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Quantifying Entangling Power of Controlled Unitary Gates

यह शोधपत्र एक गणनीय मात्रा $\zeta$ प्रस्तुत करता है जो आउटपुट अवस्था के निर्माण की आवश्यकता के बिना, किसी भी विशिष्ट इनपुट के लिए नियंत्रित यूनिटरी गेट्स द्वारा उत्पन्न एंटैंगलमेंट (entanglement) को परिमाणित करता है, जबकि इसकी चरम स्थितियों, सार्वभौमिक सीमाओं और अन्य एंटैंगलमेंट मापों के साथ कार्यात्मक संबंधों को स्थापित करता है।

मूल लेखक: Ankur Haldar, Pankaj Agrawal, Prasenjit Deb

प्रकाशित 2026-08-24

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ankur Haldar, Pankaj Agrawal, Prasenjit Deb

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

क्वांटम कंप्यूटिंग की दुनिया में, सूचना को क्यूबिट्स (qubits) नामक सूक्ष्म कणों में संग्रहीत किया जाता है। एक मानक कंप्यूटर के बिट्स के विपरीत, जो या तो शून्य या एक होते हैं, क्यूबिट्स एक साथ दोनों अवस्थाओं के एक नाजुक मिश्रण में रह सकते हैं। यह क्षमता उन्हें ऐसी गणनाएं करने की अनुमति देती है जिनमें शास्त्रीय मशीनों को असंभव रूप से अधिक समय लगेगा। हालाँकि, इन मशीनों की वास्तविक शक्ति 'एंटैंगलमेंट' (entanglement) नामक एक घटना से आती है। जब दो क्यूबिट्स एंटैंगल (entangled) हो जाते हैं, तो वे अपनी व्यक्तिगत पहचान खो देते हैं और एक एकल, एकीकृत प्रणाली के रूप में व्यवहार करते हैं, चाहे वे एक-दूसरे से कितनी भी दूर क्यों न हों। इस संबंध को बनाना क्वांटम नेटवर्क बनाने और जटिल एल्गोरिदम चलाने में सबसे महत्वपूर्ण कदम है। ऐसा करने के लिए, वैज्ञानिक 'कंट्रोल्ड गेट्स' (controlled gates) के रूप में जाने जाने वाले विशेष ऑपरेशनों का उपयोग करते हैं। ये गेट एक स्विच की तरह कार्य करते हैं: यदि एक क्यूबिट एक विशिष्ट अवस्था में है, तो गेट दूसरे क्यूबिट पर एक क्रिया करता है; यदि पहला क्यूबिट एक अलग अवस्था में है, तो दूसरे पर कुछ नहीं होता है। जबकि इंजीनियर जानते हैं कि ये गेट एंटैंगलमेंट पैदा कर सकते हैं, किसी भी दिए गए सेटअप के लिए उस संबंध की ताकत का सटीक अनुमान लगाना एक कठिन समस्या रही है।

वर्षों तक, यह जानने का एकमात्र तरीका कि एक विशिष्ट गेट कितना एंटैंगलमेंट उत्पन्न करेगा, पूरे प्रक्रम का कंप्यूटर पर पूर्ण सिमुलेशन चलाना था या हजारों यादृच्छिक शुरुआती स्थितियों के विरुद्ध गेट का परीक्षण करना और परिणामों का औसत निकालना था। ये विधियाँ धीमी हैं और जैसे-जैसे क्यूबिट्स की संख्या बढ़ती है, वे असंभव रूप से महंगी होती जाती हैं। भारत के शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब इस पहेली को हल करने का एक नया, बहुत तेज़ तरीका पेश किया है। उन्होंने एक सरल संख्या विकसित की है, जिसे वे एक 'मात्रा' (quantity) कहते हैं, जो एक गेट की एंटैंगलमेंट पैदा करने की क्षमता के प्रत्यक्ष माप के रूप में कार्य करती है। इस नए उपकरण के लिए कणों की अंतिम अवस्था का सिमुलेशन करने या अंतहीन परीक्षण चलाने की आवश्यकता नहीं है। इसके बजाय, यह केवल प्रारंभिक सेटअप को देखता है: विभिन्न अवस्थाओं में कंट्रोल क्यूबिट होने की प्रायिकता और गेट द्वारा की जाने वाली क्रियाओं के बीच गणितीय संबंध। केवल इस जानकारी के साथ, शोधकर्ता आपको तुरंत बता सकते हैं कि क्या एक गेट एंटैगलमेंट पैदा करेगा, वह कितना पैदा करेगा, और सबसे मजबूत संबंध प्राप्त करने के लिए सटीक इनपुट स्थितियाँ क्या होनी चाहिए।

