Statistical complexity from fluctuations in the information content

जटिल प्रणालियों के अध्ययन में, वैज्ञानिक अक्सर एक अवधारणा की ओर मुड़ते हैं जिसे एंट्रॉपी (entropy) कहा जाता है, ताकि यह मापा जा सके कि एक प्रणाली कितनी जानकारी रखती है या उसका भविष्य कितना अनिश्चित हो सकता है। एंट्रॉपी को उस औसत आश्चर्य (surprise) के माप के रूप में समझें जो आप तब महसूस करेंगे जब आप उस प्रणाली की स्थिति को देखेंगे; एक प्रणाली जो पूरी तरह से पूर्वानुमेय (predictable) है, उसकी एंट्रॉपी कम होती है, जबकि एक प्रणाली जो पूरी तरह से यादृच्छिक (random) है, उसकी एंट्रॉपी उच्च होती है। हालाँकि, एंट्रॉपी अकेले केवल कहानी का एक हिस्सा बताती है। दो बहुत अलग प्रणालियों में बिल्कुल समान औसत आश्चर्य हो सकता है, लेकिन उनकी आंतरिक संरचना पूरी तरह से भिन्न हो सकती है। एक एक कठोर, व्यवस्थित मशीन हो सकती है, जबकि दूसरी एक अराजक मिश्रण। जटिलता को वास्तव में समझने के लिए, शोधकर्ताओं को न केवल औसत को, बल्कि यह देखने के लिए भी एक तरीके की आवश्यकता होती है कि प्रणाली के व्यक्तिगत हिस्से उस औसत से कितना भिन्न होते हैं। यह वह प्रश्न है जिसका उत्तर देने के लिए ब्राजील के भौतिकविदों की एक टीम ने प्रयास किया, जिसमें उन्होंने चुंबकों से लेकर अराजक मौसम के पैटर्न तक, हर चीज़ की छिपी हुई संरचना को मापने का एक नया तरीका प्रस्तावित किया।

शोधकर्ता, जो मारिंगा और रियो डी जनेरियो के विश्वविद्यालयों में कार्यरत थे, एक विशिष्ट गणितीय विचार पर केंद्रित थे: सूचना सामग्री का विचरण (variance of information content)। सरल शब्दों में, जबकि एंट्रॉपी एक प्रणाली में औसत आश्चर्य की मात्रा को मापती है, उनका नया माप, जिसे वे सांख्यिकीय जटिलता (statistical complexity) कहते हैं, यह मापता है कि वह आश्चर्य कितना उतार-चढ़ाव करता है। यदि आप एक ऐसी प्रणाली की कल्पना करें जहाँ प्रत्येक संभावित परिणाम समान रूप से संभावित है, तो आश्चर्य स्थिर रहता है, और उतार-चढ़ाव शून्य होता है। यदि प्रणाली पूरी तरह से व्यवस्थित है, तो आश्चर्य भी स्थिर होता है, और उतार-चढ़ाव फिर से शून्य होता है। शोधकर्ताओं ने पाया कि सबसे दिलचस्प व्यवहार बीच में होता है, जहाँ प्रणाली न तो पूरी तरह से व्यवस्थित होती है और न ही पूरी तरह से यादृच्छिक। इन मध्यवर्ती अवस्थाओं में, आश्चर्य की मात्रा एक क्षण से दूसरे क्षण में काफी भिन्न होती है, और यही वह भिन्नता है जिसे उनका माप पकड़ता है।

अपने विचार का परीक्षण करने के लिए, टीम ने पहले कुछ ही संभावित अवस्थाओं वाली सरल प्रणालियों को देखा। उन्होंने पाया कि उनका माप सही ढंग से पहचानता है कि सबसे जटिल अवस्थाएँ व्यवस्था और अराजकता के बीच के मार्ग के बीच में नहीं थीं, बल्कि वास्तव में व्यवस्थित पक्ष की ओर थोड़ी झुकी हुई थीं। यह सहज रूप से समझ में आता है क्योंकि एक प्रणाली जो लगभग व्यवस्थित है, वह बहुत संवेदनशील होती है; एक छोटा सा परिवर्तन यह होने में बड़ा बदलाव ला सकता है कि आगे क्या होगा, जिससे सूचना में बड़े उतार-चढ़ाव पैदा होते हैं। इसके विपरीत, एक प्रणाली जो पहले से ही अराजक है, छोटे परिवर्तनों के प्रति कम संवेदनशील होती है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि जैसे-जैसे एक प्रणाली में संभावित अवस्थाओं की संख्या बढ़ती है, जटिलता का यह शिखर स्पष्ट बना रहता है, जो इस बात का स्पष्ट संकेत देता है कि प्रणाली कहाँ सबसे अधिक संरचित है।

