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Learning Arbitrary Lindbladians from Time Evolution

यह शोध पत्र एक लगभग इष्टतम, कुशल एल्गोरिदम प्रस्तावित करता है जो न्यूनतम प्रयोगात्मक संसाधनों के साथ सभी गुणांकों की पहचान और अनुमान लगाने के लिए दो गैर-अनुकूली, सहायक-रहित (ancilla-free) चरणों का उपयोग करके भौतिक समय विकास से मनमाने मार्कोवियन ओपन-सिस्टम जनरेटरों (लिंडब्लैडियन्स) को सीखता है।

मूल लेखक: Zhili Chen, Zhan Yu

प्रकाशित 2026-07-31

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Zhili Chen, Zhan Yu

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप यह समझने की कोशिश कर रहे हैं कि एक जटिल मशीन कैसे काम करती है, लेकिन आप उसे खोलकर देख नहीं सकते। आप केवल उसे चलते हुए देख सकते हैं। क्वांटम भौतिकी की दुनिया में, यह मशीन परमाणुओं या कणों का एक छोटा सा तंत्र (system) है, और इसका "चलना" समय के साथ इसका विकास (evolution) है। आमतौर पर, वैज्ञानिक उन प्रणालियों का अध्ययन करते हैं जो पूरी तरह से अलग-थलग होती हैं, जैसे कि एक घर्षण रहित मेज पर लुढ़कती हुई बिलियर्ड बॉल; ये एक सरल नियम द्वारा संचालित होती हैं जिसे हैमिल्टोनियन (Hamiltonian) कहा जाता है। लेकिन वास्तविक दुनिया की क्वांटम मशीनें अव्यवस्थित होती हैं। वे अपने वातावरण से टकराती हैं, ऊर्जा खो देती हैं, और शोर पैदा करती हैं। इस अव्यवस्थित व्यवहार को "डिसिपेशन" (dissipation) कहा जाता है, और इसे लिंडब्लैडियन (Lindbladian) नामक एक बहुत अधिक जटिल गणितीय वस्तु द्वारा वर्णित किया जाता है।

लिंडब्लैडियन को सिस्टम के "निर्देश मैनुअल" के रूप में सोचें, लेकिन चरणों की एक साफ सूची के बजाय, यह अरबों प्रविष्टियों वाला एक विशाल, अराजक स्प्रेडशीट है। प्रत्येक प्रविष्टि आपको बताती है कि सिस्टम कैसे कूद सकता है, घूम सकता है या फीका पड़ सकता है। समस्या यह है कि हमें नहीं पता कि वास्तव में कौन सी प्रविष्टियाँ उपयोग की जा रही हैं। अतीत में, वैज्ञानिकों को यह अनुमान लगाना पड़ता था कि मशीन केवल कुछ सरल नियमों का पालन करती है (जैसे कि केवल पास के पड़ोसियों के साथ बातचीत करना) या कि शोर वाले हिस्से पूरी तरह से शून्य थे। लेकिन वास्तविक मशीनें इन साफ-सुथरे नियमों का पालन नहीं करती हैं; उनमें हर जगह कमजोर, छिपे हुए संबंध हो सकते हैं। बड़ा सवाल यह था: क्या हम अतिरिक्त सहायक मशीनों या जटिल नियंत्रणों की आवश्यकता के बिना, केवल मशीन को चलते हुए देखकर, पूरे अव्यवस्थित निर्देश मैनुअल को समझ सकते हैं?

यह शोध पत्र कहता है—हाँ। लेखकों, ज़िली चेन और झान यू ने एक चतुर दो-चरणीय जासूसी खेल डिजाइन किया है जो किसी भी क्वांटम सिस्टम के पूर्ण, अव्यवस्थित निर्देश मैनुअल को सीख सकता है, चाहे वह कितना भी अराजक या "मनमाना" (arbitrary) क्यों न हो। उन्हें यह मानने की आवश्यकता नहीं है कि सिस्टम सरल है, न ही उन्हें अतिरिक्त "सहायक" कणों (ancillas) या जटिल नियंत्रण युक्तियों की आवश्यकता है। उनकी विधि कुशल है, जिसका अर्थ है कि इसमें बहुत अधिक समय नहीं लगता, और यह भौतिकी के नियमों द्वारा अनुमत न्यूनतम प्रयोगों के साथ काम करती है।

