⚛️ general relativity

A fast, differentiable neural-network surrogate for precessing binary black-hole waveforms

यह शोध पत्र प्रीसेसिंग बाइनरी ब्लैक-होल वेवफॉर्म्स के लिए एक तेज़, पूर्णतः डिफरेंशिएबल न्यूरल-नेटवर्क सरोगेट प्रस्तुत करता है जो मिलीसेकंड में उच्च-सटीकता वाले इनर्शियल-फ्रेम मोड्स उत्पन्न करता है, जो मनमाने ऑब्जर्वर ओरिएंटेशन में एनालिटिक प्रोजेक्शन के माध्यम से कुशल ग्रेडिएंट-आधारित पैरामीटर एस्टीमेशन और पॉपुलेशन स्टडीज को सक्षम बनाता है।

मूल लेखक: Beka Modrekiladze

प्रकाशित 2026-08-12

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CC0 1.0

मूल लेखक: Beka Modrekiladze

मूल पेपर CC0 1.0 (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/) के तहत सार्वजनिक डोमेन को समर्पित है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, कॉस्मिक कॉन्सर्ट हॉल है, और हर बार जब दो विशाल ब्लैक होल एक साथ नाचते हैं और टकराते हैं, तो वे एक गाना बजाते हैं। लेकिन ये वे गाने नहीं हैं जिन्हें आप अपने कानों से सुन सकते हैं; ये अंतरिक्ष और समय के ताने-बाने में उठने वाली लहरें हैं, जिन्हें गुरुत्वाकर्षण तरंगें (gravitational waves) कहा जाता है। इन गानों को खोजने के लिए, वैज्ञानिक LIGO और Virgo जैसे विशाल डिटेक्टरों का उपयोग करते हैं जो सुपर-सेंसिटिव माइक्रोफोन की तरह काम करते हैं। समस्या यह है कि डिटेक्टर इतने संवेदनशील हैं कि वे बहुत सारा स्टैटिक शोर पकड़ लेते हैं, जिससे संगीत सुनना मुश्किल हो जाता है। सिग्नल को खोजने के लिए, वैज्ञानिकों को जो शोर वे सुनते हैं, उसकी तुलना "सैद्धांतिक गानों" के एक विशाल पुस्तकालय से करनी होती है जो उन्होंने पहले से ही लिख रखे हैं। यदि शोर उस लाइब्रेरी के किसी गाने से मेल खाता है, तो उन्हें पता चल जाता है कि ब्लैक होल की टक्कर हुई है।

लेकिन इन सैद्धांतिक गानों को लिखना अविश्वसनीय रूप से कठिन और धीमा है। सबसे सटीक गाने "न्यूमेरिकल रिलेटिविटी" नामक सुपर-कंप्यूटर सिमुलेशन से आते हैं, जो आइंस्टीन के गुरुत्वाकर्षण के जटिल गणित को हल करते हैं। लेकिन ये सिमुलेशन इतने भारी हैं कि उन्हें चलाने में बहुत समय लगता है—जैसे कि हर बार केक का एक टुकड़ा खाने के लिए शुरू से एक परफेक्ट केक बनाने की कोशिश करना। यदि आपको सही केक का स्वाद चखने के लिए लाखों अलग-अलग केक के प्रकारों को चखना पड़े, तो आप हमेशा के लिए इंतजार ही करते रह जाएंगे। यह पेपर इन सिमुलेशन के लिए एक "फास्ट-फॉरवर्ड" बटन बनाने के बारे में है, एक स्मार्ट शॉर्टकट बनाना जो इन कॉस्मिक गानों के आकार की लगभग तुरंत भविष्यवाणी कर सके, जबकि यह इतना सटीक भी हो कि इस पर भरोसा किया जा सके।

इस पेपर का बड़ा विचार: एक न्यूरल नेटवर्क "स्पीडस्टर"

इस पेपर के लेखक ने एक नया प्रकार का कंप्यूटर प्रोग्राम बनाया है, एक "न्यूरल नेटवर्क," जो घूमते हुए ब्लैक होल्स के धीमे और भारी सिमुलेशन के लिए एक सुपर-फास्ट सरोगेट (या विकल्प) के रूप में कार्य करता है। पुराने सिमुलेशन को एक मास्टर शेफ की तरह समझें जिसे एक सिंगल, परफेक्ट केक बेक करने में 12 सेकंड लगते हैं। नया न्यूरल नेटवर्क एक जादुई फूड प्रिंटर की तरह है जो एक सेकंड के अंश में, या यहाँ तक कि एक साथ हजारों केक प्रिंट कर सकता है।