शोधकर्ताओं ने सबसे पहले अपने विचार का परीक्षण सबसे सरल संभव प्रणाली पर किया: दो क्यूबिट्स। उन्होंने पाया कि उत्पन्न होने वाला एंटैंगलमेंट पूरी तरह से दो चीजों पर निर्भर करता है। पहला, कंट्रोल क्यूबिट को "सुपरपोजिशन" (superposition) की अवस्था में होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि वह निश्चित रूप से शून्य या एक नहीं है, बल्कि दोनों का मिश्रण है। यदि कंट्रोल क्यूबिट एक एकल अवस्था में अटका हुआ है, तो गेट लिंक नहीं बना सकता। दूसरा, टारगेट क्यूबिट को गेट की क्रिया के सापेक्ष एक विशिष्ट तरीके से तैयार किया जाना चाहिए। टीम ने सिद्ध किया कि अधिकतम संभव एंटैंगलमेंट प्राप्त करने के लिए, गेट को इस तरह से डिज़ाइन किया जाना चाहिए कि उसका अंतर्निहित गणितीय ऑपरेशन एक विशिष्ट गुण रखता हो: उसका कुल 'ट्रेस' (trace) शून्य होना चाहिए। सरल शब्दों में, इसका अर्थ है कि गेट को इस तरह संतुलित होना चाहिए कि वह कुछ आंतरिक प्रभावों को रद्द कर सके। यदि यह स्थिति पूरी होती है, और कंट्रोल क्यूबिट को सही ढंग से तैयार किया जाता है, तो दोनों क्यूबिट्स अधिकतम रूप से एंटैंगल हो जाएंगे। यदि यह स्थिति पूरी नहीं होती है, तो एंटैंगलमेंट कमजोर होगा, या अस्तित्वहीन होगा।

टीम ने फिर अपने काम का विस्तार बहुत बड़े सिस्टमों को संभालने के लिए किया, जहाँ कंट्रोल और टारगेट खंडों में केवल एक के बजाय कई क्यूबिट्स होते हैं। उन्होंने एक सार्वभौमिक सीमा, एक 'सीलिंग' (ceiling), व्युत्पन्न की कि कोई भी ऐसा गेट कितना एंटैंगलमेंट पैदा कर सकता है, चाहे उसकी जटिलता कुछ भी हो। यह सीमा क्यूबिट्स के दो समूहों में से छोटे समूह के आकार द्वारा निर्धारित होती है। आश्चर्यजनक रूप से, उन्होंने पाया कि इस अधिकतम सीमा तक पहुँचने के लिए, आपको कंट्रोल क्यूबिट्स को सभी संभावित अवस्थाओं के एक समान, समरूप मिश्रण में तैयार करने की आवश्यकता नहीं है। इसके बजाय, आपको केवल गेट के भीतर एक विशिष्ट संख्या में पथों (pathways) को सक्रिय करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, चार कंट्रोल पथों वाले गेट में, आपको सर्वोत्तम परिणाम प्राप्त करने के लिए चारों का समान रूप से उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि केवल दो विशिष्ट पथों पर प्रायिकता केंद्रित करके, टोफ़ोली गेट (Toffoli gate) जैसा गेट—जो एक मानक तीन-क्यूबिट ऑपरेशन है—अपनी अधिकतम एंटैंगलमेंट क्षमता प्राप्त कर सकता है। यह निष्कर्ष इस धारणा को चुनौती देता है कि सभी संभावनाओं में इनपुट को समान रूप से फैलाना हमेशा सबसे अच्छी रणनीति होती है।

