The crossmetric tensor and the geometrical meaning of the imaginary numbers

घूमती हुई चीजों की गुप्त भाषा

कल्पना कीजिए कि आप वर्णन करने की कोशिश कर रहे हैं कि एक लट्टू कैसे घूमता है, या एक क्रिस्टल सूक्ष्मदर्शी (माइक्रोस्कोप) में कैसे मुड़ता और घूमता है। सदियों से, वैज्ञानिकों ने इसे करने के लिए "क्वाटरनियन" (quaternions) नामक एक विशेष प्रकार के गणित का उपयोग किया है। क्वाटरनियन को उन संख्याओं के रूप में न सोचें जिनसे आप गिनती करते हैं, बल्कि उन्हें घुमाव (रोटेशन) के लिए एक गुप्त कोड के रूप में समझें। 1800 के दशक में, विलियम रोवन हैमिल्टन नामक एक गणितज्ञ ने इन कोडों को एक वास्तविक संख्या और तीन "काल्पनिक" प्रतीकों: i, j, और k का उपयोग करके लिखने का एक तरीका खोजा था।

अब, यहाँ वह पेचीदा हिस्सा है जिसने लोगों को लंबे समय तक भ्रमित किया है: ये काल्पनिक प्रतीक वास्तव में क्या हैं? क्या वे केवल अजीब संख्याएँ हैं? क्या वे 90-डिग्री के मोड़ का प्रतिनिधित्व करते हैं? लंबे समय तक, उत्तर थोड़ा अस्पष्ट था, और कई वैज्ञानिकों ने बस इस गणित का उपयोग किया क्योंकि यह काम करता था, बिना यह जाने कि इन प्रतीकों का वास्तविक दुनिया में क्या अर्थ है। यह कार चलाने जैसा है क्योंकि इंजन काम करता है, लेकिन यह नहीं पता कि पिस्टन कैसे चलते हैं। यह शोध पत्र उस रहस्य की गहराई में जाता है, विशेष रूप से यह देखता है कि ये घूमने वाले कोड न केवल पूर्ण, वर्गाकार बक्सों (जैसे कि एक मानक 3D ग्रिड) में, बल्कि क्रिस्टल में पाए जाने वाले अजीब, खिंचे हुए आकारों में कैसे काम करते हैं। लेखक इन भ्रमित करने वाले "काल्पनिक नंबरों" को ऐसी चीज़ से बदलना चाहता है जिसे आप वास्तव में देख और छू सकें: दो सपाट, तैरते हुए दर्पणों के जोड़े।

शोध पत्र का बड़ा विचार: जादुई संख्याओं के बजाय दर्पण

इस अध्ययन में, लेखक सिरिल केयरोन (Cyril Cayron), पुराने क्वाटरनियन गणित को एक बिल्कुल नया, दृश्य रूप (विजुअल मेकओवर) देते हैं। वे प्रस्ताव देते हैं कि हमें काल्पनिक प्रतीकों i, j, और k को रहस्यमय संख्याओं के रूप में सोचना बंद कर देना चाहिए, और इसके बजाय उन्हें दर्पणों के उन्मुख जोड़ों (oriented pairs) के रूप में सोचना चाहिए।

कल्पल्पिए कि आपके पास अंतरिक्ष में तैरते हुए दो सपाट दर्पण हैं। वे केवल वहाँ बैठे नहीं हैं; वे "उन्मुख" (oriented) हैं, जिसका अर्थ है कि उनका एक सामने का हिस्सा और एक पिछला हिस्सा है, जैसे कागज का एक हिस्सा जिसमें सामने और पीछे दोनों तरफ होते हैं। यदि आप इन दो दर्पणों को इस तरह रखते हैं कि वे एक विशिष्ट कोण पर एक-दूसरे को काटते (intersect) हैं, तो वे एक घुमाव (rotation) को परिभाषित करते हैं। यदि दर्पण एक-दूसरे के लंबवत (90-डिग्री के कोण पर) हैं, तो वे एक "हाफ-टर्न" या 180-डिग्री के स्पिन का प्रतिनिधित्व करते हैं।