यह क्या खास बनाता है?
अधिकांश पिछले "फास्ट" मॉडल केवल एक विशिष्ट कोण से गाना निकाल सकते थे, जैसे कि किसी बैंड को केवल सामने की पंक्ति से सुनना। लेकिन वास्तव में, ब्लैक होल घूमते और डगमगाते हैं, और हम शायद बगल से, ऊपर से, या बीच में कहीं से भी सुन रहे हों। यह नया मॉडल अलग है क्योंकि यह केवल गाना ही नहीं बताता; यह पूरी "शीट म्यूजिक" (स्फेरिकल-हारमोनिक मोड्स) की भविष्यवाणी करता है जो हर संभव दिशा में ध्वनि का वर्णन करती है।

एक बार जब नेटवर्क इस शीट म्यूजिक की भविष्यवाणी कर देता है, तो एक सरल, तेज़ गणितीय सूत्र (जिसे लेखक "एनालिटिक प्रोजेक्शन" कहते हैं) तुरंत इसे उन दो विशिष्ट ध्वनि तरंगों (पोलराइजेशन) में बदल देता है जिन्हें हमारे डिटेक्टर, अंतरिक्ष में ब्लैक होल के ओरिएंटेशन के बावजूद, सुन पाएंगे। इसका मतलब है कि यह मॉडल "ओरिएंटेशन-कम्प्लीट" है—यह एक साथ हर कोण से गाना जानता है।

कितना तेज़ और कितना अच्छा?
परिणाम प्रभावशाली हैं। पुराने तरीके को एक मानक कंप्यूटर प्रोसेसर पर एक वेवफॉर्म जेनरेट करने में लगभग 12 मिलीसेकंड का समय लगता था। यह नया न्यूरल नेटवर्क भी एक वेवफॉर्म को लगभग 12 मिलीसेकंड में जेनरेट कर सकता है, लेकिन असली बात यह है कि यदि आप इसे एक साथ कई वेवफॉर्म्स का बैच जेनरेट करने के लिए कहते हैं (जैसे एक साथ 1,000 केक बनाने के लिए कहना), तो यह एक सिंगल ग्राफिक्स कार्ड पर प्रति सेकंड लगभग 35,000 वेवफॉर्म्स बना सकता है। बड़े पैमाने पर काम करने के लिए यह पुराने तरीके की तुलना में लगभग 430 गुना तेज़ है।

लेकिन केवल गति ही काफी नहीं है; केक का स्वाद भी सही होना चाहिए। लेखक ने अपने मॉडल का परीक्षण 150 नए ब्लैक होल परिदृश्यों पर किया जिन्हें उसने पहले कभी नहीं देखा था।

जब "फेस-ऑन" एंगल से गाने को देखा गया, तो मॉडल ने परफेक्ट सिमुलेशन के साथ 0.988 का मीडियन स्कोर (जहाँ 1.0 परफेक्ट है) प्राप्त किया।
विभिन्न कोणों पर मिलान को औसत करने पर, स्कोर अभी भी बहुत मजबूत 0.975 था।
मॉडल ने गाने की तीव्रता (एम्प्लीट्यूड) को भी सही पकड़ा, जिसका मीडियन रेशियो 0.98 था, जिसका अर्थ है कि इसने न केवल आकार बल्कि वॉल्यूम को भी सही ढंग से समझा।

"डिफरेंशिएबल" होने का "जादू"
इस मॉडल की सबसे कूल विशेषताओं में से एक यह है कि यह "पूरी तरह से डिफरेंशिएबल" (fully differentiable) है। सरल शब्दों में, इसका मतलब है कि मॉडल स्मूथ और निरंतर है, जिससे वैज्ञानिक यह गणना कर सकते हैं कि यदि वे ब्लैक होल के स्पिन या मास में थोड़ा सा बदलाव करते हैं, तो गाना बिल्कुल कैसे बदलेगा। यह एक ऐसे मानचित्र की तरह है जो न केवल सड़क दिखाता है बल्कि यह भी बताता है कि हर एक कदम पर पहाड़ी कितनी ढलान वाली है।

