं:

मानक बेल डिफरेंस सैंपलिंग की विफलता (Failure of Standard Bell Difference Sampling): क्यूबिट सिस्टम में, बेल डिफरेंस सैंपलिंग वेइल वितरण $q_\psi$ से नमूने (samples) उत्पन्न करती है। क्वोडिट सिस्टम में, एक सीधा सामान्यीकरण एक विकृत वितरण उत्पन्न करता है जो स्टेबलिस्टर ग्रुप पर केंद्रित होने में विफल रहता है। लेखक स्क्यूड बेल डिफरेंस सैंपलिंग (skewed Bell difference sampling) का उपयोग करते हैं (जिसे ऑलकॉक एट अल. [23] द्वारा रियलाइजेबल सेटिंग के लिए पेश किया गया था)। यह प्रोटोकॉल चार कॉपियों को प्रोसेस करने के लिए 'क्वाड्रेटिक रेसिड्यूज़ मॉड्युलो $d$ ' का उपयोग करके निर्मित एक एंटैंगलिंग यूनिटरी का उपयोग करता है। एगोस्टिक सेटिंग में संयुक्त वितरण की जटिलता को संभालने के लिए, लेखक एक एकल आउटपुट स्ट्रिंग के मार्जिनल डिस्ट्रीबション (marginal distribution) $B_\psi$ का विश्लेषण करते हैं।
मार्जिनल डिस्ट्रीब्यूशन का एंटी-कंसंट्रेशन (Anti-Concentration of the Marginal Distribution): बूटस्ट्रैपिंग के लिए एक महत्वपूर्ण आवश्यकता यह है कि सैंपलिंग वितरण वर्तमान ज्ञात सबग्रुप के बाहर के स्टेबलाइजर ग्रुप तत्वों पर पर्याप्त द्रव्यमान (mass) रखे (एंटी-कंसंट्रेशन)। लेखक सिद्ध करते हैं कि लक्षित स्टेबलाइजर ग्रुप $S$ के किसी भी उचित उपस्थान (proper subspace) $T$ के लिए, मार्जिनल डिस्ट्रीब्यूशन $\sum_{x \in S \setminus T} B_\psi(x) \ge \Omega(\tau^6)$ को संतुष्ट करता है।
- मुख्य अंतर्दृष्टि (Key Insight): यह प्रमाण सामान्य $d$ के लिए आवश्यक जटिल मल्टीवेरिएट ऑप्टिमाइजेशन को एक सिंगल-क्वोडिट केस में बदलकर दरकिनार कर देता है। वे किसी भी सिंगल-क्वोडिट अवस्था की स्टेबलाइजर फिडेलिटी ( $2/(d+1)$ ) पर एक निचली सीमा स्थापित करते हैं, जो इस तथ्य का लाभ उठाती है कि सिंगल-क्वोडिट स्टेबलाइजर स्टेट्स एक कॉम्प्लेक्स प्रोजेक्टिव 2-डिजाइन बनाते हैं और $d+1$ परस्पर अनबायस्ड बेस (mutually unbiased bases) का निर्माण करते हैं।
वेइल ऑपरेटर्स की नॉन-हर्मिटियन प्रकृति (Non-Hermiticity of Weyl Operators): क्यूबिट सेटिंग में, वेइल ऑपरेटर्स हर्मिटियन होते हैं, जिससे सहसंबंधों (correlations) का कुशल बैच अनुमान संभव होता है। क्वोडिट ( $d>2$ ) के लिए, वेइल ऑपरेटर्स आम तौर पर नॉन-हर्मिटियन होते हैं, जिससे $\langle \psi | W_x | \psi \rangle$ कॉम्प्लेक्स हो जाता है। लेखक इसे संबोधित करने के लिए हर्मिटियन ऑब्जर्वेबल्स पर निर्भर रहने के बजाय, SWAP टेस्ट का उपयोग करके व्यक्तिगत रूप से स्क्वेर्ड कोरिलेशन $|\langle \psi | W_x | \psi \rangle|^2$ का अनुमान लगाते हैं।

