Witnessing the architecture of quantum circuits

द क्वांटम ब्लूप्रिंट पज़ल (The Quantum Blueprint Puzzle)

कल्पना कीजिए कि आप एक जटिल मशीन बनाने की कोशिश कर रहे हैं, जैसे कि एक रोबोट, लेकिन आपको केवल लेगो ब्रिक्स (Lego bricks) के एक विशिष्ट, सीमित सेट का उपयोग करने की अनुमति है। शायद आपके पास केवल लाल 2x4 ब्रिक्स और नीले 1x2 ब्रिक्स हैं, और आपको किसी भी पहियों या विशेष कनेक्टर्स का उपयोग करने से वर्जित किया गया है। क्वांटम कंप्यूटिंग की दुनिया में, ये "ब्रिक्स" क्वांटम गेट्स (quantum gates) कहलाते हैं, और "मशीन" एक क्वांटम सर्किट (quantum circuit) है जो एक गणना करता है। खेल के नियम—आपके पास उपलब्ध ब्रिक्स के प्रकार और उन्हें कैसे जोड़ा जा सकता है—सर्किट आर्किटेक्चर (circuit architecture) कहलाते हैं।

कभी-कभी, आप एक विशिष्ट, अविश्वसनीय रूप से जटिल रोबोट (एक यूनिटरी ट्रांसफॉर्मेशन/unitary transformation) बनाना चाहते हैं जिसके लिए भागों के एक बहुत ही विशिष्ट संयोजन की आवश्यकता होती है। बड़ा सवाल यह है: क्या मैं अपने पास मौजूद ब्रिक्स का उपयोग करके इस सटीक रोबोट को बना सकता हूँ? यदि आप इसे बनाने की कोशिश करते हैं और असफल होते हैं, तो हो सकता है कि आप निर्माण करने में खराब हों। लेकिन क्या होगा अगर यह वास्तव में असंभव हो? क्या होगा अगर भौतिकी के नियम कहते हैं कि चाहे आप कितनी भी कोशिश कर लें, आप अपने विशिष्ट ब्रिक्स के साथ वह रोबोट नहीं बना सकते? यह असंगतता (incompatibility) की समस्या है। वैज्ञानिकों को यह सिद्ध करने के लिए एक तरीके की आवश्यकता है कि एक दिए गए नियमों के तहत कोई कार्य करना 100% निश्चितता के साथ असंभव है। यह केवल समय बचाने के बारे में नहीं है; यह उन मौलिक सीमाओं के बारे में जानने के बारे में है कि हमारे क्वांटम कंप्यूटर वास्तव में क्या कर सकते हैं, इससे पहले कि हम उन्हें बनाने की कोशिश भी करें।

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द "इम्पॉसिबल" डिटेक्टर (The "Impossible" Detector)

अपने नए कार्य में, रैफेल मोटे (Raphaël Mothe) और ओटफ्रेड गुहने (Otfried Gühne) ने एक चतुर गणितीय उपकरण का आविष्कार किया है जिसे क्वांटम सर्किट आर्किटेक्चर विटनेस (quantum circuit architecture witness) कहा जाता है। इस विटनेस को एक सुपर-स्मार्ट "इम्पॉसिबल डिटेक्टर" के रूप में सोचें। रोबोट बनाने की कोशिश करने और विफल होने के बजाय, यह उपकरण रोबोट के ब्लूप्रिंट और आपके पास उपलब्ध ब्रिक्स की सूची को देखता है और तुरंत आपको बताता है, "नहीं, आप इन हिस्सों के साथ इसे नहीं बना सकते।"

आमतौर पर, जब वैज्ञानिक यह पता लगाने की कोशिश करते हैं कि क्वांटम सर्किट कैसे बनाया जाए, तो वे ऐसी विधियों का उपयोग करते हैं जो एक भूलभुलैया (maze) को पार करने की कोशिश करने जैसी होती हैं। वे अलग-अलग रास्तों को आज़माते रहते हैं जब तक कि वे मशीन को काम करने का तरीका न ढूंढ लें। यदि वे रास्ता नहीं ढूंढ पाते हैं, तो हो सकता है कि वे बस एक डेड एंड (dead end) में फंस गए हों, या उन्हें बस अधिक प्रयास करने की आवश्यकता हो। उन्हें वास्तव में पता नहीं होता कि क्या निकास वास्तव में एक दीवार के पीछे छिपा हुआ है। मोटे और गुहने का दृष्टिकोण स्क्रिप्ट को उलट देता है। वे सर्किट बनाने की कोशिश नहीं करते; वे यह सिद्ध करने की कोशिश करते है कि वह सर्किट अस्तित्व में नहीं हो सकता।