यह विशेषता दो शक्तिशाली उपकरण खोलती है:

फिशर मैट्रिसेस (Fisher Matrices): वैज्ञानिक अब तुरंत एक "सेंसिटिविटी मैप" (एक 13-डायमेंशनल फिशर मैट्रिक्स) की गणना कर सकते हैं जो उन्हें बताता है कि वे ब्लैक होल के गुणों को कितनी अच्छी तरह माप सकते हैं, बिना हजारों धीमे सिमुलेशन चलाए।
ग्रेडिएंट-बेस्ड सैंपलिंग: यह "ग्रेडिएंट-बेस्ड" तरीकों (जैसे HMC या NUTS) का उपयोग करके सिग्नल के लिए सबसे अच्छा मिलान खोजने का एक नया तरीका खोलता है। रैंडमली अंदाज़ा लगाने और चेक करने के बजाय, मॉडल संभावनाओं की एक पहाड़ी से नीचे "फिसल" कर सबसे अच्छा उत्तर तेजी से और अधिक सटीकता से पा सकता है। लेखक ने दिखाया कि यह एक नकली ब्लैक होल सिग्नल के गुणों को बिना किसी बायस के सफलतापूर्वक रिकवर करके काम करता है।

कहाँ यह अभी भी परफेक्ट नहीं है (अभी के लिए)
पेपर अपनी सीमाओं के बारे में ईमानदार है। यह मॉडल तब सबसे अच्छा काम करता है जब दोनों ब्लैक होल आकार में थोड़े समान होते हैं (मास रेशियो 1 और 4 के बीच)। जब ब्लैक होल आकार में बहुत भिन्न होते हैं (मास रेशियो 3.25 से अधिक), तो इसकी सटीकता थोड़ी कम हो जाती है, जहाँ औसत मैच गिरकर लगभग 0.874 हो जाता है। लेखक का सुझाव है कि ऐसा इसलिए है क्योंकि ब्लैक होल का "डगमगाना" (precession) इन मामलों में बहुत जटिल हो जाता है, और इन चरम मामलों के लिए ट्रेनिंग डेटा थोड़ा कम था। वे यह भी नोट करते हैं कि गाने के "शांत" हिस्से (सबडोमिनेंट मोड्स) को सीखना कठिन है, यही कारण है कि मॉडल उस कोण से देखने पर थोड़ा कम सटीक होता है जहाँ वे शांत हिस्से महत्वपूर्ण होते हैं।

हमें इसकी परवाह क्यों करनी चाहिए?
यह पेपर हमें केवल एक तेज़ कैलकुलेटर ही नहीं देता; यह हमें विज्ञान करने का एक नया तरीका देता है। मॉडल को तेज़ और डिफरेंशिएबल बनाकर, लेखक भविष्य के लिए रास्ता बना रहे हैं जहाँ हम वास्तविक समय में ग्रेविटेशनल वेव्स का विश्लेषण कर सकते हैं और यहाँ तक कि उन सिग्नल्स को भी खोज सकते हैं जो हमारी वर्तमान थ्योरी से मेल नहीं खाते। यह एक धीमे, मैनुअल टेलीस्कोप से अपग्रेड होकर एक हाई-स्पीड, AI-पावर्ड कैमरे जैसा है जो आकाश में उन नए, अजीब सितारों को भी पहचान सकता है जिन्हें हम अभी तक ढूंढना भी नहीं जानते थे। कोड और प्रशिक्षित मॉडल उपयोग के लिए उपलब्ध हैं, जो अगली पीढ़ी की ग्रेविटेशनल-वेव खोजों में मदद करने के लिए तैयार हैं।

तकनीकी सारांश: प्रीसेसिंग बाइनरी ब्लैक-होल वेवफॉर्म्स के लिए एक तेज़, डिफरेंशिएबल न्यूरल-नेटवर्क सरोगेट

