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Practical Quantum Topological Data Analysis with Applications to High-Dimensional Feature Extraction and Time Series Analysis

यह शोध पत्र क्वांटम टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण को एक ऐसी फीचर-एक्सट्रैक्शन विधि के रूप में पुनर्गठित करके इसकी व्यावहारिक उपयोगिता स्थापित करता है जो टाइम-सीरीज़ अनुप्रयोगों में भविष्य कहनेवाला प्रदर्शन (प्रेडिक्टिव परफॉर्मेंस) में सुधार करने के लिए कॉम्बिनेटोरियल लैप्लासियन के लो-ऑर्डर स्पेक्ट्रल मोमेंट्स का उपयोग करती है, जिसे एक नवीन मोमेंट-आधारित क्वांटम एल्गोरिदम और बेरियम-आधारित क्वांटम हार्डवेयर पर प्रयोगात्मक सत्यापन द्वारा समर्थित किया गया है।

मूल लेखक: Jason Iaconis, Sayonee Ray, Samwel Sekwao, Claudio Girotto, Martin Roetteler

प्रकाशित 2026-07-30

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jason Iaconis, Sayonee Ray, Samwel Sekwao, Claudio Girotto, Martin Roetteler

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक जटिल प्रणाली को समझने की कोशिश कर रहे हैं, जैसे कि एक हलचल भरा शहर, मानव मस्तिष्क, या शेयर बाजार। आमतौर पर, हम इन प्रणालियों को व्यक्तिगत हिस्सों को देखकर या यह देखकर देखते हैं कि दो हिस्से आपस में कैसे बात करते हैं। लेकिन क्या होगा यदि असली रहस्य इस बात में छिपा हो कि हिस्सों के समूह एक साथ कैसे परस्पर क्रिया करते हैं? यह टोपोलॉजिकल डेटा एनालिसिस (TDA) का क्षेत्र है। TDA को डेटा के "आकार" को देखने के एक तरीके के रूप में समझें। केवल बिंदुओं को गिनने के बजाय, यह पूछता है: "क्या यहाँ लूप हैं?" "क्या यहाँ खोखले बुलबुले हैं?" "क्या बीच में एक विशाल सुरंग चल रही है?" ये आकार, जिन्हें टोपोलॉजिकल फीचर्स कहा जाता है, उन छिपे हुए पैटर्न को प्रकट कर सकते हैं जिन्हें मानक गणित मिस कर देता है।

हालाँकि, इसमें एक पेंच है। उच्च-आयामी (high-dimensional) डेटा के लिए इन आकारों की गणना करना शास्त्रीय कंप्यूटरों (classical computers) के लिए अविश्वसनीय रूप से कठिन है। यह एक शहर के लाखों लोगों के बीच इस बात को गिनने जैसा है कि दोस्तों के समूह कितने अलग-अलग तरीकों से एक गुप्त क्लब बना सकते हैं; संभावनाओं की संख्या इतनी तेजी से बढ़ती है कि सबसे तेज़ सुपरकंप्यूटर भी फंस जाते हैं। यहीं पर क्वांटम कंप्यूटिंग कहानी में प्रवेश करती है। क्वांटम कंप्यूटर संभावनाओं की विशाल मात्रा को एक साथ संभालने के लिए भौतिकी के अजीब नियमों का उपयोग करते हैं। बड़ा सवाल यह रहा है कि: क्या क्वांटम कंप्यूटर वास्तव में वास्तविक दुनिया की समस्याओं के लिए यह उपयोगी काम कर सकते हैं, या यह केवल एक सैद्धांतिक सपना है?

