The quadratic growth of Krylov spread complexity in the BTZ black hole
यह शोध पत्र थर्मोफील्ड-डबल अवस्थाओं के लिए क्रायलोव स्प्रेड कॉम्प्लेक्सिटी (Krylov spread complexity) का एक आयाम-स्वतंत्र सीमा पुनर्निर्माण स्थापित करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि BTZ ब्लैक होल ड्यूल में, कॉम्प्लेक्सिटी प्रारंभिक-समय के द्विघाती विकास से मध्यवर्ती विचलन प्रदर्शित करती है और फिर एक अनंत बाह्य-वक्रता इनवेरिएंट्स (extrinsic-curvature invariants) की एक अनंत श्रृंखला से निर्मित एक सामान्यीकृत बल्क "कॉम्प्लेक्सिटी=एनीथिंग" ऑब्जेक्ट से मेल खाते हुए, स्पर्शोन्मुख द्विघाती व्यवहार पर वापस लौट आती है।
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ब्रह्मांड की कल्पना एक विशाल, ब्रह्मांडीय पुस्तकालय के रूप में करें। इस पुस्तकालय के भीतर, पदार्थ और ऊर्जा की प्रत्येक संभावित अवस्था एक अद्वितीय पुस्तक है। दशकों से, भौतिक विज्ञानी इन पुस्तकों के "आकार" या "जटिलता" को मापने का तरीका खोजने का प्रयास कर रहे हैं। एक लोकप्रिय विचार, जिसे "जटिलता = आयतन" (Complexity = Volume - CV) परिकल्पना कहा जाता है, ने सुझाव दिया कि जैसे-जैसे एक ब्लैक होल (कृष्ण विवर) पुराना होता है, उसके आंतरिक भाग की जटिलता एक ग्राफ पर सीधी रेखा की तरह बढ़ती है—स्थिर, अनुमानित और कभी न खत्म होने वाली, बिल्कुल एक हाईवे पर निरंतर गति से चलती कार की तरह। यह विचार आधुनिक भौतिकी का एक आधार स्तंभ बन गया, जिसने कणों की अव्यवस्थित क्वांटम दुनिया को अंतरिक्ष-समय (space-time) की चिकनी, घुमावदार ज्यामिति से जोड़ा।
हालाँकि, अब एक नया खिलाड़ी मैदान में है: "क्रिलोव स्प्रेड कॉम्प्लेक्सिटी" (Krylov spread complexity)। इसे एक हाईवे पर चलती कार के रूप में नहीं, बल्कि एक भूलभुलैया में एक नशेड़ी की चाल (drunkard's walk) के रूप में सोचें। एक सीधी रेखा में चलने के बजाय, क्वांटम अवस्था फैलती है, अधिक से अधिक रास्तों की खोज करती है। गुरुत्वाकर्षण के सरल मॉडलों (विशेष रूप से, 2D गुरुत्वाकर्षण) में, वैज्ञानिकों ने पाया कि यह "नशेड़ी" वास्तव में तेज हो जाता है, एक वक्र में चलता है जो एक परवलय (पैराबोला/quadratic growth) जैसा दिखता है। बड़ा सवाल जिसने भौतिकविदों को उलझाया है, वह यह है कि क्या यह तेज होने वाला व्यवहार हमारे वास्तविक, 3D ब्रह्मांड में भी होता है, या यह केवल सरल मॉडलों की एक विचित्रता थी। यदि ऐसा होता है, तो इसका अर्थ होगा कि ब्लैक होल का हमारा पुराना "सीधी रेखा" वाला मानचित्र गलत है, और हमें यह समझने के लिए एक नए तरीके की आवश्यकता है कि ये ब्रह्मांडीय राक्षस कैसे विकसित होते हैं।