समस्या विवरण
गुरुत्वाकर्षण तरंगों (GW) का पैरामीटर एस्टीमेशन (PE) वर्तमान में एक कम्प्यूटेशनल बाधा का सामना कर रहा है: वास्तविक समय के इन्फरेंस और पॉपुलेशन अध्ययन के लिए प्रत्येक इवेंट के लिए लाखों वेवफॉर्म इवैल्यूएशन की आवश्यकता होती है। पारंपरिक न्यूमेरिकल-रिलेटिविटी (NR) सरोगेट मॉडल, जैसे कि NRSur7dq4, प्रीसेसिंग बाइनरी ब्लैक होल्स (BBH) के लिए अत्याधुनिक सटीकता प्रदान करते हैं, लेकिन ये इन कार्यों के लिए बहुत धीमे हैं, क्योंकि एक सिंगल CPU कोर पर एक एकल वेवफॉर्म उत्पन्न करने में लगभग 12 ms का समय लगता है। इसके अतिरिक्त, मौजूदा तेज़ सरोगेट मॉडलों में अक्सर डिफरेंशिएबिलिटी (differentiability) का अभाव होता है, जो ग्रेडिएंट-आधारित सैंपलर (जैसे HMC, NUTS) और एनालिटिक सेंसिटिविटी स्टडीज (जैसे फिशर मैट्रिसेस) के उपयोग को रोकता है। इसके अलावा, कई सरोगेट केवल एक निश्चित ओरिएंटेशन पर एक ही पोलराइजेशन की भविष्यवाणी करते हैं, जिससे आकाश की स्थिति और झुकाव (inclination) के विभिन्न मानों के लिए अलग-अलग मूल्यांकन की आवश्यकता होती है, जबकि PE के लिए एक्सट्रिंसिक पैरामीटर्स पर मार्जिनलाइजेशन की आवश्यकता होती है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक पूर्णतः डिफरेंशिएबल न्यूरल-नेटवर्क सरोगेट प्रस्तुत करते हैं जिसे सीधे NRSur7dq4 के मूल्यांकन को बदलने के लिए डिज़ाइन किया गया है। कार्यप्रणाली में तीन मुख्य घटक शामिल हैं:

मोड रिप्रजेंटेशन और प्रोजेक्शन: एक एकल पोलराइजेशन ( $h_+$ या $h_\times$ ) को एक निश्चित ओरिएंटेशन पर भविष्यवाणी करने के बजाय, नेटवर्क $2 \leq \ell \leq 4$ के लिए इनर्शियल-फ्रेम स्फेरिकल-हारमोनिक मोड्स $h_{\ell m}$ (कुल 21 मोड्स) की भविष्यवाणी करता है। इन मोड्स को नेटवर्क आउटपुट से पुनर्गठित किया जाता है और एक एनालिटिक, डिफरेंशिएबल स्पिन-वेटेड स्फेरिकल-हारमोनिक (SWSH) प्रोजेक्शन का उपयोग करके किसी भी ऑब्जर्वर ओरिएंटेशन $(\iota, \phi, \psi)$ पर प्रोजेक्ट किया जाता है। यह एक ही नेटवर्क इवैल्यूशन से दोनों पोलराइजेशन के पुनर्निर्माण की अनुमति देता है।
नेटवर्क आर्किटेक्चर:
- इनपुट: एक 8-डायमेंशनल पैरामीटर वेक्टर $\lambda = (q, \chi_{1x}, \chi_{1y}, \chi_{1z}, \chi_{2x}, \chi_{2y}, \chi_{2z}, \omega_0)$ , जहाँ $q$ द्रव्यमान अनुपात (mass ratio) है, $\chi$ स्पिन वेक्टर्स हैं, और $\omega_0$ एक रेफरेंस ऑर्बिटल फ्रीक्वेंसी है।
- एम्बेडिंग (Embedding): इनपुट को रैंडम फूरियर फीचर्स (RFF) के माध्यम से एक उच्च-आयामी फीचर स्पेस में मैप किया जाता है ताकि लर्निंग में सुधार हो सके।
- बैकबोन: एक साझा रेसिडुअल नेटवर्क (ResNet) जिसमें 6 ब्लॉक्स हैं, फीचर्स को प्रोसेस करता है।
- हेड्स (Heads): ट्रंक (trunk) प्रत्येक मोड के लिए लीनियर हेड्स में फीड होता है, जो एक कंप्रेस्ड कोएफिशिएंट वेक्टर (3548 डायमेंशन्स) आउटपुट करता है। यह वेक्टर मोड एम्प्लीट्यूड और फेज के ट्रंकेटेड सिंगुलर वैल्यू डिकंपोजिशन (SVD) से प्राप्त किया गया है।
- डिफरेंशिएबिलिटी: प्रत्येक ऑपरेशन, जिसमें RFF एम्बेडिंग, ResNet लेयर्स, SVD रिकन्स्ट्रक्शन और SWSH प्रोजेक्शन शामिल हैं, PyTorch में लागू किया गया है, जो यह सुनिश्चित करता है कि पूरी पाइपलाइन इंट्रिंसिक और एक्सट्रिंसिक दोनों पैरामीटर्स के सापेक्ष पूर्णतः डिफरेंशिएबल है।
ट्रेनिंग स्ट्रैटेजी: मॉडल को $q \in [1, 4]$ $q \in [1, 4]$ और $|\chi_{1,2}| \leq 0.8$ $∣ χ_{1, 2} ∣ \leq 0.8$ पर सोबोल सीक्वेंस (Sobol sequence) के माध्यम से लिए गए $6 \times 10^5$ $6 \times 1 0^{5}$ NRSur7dq4 वेवफॉर्म्स पर प्रशिक्षित किया गया है। प्रशिक्षण दो चरणों में होता है:
- प्री-ट्रेनिंग: हबर लॉस (Huber loss) का उपयोग करके मानकीकृत कोएफिशिएंट्स का रिग्रेशन।
- फाइन-ट्यूनिंग: प्रोजेक्टेड स्ट्रेन और टारगेट स्ट्रेन के बीच PSD-वेटेड मिसमैच को सीधे मिनिमाइज करना, जिसमें फिजिकल स्ट्रेन एम्प्लीट्यूड को बनाए रखने के लिए एक लॉगरिदमिक नॉर्म एंकर का उपयोग किया गया है।