IonQ के शोधकर्ताओं द्वारा लिखा गया यह शोध पत्र कहता है, "हाँ, लेकिन एक ट्विस्ट के साथ।" वे तर्क देते हैं कि हमें क्वांटम कंप्यूटरों का उपयोग इन आकारों की सटीक संख्या की गणना करने के लिए नहीं करना चाहिए (जो अभी भी बहुत कठिन है)। इसके बजाय, हमें उन्हें आकार के विशिष्ट "फिंगरप्रिंट्स" या फीचर्स (विशेषताओं) को निकालने के लिए उपयोग करना चाहिए जो भविष्यवाणियां करने के लिए पर्याप्त अच्छे हों। शोधकर्ताओं ने इस विचार का परीक्षण दो बहुत ही अलग वास्तविक दुनिया की समस्याओं पर किया: एमआरआई (MRI) स्कैन का उपयोग करके मस्तिष्क रोगों का निदान करना और शेयर बाजार की गिरावट की भविष्यवाणी करना। उन्होंने पाया कि ये उच्च-स्तरीय "आकार" वाले फीचर्स मूल्यवान जानकारी रखते हैं जो कंप्यूटर को सरल कनेक्शनों को देखने की तुलना में बीमारी और बाजार की अस्थिरता की भविष्यवाणी करने में बेहतर मदद करते हैं।

इसे सिद्ध करने के लिए, टीम ने केवल सिमुलेशन नहीं चलाया; उन्होंने एक क्वांटम सर्किट बनाया और इसे ट्रैप्ड बेरियम आयनों (trapped barium ions) से बने एक वास्तविक, काम करने वाले क्वांटम कंप्यूटर पर चलाया। वे छोटे ग्राफ से इन "आकार के फिंगरप्रिंट्स" को सफलतापूर्वक निकालने में सफल रहे और दिखाया कि उनके परिणाम शास्त्रीय गणित के अनुमानों से मेल खाते हैं। हालांकि उनका उपयोग किया गया क्वांटम कंप्यूटर अभी छोटा है, उनका काम एक स्पष्ट मार्ग सुझाता है: सटीक गणना के बजाय इन विशिष्ट, उपयोगी फीचर्स पर ध्यान केंद्रित करके, क्वांटम कंप्यूटर जल्द ही उन डेटा समस्याओं को हल करने में मदद कर सकते हैं जो वर्तमान में शास्त्रीय मशीनों के लिए असंभव हैं।

आने वाले समय का आकार

आइए विवरणों में गहराई से उतरें। शोधकर्ताओं ने दो बहुत ही अलग दुनिया को देखना शुरू किया: मानव मस्तिष्क और वित्तीय बाजार।

1. मस्तिष्क: विचारों के आकार में बीमारी को खोजना
टीम ने फंक्शनल एमआरआई (fMRI) स्कैन के डेटा का अध्ययन किया, जो मस्तिष्क के किन हिस्सों में रक्त का प्रवाह सक्रिय है, यह ट्रैक करता है। आमतौर पर, वैज्ञानिक देखते हैं कि मस्तिष्क के दो क्षेत्र कैसे जुड़ते हैं। लेकिन शोधकर्ताओं ने पूछा: क्या होगा यदि हम देखें कि क्षेत्रों के समूह कैसे जुड़ते हैं? उन्होंने मस्तिष्क की गतिविधि के डेटा को एक "पॉइंट क्लाउड" (स्थान में बिंदुओं का एक समूह) में बदल दिया और फिर इन बिंदुओं द्वारा बनाए गए आकार में लूप और रिक्तियों (voids) को खोजने के लिए TDA का उपयोग किया।