शोध पत्र सुझाव देता है कि क्वाटरनियन का "काल्पनिक" भाग कोई संख्या नहीं है; यह स्वयं दर्पणों का जोड़ा है।

• प्रतीक i एक संख्या नहीं है; यह दर्पणों का एक विशिष्ट जोड़ा है।
• प्रतीक j दूसरा जोड़ा है।
• प्रतीक k तीसरा जोड़ा है।

जब आप दो क्वाटरनियन को "गुणा" करते हैं (जो दो घुमावों को जोड़ने का तरीका है), तो आप संख्याओं के साथ जटिल गणित नहीं कर रहे होते हैं। आप "दर्पणों को जोड़ने" का खेल खेल रहे होते हैं। यदि पहले जोड़े का दूसरा दर्पण दूसरे जोड़े के पहले दर्पण से मेल खाता है, तो आप उन्हें आपस में जोड़ सकते हैं। परिणाम दर्पणों का एक नया जोड़ा होता है: पहले जोड़े का पहला दर्पण और दूसरे जोड़े का अंतिम दर्पण। लेखक इसे "हेड-टेल" (सिर-पूंछ) नियम कहते हैं, ठीक वैसे ही जैसे आप ट्रेन के डिब्बों को जोड़ सकते हैं या जंजीर में तीरों को जोड़ सकते हैं।

"क्रॉसमेट्रिक टेंसर": अजीब आकारों के लिए एक नया नियमकोश

यह शोध पत्र कुछ अधिक विशिष्ट कार्य करता है। अधिकांश घूमती चीजों का गणित यह मानकर चलता है कि सब कुछ एक पूर्ण घन (जैसे कि एक मानक वीडियो गेम की दुनिया) है। लेकिन वास्तविक दुनिया में क्रिस्टल अक्सर खिंचे हुए, दबे हुए या झुके हुए होते हैं। उनमें समकोण (right angles) नहीं होते।

लेखक "क्रॉसमेट्रिक टेंसर" (crossmetric tensor) नामक एक नया उपकरण पेश करते हैं। इसे एक सार्वभौमिक नियमकोश या अनुवादक के रूप में समझें।

• पुराना नियमकोश (हैमिल्टन का मूल गणित) केवल पूर्ण घन के लिए काम करता था।
• यह नया "क्रॉसमेट्रिक टेंसर" प्रतीकों का एक 4x4 ग्रिड है जो किसी भी आकार के लिए काम करता है, चाहे वह एक पूर्ण घन हो, एक खिंचा हुआ बॉक्स हो, या एक अजीब क्रिस्टल हो।

यह नया ग्रिड s (स्केलर भाग के लिए) और a, b, c (जो क्रिस्टल के विशिष्ट अक्षों का प्रतिनिधित्व करते हैं) जैसे प्रतीकों का उपयोग करता है। शोध पत्र दिखाता है कि आप इस ग्रिड का उपयोग करके इन अजीब आकारों में घुमाव कैसे काम करते हैं, इसकी गणना कर सकते हैं, ठीक वैसे ही जैसे आप संख्याओं को गुणा करते हैं। लेखक ने प्रकृति में पाए जाने वाले सभी छह प्रमुख क्रिस्टल परिवारों के लिए इस ग्रिड की गणना की है।

पुराने नियम क्यों "सही" थे (लेकिन एक अलग कारण से)

इस शोध पत्र का सबसे मजेदार हिस्सा है यह समझाना कि हैमिल्टन के प्रसिद्ध नियम (जैसे i² = -1) क्यों काम करते हैं।