डिटेक्टिव कैसे काम करता है: द "चोई" मिरर (The "Choi" Mirror)

इसे करने के लिए, लेखक एक गणितीय ट्रिक का उपयोग करते हैं जिसे चोई स्टेट (Choi state) कहा जाता है। कल्पना कीजिए कि आपके पास एक जादुई दर्पण है जो एक क्वांटम गेट (गणना का एक एकल चरण) को एक मशीन के रूप में नहीं, बल्कि एक विशेष प्रकार के "फिंगरप्रिंट" या प्रकाश के अद्वितीय पैटर्न के रूप में प्रतिबिंबित करता है। जब आपके पास पूरा सर्किट होता है, तो यह दर्पण सभी गेट्स के मिलकर काम करने के संयुक्त फिंगरप्रिंट को दिखाता है।

लेखकों की विधि "टारगेट रोबोट" (वह यूनिटरी जिसे आप बनाना चाहते हैं) के फिंगरप्रिंट की तुलना उन सभी संभावित रोबोटों के फिंगरप्रिंट से करती है जिन्हें आप अपने विशिष्ट ब्रिक्स के साथ बना सकते हैं। वे फिडेलिटी (fidelity) नामक एक स्कोर की गणना करते हैं, जो समानता प्रतिशत की तरह है। यदि स्कोर 100% है, तो टारगेट रोबोट आपके ब्रिक्स के साथ संगत (compatible) है। यदि स्कोर 100% से कम है, तो इसका मतलब है कि आपके ब्रिक्स काम के लिए मौलिक रूप से गलत हैं।

उनके "विटनेस" की प्रतिभा यह है कि यह रेत में एक गणितीय रेखा खींच देता है। यदि समानता स्कोर एक निश्चित बिंदु से नीचे गिर जाता है, तो विटनेस चिल्लाकर कहता है, "असंगत (Incompatible)!" यह वैज्ञानिकों को एक कठोर प्रमाण (certificate) देता है कि, "आप कोशिश करना बंद कर दें। यह विशिष्ट क्वांटम कार्य इस विशिष्ट सर्किट लेआउट के साथ नहीं किया जा सकता।"

मैथ मैजिक: हार्ड से ईज़ी (The Math Magic: From Hard to Easy)

लेखकों ने महसूस किया कि प्रत्येक संभावित गेट संयोजनों की जांच करना अविश्वसनीय रूप से कठिन है, जैसे कि घास के ढेर (haystack) में सुई खोजने की कोशिश करना जो बढ़ता ही जा रहा है। इसे हल करने के लिए, उन्होंने समस्या को एक सेमीडेफिनेट प्रोग्राम (Semidefinite Program - SDP) में बदल दिया। आप इसे घास के ढेर को व्यवस्थित करने के एक सुपर-ऑर्गनाइज्ड तरीके के रूप में देख सकते हैं जिसमें एक रोबोट कभी थकता नहीं है।

हालाँकि, बहुत सारे गेट्स वाले बहुत जटिल सर्किटों के लिए, यहाँ तक कि यह रोबट भी अभिभूत (overwhelmed) हो जाता है। इसलिए, लेखकों ने क्लिफोर्ड गेट्स (Clifford gates) नामक एक विशिष्ट प्रकार के क्वांटम गेट के लिए एक विशेष शॉर्टकट खोजा। ये "आसान" गेट हैं जिनका क्वांटम कंप्यूटर, विशेष रूप से त्रुटियों को ठीक करने के लिए, बहुत उपयोग करते हैं। इन गेट्स के लिए, लेखकों ने दिखाया कि इस समस्या को लीनियर प्रोग्रामिंग (Linear Programming - LP) में सरल बनाया जा सकता है। यह एक 3D भूलभुलैया को एक फ्लैट, 2D मानचित्र में बदलने जैसा है। यह गणना को बहुत तेज़ बनाता है, जिससे वे सात टू-क्विबिट गेट्स (दो क्वांटम बिट्स को जोड़ने वाले गेट्स) वाले सर्किटों को कुशलतापूर्वक चेक कर सकते हैं।

उन्होंने क्या पाया: द टोफोली गेट की सीमाएं (What They Found: The Limits of the Toffoli Gate)

