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Constructing Non-Hermitian Theories with Tunable Exceptional Points and Controlled State Purification

यह शोध पत्र मोमेंटम-स्पेस विरूपण (momentum-space deformation) को ट्यूनेबल अपवाद बिंदुओं (exceptional points) वाले गैर-हर्मिटीय (non-Hermitian) अनेक-शरीर प्रणालियों को इंजीनियर करने के लिए एक सार्वभौमिक डिजाइन सिद्धांत के रूप में स्थापित करता है, जो घातांकीय आइजनवेक्टर संलयन (exponential eigenvector coalescences) को प्रेरित करते हैं, विशिष्ट आकार-निर्भर व्यवस्थाओं के साथ नियंत्रित अवस्था शुद्धिकरण (state purification) को सक्षम करते हैं, और विविध गैर-हर्मिटीय क्वांटम पदार्थ के व्यवस्थित निर्माण को सुगम बनाते हैं।

मूल लेखक: Soumya Kanti Pal, Rupak Majumder, Shamik Gupta

प्रकाशित 2026-08-06

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Soumya Kanti Pal, Rupak Majumder, Shamik Gupta

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक ऐसी दुनिया की कल्पना करें जहाँ भौतिकी के नियम केवल ठोस, अपरिवर्तनीय वस्तुओं के बारे में नहीं हैं, बल्कि ऐसे प्रणालियों के बारे में हैं जो अपने परिवेश के साथ लगातार अंतःक्रिया करते हैं—जैसे कि एक घूमता हुआ लट्टू जो धीरे-धीरे हवा में अपनी ऊर्जा खो देता है, या एक रेडियो सिग्नल जो तूफान के बीच से गुजरते समय धुंधला हो जाता है। क्वांटम दुनिया में, जहाँ कण तरंगों की तरह व्यवहार करते हैं, वैज्ञानिकों ने एक विशेष प्रकार की "खुली प्रणाली" (open system) की खोज की है जिसे नॉन-हर्मिटीन भौतिकी (non-Hermitian physics) कहा जाता है। इन प्रणालियों को एक डांस फ्लोर की तरह समझें जहाँ नर्तक (कण) न केवल संगीत पर नाच रहे हैं; वे कमरे से ऊर्जा उधार भी ले रहे हैं या फर्श को ऊर्जा दे रहे हैं। आमतौर पर, इससे अराजकता पैदा होती है या प्रणाली समाप्त हो जाती है। हालाँकि, इन प्रणालियों में एक जादुई "स्वीट स्पॉट" होता है जिसे "एक्सेप्शनल पॉइंट" (Exceptional Point - EP) कहा जाता है। आप एक EP को एक ब्रह्मांडीय ट्रैफिक जाम के रूप में देख सकते हैं जहाँ दो अलग-अलग नर्तक, जो पहले अपनी अनूठी चालें चल रहे थे, अचानक एक ही अविभाज्य इकाई में विलीन हो जाते हैं। ठीक इस क्षण में, सिस्टम का व्यवहार नाटकीय रूप से बदल जाता है, जो क्वांटम सूचना को नियंत्रित करने, सूक्ष्म परिवर्तनों को महसूस करने या अव्यवस्थित डेटा को साफ करने के नए तरीके प्रदान करता है। वैज्ञानिक इन "ट्रैफिक जाम" को जानबूझकर बनाने की कोशिश कर रहे हैं, विशेष रूप से कई कणों वाले सिस्टम में, यह देखने के लिए कि वे कौन सी नई अजीब शक्तियाँ अनलॉक कर सकते हैं।

