Subsystem Symmetries and Fracton Models in Quantum Error Correction
यह थीसिस क्लासिकल आइसिंग मॉडल्स का विश्लेषण करने के लिए सांख्यिकीय-यांत्रिक मैपिंग और क्रैमरर-वानियर-प्रकार की द्वैतता (Kramers-Wannier-type dualities) का उपयोग करते हुए फ्रैक्टन-आधारित क्वांटम त्रुटि-सुधार कोडों की उच्च लचीलेपन (resilience) को स्थापित करती है, जो अंततः यह निर्धारित करती है कि चेकरबोर्ड कोड तीन-आयामी CSS कोडों के लिए सैद्धांतिक अधिकतम त्रुटि सीमा (error threshold) प्राप्त करता है।
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एक ऐसा कंप्यूटर बनाने के लिए जो आज की मशीनों के लिए असंभव समस्याओं को हल कर सके, वैज्ञानिकों को पहले स्वयं द्वारा निर्मित एक समस्या को हल करना होगा: नाजुक सूचना को सुरक्षित कैसे रखा जाए। क्वांटम कंप्यूटर उप-परमाणु कणों के विचित्र व्यवहार पर निर्भर करते हैं, जो एक साथ कई अवस्थाओं में मौजूद हो सकते हैं, लेकिन यही नाजुकता उन्हें मामूली से मामूली व्यवधान के प्रति अविश्वसनीय रूप से संवेदनशील बनाती है। गर्मी की एक हल्की लहर या एक भटकता हुआ चुंबकीय क्षेत्र डेटा को अस्त-व्यस्त कर सकता है, जिससे मशीन विफल हो सकती है। इसे रोकने के लिए, शोधकर्ता क्वांटertum एरर करेक्शन (क्वांटम त्रुटि सुधार) का उपयोग करते हैं, जो एक विधि है जिसमें सूचना के एक एकल टुकड़े को कई भौतिक कणों में फैला दिया जाता है। यदि एक कण दूषित हो जाता है, तो सिस्टम डेटा को सीधे देखे बिना त्रुटि का पता लगा सकता है और उसे ठीक कर सकता है, क्योंकि सीधे देखने से वह नष्ट हो जाएगा। लक्ष्य इस सूचना को इतना मजबूती से संग्रहीत करने का तरीका खोजना है कि कंप्यूटर बिना ध्वस्त हुए लंबे समय तक चल सके।
दशकों से, इन त्रुटि-सुधार कोड्स के लिए सबसे आशाजनक डिजाइन टोपोलॉजी (topological) पर आधारित रहे हैं, जो गणित की एक शाखा है जो आकृतियों और उनके आपस में जुड़े रहने के अध्ययन पर केंद्रित है। एक रस्सी पर बंधी गांठ की कल्पना करें; आप रस्सी को खींच या मरोड़ सकते हैं, लेकिन आप रस्सी को काटे बिना गांठ को नहीं खोल सकते। इसी तरह, टोपोलॉजिकल कोड सूचना को व्यक्तिगत कणों की स्थानीय अवस्था के बजाय सिस्टम के वैश्विक आकार (global shape) में संग्रहीत करते हैं। यह सूचना को नष्ट करना कठिन बनाता है क्योंकि एक स्थानीय त्रुटि वैश्विक आकार को नहीं बदल सकती। हालांकि, जबकि ये टोपोलिकल कोड डेटा की सुरक्षा करने में उत्कृष्ट हैं, उनकी एक सीमा है कि वे कितनी अधिक शोर (noise) को सहन कर सकते हैं इससे पहले कि सुरक्षा टूट जाए। वैज्ञानिक ऐसे नए प्रकार के कोड की तलाश कर रहे हैं जो और भी अधिक अराजकता का सामना कर सकें, ऐसी संरचनाओं की खोज कर रहे हैं जो न केवल टोपोलॉजिकल रूप से सुरक्षित हों, बल्कि गहरे और अधिक कठोर नियमों द्वारा नियंत्रित भी हों।
