⚛️ high-energy theory

Information-Theoretic Black Hole Entropy I: Beyond the Area Law

यह शोध पत्र कुलबैक-लीब्लर डाइवर्जेंस (Kullback-Leibler divergence) पर आधारित एक नया सूचना-सैद्धांतिक ब्लैक होल एंट्रॉपी सूत्र प्रस्तावित करता है जो ऊष्मागतिकी के तीसरे नियम के साथ संघर्ष को हल करता है और उच्च-तापमान वाले अग्रणी पद (leading term) के रूप में बेकेनस्टीन-हॉकिंग क्षेत्र नियम (Bekenstein-Hawking area law) को पुनः प्राप्त करता है।

मूल लेखक: Alex Kehagias

प्रकाशित 2026-08-07

📖 7 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Alex Kehagias

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, ब्रह्मांडीय पुस्तकालय है। दशकों से, भौतिक विज्ञानी यह पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि एक ब्लैक होल के भीतर कितनी "सूचना" या "कहानी" संग्रहीत की जा सकती है, जो ब्रह्मांड के सबसे चरम छोर (bookends) हैं। उन्होंने पाया कि ब्लैक होल केवल खाली शून्य नहीं हैं; वे गर्म, अव्यवस्थित ऊष्मागतिक (thermodynamic) प्रणालियाँ हैं जिनमें एक तापमान और एक एंट्रॉपी (अव्यवस्था या लुप्त सूचना का एक माप) होती है। वह प्रसिद्ध नियम जिसका उन्होंने लंबे समय तक पालन किया, वह "क्षेत्र नियम" (Area Law) था, जो यह सुझाव देता था कि एक ब्लैक होल कितनी जानकारी रखता है, वह सीधे उसके सतह क्षेत्र के आकार से जुड़ी होती है। यह एक सुंदर, सरल विचार था: बड़ा छेद, अधिक जानकारी।

हालाँकि, इस सरल नियम को तब एक बाधा का सामना करना पड़ा जब वैज्ञानिकों ने बहुत ठंडे, अत्यंत विशाल ब्लैक होल को देखा। ऊष्मागतिकी का एक मौलिक नियम, जिसे तृतीय नियम (Third Law) के रूपए जाना जाता है, कहता है कि जैसे-जैसे कोई चीज़ ठंडी होती जाती है, उसकी अव्यवस्था अंततः एक निश्चित, अनुमानित संख्या पर स्थिर हो जानी चाहिए (या पूरी तरह से समाप्त हो जानी चाहिए)। लेकिन पुराने क्षेत्र नियम ने भविष्यवाणी की थी कि जैसे-जैसे एक ब्लैक होल ठंडा होता जाएगा, उसकी अव्यवस्था हमेशा बढ़ती रहेगी, जैसे कि एक ऐसी कहानी जो कभी समाप्त नहीं होती और कभी समझ में नहीं आती। एलेक्स केहागियास (Alex Keagias) का यह शोध पत्र इस विरोधाभास को संबोधित करता है। यह पूछता है: "क्या होगा यदि पुराना नियम केवल एक मोटा अनुमान है, जैसे कि एक रेखाचित्र, और वास्तविक चित्र अधिक जटिल है?" लेखक ब्लैक होल की एंट्रॉपी की गणना करने का एक नया तरीका प्रस्तावित करते हैं जो तृतीय नियम का सम्मान करता है, जिसमें सूचना सिद्धांत (information theory) के विचारों का उपयोग करके ब्लैक होल को केवल एक ब्रह्मांडीय राक्षस के रूप में नहीं, बल्कि सूचना के छोटे, बदलते हुए बिट्स (bits) के एक विशाल संग्रह के रूप में देखा गया है।

ब्रह्मांडीय त्रुटि और नया समाधान

लंबे समय तक, ब्लैक होल को समझने के लिए "क्षेत्र नियम" (Area Law) स्वर्ण मानक रहा है। इसने कहा कि यदि आप एक ब्लैक होल के द्रव्यमान को दोगुना करते हैं, तो उसकी एंट्रॉपी (उसकी छिपी हुई जानकारी) चार गुना बढ़ जाती है। यह गर्म, छोटे ब्लैक होल के लिए बहुत अच्छा काम करता था। लेकिन जब आप एक अति-विशाल, जमा देने वाले ठंडे ब्लैक होल को देखते हैं, तो गणित विफल हो जाता है। पुराना सूत्र कहता है कि एंट्रॉपी अनंत तक जाती है, जो ऊष्मागतिकी के तृतीय नियम का उल्लंघन करती है। यह एक थर्मोस्टेट की तरह है जो आपको जमने के लिए कहने पर भी गर्मी बढ़ाता रहता है; सिस्टम बस समझ में नहीं आता।

