Glauber dynamics phase transitions in athermal random field Blume-Capel and Blume-Emery-Grifitths models

कल्पना कीजिए एक ऐसी दुनिया की जो नन्हे, अदृश्य चुंबकों से बनी है, जिनमें से प्रत्येक ऊपर, नीचे या बिल्कुल स्थिर रहने की क्षमता रखता है। भौतिकी की इस शांत, जमी हुई दुनिया में, ये चुंबक आमतौर पर एक शांत, अनुमानित पैटर्न में व्यवस्थित होते हैं, जैसे सैनिक सावधान की मुद्रा में खड़े हों। इसे "साम्यावस्था" (equilibrium) कहा जाता है, एक ऐसी स्थिति जहाँ सब कुछ शांत हो गया है और नियम सरल हैं। लेकिन क्या होता है अगर चीज़ों को हिला दिया जाए? क्या होगा यदि आप इन चुंबकों को एक चुंबकीय क्षेत्र से धकेलते हैं, या यदि आप उन पर यादृच्छिक शोर (random noise) का एक अराजक तूफान फेंक देते हैं? यह "गैर-साम्यावस्था" (non-equilibrium) का क्षेत्र है, एक अराजक नृत्य जहाँ अंतिम मुद्रा पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करती है कि आपने नृत्य की शुरुआत कैसे की थी। वैज्ञानिक इसे समझने के लिए अध्ययन करते हैं कि कैसे आपके हार्ड ड्राइव में चुंबक काम करते हैं या कैसे भीड़ में विचार फैलते हैं। मुख्य प्रश्न यह है: यदि आप किसी प्रणाली को पर्याप्त रूप से जोर से धकेलते हैं, तो क्या वह अचानक एक नई अवस्था में आ जाती है, या वह धीरे-धीरे वहां तक पहुँचती है? और क्या इससे कोई फर्क पड़ता है कि आपने शुरुआत में सभी को ऊपर की ओर रखा था या सभी को नीचे की ओर?

यह शोध पत्र इन तीन-अवस्था वाले चुंबकों के दो विशिष्ट मॉडलों का उपयोग करके उस अराजक नृत्य की गहराई में जाता है: ब्लूमर-कैपेल (Blume-Capel) मॉडल और ब्लूमर-एमरी-ग्रिफिथ्स (Blume-Emery-Griffiths) मॉडल। शोधकर्ता, एक सैद्धांतिक "पूर्ण ग्राफ" (complete graph) पर काम करते हुए जहाँ प्रत्येक चुंबक दूसरे प्रत्येक चुंबक से संवाद करता है, एक सरल लेकिन पेचीदा सवाल पूछते हैं: यदि हम इन चुंबकों को पूर्ण शून्य तापमान पर सख्त, ऊर्जा-बचत नियमों (जिन्हें ग्लौबर डायनेमिक्स कहा जाता है) के अनुसार विकसित होने देते हैं, तो क्या वे उसी स्थान पर समाप्त होते हैं जहाँ वे तब समाप्त होते जब उन्हें धीरे-धीरे और पूर्ण रूप से शिथिल होने दिया जाता (साम्यावस्था)? उन्होंने पाया कि उत्तर स्पष्ट रूप से "यह निर्भर करता है" है। कम स्तर के यादृच्छिक शोर के लिए, चुंबक अपनी शुरुआती स्थिति की स्मृति में फंसे रहते हैं। यदि आप उन्हें सभी ऊपर की ओर शुरू करते हैं, तो वे ऊपर की तुलना में अधिक समय तक ऊपर रहते हैं यदि आप उन्हें सभी नीचे की ओर शुरू करते हैं। हालाँकि, एक बार जब यादृच्छिक शोर पर्याप्त मजबूत हो जाता है—एक विशिष्ट महत्वपूर्ण सीमा पार करने के बाद—तो प्रणाली अपने अतीत को भूल जाती है, और अराजक नृत्य अंततः शांत साम्यावस्था से मेल खाता है। यह पत्र यह भी पता लगाता है कि क्या होता है जब आप एक चुंबकीय क्षेत्र जोड़ते हैं, जिससे पता चलता है कि चुंबक "हिस्टेरेसिस लूप" (hysteresis loops) में फंस सकते हैं, जहाँ वे तब तक वापस पलटने से इनकार करते हैं जब तक कि उन्हें आगे पलटने के लिए आवश्यक बल से कहीं अधिक जोर से न धकेला जाए। ये लूप जंगली आकार ले सकते हैं, आयत से लेकर 'वॉस्प-वाइस्टेड' (ततैया जैसी कमर वाले) अंब्रेश (hourglass) तक, जो चुंबकों के आंतरिक नियमों पर निर्भर करता है।

