A Bohmian version of a 2-state quantum system

कल्पना कीजिए कि आप एक खेल के नियमों को समझने की कोशिश कर रहे हैं जहाँ उसके टुकड़े केवल स्थिर नहीं रहते या सीधी रेखा में नहीं चलते; वे ऐसा प्रतीत होते हैं जैसे वे एक ही समय में दो स्थानों पर मौजूद हों, या वे इस बात पर निर्भर करते हुए अपना स्वरूप बदल लेते हैं कि आप उन्हें कैसे देखते हैं। यह क्वांटम मैकेनिक्स की विचित्र दुनिया है, जो भौतिक विज्ञान की वह शाखा है जो बताती है कि ब्रह्मांड के सबसे सूक्ष्म कण कैसे व्यवहार करते हैं। दशकों से, वैज्ञानिक इस "धुंधलेपन" को समझने के तरीके पर बहस कर रहे हैं। इसे सोचने का एक लोकप्रिय तरीका "बोहमियन मैकेनिक्स" (Bohmian mechanics) कहलाता है। इस दृष्टिकोण में, कणों का एक निश्चित स्थान और एक निश्चित पथ होता है, जैसे सड़क पर चलती हुई एक कार। हालाँकि, इसमें एक पेंच है: कार का पथ एक रहस्यमय, अदृश्य "तरंग" (wave) द्वारा निर्देशित होता है जो उसे बताती है कि उसे कहाँ जाना है। यह तरंग केवल एक मानचित्र नहीं है; यह एक बल है जो कार को ऐसे तरीकों से कूदने (jump) के लिए प्रेरित कर सकता है जो यादृच्छिक (random) लगते हैं, भले ही वह तरंग स्वयं सख्त, अनुमानित नियमों का पालन करती हो।

बड़ा सवाल जिसे यह शोध पत्र संबोधित करता है, वह यह है कि क्या यह "निर्देशित कूदने" (guided jumping) का विचार गणित के नियमों को तोड़े बिना वास्तव में काम करता है। कुछ आलोचकों ने तर्क दिया है कि यदि आप क्वांटम नियमों के आधार पर एक कण को दो अवस्थाओं (जैसे कि एक लाइट स्विच का 'ऑन' या 'ऑफ' होना) के बीच कूदने की कोशिश करते हैं, तो गणित अंततः विफल हो जाता है। वे कहते हैं कि "जंप रेट्स" (jump rates)—यानी कण के स्विच करने की संभावना—कुछ क्षणों में अनंत (infinity) तक पहुँच जाएगी, जिससे यह पूरी थ्योरी उपयोग करने के लिए असंभव हो जाएगी। यदि गणित टूट जाता है, तो थ्योरी भी टूट जाती है। लेकिन क्या होगा यदि आलोचक गणित को गलत तरीके से देख रहे थे? क्या होगा यदि वह "अनंत" (infinity) कोई क्रैश नहीं है, बल्कि केवल एक क्षण है जहाँ नियमों को थोड़े विशेष प्रबंधन की आवश्यकता है?

मैथ्यू डिकौ द्वारा लिखा गया यह शोध पत्र इस बहस में इस दो-अवस्था वाले सरल सिस्टम के बोहमियन संस्करण का बचाव करने के लिए कदम बढ़ाता है। लेखक एक गणितीय मॉडल बनाता है जहाँ एक कण की एक निश्चित अवस्था होती है (या तो 0 या 1) लेकिन वह एक क्वांटम तरंग के मार्गदर्शन में स्टोकेस्टिक रूप से (यादृच्छिक रूप से) कूदता है। यह पत्र तर्क देता है कि, जिलेस्पी (Gillespie) जैसे आलोचकों के दावों के विपरीत, इस मॉडल में प्रायिकताएँ (probabilities) वास्तव में सुव्यवस्थित हैं और विफल नहीं होती हैं। लेखक दिखाता है कि हालांकि "जंप रेट्स" कुछ विशिष्ट क्षणों पर अनंत दिखाई दे सकते हैं जब कण निश्चित रूप से एक अवस्था में होता है, यह गणित की एक स्वाभाविक विशेषता है, न कि कोई घातक त्रुटि। यह दिखाते हुए कि प्रायिकताएँ समय के साथ कैसे विकसित होती हैं, पेपर यह सिद्ध करता है कि सिस्टम सुसंगत बना रहता है और "अनंत" क्षण केवल वे बिंदु हैं जहाँ कण एक अवस्था में निश्चित होता है, जिससे कूदने की दर क्षणिक रूप से अनिर्धारित हो जाती है लेकिन समग्र चित्र के लिए हानिरहित रहती है।