एल्गोरिद्मिक फ्रेमवर्क (Algorithmic Framework)
प्रस्तावित एल्गोरिदम एक पुनरावृत्ति स्टेबलाइजर बूटस्ट्रैपिंग (stabilizer bootstrapping) प्रक्रिया का पालन करता है:

सैंपलिंग (Sampling): मार्जिनल डिस्ट्रीब्यूशन $B_\psi$ से पाउली स्ट्रिंग्स प्राप्त करने के लिए स्क्यूड बेल डिफरेंस सैंपलिंग करें।
फिल्टरिंग (Filtering): वर्तमान वर्किंग स्टेट के साथ सैंपल किए गए स्ट्रिंग्स के स्क्वेर्ड कोरिलेशन का अनुमान लगाएं। "हाई-कोरिलेशन" स्ट्रिंग्स (वे जिनका कोरिलेशन $> 1 - 1/(12d^2)$ है) को बनाए रखें।
बेसिस कंस्ट्रक्शन (Basis Construction): कम्यूटिंग हाई-कोरिलेशन स्ट्रिंग्स से एक बेसिस बनाएं। यदि बेसिस अधूरा है (पूरे स्टेबलाइजर ग्रुप को जनरेट नहीं करता है), तो एंटी-कंसंट्रेशन प्रॉपर्टी यह सुनिश्चित करती है कि $\Omega(\tau^6)$ प्रायिकता के साथ, वर्तमान स्पैन के बाहर का एक नया स्टेबलाइजर एलिमेंट सैंपल किया जाएगा।
बूटस्ट्रैपिंग (Bootstrapping): यदि एक लो-कोरिलेशन स्टेबलाइजर एलिमेंट मिलता है, तो उसके आइजन-बेसिस (eigenbasis) में अवस्था को मापें और पोस्ट-सेलेक्ट करें। यह लक्षित स्टेबलाइजर स्टेट के साथ फिडेलिटी को एक स्थिर कारक (constant factor) से बढ़ाता है।
पुनरावृत्ति (Iteration): पूरे स्टेबलाइजर ग्रुप की पहचान होने तक बढ़े हुए (amplified) स्टेट के साथ प्रक्रिया को दोहराएं।

इसके अतिरिक्त, हाई-फिडेलिटी रिजीम ( $\tau > \cos^2(\pi/8)$ ) के लिए, लेखक एक सुव्यवस्थित एल्गोरिदम प्रस्तुत करते हैं। वे सिद्ध करते हैं कि इस रिजीम में, स्टेबलाइजर ग्रुप के भीतर के वेइल ऑपरेटर्स के स्क्वेर्ड कोरिलेशन, बाहर के स्ट्रिंग्स से स्पष्ट रूप से अलग होते हैं। यह एक डायरेक्ट थ्रेशोल्ड-आधारित दृष्टिकोण की अनुमति देता है जो पुनरावृत्ति बूटस्ट्रैपिंग मशीनरी को दरकिनार करता है, जिससे पॉलीनोमियल कॉम्प्लेक्सिटी प्राप्त होती है।

परिणाम और जटिलता (Results and Complexity)
यह शोध पत्र शुद्ध-अवस्था क्वोडिट स्टेबलाइजर स्टेट्स ( $d > 2$ अभाज्य) के एगोस्टिक लर्निंग के लिए पहला कुशल क्वांटम एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है।