तीन-विकल्प वाले चुंबकों की कहानी

कल्पना कीजिए एक विशाल बॉलरूम की जो हजारों नर्तकों से भरा है। इस कहानी में, नर्तक हमारे "स्पिन" (spks) हैं। एक सामान्य नृत्य के विपरीत जहाँ आप केवल आगे या पीछे देख सकते हैं, इन नर्तकों के पास तीसरा विकल्प है: वे बिल्कुल स्थिर खड़े रह सकते हैं। यह ब्लूमर-कैपेल और ब्लूमर-एमरी-ग्रिफिथ्स मॉडल की दुनिया है। नर्तक अपनी ऊर्जा को न्यूनतम करना चाहते हैं, जिसका अर्थ है कि वे अपने पड़ोसियों के साथ संरेखित होना पसंद करते हैं (यदि एक ऊपर है, तो अन्य भी ऊपर होना चाहते हैं) या यदि संगीत बहुत अजीब है तो स्थिर रहना पसंद करते हैं।

लेकिन एक पेंच है। बॉलरूम एक अराजक, अदृश्य हवा से भरा है—यादृच्छिक क्षेत्र (random field)। यह हवा हर एक नर्तक पर अलग तरह से चलती है, कुछ को ऊपर, कुछ को नीचे और कुछ को बीच में धकेलती है। इस हवा की ताकत को $R$ (विचरण/variance) नामक संख्या द्वारा मापा जाता है। $R$ को अराजकता की "आवाज़" या "तेजी" समझें। इस शोध पत्र में, वैज्ञानिक कोरियोग्राफर की भूमिका निभाते हैं, यह देखते हुए कि नर्तक कैसे चलते हैं जब संगीत रुक जाता है (शून्य तापमान) और उन्हें केवल तभी हिलने की अनुमति दी जाती है जब इससे वे अधिक सहज (कम ऊर्जा) महसूस करें। इसे ग्लौबर डायनेमिक्स कहा जाता है।

महान "यह निर्भर करता है" की खोज

शोधकर्ताओं ने पाया कि नर्तक कैसे व्यवहार करते हैं। यदि अराजक हवा ($R$) बहुत कमजोर है, तो नर्तक याद रखते हैं कि वे कहाँ से शुरू हुए थे।

• परिदृश्य A: यदि आप सभी को 'ऊपर' की ओर मुख करके शुरू करते हैं, तो वे 'ऊपर' ही रह सकते हैं, भले ही संगीत सुझाव दे कि उन्हें 'स्थिर' की ओर स्विच करना चाहिए।
• परिदृश्य B: यदि आप सभी को 'नीचे' की ओर शुरू करते हैं, तो वे 'नीचे' ही रह सकते हैं।

इस कम-शोर वाली दुनिया में, नृत्य फर्श की अंतिम अवस्था पूरी तरह से प्रारंभिक अवस्था पर निर्भर करती है। यह "रेड लाइट, ग्रीन लाइट" के खेल जैसा है जहाँ खिलाड़ी एक विशिष्ट मुद्रा में फंस जाते हैं क्योंकि वे एक विशिष्ट स्थान से शुरू हुए थे। प्रणाली आराम की एक स्थानीय घाटी (local valley) में फंसी हुई है और वह वास्तविक सर्वोत्तम स्थान खोजने के लिए बाहर नहीं निकल सकती क्योंकि खेल के नियम (ग्लौबर डायनेमिक्स) केवल उन चालों की अनुमति देते हैं जो ऊर्जा को कम करती हैं, कभी भी अस्थायी रूप से ऊर्जा बढ़ाने वाली चालों की नहीं।