इस शोध पत्र में, लेखक सुझाव देते हैं कि क्षेत्र नियम गलत नहीं है, बल्कि अपूर्ण है। यह दूर से ली गई फोटो की तरह है; आप एक चिकनी, सरल आकृति देखते हैं। लेकिन यदि आप ज़ूम इन करते हैं, तो आपको एहसास होता है कि छवि पिक्सेल से बनी है। लेखक एक नया सूत्र प्रस्तावित करते हैं जो पुराने नियम के "ज़ूम-इन" संस्करण के रूप में कार्य करता है। यह नया सूत्र द्रव्यमान के लिए एक ब्रह्मांडीय गति सीमा पेश करता है, जिसे $M_0$ कहा जाता है। $M_0$ को हमारे ब्रह्मांड में एक ब्लैक होल का अधिकतम संभव वजन मान लें। जैसे-जैसे एक ब्लैक होल भारी और ठंडा होता जाता है, इस सीमा के करीब पहुँचता है, नया सूत्र सक्रिय हो जाता है। एंट्रॉपी के हमेशा बढ़ते रहने के बजाय, यह एक स्थिर मान पर स्तरित हो जाती है और स्थिर हो जाती है, और अंततः तृतीय नियम का पालन करती है।

पक्षपाती सिक्के की कहानी

यह समझाने के लिए कि क्यों ऐसा होता है, लेखक सिक्कों के एक विशाल ढेर वाले चतुर उपमा (analogy) का उपयोग करते हैं। कल्पना करें कि आपके पास $N$ सिक्के हैं (जहाँ $N$ ब्रह्मांड के आकार से संबंधित एक विशाल संख्या है)। एक पूरी तरह से यादृच्छिक (random), "निष्पक्ष" दुनिया में, हर सिक्के के हेड या टेल्स आने की 50/50 संभावना होती है। यह अधिकतम अराजकता या "अधिकतम एंट्रॉपी" का प्रतिनिधित्व करता है।

अब, कल्पना करें कि एक ब्लैक होल इन सिक्कों को थोड़ा पक्षपाती (bias) बनाने वाले एक विशाल चुंबक की तरह है। यह उन सभी को 'हेड्स' में बदलने के लिए मजबूर नहीं करता है, लेकिन यह 'टेल्स' की तुलना में 'हेड्स' की संभावना को थोड़ा बढ़ा देता है। ब्लैक होल जितना अधिक विशाल होगा, यह पक्षपात उतना ही मजबूत होता जाएगा। लेखक एंट्रॉपी की गणना यह गिनकर नहीं करते कि सिक्के कितनी तरह से गिर सकते हैं, बल्कि पक्षपाती अवस्था (ब्लैक होल) और पूरी तरह से यादृच्छिक अवस्था (खाली स्थान) के बीच की "दूरी" को मापकर करते हैं।

इस दूरी को कुलबैक-लीलर (Kullback-Leibler - KL) डाइवर्जेंस नामक अवधारणा का उपयोग करके मापा जाता है। रोजमर्रा की भाषा में, इसे एक "आश्चर्य मीटर" (surprise meter) के रूप में सोचें। यदि आप उम्मीद करते हैं कि एक सिक्का निष्पक्ष (50/50) है लेकिन वास्तव में वह पक्षपाती है, तो आप हर बार परिणाम देखते समय "आश्चर्यचकित" होते हैं। सिक्का जितना अधिक पक्षपाती होगा, परिणाम देखने पर आपको उतनी ही अधिक जानकारी प्राप्त होगी, क्योंकि यह कम यादृच्छिक है। शोध पत्र दिखाता है कि एक ब्लैक होल की एंट्रॉपी ठीक यही "आश्चर्य" या "सूचना की कमी" (information deficit) है। यह हमें बताता है कि ब्लैक होल की अवस्था पूरी तरह से यादृच्छिक, खाली ब्रह्मांड से कितनी भिन्न है।