उन्होंने इसका परीक्षण अल्जाइमर रोग वाले रोगियों और स्वस्थ व्यक्तियों के डेटा पर किया। उन्होंने पाया कि उच्च-आयामी आकारों (जैसे 3D रिक्त स्थान या 4D सुरंगों) को देखने से उन्हें सरल कनेक्शनों को देखने की तुलना में यह बताने के लिए बेहतर सुराग मिले कि किसे बीमारी है। उदाहरण के लिए, जब उन्होंने रोगियों को वर्गीकृत करने के लिए एक न्यूरल नेटवर्क का उपयोग किया, तो इन जटिल आकार संबंधी फीचर्स को जोड़ने से उनकी सटीकता बढ़ गई। हालांकि सटीकता अभी भी पूर्ण नहीं थी (सर्वश्रेष्ठ मॉडल के लिए लगभग 74%), मुख्य निष्कर्ष यह है कि "उच्च-क्रम" (higher-order) के आकारों में ऐसी जानकारी थी जिसे सरल विधियों ने मिस कर दिया था। यह सुझाव देता है कि मस्तिष्क के क्षेत्र समूहों में कैसे परस्पर क्रिया करते हैं, यह न्यूरोडीजेनेरेटिव रोगों के निदान के लिए एक महत्वपूर्ण सुराग हो सकता है।

2. बाजार: गिरावट होने से पहले उसे देखना
इसके बाद, वे शेयर बाजार की ओर मुड़े। वित्तीय डेटा अव्यवस्थित और शोर वाला होता है, लेकिन शोधकर्ताओं का मानना था कि विभिन्न स्टॉक एक साथ कैसे चलते हैं, इसका "आकार" एक क्रैश की भविष्यवाणी कर सकता है। उन्होंने 17 प्रमुख स्टॉक इंडेक्स के दैनिक क्लोजिंग प्राइस को लिया और "टाइम-डिले एम्बेडिंग" नामक तकनीक का उपयोग करके उन्हें एक पॉइंट क्लाउड में बदल दिया। यह बाजार के आकार की हर दिन एक तस्वीर लेने जैसा है।

उन्होंने पाया कि जैसे-जैसे बाजार एक बड़े क्रैश (जैसे 2008, 2020, या 2022 में) के करीब पहुंचता है, डेटा का "आकार" नाटकीय रूप से बदल जाता है। विशेष रूप से, उच्च-आयामी फीचर्स (जैसे 3D और 4D रिक्त स्थान) ने बाजार के गिरने से ठीक पहले भारी उछाल दिखाया। ये उछाल उन सरल लूपों (1D फीचर्स) की तुलना में बहुत अधिक स्पष्ट और भविष्य कहने वाले थे जिन्हें अन्य विश्लेषकों ने पहले देखा था। वास्तव में, उनके "आकार" के सिग्नल ने एक अग्रणी संकेतक (leading indicator) के रूप में कार्य किया, जो बाजार में गिरावट होने से लगभग 100 दिन पहले चेतावनी दे रहा था, जिसने पारंपरिक वित्तीय उपकरणों जैसे MACD इंडिकेटर को भी पीछे छोड़ दिया।

क्वांटम छलांग: सिद्धांत से हार्डवेयर तक

तो, हम जानते हैं कि ये "आकार फीचर्स" उपयोगी हैं। लेकिन क्या एक क्वांटम कंप्यूटर वास्तव में उन्हें खोज सकता है? क्वांटम कंप्यूटरों का उपयोग करने का पारंपरिक तरीका डेटा में छेदों (Betti numbers) की सटीक संख्या की गणना करने का प्रयास करना था। लेखक तर्क देते हैं कि यह बहुत कठिन और अनावश्यक है। इसके बजाय, उन्होंने एक नई विधि प्रस्तावित की: मोमेंट-बेस्ड क्वांटम TDA (Moment-Based Quantum TDA)।

इसे इस तरह सोचें: स्विस चीज़ (Swiss cheese) में हर एक छेद को गिनने के बजाय कि वह अच्छी चीज़ है या नहीं, आप बस छेदों के औसत घनत्व को माप लेते हैं। यदि घनत्व सही है, तो आप जानते हैं कि वह अच्छी चीज़ है। शोधकर्ताओं ने एक क्वांटम एल्गोरिदम विकसित किया जो इन "मोमेंट्स" (विशेष रूप से कॉम्बिनेटोरियल लैप्लासियन नामक गणितीय वस्तु के रिलेटिव ट्रेस) को मापता है। उन्होंने सिमुलेशन के माध्यम से दिखाया कि ये मोमेंट्स वास्तव में छेदों की संख्या के साथ दृढ़ता से सह-संबंधित हैं, भले ही छेदों की संख्या बहुत कम क्यों न हो।