टीम ने अपने नए डिटेक्टर का परीक्षण कुछ प्रसिद्ध क्वांटम पहेलियों के साथ किया। इनमें से एक सबसे प्रसिद्ध है टोफोली गेट (Toffoli gate) (जिसे CCNOT गेट भी कहा जाता है), जो एक "ट्रिपल-स्विच" की तरह है जो कई क्वांटम एल्गोरिदम के लिए आवश्यक है।

• द टू-गेट टेस्ट: उन्होंने पूछा, "क्या हम केवल दो टू-क्विबिट गेट्स का उपयोग करके एक टोफोली गेट बना सकते हैं?" उनके विटनेस ने कहा नहीं। वास्तव में, उन्होंने गणना की कि आप जो सर्वश्रेष्ठ कर सकते हैं वह लगभग 72.85% समानता है। चूंकि आपको पूर्ण मिलान के लिए 100% की आवश्यकता होती है, इसने सिद्ध किया कि दो गेट पर्याप्त नहीं हैं।
• द थ्री-गेट टेस्ट: फिर उन्होंने तीन गेटों के साथ प्रयास किया। विटनेस ने अभी भी नहीं कहा, जिसमें लगभग 85.7% की समानता सीमा थी।
• निष्कर्ष: विभिन्न व्यवस्थाओं का व्यवस्थित रूप से परीक्षण करके, उन्होंने पुष्टि की कि टोफोली गेट को तीन क्विबिट्स पर बनाने के लिए कम से कम चार गेट लेयर्स (या एक विशिष्ट डेप्थ) की आवश्यकता होती है। यह अन्य वैज्ञानिकों द्वारा अलग-अलग विधियों के माध्यम से पाए गए निष्कर्षों से मेल खाता है, लेकिन लेखकों की विधि सीधे तौर पर गणितीय प्रमाण प्रदान करती है कि कम संसाधनों के साथ यह क्यों असंभव है।

उन्होंने चार क्विबिट्स पर पांच गेट्स वाले अन्य जटिल सेटअपों का भी परीक्षण किया। एक मामले में, उन्होंने पाया कि गेटों की एक विशिष्ट व्यवस्था, गेटों की एक अलग व्यवस्था के साथ पूरी तरह से असंगत थी, जिसका समानता स्कोर केवल 50% था। इसका मतलब है कि दोनों सर्किट डिज़ाइन एक दूसरे से दिन और रात की तरह अलग हैं; आप दिए गए नियमों के साथ एक को दूसरे में नहीं बदल सकते।

यह क्यों मायने रखता है (Why This Matters)

यह फ्रेमवर्क दो मुख्य कारणों से गेम-चेंजर है। पहला, सिद्धांतकारों (theorists) के लिए, यह संसाधनों पर सख्त निचली सीमाएं (lower bounds) निर्धारित करने का एक तरीका प्रदान करता है। यदि आप जानते हैं कि एक कार्य के लिए कम से कम चार गेट लेयर्स की आवश्यकता है, तो आप तीन-लेयर समाधान डिजाइन करने में समय बर्बाद नहीं करते हैं। दूसरा, प्रायोगिक वैज्ञानिकों (experimentalists) के लिए, यह एक बेंचमार्क के रूप में कार्य करता है। यदि कोई वैज्ञानिक एक क्वांटम डिवाइस बनाता है और दावा करता है कि यह एक जटिल कार्य कर सकता है, तो वे इस विटनेस का उपयोग यह साबित करने के लिए कर सकते हैं कि उनका डिवाइस वास्तव में कुछ विशेष कर रहा है—कुछ ऐसा जो एक सरल, मानक सर्किट आर्किटेक्चर कभी नहीं कर सकता।

लेखक नोट करते हैं कि हालांकि उनका तरीका कई मामलों में, विशेष रूप से क्लिफोर्ड गेट्स के लिए, खूबसूरती से काम करता है, फिर भी कुछ खुले प्रश्न बाकी हैं। वे आश्चर्य करते हैं कि क्या यह विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण केवल "आसान" वाले ही नहीं, बल्कि किसी भी प्रकार के क्वांटम सर्किट के लिए विस्तारित किया जा सकता है। लेकिन फिलहाल, उन्होंने क्वांटम समुदाय को एक शक्तिशाली नया उपकरण दिया है: एक क्वांटम ब्लूप्रिंट को देखने और पूर्ण निश्चितता के साथ कहने का तरीका, "यह डिज़ाइन इन हिस्सों के साथ असंभव है।"