अब, कल्पना करें कि आपके पास हजारों छोटे गियरों (एक मेनी-बॉडी क्वांटम सिस्टम) से बनी एक विशाल, जटिल मशीन है, और आप ठीक वहीं पर एक ऐसा जादुई "ट्रैफिक जाम" (एक एक्सेप्शनल पॉइंट) बनाना चाहते हैं जहाँ आप चाहें। एक नए शोध पत्र में, टाटा इंस्टीट्यूट ऑफ फंडामेंटल रिसर्च, भारत के सौम्या कांति पाल, रूपक मजूमदार और शामिक गुप्ता ने इसे करने के लिए एक चतुर ब्लूप्रिंट तैयार किया है। उन्होंने पाया कि एक सामान्य डिजाइन सिद्धांत है जिसे "मोमेंटम-स्पेस विरूपण" (momentum-space deformation) कहा जाता है। इसे समझने के लिए, इन मशीन के गियरों को भौतिक वस्तुओं के रूप में नहीं, बल्कि विभिन्न दिशाओं में चलती लहरों के रूप में देखें। टीम ने पाया कि इन लहरों को एक विशिष्ट गणितीय तरीके से थोड़ा "खिंचकर" या "मरोड़कर" (विकृत करके), वे सिस्टम को एक एक्सेप्शनल पॉइंट बनाने के लिए मजबूर कर सकते हैं। यह एक गिटार के तार को ट्यून करने जैसा है: यदि आप इसे बिल्कुल सही तरीके से कसते हैं, तो सुर बदल जाता है। यहाँ, लहरों के "मरोड़" (twist) को ट्यून करके, वे सिस्टम को उस विशेष बिंदु तक पहुँचा सकते हैं जहाँ कण आपस में मिल जाते हैं।

सबसे आश्चर्यजनक बात जो उन्होंने पाई, वह यह है कि जब आप सिस्टम के एक हिस्से में केवल एक ऐसा ट्रैफिक जाम बनाते हैं, तो क्या होता है। केवल उस एक स्थान को प्रभावित करने के बजाय, यह पूरी मशीन में तेजी से फैलने वाला एक "डोमिनो प्रभाव" (domino effect) पैदा करता है। यदि आपके पास कई कणों वाला सिस्टम है, तो एक खंड में एकल जोड़ी का विलय पूरे सिस्टम में लाखों अन्य जोड़ियों के विलय का कारण बनता है। यह बिल्कुल वैसा ही है जैसे स्टेडियम में एक व्यक्ति का खड़ा होना खड़े होने वाली लहर (wave) को जन्म देता है, लेकिन इस मामले में, "खड़े होना" कणों द्वारा अपनी व्यक्तिगत पहचान खोना और एक हो जाना है। यह "घातांकीय प्रसार" (exponential proliferation) का अर्थ है कि एक क्षेत्र में एक छोटा सा बदलाव पूरे क्वांटम सिस्टम के व्यवहार को पूरी तरह से बदल सकता है।

यह शोध पत्र "अव्यवस्थित" क्वांटम अवस्थाओं को साफ करने के लिए एक दिलचस्प तरकीब भी उजागर करता है। क्वांटम दुनिया में, सूचना बिखर सकती है या "मिश्रित" हो सकती है, जैसे ताश की एक गड्डी जिसे बहुत अधिक बार फेंटा गया हो। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि इन एक्सेप्शनल पॉइंट्स पर अपने सिस्टम को ट्यून करके, वे एक जादुई फिल्टर की तरह कार्य कर सकते हैं जो कार्डों को स्वचालित रूप से एक आदर्श क्रम में वापस व्यवस्थित करता है, जिससे एक अव्यवस्थित मिश्रण एक शुद्ध, स्पष्ट अवस्था में बदल जाता है। हालाँकि, इसमें एक पेच है जो सिस्टम के आकार पर निर्भर करता है, विशेष रूप से इस पर कि उसमें कणों की संख्या सम (even) है या विषम (odd)। यदि सिस्टम में कणों की संख्या विषम है, तो इसे पूरी तरह से साफ करना असंभव है; यह हमेशा थोड़ा अव्यवस्थित रहेगा। लेकिन यदि सिस्टम में सम संख्या है, तो इसे पूरी तरह से शुद्ध किया जा सकता है। यह विषम और सम आकार के सिस्टमों के बीच एक मौलिक अंतर पैदा करता है, जो बताता है कि आपकी क्वांटम मशीन का आकार आपकी सोच से कहीं अधिक महत्वपूर्ण है।