"पिक्सेल" सुधार

इस खोज का सबसे रोमांचक हिस्सा यह है कि यह नए सूत्र को पुराने सूत्र से कैसे जोड़ता है। जब ब्लैक होल छोटा और गर्म होता है (अर्थात इसका द्रव्यमान ब्रह्मांडीय सीमा $M_0$ की तुलना में बहुत कम होता है), तो पक्षपात बहुत कम होता है। इस स्थिति में, नया सूत्र पूरी तरह से पुराने क्षेत्र नियम में बदल जाता है। नए सिद्धांत के "पिक्सेल" पुराने "क्षेत्र नियम" के चिकने रेखाचित्र के साथ मिल जाते हैं।

हालाँकि, जैसे-जैसे ब्लैक होल विशाल और ठंडा होता जाता है, "पिक्सेल" दिखाई देने लगते हैं। नया सूत्र पुराने कानून में सूक्ष्म सुधारों की एक श्रृंखला जोड़ता है। ये सुधार एक अनुबंध के बारीक अक्षरों (fine print) की तरह हैं जिन्हें आप केवल तभी देखते हैं जब आप पूरी चीज़ को ध्यान से पढ़ते हैं। वे "परिमित-सूचना सुधारों" (finite-information corrections) का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिसका अर्थ है कि वे इस तथ्य को ध्यान में रखते हैं कि ब्रह्मांड के पास ब्लैक होल का वर्णन करने के लिए सूचना के सीमित बिट्स उपलब्ध हैं।

शोध पत्र यह भी सुझाव देता है कि प्लैंक मास (द्रव्यमान की एक सूक्ष्म इकाई) केवल एक यादृच्छिक संख्या नहीं है; यह सीमा निर्धारित करता है कि हम इन सूक्ष्म बिट्स के आधार पर ब्लैक होल के द्रव्यमान को कितनी सटीकता से माप सकते हैं। यदि आप दो ब्लैक होल के बीच अंतर करने की कोशिश करते हैं जो इस सूक्ष्म मात्रा से कम के अंतर पर हैं, तो अंतर्निहित बिट्स का "शोर" उन्हें एक जैसा बना देता है। यह तूफान के बीच फुसफुसाहट सुनने की कोशिश करने जैसा है; संकेत शोर (static) में खो जाता है।

यह हमारे लिए क्या मायने रखता है

यह शोध पत्र यह दावा नहीं करता है कि इसने ब्लैक होल के रहस्य को पूरी तरह से सुलझा लिया है। इसके बजाय, यह एक नया, अधिक सुसंगत ढांचा प्रदान करता है जो तृतीय नियम के साथ एक विशिष्ट समस्या को ठीक करता है। यह सुझाव देता है कि प्रसिद्ध क्षेत्र नियम केवल एक लंबी कहानी का पहला अध्याय है। पूरी कहानी में एक सार्वभौमिक द्रव्यमान सीमा और पक्षपाती सिक्कों की तरह व्यवहार करने वाले सूक्ष्म बिट्स का एक संग्रह शामिल है।

ब्लैक होल एंट्रॉपी को केवल छिपी हुई अवस्थाओं की गिनती के बजाय एक "सूचना की कमी" के रूप में देखकर, लेखक एक नया दृष्टिकोण प्रदान करते हैं। यह संकेत देता है कि ब्रह्मांड की सूचना की अधिकतम क्षमता है, और ब्लैक होल उस सीमा के अंतिम परीक्षण हैं। हालाँकि गणित जटिल है, लेकिन मूल विचार मनोरंजक और गहरा है: ब्रह्मांड एक विशाल, ब्रह्मांडीय संयोग के खेल पर बना हो सकता है, और ब्लैक होल वे स्थान हैं जहाँ उस खेल के नियम थोड़े दिलचस्प हो जाते हैं। लेखक का सुझाव है कि भविष्य का कार्य इस तर्क को घूमते हुए (spinning) या आवेशित (charged) ब्लैक होल पर लागू कर सकता है, जो संभावित रूप से ब्रह्मांडीय पुस्तकालय की और भी गहरी परतें प्रकट कर सकता है।