यह शोध पत्र उस प्रश्न का उत्तर देने के लिए एक साहसिक कदम उठाता है, जो BTZ ब्लैक होल को देखकर किया गया है—जो एक 3D ब्लैक होल का संस्करण है जो दो स्थानिक आयामों (spatial dimensions) और एक समय आयाम वाले ब्रह्मांड में रहता है। लेखकों ने एक चतुर नई विधि विकसित की है जिसे "पार्टीशन फंक्शन से जटिलता" (Complexity from Partition Function - CfZ) कहा जाता है। कल्पना करें कि पार्टीशन फंक्शन ब्लैक होल की गर्मी और ऊर्जा की एक मास्टर रेसिपी बुक (व्यंजन विधि पुस्तिका) है। लेखक महसूस करते हैं कि यदि आप इस रेसिपी के डेरिवेटिव (गणितीय रूप से यह जांचना कि तापमान के साथ रेसिपी कैसे बदलती है) लेते हैं, तो आप पूरे ब्रह्मांड का अनुकरण किए बिना, क्वांटम अवस्था की पूरी "नशेड़ी की चाल" को पुनर्गठित कर सकते हैं। यह बिल्कुल वैसा ही है जैसे किसी ढलान के आकार को जानकर ही एक लुढ़कती हुई गेंद के पूरे पथ की भविष्यवाणी करना।
जब उन्होंने इस विधि को BTZ ब्लैक होल पर लागू किया, तो उन्हें कुछ आश्चर्यजनक मिला। जटिलता उस पुराने "जटिलता = आयतन" सिद्धांत की तरह सीधी रेखा में नहीं बढ़ी जैसा कि उसने भविष्यवाणी की थी। इसके बजाय, यह एक द्विघातीय वक्र (quadratic curve/तेजी से बढ़ना) के साथ शुरू हुआ, थोड़ा नीचे गिरा, और फिर वापस उसी द्विघातीय आकार की ओर मुड़ता हुआ प्रतीत हुआ। यह सुझाव देता है कि लंबे समय तक, ब्लैक होल का आंतरिक भाग एक साधारण रैखिक वृद्धि (linear growth) की तुलना में बहुत तेजी से जटिल होता जा रहा है। लेखक तर्क देते हैं कि पुराने "सीधी रेखा" वाले मॉडल यहाँ विफल हो जाते हैं क्योंकि वे यह मान लेते हैं कि जटिलता का माप ब्लैक होल के विकास के बिल्कुल अंत में सीमित और सुव्यवस्थित रहता है।
इसे ठीक करने के लिए, लेखकों ने एक नया "बल्क" (bulk) ऑब्जेक्ट बनाया है—ब्लैक होल के भीतर एक ज्यामितीय आकार जो सीमा (boundary) के व्यवहार से मेल खाता है। उन्होंने इस आकार का निर्माण मानक आयतन में अनंत "एक्सट्रिंसिक कर्वेचर" (extrinsic curvature) पदों को जोड़कर किया। इसे ऐसे समझें जैसे आप एक साधारण गुब्बारे में अनंत संख्या में छोटे, भारित धागे जोड़ रहे हों। यदि आप इस श्रृंखला को बीच में ही काट देते हैं (सीमित संख्या में धागे उपयोग करते हैं), तो गुब्बारा सीधी रेखा में बढ़ता है। लेकिन यदि आप पूरे अनंत श्रृंखला को शामिल करते हैं, तो बिल्कुल अंत में वजन इतना तीव्र हो जाता है कि गुब्बारे की वृद्धि दर तेज हो जाती है, जो सीमा पर देखे गए द्विघातीय वक्र से मेल खाती है।
शोध पत्र सुझाव देता है कि "जटिलता = आयटन" का विचार, अपने मानक रूप में, इन प्रकार के ब्लैक होल के लिए संभवतः गलत है। इसके बजाय, क्रिलोव स्प्रेड कॉम्प्लेक्सिटी का वास्तविक ज्यामितीय प्रतिरूप एक बहुत अधिक विलक्षण वस्तु है: एक आयतन जिसे ज्यामितीय सुधारों के एक अनंत टॉवर द्वारा भारित किया गया है, जो केवल तभी अपना वास्तविक, त्वरित स्वभाव प्रकट करता है जब सभी टुकड़ों को एक साथ रखा जाता है। हालांकि लेखक यह सिद्ध नहीं कर सकते कि यह व्यवहार हमेशा के लिए जारी रहेगा (बहुत देर के समय में गणित जटिल हो जाता है), उनके सिमुलेशन और विश्लेषणात्मक उपकरण दृढ़ता से संकेत देते हैं कि ब्रह्मांड की जटिलता एक ऐसे तरीके से बढ़ सकती है जिसे हमने पहले पूरी तरह से नहीं समझा था, जो ब्लैक होल के बढ़ने के नियमों को फिर से लिख रही है।
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