अपने नए नंबर को एक वैध माप सुनिश्चित करने के लिए, शोधकर्ताओं ने इसे शुद्धता (purity) और एंट्रॉपी (entropy) जैसे अन्य स्थापित एंटैंगलमेंट मापों से जोड़ा। उन्होंने प्रदर्शित किया कि उनकी मात्रा इन मानक मापों के साथ गणितीय रूप से जुड़ी हुई है, जो यह सिद्ध करती है कि यह केवल एक नई गणना नहीं है बल्कि भौतिक वास्तविकता का एक वास्तविक प्रतिबिंब है। वास्तव में, दो-क्यूबिट सिस्टम के लिए, उनकी संख्या 'कन्करेंस' (concurrence) नामक एक प्रसिद्ध माप से सीधे संबंधित है। उन्होंने यह भी दिखाया कि कैसे वे कणों की पूरी, जटिल अवस्था की गणना किए बिना सिस्टम की एंट्रॉपी, या विकार (disorder), का अनुमान लगाने के लिए अपने तरीके का उपयोग कर सकते हैं। यह टूल सर्किटों को डिजाइन करने के लिए अविश्वसनीय रूप से कुशल बनाता है, क्योंकि यह इंजीनियरों को गेट को बनाने या उसका सिमुलेशन चलाने से पहले ही उसके प्रदर्शन की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है।

शोधकर्ताओं ने अपने परिणामों की तुलना पिछले अध्ययनों से की, जिन्होंने विभिन्न गेट आकारों के लिए सर्वोत्तम संभव एंटैंगलमेंट की गणना की थी। उन्होंने पाया कि विभिन्न विशिष्ट संयोजनों के लिए, उनके तरीके ने उन पहले के, अधिक जटिल अध्ययनों में पाए गए सटीक इष्टतम मानों को पुनरुत्पादित किया। यह सुझाव देता है कि इन विशिष्ट मामलों के लिए, नियंत्रित गेट आर्किटेक्चर न केवल एक सुविधाजनक सन्निकटन (approximation) है, बल्कि एंटैंगलमेंट उत्पन्न करने का सबसे अच्छा तरीका भी है। हालाँकि, उन्होंने यह भी नोट किया कि अन्य संयोजनों के लिए, जैसे कि तीन-क्यूबिट कंट्रोल और चार-क्यूबिट टारगेट, उनका सिंगल-गेट दृष्टिकोण सैद्धांतिक अधिकतम से थोड़ा पीछे रह गया। यह इंगित करता है कि जबकि उनका तरीका कई सामान्य परिदृश्यों के लिए इष्टतम है, ऐसे अधिक जटिल मामले भी हैं जहाँ पूर्ण प्रदर्शन तक पहुँचने के लिए कई गेटों को संयोजित करने की आवश्यकता हो सकती है।

इस कार्य का परम मूल्य इसकी सरलता और गति में निहित है। एंटैंगलमेंट की समस्या को प्रायिकता और ओवरलैप पर आधारित गणना में बदलकर, शोधकर्ताओं ने एक ऐसा टूल प्रदान किया है जो कुशलतापूर्वक स्केल करता है। जैसे-जैसे क्वांटम कंप्यूटर बड़े होते जा रहे हैं, हर संभावित परिणाम का सिमुलेशन करना असंभव होता जा रहा है। यह नया दृष्टिकोण वैज्ञानिकों को एक गेट के ब्लूप्रिंट को देखने और यह जानने की अनुमति देता है कि वह कितनी अच्छी तरह प्रदर्शन करेगा। यह बेहतर क्वांटम सर्किटों को डिजाइन करने और क्वांटम सिस्टमों के बीच कितनी जानकारी साझा की जा सकती है, इसके मौलिक स्तरों को समझने के लिए एक स्पष्ट मार्ग प्रदान करता है। यह कार्य पुष्टि करता है कि एंटैंगलमेंट उत्पन्न करने की क्षमता जटिल सिमुलेशन में छिपी कोई रहस्यमय चीज़ नहीं है, बल्कि एक अनुमानित गुण है जिसे सीधे गेट के डिज़ाइन से मापा जा सकता है।