हार्डवेयर परीक्षण
यह सिद्ध करने के लिए कि यह केवल एक कंप्यूटर सिमुलेशन नहीं था, उन्होंने अपने एल्गोरिदम को IonQ में एक वास्तविक क्वांटम कंप्यूटर पर चलाया। उन्होंने ट्रैप्ड बेरियम आयनों पर आधारित 40 क्यूबिट्स (क्वांटम बिट्स) वाले सिस्टम का उपयोग किया। उन्होंने दो प्रकार के ग्राफ पर इसका परीक्षण किया:

8 नोड्स वाला एक छोटा ग्राफ।
16 नोड्स वाला थोड़ा बड़ा ग्राफ।

परिणाम उत्साहजनक थे। क्वांटम कंप्यूटर ने "आकार के फिंगरप्रिंट्स" (रिलेटिव ट्रेस) को सफलतापूर्वक मापा और मान शास्त्रीय गणनाओं के बहुत करीब थे। वर्तमान क्वांटम हार्डवेयर में मौजूद शोर के बावजूद, डिवाइस अलग-अलग टोपोलॉजिकल फीचर्स वाले ग्राफों के बीच अंतर करने में सक्षम था। यह एक बड़ी बात है क्योंकि यह पहली बार में से एक है जब एक क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग वास्तविक डेटा से टोपोलॉजिकल फीचर्स निकालने और सीधे "ग्राउंड ट्रुथ" (वास्तविक सत्य) से तुलना करने के लिए किया गया है।

यह क्यों मायने रखता है

शोध पत्र इस निष्कर्ष पर पहुँचता है कि हमें उपयोगी काम शुरू करने के लिए एक आदर्श, त्रुटि-मुक्त क्वांटम कंप्यूटर का इंतजार करने की आवश्यकता नहीं है। "सटीक गणना" से "फीचर एक्सट्रैक्शन" (विशेषता निष्कर्षण) की ओर लक्ष्य बदलकर, क्वांटम लाभ (quantum advantage) बहुत जल्द प्राप्त किया जा सकता है।

शोधकर्ता सुझाव देते हैं कि मानव मस्तिष्क के स्कैन या वित्तीय बाजारों जैसे जटिल, उच्च-आयामी डेटा के लिए, क्वांटम लाभ का "स्वीट स्पॉट" (सही समय) बिल्कुल करीब है। वे अनुमान लगाते हैं कि उच्च कनेक्टिविटी (घने नेटवर्क) वाले ग्राफों के लिए, एक क्वांटम कंप्यूटर इन समस्याओं को शास्त्रीय सुपरकंप्यूटर की तुलना में तेजी से हल कर सकता है, जब ग्राफ का आकार जटिलता के आधार पर 70 से 1,200 नोड्स के बीच पहुँच जाता है।

संक्षेप में, यह पेपर अमूर्त गणित और वास्तविक दुनिया की उपयोगिता के बीच के अंतर को पाटता है। यह दिखाता है कि क्वांटम कंप्यूटर पहले से ही हमें अपने डेटा में छिपे हुए आकारों को देखने में मदद कर सकते हैं, जो मानव मन से लेकर वैश्विक अर्थव्यवस्था तक सब कुछ समझने के लिए एक नया नजरिया प्रदान करते हैं। हालांकि यह तकनीक अभी अपने शुरुआती चरणों में है, आगे का रास्ता स्पष्ट है: क्वांटम कंप्यूटरों का उपयोग समस्या के "आकार" को खोजने के लिए करें, और बाकी काम शास्त्रीय कंप्यूटरों को करने दें।

तकनीकी सारांश: उच्च-आयामी विशेषता निष्कर्षण और समय श्रृंखला विश्लेषण के अनुप्रयोगों के साथ व्यावहारिक क्वांटम टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण

समस्या विवरण

टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण (TDA) बीटी संख्या (Betti numbers) जैसे टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट्स के माध्यम से जटिल, असंरचित डेटा के आकार को चित्रित करने के लिए एक मजबूत ढांचा प्रदान करता है। हालांकि, शास्त्रीय हार्डवेयर पर उच्च-आयामी टोपोलॉजिकल विशेषताओं (विशेष रूप से, होमोलॉजिकल डिग्री $d > 1$ के लिए बीटी संख्या) की गणना करने की कम्प्यूटेशनल लागत एक महत्वपूर्ण बाधा प्रस्तुत करती है। $d$ -सिम्प्लेक्स की संभावित संख्या एक कॉम्प्लेक्स में कॉम्बिनेटोरियल रूप से बढ़ती है, जिससे बड़े, घने डेटासेट के लिए उच्च-क्रम की विशेषताओं की गणना करना अव्यवहारिक हो जाता है। जबकि TDA के लिए क्वांटम एल्गोरिदम प्रस्तावित किए गए हैं, मौजूदा दृष्टिकोण आमतौर पर बीटी संख्याओं के सटीक या उच्च-परिशुद्धता अनुमान पर ध्यान केंद्रित करते हैं। यह संकीर्ण फोकस व्यावहारिक क्वांटम लाभ के क्षेत्र को सीमित करता है, क्योंकि इसके लिए सापेक्ष बीटी संख्या (कुल क्लिक्स के अनुपात में बीटी संख्या) का बड़ा होना आवश्यक है, जो कि वास्तविक दुनिया के डेटा में हमेशा पूरा नहीं होता है।

लेखक तर्क देते हैं कि व्यावहारिक डेटा विज्ञान अनुप्रयोगों के लिए, लक्ष्य सबसे सामान्य सेटिंग में सटीक बीटी संख्या की गणना करना नहीं है, बल्कि ऐसी टोपोलॉजिकल जानकारी निकालना है जो डाउनस्ट्रीम प्रेडिक्टिव कार्यों (जैसे वर्गीकरण या विसंगति का पता लगाना) में सुधार करे। वे प्रस्ताव देते हैं कि एक क्वांटम दृष्टिकोण को 'फीचर-एक्सट्रैक्शन' विधि के रूप में पुनर्गठित किया जाना चाहिए, जो उच्च-आयामी टोपोलॉजी के प्रॉक्सी के रूप में कॉम्बिनेटोरियल लैपलेसियन (combinatorial Laplacian) से निम्न-क्रम स्पेक्ट्रल जानकारी का उपयोग करता है।

कार्यप्रणाली

पेपर एक दोहरे दृष्टिकोण को अपनाता है: शास्त्रीय अनुप्रयोगों में उच्च-क्रम TDA विशेषताओं की उपयोगिता को मान्य करना और इन विशेषताओं को निकालने के लिए एक संसाधन-कुशल क्वांटम एल्गोरिदम विकसित करना।

1. उच्च-क्रम विशेषताओं का शास्त्रीय सत्यापन

लेखक पहले यह प्रदर्शित करते हैं कि उच्च-क्रम होमोलॉजिकल विशेषताएं दो व्यावसायिक रूप से प्रासंगिक टाइम-सीरीज डोमेन में प्रेडिक्टिव सिग्नल प्रदान करती हैं:

न्यूरोडीजेनेरेटिव रोग वर्गीकरण: OASIS डेटासेट से fMRI डेटा का उपयोग करके, लेखक Takens एम्बेडिंग का उपयोग करके ROI टाइम सीरीज़ से पॉइंट क्लाउड्स का निर्माण करते हैं। वे आयाम 4 तक पर्सिस्टेंट होमोलॉजी की गणना करते हैं। इन विशेषताओं (features) पर प्रशिक्षित मशीन लर्निंग क्लासिफायर (न्यूरल नेटवर्क और SVM) दिखाते हैं कि $H_0$ और $H_1$ का उपयोग करने वाले मॉडलों की तुलना में अल्जाइमर रोग के वर्गीकरण सटीकता में सुधार करने के लिए उच्च-क्रम होमोलॉजी ( $H_2, H_3, H_4$ ) को शामिल करने से लाभ होता है।
वित्तीय समय श्रृंखला विश्लेषण: 2005-2024 के स्टॉक मार्केट डेटा (17 सूचकांकों) का उपयोग करके, लेखक टाइम-डिले एम्बेडिंग के माध्यम से पॉइंट क्लाउड्स का निर्माण करते हैं। वे बाजार के क्रैश से पहले संरचनात्मक परिवर्तनों का पता लगाने के लिए पर्सिस्टेंट होमोलॉजी का विश्लेषण करते हैं। परिणाम संकेत देते हैं कि उच्च-क्रम होमोलॉजी ( $H_3, H_4$ ) निम्न-क्रम विशेषताओं की तुलना में बाजार की गिरावट (जैसे 2008 का संकट, 2020 महामारी) के दौरान अधिक मजबूत और प्रेडिक्टिव सिग्नल (पर्सिस्टेंस में चोटियाँ) उत्पन्न करती हैं। इसके अतिरिक्त, टाइम-डिलेड पियर्सन कोरिलेशन विश्लेषण दिखाता है कि उच्च-क्रम TDA सिग्नल, पारंपरिक संकेतकों जैसे MACD के विपरीत, अग्रणी संकेतक (leading indicators) के रूप में कार्य करते हैं, जो बाजार की कीमतों में बदलाव से पहले प्रकट होते हैं।

2. क्वांटम एल्गोरिदम: मोमेंट-आधारित फीचर निष्कर्षण

इस कम्प्यूटेशनल बाधा को दूर करने के लिए, लेखक एक मोमेंट-आधारित क्वांटम एल्गोरिदम का प्रस्ताव करते हैं जो सटीक बीटी संख्या की गणना करने के बजाय कॉम्बिनेटोरियल लैपलेसियन ( $\Delta_k^\Gamma$ ) के निम्न-क्रम स्पेक्ट्रल मोमेंट्स का अनुमान लगाता है।

मुख्य अवधारणा: शून्य आइगेनवैल्यू (eigenvalues) को गिनने के बजाय (जिसके लिए उच्च परिशुद्धता की आवश्यकता होती है जब सापेक्ष बीटी संख्या छोटी हो), एल्गोरिदम लैपलेसियन के सापेक्ष ट्रेस (relative trace), $\text{tr}[\Delta_k^\Gamma]$ , का अनुमान लगाता है। लेखक संख्यात्मक रूप से प्रदर्शित करते हैं कि सापेक्ष ट्रेस, बीटी संख्या $\beta_{k-1}$ के साथ दृढ़ता से सह-संबंधित है, भले ही सापेक्ष बीटी संख्या छोटी हो।
सर्किट निर्माण: एल्गोरिदम तीन मुख्य घटकों का उपयोग करता है:
1. डेटा लोडिंग: रैंडम फेसेज़ के साथ सभी $k$ -क्लिक्स के सुपरपोजिशन का प्रतिनिधित्व करने वाले डिके स्टेट (Dicke state) $|D_N^k\rangle$ की तैयारी।
2. प्रोजेक्शन: गैर-क्लिक्स को फ़िल्टर करने के लिए मिड-सर्किट मेजरमेंट (MCM) और एन्सिला क्वबिट्स का उपयोग करके विशिष्ट सिम्प्लिशियल कॉम्प्लेक्स $\Gamma$ पर प्रोजेक्शन।
3. ट्रेस एस्टीमेशन: बाउंड्री ऑपरेटर $B = \partial + \partial^\dagger$ (जो फर्मीओनिक हैमिल्टनियन के ट्रोटरनाइजेशन के माध्यम से लागू किया गया है) का अनुप्रयोग और परिणामी स्टेट के नॉर्म का मापन ताकि ट्रेस का अनुमान लगाया जा सके।
संसाधन दक्षता: लेखक क्वबिट आवश्यकताओं को कम करने के लिए मिड-सर्किट मेजरमेंट और रिसेट क्षमताओं का उपयोग करते हैं। सर्किट की चौड़ाई $O(N)$ के रूप में स्केल करती है, और शॉट काउंट वांछित परिशुद्धता और $k$ -क्लिक्स के घनत्व ( $\zeta_k$ ) पर निर्भर करता है, लेकिन विशेष रूप से, इसकी जटिलता सापेक्ष बीटी संख्या के साथ मजबूती से स्केल नहीं करती है।

