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Coordinate Independence of the Schwarzschild Black Hole Accretion Vlasov Gas Model

यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि जबकि स्ट्रेस-एनर्जी टेंसर और कण धारा (particle current) के व्यक्तिगत घटक समन्वय प्रणाली (coordinate system) पर निर्भर करते हैं, श्वाज़स्चाइल्ड ब्लैक होल पर वालोव गैस अभिवृद्धि (Vlasov gas accretion) के भौतिक गुण—जिसमें घनत्व, दबाव और अभिवृद्धि दर शामिल हैं—समन्वय-स्वतंत्र होते हैं, जिसमें कम ऊर्जा वाले कणों को प्राथमिकता से अभिवृत्त किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप वैश्विक औसत की तुलना में माध्य ऊर्जा $m_0+k_BT$ और विशिष्ट एंट्रॉपी में $\frac{3}{2}k_B$ की कमी होती है।

मूल लेखक: Ping Li, Jun Cheng, Jiang-he Yang

प्रकाशित 2026-07-23

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ping Li, Jun Cheng, Jiang-he Yang

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, ब्रह्मांडीय महासागर है। इस महासागर में, ब्लैक होल अंतिम भंवर हैं, जो अपने बहुत करीब आने वाली हर चीज़ को खींच लेते हैं। लंबे समय तक, वैज्ञानिकों ने इन भंवरों में गिरने वाली चीज़ों—गैस, धूल और कणों—को एक सुचारू, बहते हुए तरल पदार्थ के रूप में देखा, जैसे नाली में बहता हुआ पानी। यह विचार ठंडे, घने गैस के बादलों के लिए अच्छा काम करता था। लेकिन गैलेक्सी के केंद्रों में स्थित सुपरमैसिव ब्लैक होल्स के आसपास के तपते, खाली स्थानों में, गैस इतनी पतली और गर्म होती है कि कण आपस में शायद ही कभी टकराते हैं। वे पानी की तरह नहीं बहते; वे व्यक्तिगत गोलियों की तरह उड़ते हैं। यहीं पर "व्लासोव गैस" (Vlasov gas) मॉडल काम आता है: यह गैस को एक तरल के रूप में नहीं, बल्कि गुरुत्वाकर्षण की लय पर नाचने वाले स्वतंत्र, उच्च-गति वाले कणों के एक झुंड के रूप में मानता है।

बड़ा सवाल जो वैज्ञानिक सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं, वह यह है: क्या इस नृत्य को वर्णित करने का तरीका उस "मानचित्र" पर निर्भर करता है जिसका उपयोग हम इसे बनाने के लिए करते हैं? भौतिकी में, हम अलग-अलग समन्वय प्रणालियों (coordinate systems) का उपयोग करके अंतरिक्ष और समय का वर्णन कर सकते हैं (जैसे एक सपाट मानचित्र पर ग्रिड का उपयोग करने बनाम एक ग्लोब का उपयोग करने के बीच अंतर)। कभी-कभी, दबाव या ऊर्जा जैसी चीजों के लिए हमारे द्वारा गणना किए गए नंबर इस बात पर निर्भर करते हैं कि हमने कौन सा मानचित्र चुना है। यह शोध पत्र एक महत्वपूर्ण प्रश्न पूछता है: यदि हम मानचित्र बदलते हैं, तो ब्लैक होल में गिरने वाली गैस के वास्तविक भौतिक गुण बदल जाते हैं, या वे केवल एक अलग कोण से देखी गई एक ही वास्तविकता हैं? लेखक जानना चाहते हैं कि क्या ब्लैक होल में होने वाली प्रक्रिया की "सच्चाई" उस गणित के पीछे छिपी है जिसे हम इसे लिखने के लिए चुनते हैं।

द ग्रेट कोऑर्डिनेट स्विचिरो (The Great Coordinate Switcheroo)

इस शोध पत्र में, शोधकर्ताओं की एक टीम ने गहराई से अध्ययन किया है कि कैसे कणों का एक झुंड (एक व्लासोव गैस) एक श्वारज़चाइल्ड (Schwarzschild) ब्लैक होल—एक सरल, गैर-घूमने वाला ब्लैक होल—में गिरता है। वे एक बहस को सुलझाना चाहते थे: क्या इस अभिवर्धन (accretion) प्रक्रिया की भौतिकी वास्तव में उस समन्वय प्रणाली (coordinate system) से स्वतंत्र है जिसका उपयोग हम इसकी गणना के लिए करते हैं?

