Non-invertible Lattice 1-Form Symmetries for Non-Abelian Topological Order

सममिति (Symmetry) ब्रह्मांड की शांत वास्तुकार है, वह गुप्त नियमपुस्तिका जो यह निर्धारित करती है कि पदार्थ स्वयं को कैसे व्यवस्थित करता है। क्वांटम भौतिकी की दुनिया में, वैज्ञानिक लंबे समय से जानते हैं कि क्रम के कुछ विशिष्ट पैटर्न को तोड़ा जा सकता है, जिससे पदार्थ के नए चरण उत्पन्न होते हैं। हाल ही में, सममिति की एक व्यापक समझ उभरी है, जिससे पता चला है कि ये नियम केवल अंतरिक्ष के व्यक्तिगत बिंदुओं पर ही कार्य नहीं करते, बल्कि रेखाओं और सतहों तक भी फैल सकते हैं। इन्हें 'हायर-फॉर्म सिमेट्री' (higher-form symmetries) कहा जाता है। जबकि सरल, पूर्वानुमेय प्रणालियाँ ऐसे नियमों का पालन करती हैं जिन्हें एक मानक ताले और चाबी की तरह उलटा जा सकता है, अधिक जटिल क्वांटम अवस्थाओं में ऐसे नियम शामिल होते हैं जिन्हें उलटा नहीं जा सकता। ये गैर-प्रतिवर्ती (non-reversible) नियम एक प्रकार के विचित्र पदार्थ को नियंत्रित करते हैं जिसे 'नॉन-एबेलियन टोपोलॉजिकल ऑर्डर' (non-Abelian topological order) कहा जाता है, एक ऐसी अवस्था जहाँ 'एनयॉन्स' (anyons) नामक कण उन तरीकों से परस्पर क्रिया करते हैं जो साधारण सामग्रियों में देखी गई किसी भी चीज़ की तुलना में कहीं अधिक समृद्ध और जटिल हैं। इन जटिल नियमों के कार्य करने के तरीके को समझना अगली पीढ़ी के क्वांटम कंप्यूटर बनाने के लिए आवश्यक है, जो त्रुटि रहित सूचना को संग्रहीत करने और संसाधित करने के लिए इन विलक्षण अवस्थाओं पर निर्भर करते हैं।

वर्षों से, शोधकर्ता इन सममितियों के सरल, प्रतिवर्ती संस्करणों का वर्णन करने में सक्षम रहे हैं, लेकिन गैर-प्रतिवर्ती प्रकार रहस्य बना हुआ था। म्यूनिख तकनीकी विश्वविद्यालय के भौतिकविदों की एक टीम ने अब इस अंतर को पाट दिया है। उन्होंने 'किटाव क्वांटम डबल' (Kitaev quantum double) नामक एक विशिष्ट प्रकार के क्वांटम मॉडल के भीतर इन गैर-प्रतिवर्ती सममिति नियमों का एक विस्तृत मानचित्र तैयार किया है। मॉडल के सूक्ष्म निर्माण खंडों (microscopic building blocks) के साथ सीधे काम करके, उन्होंने दिखाया कि ये विचित्र सममिति ऑपरेटर सिस्टम पर कैसे कार्य करते हैं। उनका कार्य सिद्ध करता है कि इन जटिल क्वांटम प्रणालियों की 'ग्राउंड स्टेट्स' (ground states) केवल कणों का यादृच्छिक संग्रह नहीं हैं, बल्कि ये इन गैर-प्रतिवर्ती सममितियों के स्वतःस्फूर्त टूटने (spontaneous breaking) का परिणाम हैं, ठीक वैसे ही जैसे एक चुंबक ठंडा होने पर एक दिशा चुन लेता है।