दो-अवस्था वाले नर्तक की कहानी

डिकौ क्या कर रहे हैं, इसे समझने के लिए, आइए कल्पना करें कि एक नर्तक एक मंच पर है जिसके पास केवल दो स्थान हैं: स्पॉट 0 और स्पॉट 1। मानक क्वांटम दृष्टिकोण में, यह नर्तक एक भूतिया धुंधलापन है, जो अलग-अलग स्तरों के साथ एक ही समय में दोनों स्थानों पर खड़ा है। लेकिन डिकौ के बोहमियन संस्करण में, नर्तक एक वास्तविक व्यक्ति है जो हमेशा या तो स्पॉट 0 पर या स्पॉट 1 पर मजबूती से खड़ा होता है। रहस्य यह है: नर्तक एक स्थान से दूसरे स्थान पर कूदने का निर्णय कैसे लेता है?

इसका उत्तर "क्वांटम तरंग" में निहित है, जो एक कोरियोग्राफर (नर्तक निर्देशक) की तरह कार्य करती है। यह कोरियोग्राफर केवल नर्तक को यह नहीं बताता कि उसे कहाँ खड़ा होना है; यह यह भी निर्धारित करता है कि नर्तक के कूदने की दर (rate) क्या होगी। यदि कोरियोग्राफर चिल्लाकर कहता है "अभी कूदो!", तो नर्तक छलांग लगा सकता है। यदि वे फुसफुसाते हैं, तो नर्तक वहीं टिका रहता है। पेपर एक विशिष्ट परिदृश्य स्थापित करता है जहाँ कोरियोग्राफर एक सरल, दोलन करने वाली लय (एक हैमिल्टोनियन जो सिस्टम को आगे-पीछे झूला देता है) है। लक्ष्य यह सुनिश्चित करना है कि यदि आप लंबे समय तक नर्तक को देखते हैं, तो वह स्पॉट 0 पर बिताया गया समय का प्रतिशत ठीक वही हो जो मानक क्वांटम मैकेनिक्स भविष्यवाणी करता है।

"अनंत कूद" की समस्या

यहीं से मुश्किलें शुरू हुईं। जिलेस्पी नामक एक आलोचक ने इस सेटअप को देखा और कहा, "ठहरिए! कुछ समय पर, कोरियोग्राफर के निर्देश पालन करना असंभव हो जाते हैं।"

जिलेस्पी ने तर्क दिया कि क्वांटम भविष्यवाणियों से मेल खाने के लिए, "जंप रेट" (वह गति जिससे नर्तक को स्थान बदलने के लिए कहा जाता है) को विशिष्ट क्षणों पर अनंत होना पड़ेगा। मानक संभाव्यता की दुनिया में, यदि एक दर अनंत है, तो गणित टूट जाता है। यह एक ट्रैफिक लाइट की तरह है जो प्रति सेकंड अनंत कारों के लिए हरी हो जाती है; सड़क तुरंत जाम हो जाएगी, और सिस्टम ढह जाएगा। जिलेस्पी ने दावा किया कि यह सिद्ध करता है कि आप दो-अवस्था वाले सिस्टम का बोहमियन संस्करण नहीं रख सकते क्योंकि प्रायिकताएँ सुव्यवस्थित नहीं होंगी।

पेपर का समाधान: यह क्रैश नहीं, एक ठहराव है

डिकौ का पेपर कहता है, "रुकिए। जिलेस्पी गणित को बहुत सख्ती से देख रहे हैं।"