प्रमुख योगदान

प्रथम डिफरेंशिएबल NRSur7dq4 सरोगेट: यह NRSur7dq4 मॉडल के लिए पहला न्यूरल सरोगेट है जो सभी भौतिक पैरामीटर्स (इंट्रिंसिक और एक्सट्रिंसिक) के सापेक्ष पूर्णतः डिफरेंशिएबल है।
ओरिएंटेशन-कम्प्लीट प्रेडिक्शन: पूर्ण इनर्शियल-फ्रेम मोड्स का अनुमान लगाकर, सरोगेट किसी भी ओरिएंटेशन पर वेवफॉर्म्स को पुनर्गठित करता है, जिससे अतिरिक्त नेटवर्क इवैल्यूशंस के बिना पूर्ण भौतिक पैरामीटर एस्टीमेशन संभव होता है।
उच्च थ्रूपुट (High Throughput): मॉडल बैच मोड में सिंगल GPU पर $\sim 3.5 \times 10^4$ वेवफॉर्म्स प्रति सेकंड की गति प्राप्त करता है, जो सीधे CPU द्वारा NRSur7dq4 के मूल्यांकन की तुलना में $\sim 430\times$ की तेजी दर्शाता है।
एनालिटिक ग्रेडिएंट्स: डिफरेंशिएबिलिटी सटीक फिशर इंफॉर्मेशन मैट्रिसेस और ग्रेडिएंट्स की गणना को सक्षम बनाती है, जिससे फिनिट-डिफरेंस एप्रोक्सिमेशन के बिना हैमिल्टोनियन मोंटे कार्लो (HMC) और नो-यू-टर्न सैंपलर (NUTS) के लिए उपयोग किया जा सकता है।