शोधकर्ताओं ने एक ऐसे मॉडल पर ध्यान केंद्रित किया जहाँ सूचना की बुनियादी इकाइयाँ केवल साधारण ऑन-ऑफ स्विच नहीं हैं, बल्कि वे एक 'फाइनाइट ग्रुप' (finite group) के गुणों को वहन करती हैं, जो एक ऐसी गणितीय संरचना है जो यह बताती है कि चीजों को कैसे पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। सबसे सरल मामले में, जिसमें केवल दो तत्वों वाला समूह शामिल है, सममिति के नियम सरल और प्रतिवर्ती होते हैं। हालाँकि, जब समूह बड़ा और अधिक जटिल हो जाता है, तो नियम मौलिक रूप रूप से बदल जाते हैं। टीम ने प्रदर्शित किया कि इन जटिल मामलों में, सममिति ऑपरेटर एक सरल समूह नहीं बनाते जहाँ प्रत्येक क्रिया का एक स्पष्ट विपरीत हो। इसके बजाय, वे एक ऐसी संरचना बनाते हैं जहाँ दो ऑपरेटरों को मिलाने से एक साथ कई अलग-अलग परिणाम निकल सकते हैं। इसे भौतिक विज्ञानी 'नॉन-इनवर्टिबल फ्यूजन अल्जेब्रा' (non-invertible fusion algebra) कहते हैं। यह कारण और प्रभाव के परिचित तर्क से एक विचलन है, जहाँ एक एकल क्रिया एक एकल परिणाम की ओर ले जाती है।

इसे समझने के लिए, टीम ने तीन विशिष्ट प्रकार के उपकरण, या ऑपरेटर बनाए जो क्वांटम सिस्टम पर कार्य करते हैं। पहला प्रकार, जिसे 'इलेक्ट्रिक ऑपरेटर्स' कहा जाता है, उन लूपों की तरह कार्य करता है जो कुछ आवेशों (charges) की उपस्थिति को मापते हैं। दूसरा प्रकार, 'मैग्नेटिक ऑपरेटर्स', उन लूपों की तरह कार्य करता है जो सिस्टम के माध्यम से चुंबकीय फ्लक्स (magnetic flux) को पिरोते हैं। तीसरा प्रकार, 'डायोनिक ऑपरेटर्स' (dyonic operators), एक हाइब्रिड है जो आवेश और फ्लक्स दोनों को वहन करता है। सरल प्रणालियों में, केवल इलेक्ट्रिक और मैग्नेटिक लूप ही सब कुछ बताने के लिए पर्याप्त थे। लेकिन इन जटिल नॉन-एबेलियन प्रणालियों में, शोधकर्ताओं ने पाया कि इलेक्ट्रिक और मैग्नेटिक लूप अकेले सिस्टम के विभिन्न संभावित ग्राउंड स्टेट्स के बीच अंतर करने के लिए अपर्याप्त थे। उन्होंने खोजा कि सिस्टम के विभिन्न संभावित ग्राउंड स्टेट्स के बीच पूरी तरह से अंतर करने के लिए हाइब्रिड डायोनिक ऑपरेटरों का एक विशिष्ट संयोजन आवश्यक था।

टीम ने सिस्टम के निम्नतम ऊर्जा स्तरों के संपूर्ण परिदृश्य, जिसे 'ग्राउंड स्टेट सबस्पेस' (ground state subspace) कहा जाता है, को पुनर्गठित करने के लिए इन उपकरणों का उपयोग किया। उन्होंने दिखाया कि एक सिलेंडर जैसे आकार पर, विभिन्न अवस्थाएँ उस चुंबकीय फ्लक्स द्वारा निर्धारित होती हैं जो इसके माध्यम से गुजरता है। एक टोरस (torus) जैसे आकार पर, जिसमें डोनट की तरह बीच में एक छेद होता है, स्थिति अधिक जटिल है। विभिन्न अवस्थाएँ टोरस के दो छेदों से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स के जोड़ों द्वारा निर्धारित होती हैं। महत्वपूर्ण रूप से, ये दो फ्लक्स संगत होने चाहिए; उन्हें बिना किसी संघर्ष के सह-अस्तित्व में रहने में सक्षम होना चाहिए। शोधकर्ताओं ने पाया कि छह तत्वों वाले सबसे छोटे नॉन-एबेलियन समूह के लिए, ठीक आठ विशिष्ट ग्राउंड स्टेट्स होते हैं। उन्होंने सिद्ध किया कि इन आठ अवस्थाओं को एक बुनियादी शुरुआती अवस्था पर अपने गैर-प्रतिवर्ती सममिति ऑपरेटरों को लागू करके उत्पन्न किया जा सकता है। यह एक ठोस, सूक्ष्म स्पष्टीकरण प्रदान करता है कि इन प्रणालियों में ग्राउंड स्टेट्स की विशिष्ट संख्या क्यों होती है, एक ऐसी संख्या जिसे पहले केवल अमूर्त गणितीय गणना के माध्यम से समझा गया था।