प्रमुख परिणाम

शास्त्रीय प्रदर्शन

fMRI: एक रिड्यूस्ड OASIS सबसेट पर बाइनरी क्लासिफिकेशन टास्क (अल्जाइमर बनाम स्वस्थ) में, $H_2$ से $H_4$ तक की उच्च-क्रम होमोलॉजी फीचर्स को एक न्यूरल नेटवर्क में जोड़ने से संतुलित सटीकता (balanced accuracy) ~69% ( $H_0$ ) से बढ़कर ~74% (सभी फीचर्स) हो गई। SVM मॉडल भी समान रुझान दिखाते हैं, जिसमें विशिष्ट फीचर कंप्रेशन के साथ प्रदर्शन ~66% पर चरम पर पहुँचता है।
वित्त: उच्च-क्रम होमोलॉजी कर्व्स ( $H_3, H_4$ ) ने $H_1$ की तुलना में बाजार के क्रैश के पास बड़ी चोटियाँ और स्पष्ट सिग्नल प्रदर्शित किए। टाइम-डिलेड कोरिलेशन विश्लेषण ने खुलासा किया कि $H_2$ से $H_4$ के सिग्नल भविष्य की कीमतों में गिरावट के साथ नकारात्मक सहसंबंध रखते हुए अग्रणी संकेतक के रूप में कार्य करते हैं, जो भविष्यवाणियों में MACD इंडिकेटर से बेहतर प्रदर्शन करते हैं।

क्वांटम एल्गोरिदम प्रदर्शन

सहसंबंध सत्यापन: एर्दोस-रेनी ग्राफ और fMRI पॉइंट क्लाउड्स पर संख्यात्मक सिमुलेशन ने पुष्टि की कि सापेक्ष ट्रेस $\text{tr}[\Delta_k^\Gamma]$ और बीटी संख्या $\beta_{k-1}$ के बीच एक मजबूत रैखिक सहसंबंध है, भले ही सापेक्ष बीटी संख्या छोटी हो। यह ट्रेस को एक प्रॉक्सी फीचर के रूप में उपयोग करने की वैधता को सिद्ध करता है।
संसाधन अनुमान: लेखक अपने क्वांटम एल्गोरिदम बनाम शास्त्रीय TDA सॉफ्टवेयर (giotto-ph) के खिलाफ टाइम-टू-सॉल्यूशन (TTS) की तुलना करने के लिए क्रॉसओवर अनुमान प्रदान करते हैं। उच्च-एज डेंसिटी ( $\zeta_2 \approx 0.9$ ) वाले ग्राफों पर उच्च-आयामी बीटी संख्या ( $d=4$ से $10$) के लिए, क्वांटम एल्गोरिदम को 70 से 1,200 नोड्स वाले ग्राफों के लिए शास्त्रीय तरीकों से बेहतर प्रदर्शन करने के लिए अनुमानित किया गया है, जिसका क्रॉसओवर समय घंटों से लेकर दिनों तक है।
हार्डवेयर प्रदर्शन: एल्गोरिदम को बेरियम-आधारित ट्रैप्ड-आयन क्वांटम प्रोसेसर (40 क्वबिट्स, IonQ Tempo लाइन के समान) पर निष्पादित किया गया।
- प्रयोग: 8-नोड ग्राफ ( $N=8$ , $\beta_1$ मापना) और 16-नोड ग्राफ ( $N=16$ , $\beta_3$ मापना) पर सफलतापूर्वक चलाया गया।
- तकनीक: अवस्थाओं को प्रोजेक्ट करने के लिए 4 राउंड मिड-सर्किट मेजरमेंट का उपयोग किया गया, जिससे आवश्यक क्वबिट संख्या 16-नोड मामले के लिए सैद्धांतिक 56 से घटकर 32 हो गई।
- परिणाम: हार्डवेयर ने अलग-अलग बीटी संख्या वाले ग्राफ इंस्टेंस को मापे गए सापेक्ष ट्रेस के आधार पर सफलतापूर्वक अलग किया। परिणाम आदर्श सिमुलेशन के करीब थे, हालांकि 16-नोड मामले के लिए बढ़ी हुई सर्किट डेप्थ ने शोर (noise) को पेश किया।