तकनीकी सारांश: सूचना-सैद्धांतिक ब्लैक होल एंट्रॉपी I: एरिया लॉ से परे

समस्या विवरण
यह शोध पत्र ब्लैक होल ऊष्मागतिकी (thermodynamics) में एक मौलिक तनाव को संबोधित करता है: जबकि बेकेन्स्टीन-हॉकिंग एरिया लॉ ( $S_{BH} \propto M^2$ ) ऊष्मागतिकी के प्रथम और द्वितीय नियमों के अनुरूप है, यह तीसरे नियम (नर्न्स्ट सूत्रीकरण) का उल्लंघन करता हुआ प्रतीत होता है। नर्न्स्ट प्रमेय की आवश्यकता है कि जब $T \to 0$ हो, तो एंट्रॉपी $S$ शून्य या किसी सार्वभौमिक स्थिरांक की ओर अग्रसर हो जो स्थूल मापदंडों (macroscopic parameters) से स्वतंत्र हो। एक श्वार्ज़चाइल्ड (Schwarzschild) ब्लैक होल के लिए, $T \to 0$ का अर्थ है $M \to \infty$ , जहाँ मानक एंट्रॉपी शून्य होने के बजाय अपसारी (diverge) हो जाती है। इसके अतिरिक्त, चरम (extremal) ब्लैक होल ( $T=0$ ) को कोणीय संवेग या आवेश पर निर्भर एक परिमित एंट्रॉपी प्राप्त होती है, जो एक सार्वभौमिक स्थिरांक तक पहुँचने में विफल रहती है। लेखक का तर्क है कि यह उल्लंघन गुरुत्वाकर्षण की कोई मौलिक विशेषता नहीं है, बल्कि अर्ध-शास्त्रीय सन्निकटन (semiclassical approximation) की एक सीमा है, जो ब्लैक-बॉडी रेडिएशन के उच्च-ऊर्जा अनंत रूप (asymptotic form) के समान है, जहाँ एंट्रॉपी ( $S \sim \ln E$ ) नर्न्स्ट नियम का उल्लंघन करती है जब तक कि पूर्ण क्वांटम स्पेक्ट्रम पर विचार न किया जाए।

कार्यप्रणाली
लेखक ब्लैक-बॉडी रेडिएशन के सादृश्य से निर्देशित एक पुनर्निर्माण रणनीति (reconstruction strategy) का उपयोग करते हैं:

ऊष्मागतिक पुनर्निर्माण (Thermodynamic Reconstruction): किसी विशिष्ट क्वांटम ग्रेविटी सिद्धांत से एंट्रॉपी व्युत्पन्न करने के बजाय, यह शोध पत्र एंट्रॉपी फलन पर एक सीमा शर्त (boundary condition) के रूप में नर्न्स्ट तीसरे नियम को लागू करता है।
- ब्लैक-बॉडी रेडिएशन के लिए, एक न्यूनतम ऊर्जा $E_0$ पेश की जाती है जहाँ $T(E_0)=0$ और $S(E_0)=0$ होता है।
- ब्लैक होल के लिए, लेखक एक अधिकतम द्रव्यमान पैमाने $M_0$ (जिसे ब्रह्मांड के पूर्ण पतन से बने ब्लैक होल के द्रव्यमान या कॉस्मोलॉजिकल कांस्टेंट से संबंधित माना जा सकता है) का प्रस्ताव करते हैं जहाँ $T(M_0)=0$ और $S(M_0)$ परिमित है।
विभेदक समीकरण दृष्टिकोण (Differential Equation Approach): लेखक द्रव्यमान के सापेक्ष एंट्रॉपी के दूसरे व्युत्पन्न ( $d^2S/dM^2$ ) का विश्लेषण करके एंट्रॉपी का निर्माण करते हैं। तीसरे नियम को संतुष्ट करने के लिए (अर्थात $T=0$ पर परिमित एंट्रॉपी) और उच्च तापमान ( $M \ll M_0$ ) पर बेकेन्स्टीन-हॉकिंग सीमा को पुनः प्राप्त करने के लिए, दूसरे व्युत्पन्न को एक विशिष्ट पोल संरचना (pole structure) के साथ मॉडल किया गया है:
$\frac{d^2 S_{bh}}{dM^2} = \frac{b_1}{(M_0 - M)(M + m)}$
छोटे द्रव्यमान विस्तार (small-mass expansion) को बेकेन्स्टीन-हॉकिंग परिणाम ( $S \approx 4\pi M^2$ ) के साथ मिलान करके, स्थिरांकों को निर्धारित किया जाता है, जिससे एक क्लोज्ड-फॉर्म एंट्रॉपी फलन प्राप्त होता है।
सूचना-सैद्धांतिक मानचित्रण (Information-Theoretic Mapping): प्राप्त एंट्रॉपी सूत्र को सांख्यिकीय यांत्रिकी मूल की पहचान करने के लिए बीजगणितीय रूप से पुनर्गठित किया गया है। लेखक ऊष्मागतिक चरों को द्रव्यमान-निर्भर बायस (bias) $p$ वाले $N$ स्वतंत्र बरनौली परीक्षणों (Bernoulli trials/bits) की एक प्रणाली में मैप करते हैं।
ज्यामितीय विश्लेषण (Geometric Analysis): एंट्रॉपी को एक कुलबैक-लीलर (Kullback-Leibler - KL) डाइवर्जेंस के रूप में व्यक्त किया गया है, जिससे ब्लैक होल एन्सेम्बल के स्थान पर फिशर इंफॉर्मेशन मेट्रिक (Fisher information metric) की गणना संभव होती है।