दो-चरणीय जासूसी खेल

लेखकों का समाधान एक दो-चरणीय जांच की तरह है। पहले, उन्हें "संदिग्धों" को खोजना होगा—निर्देश मैनुअल के वे विशिष्ट भाग जो वास्तव में कुछ महत्वपूर्ण कर रहे हैं। दूसरा, उन्हें उन संदिग्धों से उनके सटीक नंबर प्राप्त करने के लिए पूछताछ करनी होगी।

चरण 1: "हेवी हिटर" की खोज (सपोर्ट लर्निंग)
कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, अदृश्य पियानो की कौन सी कुंजियाँ (keys) दबाई जा रही हैं, यह पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं। आप कुंजियों को देख नहीं सकते, लेकिन आप पियानो से निकलने वाली आवाज़ सुन सकते हैं। यदि कोई कुंजी जोर से दबाई जाती है, तो वह तेज़ शोर करती है; यदि उसे मुश्किल से छुआ जाता है, तो वह शांत रहती है। लेखकों ने महसूस किया कि यदि लिंडब्लैडियन का कोई हिस्सा "भारी" है (यानी, उसका प्रभाव मजबूत है), तो वह थोड़े समय में सिस्टम के व्यवहार पर एक विशिष्ट, मापने योग्य छाप छोड़ता है।

वे डिस्प्लेसमेंट सैंपलिंग (displacement sampling) नामक तकनीक का उपयोग करते हैं। यह पियानो को हिलाने और यह देखने जैसा है कि कौन सी कुंजियाँ सबसे अधिक उछलती हैं। सिस्टम को विशिष्ट, सरल अवस्थाओं में तैयार करके और उसके बदलाव को मापकर, वे "उम्मीदवार संदिग्धों" की एक सूची बना सकते हैं। यह सूची संभालने के लिए पर्याप्त छोटी है, लेकिन यह गारंटी देती है कि इसमें मैनुअल का हर एक "भारी" हिस्सा शामिल है। महत्वपूर्ण बात यह है कि इस चरण में यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि कुंजियाँ कितनी मजबूत हैं, बस इतना जानना पर्याप्त है कि वे इतनी मजबूत हैं कि मायने रखती हैं। यह एक फिल्टर है जो शांत, अप्रासंगिक शोर को हटा देता है और केवल शोर मचाने वाले, महत्वपूर्ण खिलाड़ियों को रखता है।

चरण 2: "पूछताछ" (गुणांक सीखना)
एक बार जब उनके पास संदिग्धों की संक्षिप्त सूची आ जाती है, तो उन्हें प्रत्येक के लिए सटीक संख्या जानने की आवश्यकता होती है। यहीं पर दूसरा चरण आता है। एक समय में एक संदिग्ध के बारे में पूछने के बजाय (जिसमें बहुत समय लगेगा), वे क्लिफोर्ड प्रोबिंग (Clifford probing) नामक एक चाल का उपयोग करते हैं।

कल्पना कीजिए कि आपके पास संदिग्धों का एक समूह है, और आप उनकी सटीक ऊंचाई जानना चाहते हैं। एक-एक करके रूलर से मापने के बजाय, आप पूरे समूह की एक रैंडम, अराजक फॉर्मेशन में फोटो लेते हैं। फिर, आप छाया और कोणों का विश्लेषण करने के लिए एक विशेष कंप्यूटर एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं ताकि एक साथ सभी की ऊंचाई का पता लगाया जा सके। क्वांटम दुनिया में, वे सिस्टम को एक रैंडम "स्टेबलाइजर स्टेट" (एक विशिष्ट प्रकार की क्वांटम व्यवस्था) में तैयार करते हैं, उसे विकसित होने देते हैं, और फिर उसे रैंडम तरीके से मापते हैं। विभिन्न रैंडम सेटअपों के साथ इसे कई बार दोहराकर, वे एक साथ अपनी सूची के सभी गुणांकों (coefficients) के सटीक मानों को गणितीय रूप से पुनर्गठित कर सकते हैं।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