उनकी खोज का एक प्रमुख हिस्सा यह है कि ये ऑपरेटर एक-दूसरे के साथ कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। सरलतम प्रणालियों में, इलेक्ट्रिक और मैग्नेटिक लूप एक-दूसरे के चारों ओर घूम सकते हैं बिना परिणाम को प्रभावित किए, या वे केवल एक संकेत (sign) बदल सकते हैं। यहाँ अध्ययन की गई जटिल प्रणालियों में, परस्पर क्रिया बहुत अधिक सूक्ष्म है। जब एक इलेक्ट्रिक लूप एक मैग्नेटिक लूप को पार करता है, तो परिणाम केवल एक साधारण बदलाव नहीं होता, बल्कि एक स्केलिंग फैक्टर होता है जो विशिष्ट प्रकार के चार्ज और फ्लक्स पर निर्भर करता है। कभी-कभी, यह परस्पर क्रिया शून्य में भी बदल सकती है, जिसका अर्थ है कि दो लूप प्रभावी रूप से एक-दूसरे को इस तरह से रद्द कर देते हैं जो सरल प्रणालियों में असंभव है। यह व्यवहार, जिसे 'मिक्सड एनोमली' (mixed anomaly) कहा जाता है, इस प्रणाली की गहरी जटिलता का एक हस्ताक्षर है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि यही एनोमली इस प्रणाली को अपनी अद्वितीय टोपोलॉजिकल व्यवस्था बनाए रखने में सक्षम बनाती है और ग्राउंड स्टेट्स को आसानी से बाधित होने से बचाती है।

इस कार्य ने यह भी स्पष्ट किया कि ये अमूर्त सममिति नियम लैटिस (lattice) की अव्यवस्थित, विस्तृत वास्तविकता से कैसे उभरते हैं। सूक्ष्म स्तर पर, इन ऑपरेटरों को मिलाने के नियम हमेशा पूर्ण नहीं होते हैं; वे पीछे छोटे दोष या खामियां छोड़ सकते हैं। हालाँकि, शोधकर्ताओं ने दिखाया कि जब सिस्टम को उसके स्वच्छ, दोष-मुक्त अवस्था पर प्रोजेक्ट किया जाता है, तो ये सूक्ष्म विवरण सुधर जाते हैं, और गैर-प्रतिवर्ती सममितियों के सुरुचिपूर्ण, टोपोलॉजिकल नियम स्पष्ट रूप से उभरते हैं। यह टोपोलॉजिकल ऑर्डर के सैद्धांतिक गणित और विविक्त घटकों (discrete components) से बनी एक क्वांटम प्रणाली की भौतिक वास्तविकता के बीच एक महत्वपूर्ण कड़ी प्रदान करता है।

इन गैर-प्रतिवर्ती सममितियों का मानचित्र बनाकर, टीम ने नॉन-एबेलियन टोपोलॉजिकल ऑर्डर का वर्णन करने के लिए एक नई भाषा प्रदान की है। यह भाषा केवल एक सैद्धांतिक अभ्यास नहीं है; यह भविष्य के क्वांटम प्रोसेसरों में इन अवस्थाओं की पहचान करने और उन्हें चरित्रित करने के लिए एक व्यावहारिक टूलकिट प्रदान करती है। यदि वैज्ञानिक ऐसे क्वांटम कंप्यूटर बना सकते हैं जो इन जटिल अवस्थाओं का उपयोग करते हैं, तो उन्हें यह सत्यापित करने के लिए एक तरीके की आवश्यकता होगी कि सिस्टम सही अवस्था में है और उनके पास मौजूद सूचना के विभिन्न प्रकारों के बीच अंतर करने के लिए। इस शोध में वर्णित ऑपरेटर एक नैदानिक उपकरण (diagnostic tool) के रूप में कार्य करते हैं, जो सिस्टम की जांच करने और नाजुक क्वांटम सूचना को नष्ट किए बिना उसकी पहचान की पुष्टि करने का एक तरीका है। यह अध्ययन पुष्टि करता है कि इन प्रणालियों की ग्राउंड स्टेट्स गैर-प्रतिवर्ती सममिति के स्वतःस्फूर्त टूटने का एक मूर्त वास्तविकता है। यह अंतर्दृष्टि इस बात को गहरा करती है कि प्रकृति मौलिक स्तर पर स्वयं को कैसे व्यवस्थित करती है और कंप्यूटेशन के लिए क्वांटम यांत्रिकी का लाभ उठाने के अधिक मजबूत तरीकों के द्वार खोलती है।