महत्व और दावे

यह पेपर दावा करता है कि यह सटीक बीटी संख्या अनुमान से टोपोलॉजिकल फीचर एक्सट्रैक्शन की ओर शिफ्ट होकर TDA के लिए "संभावित क्वांटम उपयोगिता के लिए एक स्पष्ट मार्ग" स्थापित करता है।

व्यावहारिक उपयोगिता: लेखक प्रदर्शित करते हैं कि उच्च-क्रम टोपोलॉजिकल विशेषताएं केवल सैद्धांतिक रचनाएँ नहीं हैं, बल्कि उनमें चिकित्सा निदान और वित्तीय पूर्वानुमान जैसे वास्तविक दुनिया के कार्यों के लिए कार्रवाई योग्य जानकारी होती है, जो अक्सर निम्न-आयामी विशेषताओं से बेहतर प्रदर्शन करती है।
एल्गोरिद्मिक व्यवहार्यता: निम्न-क्रम मोमेंट्स (सापेक्ष ट्रेस) का अनुमान लगाकर, लेखक दिखाते हैं कि क्वांटम लाभ उस क्षेत्र में भी प्राप्त किया जा सकता है जहाँ सापेक्ष बीटी संख्या छोटी होती है, एक ऐसी स्थिति जिसे पहले क्वांटम लाभ के लिए असंभव माना जाता था।
प्रायोगिक सत्यापन: यह कार्य मोमेंट-आधारित TDA का पहला क्वांटम-हार्डवेयर प्रदर्शन प्रदान करता है जहाँ एक मापा गया लैपलेसियन ऑब्जर्वेबल को सटीक बीटी जानकारी के विरुद्ध ग्राफ़ इंस्टेंस को अलग करने के लिए मात्रात्मक रूप से तुलना किया गया है।
रोडमैप: अनुप्रयोग-संचालित फीचर सत्यापन और संसाधन-कुशल एल्गोरिदम डिजाइन का संयोजन पूर्णतः फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम कंप्यूटरों के आगमन से पहले डेटा विज्ञान के लिए क्वांटम लाभ प्राप्त करने के लिए एक यथार्थवादी रोडमैप तैयार करता है।

लेखक अपने दावों में विनम्र रहते हैं, यह स्वीकार करते हुए कि उनका क्वांटम एल्गोरिदम बीटी संख्याओं से सह-संबंधित एक ऑब्जर्वेबल का अनुमान लगाता है न कि सटीक मानों की गणना करता है, और वर्तमान हार्डवेयर प्रदर्शन छोटे ग्राफ आकारों तक सीमित है। हालांकि, वे तर्क देते हैं कि स्केलिंग गुण और प्रदर्शित सहसंबंध यह सुझाव देते हैं कि क्वांटम TDA उच्च-आयामी डेटा विश्लेषण कार्यों के लिए व्यावहारिक मूल्य प्रदान कर सकता है।