इसे इस तरह सोचें: कल्पना कीजिए कि आप एक सुरंग से गुजरने वाली लोगों की भीड़ को देख रहे हैं। यदि आप प्रवेश द्वार पर खड़े हैं, तो आप उन्हें अपनी ओर आते देखते हैं। यदि आप निकास पर खड़े हैं, तो आप उन्हें आपसे दूर जाते देखते हैं। यदि आप एक चलते हुए वॉकवे पर खड़े हैं, तो नंबर बदल जाते हैं। लेकिन यह तथ्य कि वे दौड़ रहे हैं, वे औसतन कितनी गति से दौड़ रहे हैं, और प्रति सेकंड उनमें से कितने लोग सुरंग से गुजरते हैं, वही रहना चाहिए, चाहे आप कहीं भी खड़े हों।

लेखकों ने सिद्ध किया कि एक ब्लैक होल के लिए, यह बिल्कुल सच है। उन्होंने दिखाया कि जबकि "करंट डेंसिटी" (कण एक विशिष्ट दिशा में कैसे बढ़ रहे हैं) और "स्ट्रेस-एनर्जी" (गैस का दबाव और ऊर्जा) जैसी चीजों के कच्चे नंबर इस बात पर निर्भर करते हैं कि आप मानक निर्देशांकों, एडिंगटन-फिंकलस्टीन निर्देशांकों, या पेनलेव-गुल्स्ट्रैंड (Painlevé-Gullstrand) निर्देशांकों का उपयोग कर रहे हैं, तो वास्तविक भौतिक मात्राएं नहीं बदलती हैं।

उन्होंने कण संख्या घनत्व (गैस कितनी घनी है), ऊर्जा घनत्व (कितनी ऊर्जा पैक की गई है), बाहर की ओर धकेलने वाला दबाव (रेडियल और टेंगेंशियल), और ब्लैक होल कितनी तेजी से कणों को निगल रहा है, इसकी गणना की। उन्होंने पाया कि ये सभी "वास्तविक" नंबर कोऑर्डिनेट-इनवेरिएंट (समन्वय-अपरिवर्तनीय) हैं। इसका मतलब है कि ब्लैक होल कैसे गैस खाता है, इस सिद्धांत को बिना किसी विशिष्ट मानचित्र को चुने लिखा जा सकता है। भौतिकी ठोस है, चाहे आप इसे वर्णित करने के लिए जिस गणित का उपयोग करें वह कुछ भी हो।

द ग्रेट फिल्टर: ब्लैक होल क्यों नखरेबाज है

यहाँ कहानी वास्तव में दिलचस्प हो जाती है। लेखकों ने पाया कि ब्लैक होल केवल एक वैक्यूम क्लीनर नहीं है जो हर चीज़ को समान रूप से खींच लेता है। यह एक क्लब के बहुत ही नखरेबाज बाउंसर की तरह काम करता है, और इसके पास अंदर आने वालों के लिए एक विशिष्ट नियम है: कोणीय संवेग (Angular Momentum)।

कल्पना कीजिए कि कण एक राउंडअबाउट (ब्लैक होल) की ओर जाने वाली कारों की तरह हैं।

सीधे चलने वाले ड्राइवर: इन कारों में पार्श्व गति (sideways speed) कम होती है (कम कोणीय संवेग)। उनके पास सेंट्रीफ्यूगल बैरियर (अपकेंद्र बल अवरोध) द्वारा दूर फेंके जाने के लिए पर्याप्त "स्पिन" नहीं होता है, इसलिए वे सीधे केंद्र में टकरा जाते हैं। ये वे कण हैं जिन्हें ब्लैक होल खाता है।
ड्रिफ्टर्स (Drifters): ये कारें उच्च पार्श्व गति (उच्च कोणीय संवेग) के साथ तेजी से चल रही हैं। "सेंट्रीफ्यूगल बैरियर" (एक बल जो उन्हें केंद्र से दूर धकेलता है) एक दीवार की तरह कार्य करता है, जो उन्हें वापस अंतरिक्ष में फेंक देता है। वे बिखर जाते हैं और बच निकलते हैं।