लुडविग-मैक्सिमिलियन-यूनिवर्सिटैट म्यूनिख में जियोवानी कैनोसा का हालिया डॉक्टोरल थीसिस इस खोज के एक नए मोर्चे पर ध्यान केंद्रित करता है, जो 'फ्रैक्टोन मॉडल्स' (fracton models) नामक विदेशी सामग्रियों के एक वर्ग पर केंद्रित है। ये मॉडल पदार्थ की एक ऐसी अवस्था का वर्णन करते हैं जहाँ कण, या उत्तेजनाएं (excitations), गैस के अणुओं या तार में इलेक्ट्रॉनों की तरह स्वतंत्र रूप से घूमने के लिए स्वतंत्र नहीं होते हैं। इसके बजाय, वे एक ही स्थान पर फंसे होते हैं या केवल बहुत विशिष्ट, प्रतिबंधित तरीकों से चल सकते हैं, जैसे कि वे एक ऐसे पिंजरे में फंसे हों जो केवल कुछ विशेष चालों के लिए खुलता है। यह अत्यधिक प्रतिबंध, जो अंतर्निहित भौतिकी में जटिल समरूपताओं (symmetries) से उत्पन्न होता है, यह सुझाव देता है कि ये सिस्टम त्रुटियों के प्रति अविश्वसनीय रूप से प्रतिरोधी हो सकते हैं। कैनोसा का कार्य इस बात की जांच करता है कि क्या ये फ्रैक्टोन मॉडल अगली पीढ़ी की क्वांटम मेमोरी का आधार बन सकते हैं, और यदि ऐसा है, तो वे हमारे पास मौजूद सर्वोत्तम कोड की तुलना में कैसा प्रदर्शन करते हैं।
अनुसंधान समस्या के शास्त्रीय (classical) पक्ष को देखते हुए शुरू होता है, जो चुंबकीय स्पिन के सरलीकृत मॉडलों का अध्ययन करता है जो विशिष्ट समरूपता नियमों के अनुसार व्यवहार करते हैं। इन मॉडलों में, स्पिन तीन-आयामी ग्रिडों में व्यवस्थित होते हैं, और उन्हें नियंत्रित करने वाले नियम पूरे प्लेन को पलटने या स्पिन के जटिल, स्व-दोहराने वाले फ्रैक्टल पैटर्न को एक साथ बदलने से संबंधित होते हैं। कैनोसा और उनकी टीम ने इन प्रणालियों का अनुकरण (simulate) किया ताकि यह देखा जा सके कि वे गर्म होने पर कैसा व्यवहार करती हैं। उन्होंने पाया कि ये प्रणालियाँ एक नाटकीय परिवर्तन से गुजरती हैं, जो एक अव्यवस्थित अवस्था से एक व्यवस्थित अवस्था में बदल जाती है, लेकिन यह परिवर्तन बहुत तीव्र और अचानक होता है, जो साधारण सामग्रियों में देखे जाने वाले क्रमिक संक्रमणों के विपरीत है। यह तीव्र संक्रमण एक अत्यधिक स्थिर व्यवस्थित अवस्था का संकेत है, जो एक मेमोरी डिवाइस के लिए एक अच्छा संकेत है। महत्वपूर्ण रूप से, टीम ने पाया कि जिस तरह से ये प्रणालियाँ खुद को व्यवस्थित करती हैं, वह उनके ज्यामिति से एक अनूठे तरीके से जुड़ी हुई है, जिससे संभावित स्थिर अवस्थाओं की एक विशाल संख्या बनती है जिन्हें एक-दूसरे से भ्रमित करना कठिन होता है।
अगला कदम इन शास्त्रीय निष्कर्षों को क्वांटम त्रुटि सुधार की भाषा में अनुवादित करना था। अपने शास्त्रीय नियमों को क्वांटम बाधाओं में बदलने की एक गणितीय प्रक्रिया लागू करके, शोधकर्ताओं ने दो विशिष्ट क्वांटम कोड बनाए: चेकरबोर्ड मॉडल (Checkerboard model) और हा का कोड (Haah's code)। ये कोड इस तरह से डिज़ाइन किए गए हैं कि त्रुटियां ऐसे दोष (defects) पैदा करती हैं जो एक ही स्थान पर स्थिर रहते हैं, ठीक वैसे ही जैसे फ्रैक्टोन मॉडल्स में कण होते हैं। चूंकि त्रुटियां स्वतंत्र रूप से फैलने के लिए मुक्त