इसके अलावा, लेखकों ने एक "रिवर्स-इंजीनियरिंग" गाइड भी प्रदान की है। किसी जटिल मशीन से शुरू करके और यह अनुमान लगाने के बजाय कि ट्रैफिक जाम कहाँ बनेगा, अब आप उस ट्रैफिक जाम से शुरू कर सकते हैं जिसे आप चाहते हैं और उस मशीन को डिज़ाइन करने के लिए पीछे की ओर काम कर सकते हैं जो उसे बनाती है। उन्होंने दिखाया कि कैसे अल्प-दूरी के कनेक्शन (केवल पड़ोसी) या लंबी दूरी के कनेक्शन (दूर के पड़ोसी) वाले सिस्टम, और यहाँ तक कि ऐसे सिस्टम जहाँ नियम दोनों दिशाओं में समान नहीं हैं (नॉन-रेसिप्रोकल), बनाए जा सकते हैं। अंत में, उन्होंने एक व्यावहारिक नुस्खा भी दिया कि कैसे इन प्रभावों को उत्पन्न करने के लिए पर्यावरण के साथ सिस्टम की अंतःक्रिया का वर्णन करने के एक तरीके, "लिंडब्लाड एम्बेडिंग" (Lindblad embedding) का उपयोग करके, एक वास्तविक लैब में इन सिस्टमों को बनाया जा सकता है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र केवल एक नई घटना नहीं खोजता है; यह वैज्ञानिकों को एक सार्वभौमिक टूलकिट देता है। उन्होंने सिद्ध किया कि कणों के मोमेंटम को विकृत करके, आप विश्वसनीय रूप से एक्सेप्शनल पॉइंट्स बना सकते हैं, जो बदले में क्वांटम अवस्थाओं को साफ कर सकते हैं और सूचना के प्रवाह को नियंत्रित कर सकते हैं। उन्होंने दिखाया कि जबकि एक एकल विलय बिंदु एक बड़े श्रृंखला अभिक्रिया (chain reaction) को ट्रिगर कर सकता है, सिस्टम को पूरी तरह से साफ करने की क्षमता एक सरल नियम पर निर्भर करती है: सम संख्याएँ काम करती हैं, विषम संख्याएँ नहीं। यह कार्य बताता है कि हम एक इंजीनियर की सटीकता के साथ जटिल क्वांटम मशीनों को डिजाइन और नियंत्रित करने के करीब पहुँच रहे हैं, जो बेहतर सेंसर, अधिक शक्तिशाली क्वांटम कंप्यूटर और शोर भरी दुनिया में सूचना को संभालने के नए तरीकों के द्वार खोलता है।

तकनीकी सारांश: ट्यूनेबल एक्सेपशनल पॉइंट्स और नियंत्रित स्टेट प्यूरिफिकेशन के साथ नॉन-हर्मिटीअन थ्योरीज का निर्माण

समस्या विवरण
नॉन-हर्मिटीअन क्वांटम मैकेनिक्स खुले और संचालित (driven) सिस्टम्स का वर्णन करने के लिए एक ढांचा बनकर उभरा है, जो एक्सेपशनल पॉइंट्स (EPs) द्वारा लक्षित है—ये वे स्पेक्ट्रल सिंगुलैरिटीज़ हैं जहाँ आइगेनवैल्यूज़ और आइगेनवेक्टर्स एक साथ विलीन हो जाते हैं। जबकि EPs को विभिन्न प्लेटफार्मों पर प्रयोगात्मक रूप से साकार किया गया है और विशिष्ट नॉन-हर्मिटीअन हैमिल्टोनियन्स में इनका अध्ययन किया गया है, व्यापक श्रेणियों के कई-शरी (many-body) हैमिल्टोनियन्स में EP संरचनाओं को इंजीनियर करने के लिए एक सामान्य, व्यवस्थित विधि विकसित करना एक खुला विषय बना हुआ है। विशेष रूप से, इस बात को समझने की आवश्यकता है कि मोमेंटम-स्पेस ब्लॉक्स में EPs कैसे कई-शरी स्पेक्ट्रम में अनुवादित होते हैं और उन्हें क्वांटम स्टेट डायनेमिक्स, जैसे कि मिश्रित अवस्थाओं के शुद्धिकरण (purification) को नियंत्रित करने के लिए कैसे उपयोग किया जा सकता है।

कार्यप्रणाली
लेखक नॉन-हर्मिटीअन मैनी-बॉडी हैमिल्टोनियन्स को इंजीनियर करने के लिए एक सामान्य डिजाइन सिद्धांत के रूप में मोमेंटम-स्पेस विरूपण (deformation) को प्रस्तुत करते हैं। कार्यप्रणाली इस प्रकार है:

फ्रेमवर्क निर्माण: यह अध्ययन आवर्ती लैटिस (periodic lattice) पर मुक्त फर्मिऑन्स के लिए द्विघातीय बोगोल्युबोव–डि गेन (BdG) हैमिल्टोनियन्स पर केंद्रित है। इन हैमिल्टोनियन्स को फूरियर ट्रांसफॉर्मेशन के माध्यम से स्वतंत्र मोमेंटम-स्पेस ब्लॉक्स ( $H_k$ ) में विभाजित किया जाता है।
नॉन-हर्मिटीअन विरूपण: एक मनमाना नॉन-हर्मिटीअन हैमिल्टोनियन ( $H^{nH}_k$ ) एक हर्मिटीअन बेस ( $H^{(1)}_k$ ) को एक नॉन-हर्मिटीअन टर्म ( $H^{(2)}_k$ ) के साथ विकृत करके बनाया जाता है, जिसे $H^{nH}_k = H^{(1)}_k - iH^{(2)}_k$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस विरूपण को पाउली मैट्रिसेस का उपयोग करके विशिष्ट दिशाओं ( $x, y, z$ ) के साथ विरूपण स्ट्रेंथ ( $\gamma_\alpha$ ) के माध्यम से पैरामीटराइज़ किया जाता है।
EP स्थिति व्युत्पत्ति: लेखक एक एकल मोमेंटम ब्लॉक में EPs के अस्तित्व के लिए सार्वभौमिक, माइक्रोस्कोपिक-स्वतंत्र मानदंड व्युत्पन्न करते हैं। ये शर्तें यह आवश्यक बनाती हैं कि विरूपण वेक्टर $\vec{b}$ , हर्मिटीअन वेक्टर $\vec{a}$ के लंबवत हो और समान परिमाण का हो ( $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ और $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ )|।
सिमेट्री विश्लेषण: $PT $सिमेट्री की भूमिका का विश्लेषण किया गया है। लेखक प्रदर्शित करते हैं कि$ PT $सिमेट्री$ \vec{a} $और$ \vec{b}$ पर विशिष्ट प्रतिबंध लगाती है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि प्रत्येक मोमेंटम ब्लॉक एक विशिष्ट क्रिटिकल विरूपण स्ट्रेंथ पर एक EP होस्ट कर सकता है।
मैनी-बॉडी मैपिंग: शोध पत्र एकल-ब्लॉक EP स्थितियों को पूर्ण मैनी-बॉडी स्पेक्ट्रम में मैप करता है, और मैनी-बॉडी आइगेनवेक्टर्स के विलय (coalescence) का विश्लेषण करता है।
डायनेमिकल सिमुलेशन: गैर-हर्मिटीअन हैमिल्टोनियन्स के तहत मिश्रित क्वांटम अवस्थाओं के समय विकास (time evolution) की गणना स्टेट प्यूरिफिकेशन की जांच करने के लिए की जाती है। सिस्टम की प्योरिटी (purity) को विरूपण स्ट्रेंथ और सिस्टम साइज के फलन के रूप में ट्रैक किया जाता है।
रियल-स्पेस रिकंस्ट्रक्शन और एम्बेडिंग: लेखक विकृत हैमिल्टोनियन्स की रियल-स्पेस संरचना (शॉर्ट-रेंज बनाम लॉन्ग-रेंज, रेसिप्रोकल बनाम नॉन-रेसिप्रोकल) निर्धारित करने के लिए इनवर्स फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करते हैं। अंततः, वे इन प्रभावी नॉन-हर्मिटीअन हैमिल्टोनियन्स को ओपन क्वांटम सिस्टम्स के भीतर साकार करने के लिए एक स्पष्ट लिंडब्लाड एम्बेडिंग (Lindblad embedding) प्रदान करते हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम

सार्वभौमिक EP मानदंड: यह शोध पत्र स्थापित करता है कि एक एकल मोमेंटम ब्लॉक के लिए EP होस्ट करने हेतु, विरूपण वेक्टर को हैमिल्टोनियन के हर्मिटीअन भाग के सापेक्ष एक विशिष्ट शंकु (cone) पर स्थित होना चाहिए। महत्वपूर्ण रूप से, EP का मोमेंटम स्थान ( $k_c$ ) पूरी तरह से हर्मिटीअन हैमिल्टोनियन की आंतरिक संरचना द्वारा निर्धारित होता है, जबकि क्रिटिकल विरूपण स्ट्रेंथ ट्यूनेबल होती है।
कोलेसेंस का घातांकीय प्रसार (Exponential Proliferation): एक केंद्रीय निष्कर्ष यह है कि एक एकल मोमेंटम ब्लॉक में एक EP, मैनी-बॉडी हिल्बर्ट स्पेस में आइगेनवेक्टर कोलेसेंस के घातांकीय प्रसार को प्रेरित करता है। विशेष रूप से, यदि $k_c$ एक EP पर है, तो सभी मैनी-बॉडी अवस्थाएं जो केवल $k_c$ की ऑक्यूपेशन में भिन्न होती हैं, विलीन हो जाती हैं, जिसके परिणामस्वरूप $2^{L/2-1}$ (इवन पैरिटी) या $2^{L/2-2}$ (ओड पैरिटी) कोलेसेंस होता है।
PT-सिमेट्रिक इंजीनियरिंग: लेखक दिखाते हैं कि $PT$ सिमेट्री, EP इंजीनियरिंग के लिए एक शक्तिशाली तंत्र है। एक $PT$-सिमेट्रिक सिस्टम में, प्रत्येक मोमेंटम ब्लॉक एक विशिष्ट क्रिटिकल विरूपण स्ट्रेंथ पर एक EP होस्ट कर सकता है, जो पूर्णतः मैनी-बॉडी $PT$-सिमेट्री ब्रेकिंग ट्रांजिशन को कैरेक्टराइज करता है।
नियंत्रित स्टेट प्यूरिफिकेशन: यह अध्ययन मनमाने मिश्रित क्वांटम अवस्थाओं को शुद्ध करने के लिए EPs को एक सार्वभौमिक तंत्र के रूप में पहचानता है। विरूपण स्ट्रेंथ ( $\gamma_y$ $γ_{y}$ ) के आधार पर तीन अलग-अलग प्यूरिफिकेशन रिजीम्स का पता लगाया गया है:
1. $\gamma_y < \gamma^{(1)}_c$ : सभी ब्लॉक्स $PT$-सिमेट्री-प्रिजर्व्ड (SP) चरण में हैं; प्योरिटी निरंतर दोलन करती है।
2. $\gamma^{(1)}_c < \gamma_y < \gamma^{(2)}_c$ : ब्लॉक्स का एक उपसमुच्चय (subset) सिमेट्री-ब्रोकन (SB) चरण में है; सिस्टम आंशिक प्यूरिफिकेशन से गुजरता है।
3. $\gamma_y > \gamma^{(2)}_c$ : सभी ब्लॉक्स SB चरण में हैं; सिस्टम पूर्ण प्यूरिफिकेशन ( $P(t) \to 1$ ) प्राप्त करता है।
ओड-इवन सिस्टम साइज डिक्टोटॉमी: थर्मोडायनामिक लिमिट में, एक मौलिक द्वैत (dichotomy) प्रकट होती है। इवन (even) सिस्टम साइज ( $L$ ) के लिए, इवन-पैरिटी सेक्टर में पूर्ण प्यूरिफिकेशन प्राप्त किया जा सकता है, जबकि ओड-पैरिटी सेक्टर (जिसमें अनपेयर्ड मोड्स $k=0, \pi$ होते हैं) एसिम्प्टोटिक प्योरिटी को 0.25 पर सीमित कर देता है। ओड (odd) सिस्टम साइज के लिए, दोनों पैरिटी सेक्टर्स में एक सिंगल अनपेयर्ड मोड होता है, जिससे एसिम्प्टोटिक प्योरिटी 0.5 प्राप्त होती है। यह ओड और इवन सिस्टम्स के थर्मोडायनामिक लिमिट्स को मौलिक रूप से असमान बनाता है।
रिवर्स-इंजीनियरिंग प्रोटोकॉल: यह फ्रेमवर्क विशिष्ट रियल-स्पेस गुणों वाले नॉन-हर्मिटीअन हैमिल्टोनियन्स को व्यवस्थित रूप से उत्पन्न करने की अनुमति देता है। वर्गीकरण विरूपण फंक्शन $F_\alpha(k)$ $F_{α} (k)$ की पैरिटी को मोमेंटम स्पेस में ऑपरेटर $\hat{S}_\alpha(k)$ $\hat{S}_{α} (k)$ ( $\alpha=x,y$ $α = x, y$ के लिए) की एंटीसिमेट्री के संयोजन पर आधारित है:
- शॉर्ट-रेंज: तब प्राप्त होता है जब विरूपण फंक्शन $F_\alpha(k)$ सिमेट्रिक ( $F_\alpha(k) = F_\alpha(-k)$ ) होता है। इस स्थिति में, परिणामी रियल-स्पेस हैमिल्टोनियन में शॉर्ट-रेंज कपलिंग्स ( $\sim \hat{c}_i \hat{c}_{i+r}$ जहाँ $r \ll L$ ) शामिल होते हैं।
- लॉन्ग-रेंज: तब प्राप्त होता है जब विरूपण फंक्शन $F_\alpha(k)$ एंटीसिमेट्रिक ( $F_\alpha(k) = -F_\alpha(-k)$ ) होता है। चूंकि साइन फंक्शन का फूरियर ट्रांसफॉर्म अल्जेब्रिक रूप से घटता है, इसलिए यह स्वाभाविक रूप से लॉन्ग-रेंज कपलिंग्स की ओर ले जाता है।
- नॉन-रेसिप्रोकल: विभिन्न अक्षों (जैसे $x$ और $y$ ) के साथ समवर्ती विरूपण द्वारा प्राप्त किया जाता है, जो असममित होपिंग एम्प्लीट्यूड (asymmetric hopping amplitudes) बनाता है।
लिंडब्लाड एम्बेडिंग: जंप ऑपरेटर्स का एक स्पष्ट निर्माण प्रदान किया गया है, जो यह दर्शाता है कि ये प्रभावी नॉन-हर्मिटीअन हैमिल्टोनियन्स मार्कोवियन ओपन क्वांटम डायनेमिक्स के "नो-क्लिक" लिमिट से कैसे उभर सकते हैं।