इस खोज का सबसे रोमांचक हिस्सा वह है जिसकी इसे आवश्यकता नहीं है। पिछली विधियों में अक्सर निम्नलिखित की आवश्यकता होती थी:

मान्यताएँ: यह अनुमान लगाना कि सिस्टम सरल या विरल (sparse) था (केवल कुछ सक्रिय भाग)।
सहायक: मुख्य सिस्टम को मापने में मदद करने के लिए अतिरिक्त क्वांटम सिस्टम (ancillas) का उपयोग करना।
नियंत्रण: माप के दौरान सिस्टम को निर्देशित करने के लिए जटिल संचालन करना।

लेखक सिद्ध करते हैं कि इनमें से किसी की भी आवश्यकता नहीं है। आप केवल इसे स्वाभाविक रूप से चलते हुए देखकर, सरल मापों का उपयोग करके, सबसे अराजक, अव्यवस्थित और जटिल क्वांटम सिस्टम को सीख सकते हैं। वे दिखाते हैं कि आवश्यक प्रयोगों की संख्या भौतिकी के नियमों के अनुसार लगभग न्यूनतम संभव सीमा के करीब है।

निष्कर्ष

यह शोध पत्र एक प्रमुख पहेली को हल करता है: बिना कोई अनुमान लगाए या अतिरिक्त उपकरण का उपयोग किए, किसी क्वांटम सिस्टम के पूर्ण, अव्यवस्थित नियमों को कैसे सीखा जाए। समस्या को "संदिग्धों को खोजने" के चरण और "संख्या प्राप्त करने" के चरण में विभाजित करके, लेखक एक ऐसी विधि प्रदान करते हैं जो तेज़ और विश्वसनीय दोनों है। इसका अर्थ है कि भविष्य में, हम वास्तविक दुनिया के क्वांटम उपकरणों—जैसे कि कंप्यूटिंग या सेंसिंग के लिए उपयोग किए जाने वाले उपकरण—को बहुत अधिक सटीकता से कैलिब्रेट और समझ पाएंगे, भले ही वे शोर वाले और जटिल हों। क्वांटम दुनिया का "निर्देश मैनुअल" अब धारणाओं की दीवार के पीछे छिपा हुआ नहीं है; अब हमारे पास इसे, पेज दर पेज, केवल शो को देखते हुए पढ़ने का एक तरीका है।

तकनीकी सारांश: समय विकास से अनिश्चित लिंडब्लैडियन (Lindbladians) को सीखना

1. समस्या विवरण

यह शोध पत्र एक अज्ञात मार्कोवियन ओपन क्वांटम सिस्टम की गतिशीलता (dynamics) को सीखने की मौलिक चुनौती को संबोधित करता है। सिस्टम का विकास एक लिंडब्लैडियन $\mathcal{L}$ द्वारा जनरेट होता है, जो सुसंगत (coherent - Hamiltonian) और विसरणी (dissipative) दोनों प्रकार की अंतःक्रियाओं का वर्णन करता है। पाउली बेस (Pauli basis) में, $\mathcal{L}$ को हैमिल्टोनियन गुणांकों $\{h_a\}$ और विसरणी गुणांकों $\{\gamma_{ab}\}$ के एक घातीय रूप से बड़े सेट द्वारा पहचाना जाता है।

सीखने का उद्देश्य इन गुणांकों को किसी भी समय $t \ge 0$ के लिए टाइम-इवोल्यूशन चैनल $e^{t\mathcal{L}}$ तक ब्लैक-बॉक्स एक्सेस दिए जाने पर, $\varepsilon$ की एंट्री-वाइज सटीकता के साथ अनुमानित करना है। यह सेटिंग अनसात्ज़-फ्री (ansatz-free) है: सिस्टम की लोकैलिटी (locality), स्पैरसिटी (sparsity), या इंटरैक्शन स्ट्रक्चर के बारे में कोई पूर्व ज्ञान नहीं माना गया है। एकमात्र मात्रात्मक पूर्व जानकारी डायनामिकल स्ट्रेंथ ( $\|\mathcal{L}^\dagger\|_{\infty \to \infty} \le \Lambda$ ) पर एक ज्ञात ऊपरी सीमा $\Lambda$ है, जो सिस्टम के प्राकृतिक समय पैमाने को निर्धारित करती है।