मुख्य योगदान और परिणाम

संशोधित एंट्रॉपी सूत्र: शोध पत्र श्वार्ज़चाइल्ड ब्लैक होल के लिए एक नया एंट्रॉपी सूत्र व्युत्पन्न करता है:
$S_{bh} = 4\pi M_0^2 \left[ \left(1 - \frac{M}{M_0}\right) \ln \left(1 - \frac{M}{M_0}\right) + \left(1 + \frac{M}{M_0}\right) \ln \left(1 + \frac{M}{M_0}\right) \right]$
यह सूत्र नर्न्स्ट तीसरे नियम का पालन करता है: जैसे-जैसे $T \to 0$ ( $M \to M_0$ ) होता है, एंट्रॉपी एक परिमित सार्वभौमिक स्थिरांक $S_{max} = 8\pi M_0^2 \ln 2$ की ओर अग्रसर होती है। $M \ll M_0$ की सीमा में, यह मानक बेकेन्स्टीन-हॉकिंग एरिया लॉ में बदल जाता है।
सूचना-सैद्धांतिक व्याख्या: एंट्रॉपी को दो वितरणों के बीच कुलबैक-लीलर डाइवर्जेंस के रूप में पहचाना गया है:
1. एक बायस्ड बरनौली वितरण $p = \frac{1}{2}(1 \pm M/M_0)$ जो ब्लैक होल की अवस्था का प्रतिनिधित्व करता है।
2. एक यूनिफॉर्म (अनबायस्ड) वितरण $q = 1/2$ जो संदर्भ "खाली" या मैक्सिमली मिक्स्ड एन्सेम्बल का प्रतिनिधित्व करता है।
  गणितीय रूप से, $S_{bh} = D_{KL}^{(N)}(p \parallel q)$ , जहाँ $N = M_0^2/M_P^2$ सूक्ष्म बिट्स की संख्या है।
सूक्ष्म व्याख्या (एंट्रॉपी घाटा/Entropy Deficit): लेखक $S_{bh}$ को आंतरिक सूक्ष्म अवस्थाओं (microstates) की गिनती के रूप में नहीं, बल्कि एक एंट्रॉपी घाटे (या नेगेंट्रॉपी) के रूप में व्याख्यायित करते हैं।
- $W_{tot} = 2^N$ $N$ अनबायस्ड बिट्स के लिए कुल सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या है।
- $W_{vis} = 2^{N H_2(p)}$ द्रव्यमान-निर्भर बायस $p$ के अनुकूल "दृश्य" (visible) सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या है।
- $S_{bh} = \ln(W_{tot}/W_{vis})$ । यह मैक्सिमली रैंडम संदर्भ अवस्था से ब्लैक होल अवस्था को अलग करने के लिए प्राप्त की गई सूचना का प्रतिनिधित्व करता है।
$1/N$ विस्तार: एंट्रॉपी $1/N$ की घातों में एक विस्तार स्वीकार करती है:
$S_{bh} = \frac{A}{4} \left( 1 + \frac{A}{12N} + \frac{A^2}{30N^2} + \dots \right)$
प्रमुख पद (leading term) शास्त्रीय एरिया लॉ को पुनः प्राप्त करता है, जबकि उप-प्रमुख पद (subleading terms) परिमित-सूचना सुधारों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
ऊष्मागतिक स्थिरता और ज्यामिति:
- दिखाया गया है कि ऊष्मा धारिता (heat capacity) $C_V$ , $T \to 0$ होने पर शून्य हो जाती है, जिससे तीसरा नियम संतुष्ट होता है, जबकि मानक अर्ध-शास्त्रीय ऊष्मा धारिता अपसारी (diverge) हो जाती है।
- KL डाइवर्जेंस से प्राप्त फिशर इंफॉर्मेशन मेट्रिक, स्थूल अवस्थाओं (macrostates) के स्थान पर एक धनात्मक-निश्चित (positive-definite) मेट्रिक प्रदान करता है, जो मानक श्वार्ज़चाइल्ड ब्लैक होल की ऋणात्मक ऊष्मा धारिता के विपरीत है। इन्फ्रारेड सीमा ( $M \ll M_0$ ) में, यह मेट्रिक बेकेन्स्टीन-हॉकिंग एंट्रॉपी के हेसियन (Hessian) के साथ मेल खाता है।
- क्रैमर-राओ बाउंड (Cramér-Rao bound) एकल सूक्ष्म विन्यास से ब्लैक होल द्रव्यमान को मापने में एक मौलिक सांख्यिकीय अनिश्चितता का संकेत देता है: $\Delta M \gtrsim M_P$ ।