इस "बाउंसर" प्रभाव के कारण, जो कण वास्तव में निगले जाते हैं, वे भीड़ का एक विशेष उपसमुच्चय (subset) होते हैं। वे वे हैं जिनका कोणीय संवेग कम है।

तापमान का आश्चर्य

इस छंटनी का गैस के तापमान पर एक आश्चर्यजनक प्रभाव पड़ता है। शास्त्रीय दुनिया में, यदि आपके पास एक निश्चित तापमान पर गैस है, तो एक कण की औसत ऊर्जा उसका विश्राम द्रव्यमान (rest mass) प्लस $3/2 k_B T$ (जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और $T$ तापमान है) होती है। यह साम्यावस्था (equilibrium) में गैस के लिए मानक नियम है।

हालाँकि, लेखकों ने पाया कि ब्लैक होल में गिरने वाले कणों की औसत ऊर्जा वास्तव में कम है: $m_0 + k_B T$ ।

क्यों? क्योंकि उच्च ऊर्जा वाले कणों में अक्सर उच्च कोणीय संवेग होता है। चूंकि उच्च कोणीय संवेग के कारण कणों को सेंट्रीफ्यूगल बैरियर द्वारा वापस बिखेरा जाता है, इसलिए उच्च-ऊर्जा वाले कण वे हैं जिन्हें बाहर धकेल दिया जाता है! ब्लैक होल प्रभावी रूप से कम-ऊर्जा वाले कणों को "खा" रहा है और उच्च-ऊर्जा वाले कणों को "थूक" रहा है।

यह एंट्रॉपी (अव्यवस्था का माप) के बारे में एक दिलचस्प निष्कर्ष की ओर ले जाता है। खाए जाने वाले कणों की विशिष्ट एंट्रॉपी पूरी गैस क्लाउड की औसत एंट्रॉपी से $3/2 k_B$ कम है। ब्लैक होल अनिवार्य रूप से गैस के सबसे "व्यवस्थित" (निम्न एंट्रॉपी वाले) हिस्से को चुनने और उसे खाने का काम कर रहा है, और अराजक, उच्च-ऊर्जा वाले कणों को पीछे छोड़ रहा है।

नंबरों का खेल

शोध पत्र ने केवल गणित नहीं किया; उन्होंने यह देखने के लिए सिमुलेशन भी चलाए कि ब्लैक होल से विभिन्न दूरियों पर यह कैसे काम करता है।

दूर से: गैस एक सामान्य, सुचारू तरल की तरह दिखती है। बाहर की ओर धकेलने वाला पार्श्व दबाव, अंदर की ओर धकेलने वाले दबाव के समान है।
क्षितिज (Horizon) के करीब: गैस "एनिसोट्रोपिक" (anisotropic) हो जाती है, जिसका अर्थ है कि पार्श्व दबाव, अंदर की ओर धकेलने वाले दबाव की तुलना में बहुत अधिक है। जैसे-जैसे वे घटना के बिंदु (point of no return) के करीब पहुँचते हैं, कणों को अलग-अलग तरीकों से दबाया और खींचा जाता है।

उन्होंने तीन अलग-अलग प्रकार के कण सांख्यिकी (इलेक्ट्रॉनों के लिए फर्मी-डिराक, शास्त्रीय कणों के लिए मैक्सवेल-जुटनर, और फोटॉन के लिए बोस-आइंस्टीन) का परीक्षण किया। उन्होंने पाया कि कम तापमान पर, इन तीनों प्रकार की गैसों के बीच का अंतर नगण्य हो जाता है, और वे सभी समान व्यवहार करते हैं।