लेखक समझाते हैं कि "अनंत दर" केवल उसी सटीक क्षण पर होती है जब नर्तक निश्चित होता है कि वह एक स्थान पर है (मान लीजिए स्पॉट 0) और क्वांटम तरंग कहती है, "ठीक है, अब तुम्हें स्पॉट 1 पर होना चाहिए।" यदि नर्तक 100% निश्चित है कि वह स्पॉट 0 पर है, तो स्पॉट 0 से कूदने की उसकी संभावना तकनीकी रूप से अनिर्धारित है क्योंकि उसने अभी तक छोड़ा नहीं है। यह पूछने जैसा है, "कार कितनी तेज चल रही है ठीक उस क्षण जब वह खड़ी है?" उत्तर कोई टूटा हुआ नंबर नहीं है; यह केवल एक क्षण है जहाँ "गति" की अवधारणा को सावधानी से संभालने की आवश्यकता है।

डिकौ दिखाते हैं कि यदि आप समय के एक छोटे से अंतराल में स्पॉट 1 में होने की वास्तविक प्रायिकता को देखते हैं, तो यह बिल्कुल ठीक काम करता है। "अनंत दर" केवल एक गणितीय आर्टिफैक्ट (artifact) है जो तब प्रकट होता है जब आप शून्य से विभाजित करने की कोशिश करते हैं (शुरुआती स्थान की प्रायिकता शून्य है)। लेकिन पेपर यह सिद्ध करता है कि यदि आप एक छोटे अंतराल में कूद होने की कुल प्रायिकता की गणना करते हैं, तो यह एक समझदारी भरे, परिमित (finite) नंबर के रूप में निकलती है।

इसे एक वीडियो गेम चरित्र की तरह सोचें जो एक दीवार में फंस गया है। यदि आप पूछते हैं, "चरित्र दीवार के माध्यम से कितनी तेजी से चल रहा है?" तो उत्तर अनंत या टूटा हुआ लग सकता है। लेकिन यदि आप गेम के कोड को देखते हैं, तो आप देखते हैं कि चरित्र तब तक नहीं हिलता जब तक कि दीवार गायब नहीं हो जाती। "अनंत गति" केवल कोड का तरीका है यह कहने का, "अगले फ्रेम तक यहाँ प्रतीक्षा करें।" डिकौ प्रदर्शित करते हैं कि बोहमियन मॉडल इन "फंसे हुए" क्षणों को सही ढंग से संभालता है। प्रायिकताएँ सुव्यवस्थित रहती हैं, नर्तक अंततः छलांग लगाता है, और क्वांटम भविष्यवाणियाँ पूरी तरह से मेल खाती हैं।

निष्कर्ष

पेपर निष्कर्ष निकालता है कि आलोचक यह कहने में गलत थे कि मॉडल टूटा हुआ है। "डाइवर्जेंस" (अनंत संख्याएँ) जिसे जिलेस्पी ने इंगित किया था, गणित की एक ज्ञात, प्रबंधनीय विशेषता है, न कि कोई घातक दोष। लेखक ने उन समीकरणों को कठोरता से व्युत्पन्न किया है कि कण कैसे कूदता है और दिखाता है कि उन कठिन क्षणों में भी, जहाँ कण एक अवस्था में निश्चित होता है, सिस्टम तार्किक रूप से व्यवहार करता है।

हालाँकि यह प्रमाण एक सरल दो-अवस्था प्रणाली (जैसे कि एक सिंगल क्यूबिट या लाइट स्विच) के लिए विशिष्ट है, लेखक सुझाव देते हैं कि ऐसा कोई कारण नहीं है कि अधिक जटिल प्रणालियाँ अलग व्यवहार करेंगी। पेपर यह दावा नहीं करता है कि इसने संपूर्ण क्वांटम मैकेनिक्स को हल कर लिया है, लेकिन यह सफलतापूर्वक इस विचार का बचाव करता है कि दो-अवस्था वाले सिस्टम का बोहमियन संस्करण गणितीय रूप से सुसंगत है और प्रायिकताएँ वास्तव में सुव्यवस्थित हैं। "भूतिया" क्वांटम भविष्यवाणियों को एक "वास्तविक" कण के कूदने के माध्यम से मैच किया जा सकता है, बशर्ते आप कोरियोग्राफर के निर्देशों को सही ढंग से पढ़ना जानते हों।