हालाँकि, जैसे ही वैज्ञानिकों ने अराजक हवा की आवाज़ बढ़ाई (बढ़ता हुआ $R$), कुछ जादुई हुआ। एक बार जब हवा एक महत्वपूर्ण सीमा जिसे $R_c$ कहा जाता है, को पार कर गई, तो नर्तकों ने इस बात की परवाह करना छोड़ दिया कि वे कहाँ से शुरू हुए थे। हवा इतनी मजबूत थी कि उसने उन्हें उनके स्थानीय घाटियों से मुक्त कर दिया। अचानक, चाहे आपने उन्हें ऊपर या नीचे से शुरू किया हो, वे सभी बिल्कुल एक ही स्थान पर समाप्त हुए। अराजक नृत्य अंततः शांत, पूर्ण साम्यावस्था से मेल खा गया। यह शोध पत्र इस महत्वपूर्ण बिंदु की सटीक गणना करता है। सरलतम मॉडल (ब्लूमर-कैपेल) के लिए, यह तब होता है जब $R_c = \sqrt{2/\pi} \approx 0.8$ होता है।

मोड़: हताशा (Frustration) और "शून्य" सीमा

ब्लूमर-एमरी-ग्रिफिथ्स मॉडल के साथ कहानी और भी रोमांचक हो जाती है। यहाँ, नर्तकों के पास एक अतिरिक्त नियम है: एक "बाय-क्वाड्रेटिक" (bi-quadratic) इंटरेक्शन। कल्पना कीजिए कि यदि दो पड़ोसी दोनों "स्थिर" हैं, तो उन्हें बोनस मिलता है, लेकिन यदि दोनों "गतिमान" हैं, तो उन्हें दंड मिलता है। यदि यह नियम नकारात्मक (प्रतिकर्षण/repulsive) है, तो यह हताशा (frustration) पैदा करता है। यह एक ऐसे खेल जैसा है जहाँ नर्तकों को बताया जाता है, "यदि आप स्थिर खड़े रहते हैं, तो आप खुश हैं, लेकिन यदि आपका पड़ोसी स्थिर खड़ा है, तो आपको हिलना होगा!" यह एक संघर्ष पैदा करता है जो समूह को सहमत होने में कठिन बनाता है।

शोध पत्र ने यहाँ एक आश्चर्यजनक परिणाम पाया। हताशा के कुछ मामलों में, महत्वपूर्ण सीमा $R_c$ शून्य तक गिर जाती है। इसका अर्थ है कि अराजक हवा के थोड़े से अंश के साथ भी, नर्तक तुरंत अपना शुरुआती स्थान भूल जाते हैं। यहाँ कोई "स्मृति" चरण नहीं है; प्रणाली पहले सेकंड से ही अराजक है।

लेकिन रुकिए, एक क्रॉसओवर (crossover) है! लेखकों ने पाया कि "क्रिस्टल फील्ड" (एक नियम जो "स्थिर" अवस्था को प्राथमिकता देता है) के कुछ सेटिंग्स के लिए, प्रणाली $R_c = 0$ (कोई स्मृति नहीं) के साथ शुरू होती है लेकिन जैसे-जैसे हवा मजबूत होती है, यह अचानक एक सामान्य प्रणाली की तरह व्यवहार करने लगती है जिसमें गैर-शून्य $R_c$ होता है। यह ऐसा है जैसे नर्तक, जो शुरू में कुछ भी याद रखने के लिए बहुत भ्रमित थे, अराजकता बढ़ने के साथ अचानक एक सामूहिक स्मृति प्राप्त कर लेते हैं। यह एक अनूठा "क्रॉसओवर" व्यवहार है जिसे शोध पत्र भविष्यवाणी करता है और कंप्यूटर सिमुलेशन के साथ पुष्टि करता है।