परिणाम

सटीकता: एक होल्ड-आउट टेस्ट सेट ( $N=150$ ) पर, सरोगेट $q \in [1, 4]$ के लिए 0.988 का फिक्स्ड-ओरिएंटेशन मीडियन मैच और 0.975 का ओरिएंटेशन-एवरेज्ड मीडियन मैच प्राप्त करता है। समग्र स्ट्रेन एम्प्लीट्यूड 0.98 के मीडियन रेशियो के साथ संरक्षित रहता है।
परफॉरमेंस: मॉडल एक सिंगल वेवफॉर्म को 12 ms में जेनरेट करता है (GPU कर्नेल ओवरहेड के कारण सीधे मूल्यांकन के बराबर), लेकिन यह बैचों में $\sim 3.5 \times 10^4$ वेवफॉर्म्स/सेकंड तक कुशलतापूर्वक स्केल करता है।
डिफरेंशिएबिलिटी वैलिडेशन: लेखक ने फिनिट-डिफरेंस के विरुद्ध ऑटोमैटिक डिफरेंशिएशन को वैलिडेट किया, जिसमें प्रति-पैरामीटर सहमति $> 0.9999$ पाई गई। एक जीरो-नॉइज़ इंजेक्शन पर ग्रेडिएंट-बेस्ड NUTS रिकवरी टेस्ट ने नगण्य बायस ( $\leq 0.3\sigma$ एट SNR 25) के साथ इंट्रिंसिक पैरामीटर्स को सफलतापूर्वक रिकवर किया।
सीमाएं (Limitations):
- उच्च द्रव्यमान अनुपात (High Mass Ratio): उच्च द्रव्यमान अनुपातों ( $q > 3.25$ ) पर सटीकता कम हो जाती है, जहाँ ओरिएंटेशन-एवरेज्ड मीन मैच गिरकर 0.874 हो जाता है। इसका कारण ट्रेनिंग डेटा घनत्व में कमी, बढ़ती प्रीसेशन जटिलता और अंतर्निहित NR मॉडल में संभावित सीमा संबंधी मुद्दे हैं।
- सबडोमिनेंट मोड्स: $\ell=4$ और $m=0$ मेमोरी मोड्स को कम सटीक रूप से हल किया गया है (ओवरलैप $\sim 0.1\text{--}0.3$ )। हालांकि इनमें इन-बैंड पावर केवल $\sim 1\%$ है, उनकी अशुद्धियाँ फिक्स्ड-ओरिएंटेशन और ओरिएंटेशन-एवरेज्ड मैचों के बीच के अंतर में योगदान देती हैं, विशेष रूप से झुके हुए (inclined) व्यूइंग एंगल्स पर।

महत्व
यह पेपर इस सरोगेट को अगली पीढ़ी के GW विज्ञान के लिए एक महत्वपूर्ण इंफ्रास्ट्रक्चर घटक के रूप में स्थापित करता है। एक तेज़, डिफरेंशिएबल और ओरिएंटेशन-कम्प्लीट मॉडल प्रदान करके, यह निम्नलिखित को सक्षम बनाता है:

कुशल इन्फरेंस: नेस्टेड सैंपलिंग और पॉपुलेशन स्टडीज की कम्प्यूटेशनल लागत को भारी रूप से कम करना।
ग्रेडिएंट-बेस्ड मेथड्स: प्रीसेसिंग BBH के लिए ग्रेडिएंट-आधारित सैंपलर (HMC/NUTS) और एनालिटिक फिशर मैट्रिक्स फोरकास्टिंग को संभव बनाना।
भविष्य की खोज: लेखक का तर्क है कि कम्प्यूटेशनल और डिफरेंशिएबिलिटी बाधाओं को हटाकर, यह सरोगेट एक "दो-चरणीय कार्यक्रम" को सुगम बनाता है जहाँ पहला चरण (यह पेपर) दूसरे चरण को सक्षम करता है: डेटा से सीधे GW सिग्नल्स के वितरण को सीखना, जो वर्तमान सैद्धांतिक टेम्पलेट्स पर निर्भर नहीं है, जिससे वर्तमान सैद्धांतिक अपेक्षाओं से बाहर के सिग्नल्स की खोज भी संभव हो सकती है।

लेखक नोट करते हैं कि जबकि समवर्ती कार्य (Pürner et al.) ने भी एक डिफरेंशिएबल NRSur7dq4 सरोगेट विकसित किया है, उनका दृष्टिकोण आर्किटेक्चरल रूप से भिन्न है (को-प्रीसेसिंग फ्रेम में 25 नेटवर्कों के बैंक का उपयोग करना बनाम इनर्शियल फ्रेम में एक एकल नेटवर्क) और उनकी ट्रेनिंग स्ट्रैटेजी भी अलग है (नोड-लेवल रिग्रेशन बनाम डायरेक्ट मैच फाइन-ट्यूनिंग)। लेखक इन दोनों कार्यों को इस रूप में देखते हैं कि वे एक अभिसरण (convergence) का प्रमाण हैं कि तेज़, डिफरेंशिएबल सरोगेट्स ग्रेडिएंट-बेस्ड GW इन्फरेंस के लिए आवश्यक इंफ्रास्ट्रक्चर हैं।

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