रूप से नहीं घूम सकतीं, इसलिए उनके कारण विनाशकारी विफलता होने की संभावना कम होती है। टीम ने यह महत्वपूर्ण प्रश्न पूछा: ये कोड विफल होने से पहले वास्तव में कितना शोर सहन कर सकते हैं? इसका उत्तर देने के लिए, उन्होंने एक शक्तिशाली तकनीक का उपयोग किया जो त्रुटियों को डिकोड करने की समस्या को तापीय भौतिकी (thermal physics) की समस्या में मैप करती है, जिससे वे कंप्यूटर सिमुलेशन का उपयोग करके कोड की सीमाओं की भविष्यवाणी कर सकते हैं।
परिणाम चौंकाने वाले थे। चेकरबोर्ड मॉडल के लिए, शोधकर्ताओं ने निर्धारित किया कि यह लगभग 0.107 की त्रुटि दर को सहन कर सकता है, जिसका अर्थ है कि यह सही ढंग से कार्य कर सकता है भले ही इसके लगभग 10.7 प्रतिशत भौतिक घटक दूषित हो जाएं। यह एक उल्लेखनीय उच्च संख्या है, जो इस प्रकार के कोड के सैद्धांतिक अधिकतम सीमा, जो लगभग 11 प्रतिशत है, के ठीक नीचे है। वास्तव में, यह अब तक पाया गया उच्चतम त्रुटि थ्रेशोल्ड (error threshold) है जिसे एक तीन-आयामी क्वांटम कोड के लिए माना गया है, जो अन्य टोपोलॉजिकल कोडों द्वारा बनाए गए पिछले रिकॉर्ड को पीछे छोड़ देता है। अध्ययन का सुझाव है कि चेकरबोर्ड मॉडल न केवल एक सैद्धांतिक जिज्ञासा है, बल्कि एक मजबूत क्वांटम मेमोरी बनाने के लिए एक अत्यधिक व्यावहारिक उम्मीदवार भी है। इसके अलावा, शोधकर्ताओं ने पाया कि शास्त्रीय मॉडलों और क्वांटम कोड के बीच गणितीय संबंध इतना मजबूत है कि यह उन्हें अन्य, अधिक जटिल कोड, जैसे कि हा का कोड, के प्रदर्शन की उच्च विश्वास के साथ भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है। उन्हें संदेह है कि हा का कोड भी इस सैद्धांतिक सीमा के करीब प्रदर्शन करेगा, हालांकि इसे सिद्ध करने के लिए और भी कठिन सिमुलेशन की आवश्यकता है।
हालांकि परिणाम उत्साहजनक हैं, फिर भी यह कार्य उन चुनौतियों को भी उजागर करता है जो शेष हैं। यहाँ अध्ययन किए गए कोड एक विशिष्ट प्रकार के शोर के लिए डिज़ाइन किए गए हैं जहाँ त्रुटियां स्वतंत्र रूप से और यादृच्छिक रूप से होती हैं। एक वास्तविक दुनिया के क्वांटम कंप्यूटर में, त्रुटियां अक्सर समय और स्थान में सह-संबंधित (correlated) होती हैं, जिससे समस्या बहुत कठिन हो जाती है। शोधकर्ता नोट करते हैं कि जबकि उनके निष्कर्ष एक मजबूत आधार स्थापित करते हैं, वास्तविक, जटिल शोर पैटर्न के खिलाफ फ्रैक्टोन कोड की पूर्ण क्षमता अभी भी एक खुला प्रश्न है। फिर भी, शास्त्रीय चुंबकीय मॉडलों के व्यवहार को क्वांटम कोड के प्रदर्शन से जोड़कर, यह शोध बेहतर त्रुटि सुधार के लिए एक रोडमैप प्रदान करता है। यह दिखाता है कि फ्रैक्टोन चरणों की कठोर, अचल प्रकृति का लाभ उठाकर, हम क्वांटम मेमोरी बना सकते हैं जो पहले से सोची गई क्षमता से कहीं अधिक लचीली है, जो एक स्थिर, बड़े पैमाने के क्वांटम कंप्यूटर के सपने को वास्तविकता के एक कदम और करीब ले आती है।
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