लर्निंग प्रोटोकॉल को सख्त परिचालन बाधाओं को पूरा करना चाहिए:

कंट्रोल-फ्री (Control-free): अज्ञात विकास के साथ नियंत्रण ऑपरेशन्स का इंटरलीविंग नहीं; चैनल $e^{t\mathcal{L}}$ प्रत्येक प्रयोग में केवल एक बार लागू किया जाता है।
एनसिला-फ्री (Ancilla-free): स्टेट प्रिपरेशन, इवोल्यूशन, या मेजरमेंट के दौरान सहायक क्वांटम सिस्टम (क्वांटम मेमोरी) के साथ एंटैंगलमेंट की अनुमति नहीं है।
नॉन-एडेप्टिव (Nonadaptive): इनपुट और मेजरमेंट का चयन पिछले परिणामों पर निर्भर नहीं करता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

प्रस्तावित समाधान लर्निंग कार्य को दो अलग-अलग, नॉन-एडेप्टिव चरणों में विभाजित करता है: सपोर्ट लर्निंग (Support Learning) और कोएफिशिएंट लर्निंग (Coefficient Learning)। दोनों चरण विकास के चोई स्टेट (Choi state) से प्राप्त विशिष्ट सिग्नल्स के एंडपॉइंट डेरिवेटिव्स ( $t=0$ ) के अनुमान पर निर्भर करते हैं, जिसमें उच्च सटीकता प्राप्त करने और न्यूनतम बायस (bias) सुनिश्चित करने के लिए चेबिशेव इंटरपोलेशन (Chebyshev interpolation) का उपयोग किया जाता है।

2.1 कोर प्रिमिटिव: एंडपॉइंट डिफरेंशिएशन (Endpoint Differentiation)

$t=0$ पर डेरिवेटिव्स का सीधा फाइनाइट-डिफरेंस अनुमान उच्च बायस ( $O(\Lambda^2 \tau)$ ) से ग्रस्त होता है या इसके लिए अत्यधिक छोटे टाइम स्टेप्स की आवश्यकता होती है। लेखक एक संक्षिप्त अंतराल $[0, T]$ पर चेबिशेव-लोबैटो इंटरपोलेशन (Chebyshev-Lobatto interpolation) का उपयोग करते हैं जहाँ $T = 1/\Lambda$ है। $q+1$ नोड्स पर सिग्नल का मूल्यांकन करके और इंटरपोलेटिंग पॉलीनोमियल को $t=0$ पर डिफरेंशिएट करके, बायस को $O(\Lambda/(q+1)!)$ तक कम किया जाता है। यह एक स्थिर संख्या में नोड्स $q = \tilde{\Theta}(1)$ का उपयोग करके बायस $\varepsilon/2$ प्राप्त करने की अनुमति देता है, जबकि इंटरपोलेशन वेट्स का कुल एब्सोल्यूट वेट $W = \tilde{O}(\Lambda)$ स्केल करता है।

2.2 चरण 1: थ्रेशोल्ड सपोर्ट लर्निंग (Threshold Support Learning)

लक्ष्य एक कैंडिडेट सपोर्ट सेट की पहचान करना है जिसमें $\eta$ के बराबर या उससे अधिक परिमाण वाले सभी गुणांक शामिल हों।