सामान्य रिजीम (General Regime): एक अज्ञात $n$ -क्वोडिट अवस्था को देखते हुए जिसकी स्टेबलाइजर फिडेलिटी $\tau$ है, एल्गोरिदम उच्च प्रायिकता के साथ कम से कम $\tau - \varepsilon$ फिडेलिटी वाला एक स्टेबलाइजर स्टेट आउटपुट करता है।
- सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी (Sample Complexity): $O(n \log n) \cdot (d/\tau)^{O(d^2 \log(1/\tau))} + O(d/\varepsilon^2 \log^2(1/\tau))$ ।
- टाइम कॉम्प्लेक्सिटी (Time Complexity): $O(n^3/\varepsilon^2) \cdot (d/\tau)^{O(d^2 \log(1/\tau))}$ ।
- कॉम्प्लेक्सिटी क्वासी-पॉलीनोमियल (quasi-polynomial) है जब $\tau = 1/\text{poly}(n)$ , जो क्यूबिट्स के लिए सर्वोत्तम ज्ञात परिणामों से मेल खाती है।
हाई-फिडेलिटी रिजीम ( $\tau > \cos^2(\pi/8) + \gamma$ ):
- सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी: $O(d^4 n \log n / \gamma^2)$ ।
- टाइम कॉम्प्लेक्सिटी: $O(n^3 + n^2 d^4 \log n / \gamma^2)$ ।
- यह रिजीम एक पॉलीनोमियल-टाइम समाधान प्रदान करता है।
उप-परिणाम (Corollaries):
- मैजिक एस्टीमेशन (Magic Estimation): एल्गोरिदम एक क्वांटम अवस्था के "मैजिक" (स्टेबलाइजर फिडेलिटी द्वारा मात्राबद्ध) का एडिटिव एरर $\varepsilon$ के साथ कुशल अनुमान लगाने में सक्षम बनाता है।
- लिस्ट-डिकोडिंग (List-Decoding): इस पद्धति को $\tau$ या उससे अधिक फिडेलिटी वाले सभी स्टेबलाइजर स्टेट्स की एक लिस्ट आउटपुट करने के लिए विस्तारित किया जा सकता है।

महत्व और दावे (Significance and Claims)
लेखक दावा करते हैं कि यह कार्य क्यूबिट परिणामों को क्वोडिट तक विस्तारित करके स्टेबलाइजर स्टेट्स के एगोस्टिक लर्निंग की तस्वीर को पूरा करता है। इसका महत्व यहाँ निहित है:

अंतराल को भरना (Bridging the Gap): क्वोडिट सेटिंग में एगोस्टिक लर्निंग के लिए पहला कुशल समाधान प्रदान करना, जो बेल डिफरेंस सैंपलिंग के सामान्यीकरण में संरचनात्मक बाधाओं के कारण पहले खुला था।
मजबूती (Robustness): एल्गोरिदम को शोर (noise) को संभालने के लिए डिज़ाइन किया गया है (एगोस्टिक सेटिंग), जिससे यह वास्तविक क्वांटम सिस्टम के लिए लागू होता है जहाँ अवस्थाएँ पूर्ण स्टेबलाइजर नहीं होती हैं।
मौलिक उपकरण (Foundational Tools): यह पेपर स्क्यूड बेल डिफरेंस सैंपलिंग के लिए नए एंटी-कंसंट्रेशन बाउंड्स स्थापित करता है और 2-डिजाइन गुणों का उपयोग करके सिंगल-क्वोडिट स्टेबलाइजर फिडेलिटी पर निचली सीमाएँ सिद्ध करता है, जिनका स्वतंत्र उपयोग हो सकता है।
मैजिक क्वांटिफिकेशन (Magic Quantification): स्टेबलाइजर फिडेलिटी के कुशल अनुमान को सक्षम करके, यह कार्य क्वांटम मैजिक (जो क्वांटम एडवांटेज के लिए एक प्रमुख संसाधन है) को मापने के लिए एक व्यावहारिक उपकरण प्रदान करता है।

लेखक नोट करते हैं कि उनके परिणाम वर्तमान में विषम अभाज्य आयामों तक सीमित हैं, और कंपोजिट डायमेंशन या मिश्रित अवस्थाओं (mixed states) तक विस्तार करना एक खुला प्रश्न बना हुआ है। वे यह भी रेखांकित करते हैं कि $1/\tau$ पर क्वासी-पॉलीनोमियल निर्भरता एक सीमा है जो क्यूबिट एल्गोरिदम के साथ साझा की जाती है, और इसे $n$ और $1/\varepsilon$ पर पॉलीनोमियल निर्भरता बनाए रखते हुए पॉलीनोमियल टाइम में सुधारना एक बड़ा खुला प्रश्न है।

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