महत्व और दावे
शोध पत्र यह दावा करता है कि वह बेकेन्स्टीन-हॉकिंग एरिया लॉ को एक अधिक पूर्ण, सूचना-सैद्धांतिक ढांचे में अग्रणी-क्रम पद (leading-order term) के रूप में मानकर ब्लैक होल ऊष्मागतिकी और तीसरे नियम के बीच स्पष्ट संघर्ष को हल करता है। इस कार्य का महत्व निम्नलिखित में निहित है:

ऊष्मागतिकी का सामंजस्य: यह प्रदर्शित करना कि एक सुसंगत ब्लैक होल एंट्रॉपी का निर्माण किया जा सकता है जो सभी तीन ऊष्मागतिक नियमों का पालन करती है, बशर्ते कि एक सार्वभौमिक द्रव्यमान पैमाने $M_0$ मौजूद हो, इसके लिए किसी विशिष्ट क्वांटम ग्रेविटी सिद्धांत की आवश्यकता नहीं है।
वैचारिक परिवर्तन: यह प्रस्तावित करना कि ब्लैक होल एंट्रॉपी मौलिक रूप से एक मैक्सिमली मिक्स्ड संदर्भ एन्सेम्बल के सापेक्ष एक सूचना घाटा (information deficit) है, न कि आंतरिक स्वतंत्रता की कोटियों (degrees of freedom) की सीधी गिनती।
व्यवस्थित सुधार: यह एक प्राकृतिक $1/N$ विस्तार प्रदान करता है जो शास्त्रीय एरिया लॉ से विचलन को व्यवस्थित करता है, जिससे यह सुझाव मिलता है कि एरिया लॉ एक परिमित-सूचना प्रणाली की ऊष्मागतिक सीमा (thermodynamic limit) है।

लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि उनका मॉडल श्वार्ज़चाइल्ड एंट्रॉपी का एक "एक-पैरामीटर विरूपण" (one-parameter deformation) है, और $S_{bh}$ को KL डाइवर्जेंस के रूप में व्याख्यायित करना "एक सरल सूक्ष्म व्याख्या" प्रदान करता है जो बायस्ड बरनौली परीक्षणों पर आधारित है, हालांकि $N$ बिट्स और $M_0$ के पैमाने का भौतिक मूल एक पूर्ण क्वांटम ग्रेविटी सिद्धांत द्वारा स्पष्ट किया जाना शेष है।

ब्रह्मांडीय त्रुटि और नया समाधान

पक्षपाती सिक्के की कहानी

"पिक्सेल" सुधार

यह हमारे लिए क्या मायने रखता है

इसी तरह के और पेपर