मैकेनिज्म: एल्गोरिदम विकास की पाउली एरर रेट्स से प्राप्त एक क्लासिकल प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन $\mu(a)$ में "हेवी" लेबल्स के रूप में दिखने वाले बड़े गुणांकों का लाभ उठाता है।
सैंपलिंग: बेल कोहेरेंस (Bell coherences) को सीधे मापने के बजाय (जिसके लिए एंटैंगल्ड स्टेट्स की आवश्यकता होगी), एल्गोरिदम एक पाउली-ट्वर्ल्ड चैनल (Pauli-twirled channel) लागू करता है। रैंडम प्रोडक्ट पाउली आइजनस्टेट्स तैयार करके, रैंडम पाउली ट्वर्ल्स लागू करके, विकसित करके और पूरक आधारों (कंप्यूटेशनल और $X$ -बेसिस) में मापकर, एल्गोरिदम वितरण $\mu$ के $x$ - और $z$ -मार्जिन्स को सैंपल करता है।
रिकवरी: रिकवर किए गए मार्जिनल सेट्स का कार्टेशियन प्रोडक्ट एक कैंडिडेट सपोर्ट $\hat{\mathcal{S}}$ बनाता है। यह सेट गारंटी देता है कि इसमें सभी $\eta$ -हेवी हैमिल्टोनियन और विसरणी कोऑर्डिनेट्स शामिल हैं।
लागत: इसके लिए $\tilde{O}(\Lambda^2/\eta^2)$ प्रयोगों और $\tilde{O}(\Lambda/\eta^2)$ कुल इवोल्यूशन टाइम की आवश्यकता होती है।

2.3 चरण 2: क्लिफोर्ड प्रोबिंग के माध्यम से कोएफिशिएंट लर्निंग (Coefficient Learning via Clifford Probing)

$M$ आकार के कैंडिडेट सपोर्ट को देखते हुए, लक्ष्य इस सेट के भीतर सभी गुणांकों को $\varepsilon$ की सटीकता के साथ अनुमानित करना है।

मैकेनिज्म: एल्गोरिदम एनसिला-फ्री प्रोसेस शैडो (ancilla-free process shadows) का उपयोग करता है। यह रैंडम स्टेबलाइजर स्टेट्स तैयार करता है, उन्हें विकसित करता है, और रैंडम क्लिफोर्ड बेस में मापता है। ये मेजरमेंट्स क्लासिकल स्नैपशॉट्स उत्पन्न करते हैं जो चोई स्टेट $J_t$ का अनबायस्ड अनुमान लगाते हैं।
विटनेस (Witnesses): गुणांकों को "विटनेस सिग्नल्स" $f_A(t) = \langle \Phi_A | J_t | \Phi_A \rangle$ को डिफरेंशिएट करके रिकवर किया जाता है, जहाँ $|\Phi_A\rangle$ पाउली ऑपरेटर्स से निर्मित बेल-बेसिस वेक्टर्स हैं। पोलराइजेशन आइडेंटिटीज ऑफ-डायगोनल मैट्रिक्स एलिमेंट्स (और इस प्रकार विसरणी गुणांकों) को डायगोनल एक्सपेक्टेशंस से पुनर्गठित करने की अनुमति देती हैं।
वेरिएंस कंट्रोल: एक प्रमुख तकनीकी परिणाम यह है कि विटनेस के लिए शैडो एस्टिमेटर का सेकंड मोमेंट एक स्थिरांक ( $\le 160$ ) द्वारा सीमित है, जो सिस्टम के आकार $n$ से स्वतंत्र है। यह सांख्यिकीय त्रुटियों को कुशलतापूर्वक नियंत्रित करने के लिए मीडियन-ऑफ-मीन्स (median-of-means) एस्टिमेटर के उपयोग को सक्षम बनाता है।
लागत: इसके लिए $\tilde{O}(\Lambda^2 \log M / \varepsilon^2)$ प्रयोगों और $\tilde{O}(\Lambda \log M / \varepsilon^2)$ कुल इवोल्यूशन टाइम की आवश्यकता होती है। क्लासिकल पोस्ट-प्रोसेसिंग $M$ और $n$ में पॉलीनोमियल रूप से स्केल करती है।

3. मुख्य परिणाम

इन दोनों चरणों को संयोजित करके (सपोर्ट थ्रेशोल्ड $\eta = \varepsilon$ सेट करते हुए), लेखक एक अनिश्चित लिंडब्लैडियन को सीखने के लिए निम्नलिखित गारंटी के साथ एक एल्गोरिदम प्रस्तुत करते हैं:

सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी (Sample Complexity): कुल प्रयोगों की संख्या $\tilde{O}(\Lambda^2/\varepsilon^2)$ है।
कुल इवोल्यूशन टाइम (Total Evolution Time): कुल समय जिसमें सिस्टम विकसित होता है $\tilde{O}(\Lambda/\varepsilon^2)$ है।
क्लासिकल कॉम्प्लेक्सिटी (Classical Complexity): क्लासिकल रनिंग टाइम $n$ , $\Lambda$ , और $1/\varepsilon$ में पॉलीनोमियल है।
इष्टतमता (Optimality): ये स्केलिंग [ACG+26] में स्थापित इन्फॉर्मेशन-थ्योरेटिक लोअर बाउंड्स से पॉलीलॉगैरिथमिक फैक्टर्स तक मेल खाती है।
व्यापकता (Generality): एल्गोरिदम बिना लोकैलिटी, स्पैरसिटी, या गुणांक गैप्स की धारणा के, पूरी तरह से मनमाने लिंडब्लैडियन के लिए काम करता है। यह कुशलतापूर्वक जेनेरिक $k$ -लोकल लिंडब्लैडियन को भी सीख सकता है।

4. महत्व और दावे

पेपर कई महत्वपूर्ण सैद्धांतिक प्रगति का दावा करता है:

क्लोज्ड और ओपन सिस्टम के बीच के अंतर को मिटाना: इन सीटू (कंट्रोल-फ्री, एनसिला-फ्री) सेटिंग में, ओपन-सिस्टम डायनेमिक्स (लिंडब्लैडियन) सीखना क्लोज्ड-सिस्टम डायनेमिक्स (हैमिल्टोनियन) सीखने से अधिक कठिन नहीं है। दोनों ही कुल इवोल्यूशन टाइम में समान इष्टतम स्केलिंग प्राप्त करते हैं, जो केवल पॉलीलॉगैरिथमिक फैक्टर्स से भिन्न होते हैं। यह उन सेटिंग्स के विपरीत है जहाँ कोहेरेंट कंट्रोल की अनुमति है, जहाँ हैमिल्टोनियन लर्निंग हाइजेनबर्ग स्केलिंग ( $1/\varepsilon$ ) प्राप्त कर सकती है जबकि लिंडब्लैडियन लर्निंग स्टैंडर्ड क्वांटम लिमिट ( $1/\varepsilon^2$ ) तक सीमित है।
क्वांटम मेमोरी से कोई लाभ नहीं: लेखक प्रदर्शित करते हैं कि इन सीटू लिंडब्लैडियन लर्निंग के लिए, एनसिला सिस्टम (क्वांटम मेमोरी) का उपयोग करने से कोई महत्वपूर्ण लाभ नहीं मिलता है। जबकि क्वांटम मेमोरी स्टेट टोमोग्राफी या पाउली-चैनल लर्निंग जैसे कार्यों में घातीय लाभ प्रदान करती है, लिंडब्लैडियन लर्निंग के लिए बॉटलनेक एक सिंगल शॉर्ट-टाइम एक्सपेरिमेंट के सिग्नल एक्यूमुलेशन रेट में है, जिसे एंटैंगलमेंट द्वारा बढ़ाया नहीं जा सकता है। प्रस्तावित एनसिला-फ्री एल्गोरिदम उन लोअर बाउंड्स से मेल खाता है जो किसी भी एनसिला वाले प्रोटोकॉल के लिए मान्य हैं।
मनमाने लर्निंग की व्यवहार्यता: यह कार्य इस केंद्रीय प्रश्न को हल करता है कि क्या मनमाने लिंडब्लैडियन को कुशलतापूर्वक सीखा जा सकता है। यह दिखाता है कि घातीय आकार के पैरामीटर स्पेस के बावजूद, डायनामिकल स्ट्रेंथ बाउंड $\Lambda$ "हेवी" गुणांकों की संख्या को नियंत्रित करता है, जिससे स्ट्रक्चरल धारणाओं के बिना कुशल रिकवरी संभव हो पाती है।

पेपर निष्कर्ष निकालता है कि यदि डायनामिकल स्ट्रेंथ बाउंडेड है, तो विसरण (dissipation) इन सीटू रिजीम में कुशल लर्निंग के लिए बाधा नहीं है, और प्रस्तावित दो-चरणीय एल्गोरिदम इसके रिसोर्स यूसेज में लगभग इष्टतम है।