Improved constant factors for qubitized Hamiltonian simulation

कल्पना कीजिए कि आप परमाणुओं और ऊर्जा से बनी एक नन्ही, अदृश्य दुनिया के भविष्य के व्यवहार की भविष्यवाणी करने की कोशिश कर रहे हैं। यह क्वांटम कंप्यूटरों का काम है, जो सुपर-पावर्ड कैलकुलेटर की तरह हैं जिन्हें नई दवाओं से लेकर सुपर-कुशल बैटरी तक, सब कुछ नियंत्रित करने वाले भौतिकी के नियमों का अनुकरण (सिमुलेट) करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। हालाँकि, इन मशीनों को प्रोग्राम करना बेहद कठिन है क्योंकि इन्हें जिस गणित को हल करने की आवश्यकता है वह अविश्वसनीय रूप से जटिल है। इसे संभव बनाने के लिए, वैज्ञानिक "क्वांटम सिग्नल प्रोसेसिंग" नामक एक विशेष तकनीक का उपयोग करते हैं। इस तकनीक को ऊर्जा के एक जटिल, घूमते हुए नृत्य को एक सरल, चरण-दर-चरण रेसिपी में अनुवाद करने के तरीके के रूप में समझें जिसे कंप्यूटर उसका पालन कर सके। लक्ष्य यह पता लगाना है कि उत्तर को सही ढंग से प्राप्त करने के लिए कितने चरणों (या एक विशिष्ट गणितीय उपकरण के "कॉल") की आवश्यकता है, ताकि समय या ऊर्जा बर्बाद न हो। यदि आप बहुत कम कदम उठाते हैं, तो उत्तर गलत होगा; यदि आप बहुत अधिक कदम उठाते हैं, तो कंप्यूटर काम पूरा करने से पहले ही अपनी बैटरी खत्म कर लेगा। वर्षों से, वैज्ञानिक उन चरणों की पूर्ण न्यूनतम संख्या खोजने की कोशिश कर रहे हैं, इस उम्मीद में कि वे इन सिमुलेशन को तेज़ और अधिक व्यावहारिक बनाने के लिए थोड़े से अतिरिक्त काम को भी कम कर सकें।

यह शोध पत्र उन चरणों को मापने के लिए एक बहुत अधिक सटीक और तीक्ष्ण पैमाने (रूलर) को खोजने के बारे में है। ज़ैनैडू (Xanadu) में काम करने वाले लेखकों ने यह पता लगाया है कि एक क्वांटम सिस्टम समय के साथ कैसे बदलता है, इसका अनुकरण करने के लिए कितने चरणों की आवश्यकता होती है, इसके नियमों को और अधिक कड़ा करने का एक तरीका। उन्होंने "जैकोबी-एंगर एक्सपेंशन" (Jacobi-Anger expansion) नामक एक विशिष्ट गणितीय उपकरण पर ध्यान केंद्रित किया, जो तरंगों के संचलन का वर्णन करने के लिए एक विशाल, अनंत रेसिपी बुक की तरह है। एक अच्छा उत्तर पाने के लिए, आपको एक निश्चित बिंदु पर रेसिपी पढ़ना बंद करना होता है, लेकिन आपको यह जानने की आवश्यकता है कि कहाँ रुकना है ताकि आप कोई महत्वपूर्ण सामग्री न छोड़ दें। लेखकों ने महसूस किया कि तय करने के लिए पिछले तरीके थोड़े अधिक सतर्क थे, जैसे कि एक बेकर जो सुरक्षित रहने के लिए बस सुरक्षा के तौर पर आटे का एक बड़ा कप अतिरिक्त डाल देता है। "टेल" (tail)—रेसिपी का वह हिस्सा जिसे आप काट देते हैं—का विश्लेषण करने के लिए दो चतुर गणितीय असमानताओं (जिन्हें कप्टेन और वॉटसन के नाम पर रखा गया है) का उपयोग करके, उन्होंने सिद्ध किया कि आप पहले की तुलना में बहुत पहले रुक सकते हैं।

उनकी मुख्य खोज यह है कि उन्होंने सर्वोत्तम संभावित सैद्धांतिक सीमा और जो हम वास्तव में प्राप्त कर सकते हैं, उसके बीच के अंतर को लगभग पूरी तरह से पाट दिया है। उन्होंने दिखाया है कि चरणों की संख्या अनिवार्य रूप से उस समय के बराबर है जिसका वे अनुकरण कर रहे हैं, और इसे एक ऐसे कारक से गुणा किया गया है जो अब अविश्वसनीय रूप से 1 के करीब है। अतीत में, सर्वोत्तम अनुमानों ने सुझाव दिया था कि आपको पूर्ण न्यूनतम से लगभग 1.36 गुना ($e/2$ विशेष रूप से) अधिक चरणों की आवश्यकता होगी। लेखकों ने सिद्ध किया कि बचे हुए गणित के साथ अधिक सावधानी से व्यवहार करके, आप उस ओवरहेड को उसी कारक से कम कर सकते हैं, जिससे प्रक्रिया लगभग 1.36 गुना अधिक कुशल हो जाती है। उन्होंने केवल अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने कठोर गणितीय प्रमाण प्रदान किए जिससे यह साबित हो सके कि उनके नए सूत्र सही हैं और पुराने, ढीले अनुमान वास्तव में बहुत रूढ़िवादी थे।

इसे विज़ुअलाइज़ करने के लिए, कल्पना कीजिए कि आप एक घुमावदार पहाड़ी सड़क की लंबाई का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं। पिछले मानचित्रों ने बताया था कि सीधी रेखा की दूरी के प्रत्येक मील के लिए सड़क लगभग 1.36 मील लंबी है, ताकि सुरक्षित रहा जा सके। इस पेपर के लेखकों ने लेज़र के साथ घुमावों को मापा और सिद्ध किया कि सड़क वास्तव में प्रत्येक सीधे मील के लिए ठीक 1 मील के बहुत करीब है। उन्होंने दिखाया कि जिस "अतिरिक्त" दूरी को लोगों को ध्यान में रखने की आवश्यकता थी, वह ज्यादातर एक भ्रम था जो एक मोटे मापने वाले टेप के उपयोग के कारण हुआ था। उनका नया तरीका एक उच्च-परिशुद्धता वाले टेप का उपयोग करता है जो घुमावों को पूरी तरह से ध्यान में रखता है, जिससे क्वांटम कंप्यूटर रासायनिक प्रतिक्रियाओं और भौतिक प्रक्रियाओं का सिमुलेशन काफी कम संसाधनों के साथ कर सकते हैं। यह केवल थोड़ा समय नहीं बचाता है; बड़े, जटिल सिमुलेशन के लिए, यह एक सप्ताह में होने वाले कैलकुलेशन और कुछ दिनों में होने वाले कैलकुलेशन के बीच, या एक ऐसे सिमुलेशन के बीच जो असंभव है और एक ऐसे के बीच का अंतर हो सकता है जो अंततः संभव है। लेखक पुष्टि करते हैं कि उनके नए बाउंड्स "टाइट" (tight) हैं, जिसका अर्थ है कि वे वास्तविक गणितीय वास्तविकता के बहुत करीब हैं, और उन्होंने अपने सूत्रों की तुलना कंप्यूटर-जनरेटेड डेटा से करके प्रदर्शित किया है, जिससे पता चलता है कि उनके अनुमान वास्तविक नंबरों से लगभग पूरी तरह मेल खाते हैं।