• पुरानी उलझन: लोग सोचते थे कि i एक 90-डिग्री का मोड़ है, इसलिए इसे दो बार करने पर (i²) 180 डिग्री होगा, जो सब कुछ उल्टा करने (यानी -1) के समान है।
• शोध पत्र का सुधार: लेखक का तर्क है कि i वास्तव में 90-डिग्री के कोण पर दर्पणों का एक जोड़ा है। जब आप एक दर्पण के जोड़े को खुद के साथ मिलाते हैं (हेड-टेल नियम का उपयोग करके), तो बीच के दर्पण रद्द हो जाते हैं, जिससे दर्पणों का एक ऐसा जोड़ा बचता है जो वास्तव में एक ही दर्पण है जो पलट गया है। यह एक पूर्ण 360-डिग्री स्पिन का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे क्वाटरनियन की दुनिया में -1 (एक रोटेशन का "डबल कवर") माना जाता है।

शोध पत्र यह भी बताता है कि क्यूब्स (घनों) के बारे में एक दिलचस्प रहस्य है। एक पूर्ण घन में, "तत्वों" (elementary) वाले क्वाटरनियन (जो अक्षों पर आधारित हैं) और "पूरक" (complementary) क्वाटरनियन (जो चेहरों पर आधारित हैं) बिल्कुल एक ही चीज़ निकलते हैं। यही कारण है कि हमें क्यूब्स के लिए केवल तीन प्रतीकों (i, j, k) की आवश्यकता होती है। लेकिन एक अजीब, खिंचे हुए क्रिस्टल में, ये दो प्रकार के क्वाटरनियन अलग होते हैं। घुमावों को पूरी तरह से वर्णित करने के लिए आपको छह प्रतीकों की आवश्यकता होगी। यह तथ्य कि क्यूब्स इतने सममित (symmetrical) हैं, इसने गणित को वास्तव में जितना सरल है उससे कहीं अधिक सरल बना दिया।

निष्कर्ष

यह शोध पत्र केवल यह नहीं कहता कि "यहाँ एक नया फॉर्मूला है।" यह गणित को देखने का एक नया तरीका प्रदान करता है। यह सुझाव देता है कि हैमिल्टन द्वारा आविष्कार किए गए "काल्पनिक नंबर" वास्तव में तैरते हुए उन्मुख विमानों (oriented planes) के जोड़े हैं।

• यह क्या सिद्ध करता है: लेखक गणितीय रूप से दिखाते हैं कि "दर्पण जोड़े" का यह विचार क्रिस्टल कैसे घूमते हैं, इसके मौजूदा नियमों के साथ पूरी तरह से मेल खाता है। उन्होंने इन नए ग्रिडों की गणना के लिए कंप्यूटर सॉफ्टवेयर (मैथमेटिका) का भी उपयोग किया और पुष्टि की कि वे काम करते हैं।
• यह क्या बदलता है: यह उन प्रतीकों के अर्थ को बदल देता है। अमूर्त, भ्रमित करने वाली संख्याओं के बजाय, वे ज्यामितीय वस्तुएं हैं जिन्हें आप विज़ुअलाइज़ कर सकते हैं।
• "अहा!" क्षण: शोध पत्र सुझाव देता है कि काल्पनिक संख्याओं के इर्द-गिर्द भ्रम 2D विचारों (जैसे कि एक सपाट कागज पर 90-डिग्री का मोड़) को 3D स्थान पर थोपने से आता है। 3D में, "काल्पनिक" भाग वास्तव में दो विमानों (planes) के बीच का संबंध है, न कि एक एकल संख्या।

इसलिए, अगली बार जब आप एक घूमते हुए लट्टू या क्रिस्टल को देखें, तो उसे संख्याओं के संग्रह के रूप में नहीं, बल्कि तैरते हुए दर्पणों के एक नृत्य के रूप में कल्पना करें जो आपस में जुड़ रहे हैं, सिर से पूंछ तक, प्रकृति में दिखने वाले सुंदर, जटिल घुमाव पैदा कर रहे हैं।