निचोड़

यह शोध पत्र पुष्टि करता है कि ब्लैक होल अभिवर्धन (accretion) की भौतिकी सुदृढ़ है। आपको इसे वर्णित करने के लिए किस समन्वय प्रणाली का उपयोग करना है, इसकी चिंता करने की आवश्यकता नहीं है; वास्तविक-दुनिया के परिणाम—ब्लैक होल कितना द्रव्यमान प्राप्त करता है, कितनी ऊर्जा निकलती है, और गैस कैसे व्यवहार करती है—वही रहते हैं।

इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि यह प्रकट करता है कि गैस खाने की प्रक्रिया एक गतिशील फिल्टर है। यह केवल सब कुछ नहीं निगलता; यह कणों को छाँटता है, अधिमानतः कम-ऊर्जा, कम-एंट्रॉपी वाले कणों को उपभोग करता है जबकि उच्च-ऊर्जा वाले कणों को वापस ब्रह्मांड में बिखेर देता है। यह "कोणीय संवेग चयन" (angular momentum selection) गिरते हुए पदार्थ के ऊष्मप्रवैगिकी (thermodynamic) गुणों को बदल देता है, जिससे ब्लैक होल हमारे पिछले अनुमानों की तुलना में अधिक चयनात्मक भक्षक बन जाता है।

तकनीकी सारांश: श्वारज़चाइल्ड ब्लैक होल अभिवर्धन वालोव गैस मॉडल की समन्वय स्वतंत्रता (Coordinate Independence)

समस्या विवरण
यह शोध पत्र श्वारज़चाइल्ड ब्लैक होल पर टकराव रहित (वालोव) गैस के स्थिर, गोलाकार सममितीय अभिवर्धन (accretion) के सिद्धांत में दो मौलिक अंतरालों को संबोधित करता है। प्रथम, जबकि पिछले अध्ययनों (जैसे रियोसेको और सरबाच) ने विशिष्ट समन्वय प्रणालियों (जैसे एडिंगटन-फिनकेल्स्टीन या पेनलेव-गुलस्ट्रैंड) में भौतिक अवलोकन (observables) व्युत्पन्न किए हैं, भौतिक मात्राओं की समन्वय स्वतंत्रता के व्यवस्थित प्रमाण का अभाव था। यद्यपि कण धारा घनत्व ( $J^\mu$ ) और स्ट्रेस-एनर्जी टेंसर ( $T^{\mu\nu}$ ) के व्यक्तिगत घटक मीट्रिक प्रतिनिधित्व पर स्पष्ट रूप से निर्भर करते हैं, लेकिन यह सैद्धांतिक रूप से आवश्यक है कि भौतिक अवलोकन (घनत्व, दबाव, अभिवर्धन दर) अपरिवर्तनीय रहें। द्वितीय, ब्लैक होल द्वारा वास्तव में पकड़े गए कणों के विशिष्ट उपसमुच्चय के ऊष्मागतिक गुणों का, अनंत (infinity) की ओर वापस बिखरे हुए कणों के विपरीत, गहनता से परीक्षण नहीं किया गया है। विशेष रूप से, कोणीय संवेग फ़िल्टरिंग तंत्र का अवशोषित गैस की औसत ऊर्जा और एंट्रॉपी पर प्रभाव अभी भी अस्पष्ट है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक इस समस्या को सबसे सामान्य स्थिर गोलाकार सममितीय स्पेसटाइम के ढांचे के भीतर तैयार करते हैं, जिसे इस मीट्रिक द्वारा वर्णित किया गया है:
$ds^2 = -b^2(r)dt^2 - 2h(r)dtdr + a^2(r)dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2$
यह सामान्य रूप ऑर्थोगोनल श्वारज़चाइल्ड निर्देशांक ( $h=0$ ), एडिंगटन-फिनकेल्स्टीन निर्देशांक ( $h=1$ ), और पेनलेव-गुलस्ट्रैंड प्रकार के निर्देशांक ( $h=2M/r$ ) को समाहित करता है, जो समन्वय निर्भरता के एकीकृत उपचार की अनुमति देता है।

कार्यप्रणाली निम्नलिखित चरणों के माध्यम से आगे बढ़ती है:

गतिशीलता और चर (Dynamics and Variables): परीक्षण कणों के लिए गति के समीकरण लैग्रेंजियन औपचारिकता का उपयोग करके व्युत्पन्न किए जाते हैं। एक्शन-एंगल चरों का निर्माण किया जाता है ताकि सापेक्षतावादी लिउविल समीकरण को सरल बनाया जा सके, जिससे वितरण फलन $f$ को संरक्षित मात्राओं ( $m, E, l$ ) के एक अनिश्चित फलन में बदला जा सके।
सांख्यिकीय वितरण (Statistical Distributions): अध्ययन तीन अलग-अलग क्वांटम सांख्यिकी पर विचार करता है: फर्मी-डिराक ( $\varepsilon=+1$ ), मैक्सवेल-जुट्टनर ( $\varepsilon=0$ ), और बोस-आइंस्टीन ( $\varepsilon=-1$ )। वितरण फलन को अनंत पर तापीय संतुलन में माना गया है।
इंटीग्रल सूत्रीकरण (Integral Formulation): कण धारा घनत्व $J^\mu$ और स्ट्रेस-एनर्जी टेंसर $T^{\mu\nu}$ को फेज स्पेस पर इंटीग्रल्स के रूप में व्यक्त किया जाता है। एकीकरण की सीमाएं अवशोषित, बिखरे हुए और क्रिटिकल (अस्थिर वृत्तीय) प्रक्षेपवक्रों में कक्षाओं के वर्गीकरण द्वारा निर्धारित होती हैं, जिन्हें क्रिटिकल कोणीय संवेग $l_c(E)$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
समन्वय अपरिवर्तनीयता विश्लेषण (Coordinate Invariance Analysis): लेखक मिश्रित स्ट्रेस-एनर्जी टेंसर ( $T^\mu_\nu$ ) के आइजनवैल्यू और स्केलर कण संख्या घनत्व ( $n = \sqrt{-g_{\mu\nu}J^\mu J^\nu}$ ) की गणना स्पष्ट रूप से यह प्रदर्शित करने के लिए करते हैं कि वे मीट्रिक फलनों $a(r), b(r), h(r)$ से स्वतंत्र हैं।
अनंतस्पर्शी और संख्यात्मक विश्लेषण (Asymptotic and Numerical Analysis): सीमाओं $r \to \infty$ और $r \to 2M$ (क्षितिज) के लिए टेलर विस्तार किए जाते हैं। इसके अतिरिक्त, विश्लेषणात्मक परिणामों को सत्यापित करने के लिए परिमित त्रिज्याओं के लिए वोल्फ्राम मैथमैटिका (Wolfram Mathematica) का उपयोग करके संख्यात्मक एकीकरण किया जाता है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