महत्व
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह मोमेंटम-स्पेस विरूपण को एक्सेपशनल-पॉइंट इंजीनियरिंग और मैनी-बॉडी नॉन-हर्मिटीअन क्वांटम सिस्टम्स के नियंत्रित डिजाइन के लिए एक एकीकृत मार्ग के रूप में स्थापित करता है। मोमेंटम-स्पेस विरूपणों को रियल-स्पेस इंटरैक्शन और मैनी-बॉडी स्पेक्ट्रल प्रॉपर्टीज से जोड़ने वाला एक सामान्य फ्रेमवर्क प्रदान करके, यह कार्य निम्नलिखित के लिए एक व्यवस्थित प्रोटोकॉल प्रदान करता है:

ट्यूनेबल EP संरचनाओं वाले नॉन-हर्मिटीअन मैटर को डिजाइन करना।
मिश्रित क्वांटम अवस्थाओं के नियत (deterministic) प्यूरिफिकेशन के लिए EPs का उपयोग करना।
स्पष्ट प्रयोगात्मक मार्गों (लिंडब्लाड एम्बेडिंग के माध्यम से) के साथ विविध श्रेणियों के नॉन-हर्मिटीअन हैमिल्टोनियन्स (शॉर्ट/लॉन्ग-रेंज, रेसिप्रोकल/नॉन-रेसिप्रोकल) को जेनरेट करना।

लेखक इन परिणामों को अमूर्त नॉन-हर्मिटीअन स्पेक्ट्रल थ्योरी और व्यावहारिक मैनी-बॉडी फिजिक्स के बीच एक सेतु के रूप में प्रस्तुत करते हैं, जो सहसंबद्ध (correlated) नॉन-हर्मिटीअन फेजेस, डिसिपेटिव कंट्रोल और क्वांटम इंफॉर्मेशन प्रोसेसिंग के क्षेत्र में आगे के अनुसंधान को प्रेरित कर सकता है।

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