हिस्टेरेसिस लूप: "वॉस्प-वेस्ट" का नृत्य

अंत में, वैज्ञानिकों ने एक चुंबकीय क्षेत्र जोड़ा, जो पूरे कमरे में "ऊपर!" या "नीचे!" चिल्लाने वाले लाउडस्पीकर की तरह है। जब आप धीरे-धीरे "ऊपर!" चिल्लाने की आवाज़ बढ़ाते हैं, तो नर्तक अंततः पलट जाते हैं। लेकिन जब आप आवाज़ कम करके "नीचे!" चिल्लाते हैं, तो वे तुरंत वापस नहीं पलटते। वे फंस जाते हैं। इस अंतराल को हिस्टेरेसिस (hysteresis) कहा जाता है।

सरल मॉडलों में, यह लूप एक पूर्ण आयत होता है। लेकिन इन जटिल मॉडलों में, लूप का आकार आंतरिक नियमों ($K$ और $\Delta$) के आधार पर बदल जाता है। शोध पत्र लूप आकारों का एक चिड़ियाघर (zoo) प्रस्तुत करता है:

• आयताकार (Rectangular): मानक, तीखा बदलाव।
• वॉस्प-वेस्टेड (Wasp-waisted): लूप बीच में से सिकुड़ जाता है, जो एक अंब्रेश (hourglass) जैसा दिखता है।
• डबल हिस्टेरेसिस (Double Hysteresis): दो अलग-अलग लूप, जिसका अर्थ है कि नर्तक दो अलग चरणों में पलटते हैं।
• हेक्सागोनल और पैरेलोग्राम (Hexagonal and Parallelogram): अजीब, तिरछे आकार।

शोध पत्र दिखाता है कि जबकि लूप का आकार (क्षेत्रफल) अराजक हवा ($R$) के मजबूत होने पर सिकुड़ जाता है, लूप का रूप शून्य हवा पर खेल के नियमों द्वारा निर्धारित होता है। और भी दिलचस्प बात यह है कि हताशा वाले मॉडलों में, संक्रमण हमेशा एक तीखे झटके के रूप में नहीं होता है। कभी-कभी, नर्तक एक सहज, निरंतर प्रवाह में एक-एक करके पलटते हैं, जिससे एक ऐसा लूप बनता है जिसमें कोई तीखे कोने नहीं होते। यह तब होता है जब हताशा इतनी अधिक होती है कि वह "झटके" वाले व्यवहार को तोड़ देती है।

निचोड़

यह शोध पत्र इस बात का उत्कृष्ट उदाहरण है कि कैसे किसी प्रणाली का इतिहास मायने रखता है। यह सिद्ध करता है कि इन तीन-अवस्था वाले चुंबकों के लिए, "साम्यावस्था" (पूर्ण, शांत समाधान) वह अवस्था नहीं है जहाँ प्रणाली वास्तव में पहुँचती है यदि आप उसे ग्लौबर डायनेमिक्स के साथ धकेलते हैं। यदि शोर कम है, तो प्रणाली अपने अतीत की स्मृति में फंस जाती है। यदि शोर अधिक है, तो स्मृति मिट जाती है।

लेखकों ने केवल अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने इन संक्रमणों के लिए सटीक गणितीय समीकरण निकाले और 1,000 नर्तकों के बड़े कंप्यूटर सिमुलेशन के साथ पुष्टि की। उन्होंने दिखाया कि प्रणाली की स्मृति को रीसेट करने के लिए आवश्यक "महत्वपूर्ण शोर" शून्य हो सकता है, या यह शून्य से एक विशिष्ट मान तक कूद सकता है, जो आंतरिक नियमों पर निर्भर करता है। उन्होंने हिस्टेरेसिस लूप कितने अजीब और सुंदर आकार ले सकते हैं, इसका एक पूर्ण कैटलॉग भी प्रदान किया, साधारण आयत से लेकर जटिल वॉस्प-वेस्ट तक।

संक्षेप में, शोध पत्र हमें बताता है कि चुंबकों और शोर की अराजक दुनिया में, आप कैसे शुरू करते हैं यह मायने रखता है, जब तक कि शोर इतना तेज़ न हो कि वह सब कुछ भुला दे। और जब आप याद रखते हैं, तो जो रास्ता आप लेते हैं वह नियमों के आधार पर एक आयत, एक ततैया (wasp), या एक षट्कोण (hexagon) जैसा दिख सकता है।