भौतिक अवलोकनों की समन्वय स्वतंत्रता: यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि जबकि कोवेरिएंट घटक $J_\mu$ और $T_{\mu\nu}$ समन्वय के चुनाव (विशेष रूप से ऑफ-डायगोनल पद $h(r)$ के माध्यम से) पर निर्भर करते हैं, भौतिक रूप से मापने योग्य मात्राएं समन्वय-अपरिवर्तनीय स्केलर हैं। विशेष रूप से:
- कण संख्या घनत्व $n$ , ऊर्जा घनत्व $\rho$ , रेडियल दबाव $p_{rad}$ , और स्पर्शरेखीय दबाव $p_{tan}$ को समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र दिखाया गया है।
- कण अभिवर्धन दर ( $\dot{n} = -4\pi r^2 J^r$ ) और ऊर्जा अभिवर्धन दर ( $\dot{E} = -4\pi r^2 T^r_t$ ) को सभी विचाराधीन समन्वय प्रणालियों में स्थिर और अपरिवर्तनीय सिद्ध किया गया है, जो पहचान $a^2b^2 + h^2 = 1$ पर निर्भर करती है जो इन निर्देशांकों में श्वारज़चाइल्ड ज्यामिति के लिए सत्य है।
अवशोषित कणों का ऊष्मागतिक फ़िल्टरिंग (Thermodynamic Filtering): ब्लैक होल के क्षितिज को पार करने वाले कणों और अनंत पर मौजूद वैश्विक गैस के बीच के ऊष्मागतिक अवस्था के संबंध में एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष प्राप्त हुआ है।
- अनंत पर, गैस आइसोट्रोपिक है जिसकी औसत ऊर्जा $\bar{E}_\infty = m_0 + \frac{3}{2}k_B T$ (गैर-सापेक्षतावादी सीमा में) है, जो शास्त्रीय मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन अपेक्षा के अनुरूप है।
- वास्तव में ब्लैक होल द्वारा अवशोषित कणों के लिए, औसत ऊर्जा $\bar{E}_{acc} = m_0 + k_B T$ पाई जाती है।
- तंत्र (Mechanism): यह कमी इसलिए होती है क्योंकि उच्च-ऊर्जा वाले कणों में उच्च कोणीय संवेग होने की प्रवृत्ति होती है। इन कणों के ब्लैक होल में गिरने के बजाय सेंट्रीफ्यूगल बैरियर (अपकेंद्रीय अवरोध) द्वारा बिखेरे जाने की संभावना अधिक होती है। फलस्वरूप, अभिवर्धन प्रक्रिया एक फ़िल्टर के रूप में कार्य करती है, जो अधिमानतः कम ऊर्जा वाले कणों को पकड़ती है।
- एंट्रॉपी: इस ऊर्जा फ़िल्टरिंग के परिणामस्वरूप, अवशोषित कणों की विशिष्ट एंट्रॉपी वैश्विक औसत से $\frac{3}{2}k_B$ कम होती है।
विषमता (Anisotropy) और समीकरण अवस्था (Equation of State): अध्ययन पुष्टि करता है कि जबकि गैस अनंत पर आइसोट्रोपिक है ( $p_{rad} = p_{tan}$ ), ब्लैक होल के पास परिमित त्रिज्याओं पर यह एनिसोट्रोपिक हो जाती है, जहाँ $p_{rad} \neq p_{tan}$ । स्ट्रेस-एनर्जी टेंसर को एक परफेक्ट फ्लूइड भाग और एक नुल फ्लूइड भाग में विभाजित दिखाया गया है जो रेडियल ऊर्जा प्रवाह को वहन करता है।
सांख्यिकीय समानता: संख्यात्मक परिणाम संकेत देते हैं कि निम्न-तापमान सीमा (बड़ा $z = m_0/k_B T$ ) के लिए, फर्मी-डिराक, मैक्सवेल-जुट्टनर और बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी के बीच के अंतर नगण्य हो जाते हैं, जो शास्त्रीय मैक्सवेल-जुट्टनर सीमा को पुनः प्राप्त करते हैं।

महत्व
यह शोध पत्र स्थापित करता है कि श्वारज़चाइल्ड ब्लैक होल पर वालोव गैस के अभिवर्धन के सिद्धांत को पूर्णतः समन्वय-स्वतंत्र तरीके से तैयार किया जा सकता है। यह विभिन्न मीट्रिक निरूपणों से उत्पन्न होने वाली संभावित अस्पष्टताओं को हल करता है और भौतिक अवलोकनों को परिभाषित करने के लिए एक कठोर ज्यामितीय ढांचा प्रदान करता है। कोणीय संमरग चयन प्रभाव (angular momentum selection effect) की पहचान एक नया भौतिक अंतर्दृष्टि प्रदान करती है: काइनेटिक शासन (kinetic regime) में ब्लैक होल अभिवर्धन केवल एक निष्क्रिय कैप्चर प्रक्रिया नहीं है, बल्कि एक गतिशील फ़िल्टरिंग तंत्र है जो आने वाले पदार्थ के ऊष्मागतिक गुणों (ऊर्जा और एंट्रॉपी) को बदल देता है। लेखक नोट करते हैं कि यह समन्वय-स्वतंत्र ढांचा अन्य स्पेसटाइम्स, जैसे कि रेissner–नॉर्डस्ट्रॉम या केर ब्लैक होल, और गुरुत्वाकर्षण के संशोधित सिद्धांतों के लिए आसानी से विस्तार योग्य है।

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