अध्ययन फिर भौतिकी की एक क्लासिक समस्या की ओर बढ़ा: चुंबकों का व्यवहार, जिसे 'टू-डायमेंशनल आइसिंग मॉडल' (two-dimensional Ising model) कहा जाता है। यह मॉडल बताता है कि तापमान बदलने के साथ सूक्ष्म चुंबकीय स्पिन एक-दूसरे के साथ कैसे संरेखित (align) होते हैं। बहुत कम तापमान पर, सभी स्पिन पूर्ण व्यवस्था में एक पंक्ति में होते हैं। बहुत उच्च तापमान पर, वे यादृच्छिक दिशाओं में संकेत करते हैं। इनके बीच में कहीं, एक विशिष्ट महत्वपूर्ण तापमान (critical temperature) पर, प्रणाली एक चरण संक्रमण (phase transition) से गुजरती है, जो व्यवस्था से अव्यवस्था की ओर बदल जाती है। शोधकर्ताओं ने पाया कि उनकी जटिलता का माप ठीक इसी महत्वपूर्ण तापमान पर चरम पर होता है। यह एक महत्वपूर्ण खोज है क्योंकि यह सूचना जटिलता के अमूर्त विचार को सीधे भौतिक ऊष्मा क्षमता (heat capacity) और ऊर्जा के उतार-चढ़ाव से जोड़ती है। इस संदर्भ में, जटिलता का माप संरचनात्मक परिवर्तन के लिए एक थर्मामीटर की तरह कार्य करता है, जो ठीक उसी समय अधिकतम तक पहुँचता है जब प्रणाली सबसे अधिक अस्थिर होती है और एक बड़े परिवर्तन से गुजर रही होती है।

यह देखने के लिए कि क्या यह विचार उन प्रणालियों के लिए काम करता है जो तापीय संतुलन (thermal equilibrium) में नहीं हैं, टीम ने अपने माप को अराजक मानचित्रों (chaotic maps) पर लागू किया, जो गणितीय मॉडल हैं जिनका उपयोग यह वर्णन करने के लिए किया जाता है कि कैसे सरल नियम जटिल, अप्रत्याशित व्यवहार उत्पन्न कर सकते हैं। उन्होंने इन मॉडलों का मौजूदा जटिलता मापों के साथ परीक्षण किया। परिणामों ने दिखाया कि उनका माप गति के विभिन्न प्रकारों के बीच अंतर कर सकता है, जो अन्य नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, लॉजिस्टिक मैप (logistic map) के रूप में ज्ञात एक विशिष्ट अराजक प्रणाली में, शोधकर्ताओं ने पाया कि जब प्रणाली एक नियमित, दोहराव वाले पैटर्न में स्थिर हो गई, तो उनका माप तेजी से गिर गया, जबकि अन्य मापों ने एक शिखर दिखाया। यह सुझाव देता है कि उनका दृष्टिकोण विशेष रूप से यह पहचानने में सक्षम है कि कब एक अराजक प्रणाली क्षण भर के लिए पूर्वानुमेय हो जाती है, एक ऐसा सूक्ष्म अंतर जिसे अन्य उपकरण अक्सर छोड़ देते हैं। उन्होंने फ्रैक्शनल गौसियन नॉइज़ (fractional Gaussian noise) पर भी इस माप का परीक्षण किया, जो प्रकृति में पाए जाने वाले एक प्रकार के सिग्नल का प्रकार है, और पाया कि यह उन सिग्नलों को स्पष्ट रूप से अलग कर सकता है जो सह-संबंधित (correlated) हैं और जो नहीं हैं।

शोधकर्ताओं ने यह भी पता लगाया कि इस अवधारणा को अधिक सामान्य प्रकार के सांख्यिकी और यहाँ तक कि क्वांटम जगत तक कैसे विस्तारित किया जा सकता है। उन्होंने दिखाया कि इस माप को उन विभिन्न गणितीय ढाँचों के साथ काम करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है जो लंबी दूरी के कनेक्शन या गैर-मानक सांख्यिकी वाली प्रणालियों का वर्णन करते हैं। इसके अलावा, उन्होंने प्रदर्शन किया कि यही तर्क क्वांटम प्रणालियों पर भी लागू होता है, जहाँ माप एक क्वांटम अवस्था में सूचना के उतार-चढ़ाव का वर्णन करता है। हालाँकि यह माप अधिकतम मान द्वारा सीमित नहीं है, जिसका अर्थ है कि जैसे-जैसे प्रणाली बड़ी होती जाती है यह बढ़ता जा सकता है, लेखक तर्क देते हैं कि यह एक विशेषता है, दोष नहीं। यह माप को बड़े सिस्टम में उतार-चढ़ाव के वास्तविक विकास को प्रतिबिंबित करने की अनुमति देता है, विशेष रूप से उन महत्वपूर्ण बिंदुओं के पास जहाँ भौतिक गुण विचलित (diverge) हो सकते हैं।

अंततः, यह शोध पत्र तर्क देता है कि सूचना के उतार-चढ़ाव को देखना जटिलता को परिभाषित करने का एक स्वाभाविक और भौतिक रूप से आधारित तरीका प्रदान करता है। यह देखते हुए कि सूचना का आश्चर्य कैसे बदलता है, न कि केवल औसत आश्चर्य, शोधकर्ताओं ने एक ऐसा उपकरण बनाया है जो सूचना सिद्धांत को सीधे ऊष्मप्रवैगिकी (thermodynamics) और चरण संक्रमण के अध्ययन से जोड़ता है। उनका कार्य बताता है कि जटिलता केवल व्यवस्था और अराजकता के बीच का एक अस्पष्ट मध्य मार्ग नहीं है, बल्कि एक विशिष्ट, मापने योग्य अवस्था है जहाँ प्रणाली परिवर्तन के प्रति सबसे अधिक संवेदनशील होती है। यह परिप्रेक्ष्य व्यवस्था और अराजकता के बीच के व्यवहार से लेकर अराजक प्रणालियों की गतिशीलता तक, सब कुछ देखने के लिए एक नया लेंस प्रदान करता है, जो हमारे आस-पास की जटिल दुनिया की संरचना को समझने का एक एकीकृत तरीका प्रदान करता है।