तकनीकी सारांश: नियंत्रित यूनिटरी गेट्स की एंटैंगलिंग शक्ति का परिमाणीकरण

समस्या विवरण
एंटैंगलमेंट (उलझाव) का सृजन क्वांटम सूचना प्रसंस्करण में एक मौलिक संसाधन है, जो आमतौर पर नियंत्रित यूनिटरी गेट्स के माध्यम से प्राप्त किया जाता है। किसी विशिष्ट गेट की एंटैंगलिंग शक्ति का आकलन करने वाली मौजूदा विधियाँ दो श्रेणियों में आती हैं: एंटैंगलिंग सर्किट का सीधा सिमुलेशन, जिसमें रजिस्टर के आकार के साथ घातीय (exponential) कम्प्यूटेशनल लागत आती है, या इनपुट अवस्थाओं के वितरण पर औसत निकालना (ऑपरेटर एंटैंगलिंग पावर), जो गेट के औसत प्रदर्शन को तो स्पष्ट करता है लेकिन विशिष्ट इनपुट्स के लिए एंटैंगलमेंट को मात्रात्मक रूप से नहीं बताता है। इसके अलावा, ये उपकरण अक्सर आदर्श, शोर-मुक्त परिदृश्यों को मानते हैं और पूर्ण आउटपुट स्टेट वेक्टर के निर्माण की आवश्यकता रखते हैं। एक ऐसी गणना योग्य मात्रा की आवश्यकता है जो पूर्ण स्टेट सिमुलेशन के बिना, विशिष्ट इनपुट्स के लिए एंटैंगलमेंट को निर्धारित और परिमाणित कर सके, और जो दो-क्यूबिट और मनमाने बहु-क्यूबिट नियंत्रित यूनिटरी आर्किटेक्चर दोनों के लिए लागू हो सके।

कार्यप्रणाली
लेखक एक गणना योग्य मात्रा प्रस्तुत करते हैं, जिसे $\zeta$ के रूप में दर्शाया गया है, जो नियंत्रित यूनिटरी गेट्स के लिए परिभाषित है। कार्यप्रणाली तीन चरणों में आगे बढ़ती है:

दो-क्यूबिट विश्लेषण: $\zeta$ को पहले दो-क्यूबिट प्रणालियों के लिए व्युत्पन्न किया गया है। एक सामान्यीकृत नियंत्रित यूनिटरी (GCU) गेट के लिए जहाँ कंट्रोल क्यूबिट अवस्था $|0\rangle$ या $|1\rangle$ में है और टारगेट (लक्ष्य) क्रमशः $U_0$ या $U_1$ यूनिटरीज से गुजरता है, $\zeta$ को कंट्रोल क्यूबिट के संभाव्यता वितरण ( $a^2, 1-a^2$ ) और कंट्रोल अवस्था पर आधारित टारगेट यूनिटरीज के ट्रेस ओवरलैप (trace overlaps) के रूप में व्यक्त किया जाता है।
बहु-क्यूबिट प्रणालियों में सामान्यीकरण: परिभाषा को $m$ -क्यूबिट कंट्रोल रजिस्टर और $n$ -क्यूबिट टारगेट रजिस्टर वाली प्रणालियों के लिए विस्तारित किया गया है। GCU आर्किटेक्चर को $GCU = \sum_{i=0}^{2^m-1} |i\rangle\langle i| \otimes U_i$ के रूप में परिभाषित किया गया है। मात्रा $\zeta$ को सभी अद्वितीय कंट्रोल शाखाओं के युग्मवार (pairwise) यूनिटरी डिस्टिंग्विशेबिलिटी के भारित योग (weighted sum) के रूप में सामान्यीकृत किया गया है:
$\zeta = \sum_{i<j} p_i p_j \left[ 1 - \text{Tr}(U_i \rho_t U_j^\dagger) \text{Tr}(U_j \rho_t U_i^\dagger) \right]$
जहाँ $p_i$ कंट्रोल बेसिस अवस्थाओं के जनसंख्या (populations) हैं और $\rho_t$ प्रारंभिक टारगेट अवस्था है।
सैद्धांतिक व्युत्पत्ति: लेखक $\zeta$ के चरम मानों (extremum values) के लिए भौतिक स्थितियों को व्युत्पन्न करते हैं, एक सार्वभौमिक ऊपरी सीमा (universal upper bound) स्थापित करते हैं, और $\zeta$ तथा मानक एंटैंगलमेंट मापों (प्योरिटी, लीनियर एंट्रॉपी, कॉनकरेंस, और वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी) के बीच कार्यात्मक संबंध स्थापित करते हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम

$\zeta$ की परिभाषा: पेपर $\zeta$ को एक ऐसी मात्रा के रूप में परिभाषित करता है जो केवल कंट्रोल रजिस्टर के बेसिस अवस्थाओं के संभाव्यता वितरण और टारगेट यूनिटरीज के युग्मवार ट्रेस ओवरलैप पर निर्भर करती है। महत्वपूर्ण रूप से, यह पूर्ण आउटपुट स्टेट वेक्टर के निर्माण की आवश्यकता के बिना किसी भी विशिष्ट इनपुट के लिए एंटैंगलमेंट को मात्रात्मक रूप से मापता है।
चरम मानों के लिए स्थितियाँ (दो-क्यूबिट):
- शून्य एंटैंगलमेंट ( $\zeta=0$ ): यह तब होता है यदि कंट्रोल क्यूबिट में सुसंगत सुपरपोजिशन (coherent superposition) का अभाव हो ( $a \in \{0, 1\}$ ) या यदि टारगेट क्यूबिट सापेक्ष यूनिटरी ऑपरेटर का आइजनस्टेट (eigenstate) हो।
- अधिकतम एंटैंगलमेंट ( $\zeta=1/4$ ): दो-क्यूबिट प्रणालियों के लिए, एक अधिकतम एंटैंगल्ड अवस्था तभी प्राप्त की जा सकती है जब कंट्रोल क्यूबिट एक समान सुपरपोजिशन ( $a=1/\sqrt{2}$ ) में हो और सापेक्ष यूनिटरी ऑपरेटर ट्रैसेलेस (traceless) हो ( $\text{Tr}(U_{rel}) = 0$ )।
सार्वभौमिक ऊपरी सीमा (बहु-क्यूबिट): एक GCU गेट के लिए जिसमें $m$ $m$ कंट्रोल क्यूबिट और $n$ $n$ टारगेट क्यूबिट हैं, लेखक एक सार्वभौमिक ऊपरी सीमा सिद्ध करते हैं:
$\zeta_{max} = \frac{2^d - 1}{2^{d+1}}$
जहाँ $d = \min(m, n)$ $d = min (m, n)$ है।
- संतृप्ति स्थिति (Saturation Condition): यह सीमा सभी $2^m$ कंट्रोल शाखाओं पर यूनिफॉर्म सुपरपोजिशन द्वारा संतृप्त नहीं होती है, बल्कि केवल $2^d$ कंट्रोल शाखाओं को समान संभाव्यता ( $2^{-d}$ ) के साथ आबादी देकर संतृप्त होती है, बशर्ते संबंधित टारगेट यूनिटरीज टारगेट अवस्था को परस्पर ऑर्थोगोनल छवियों (orthogonal images) में मैप करें।
- टोफोली गेट उदाहरण: पेपर दर्शाता है कि एक टोफोली गेट (2 कंट्रोल, 1 टारगेट) $\zeta_{max} = 1/4$ तक पहुँचता है जब कंट्रोल अवस्था को $p_{11} = 1/2$ के साथ तैयार किया जाता है (केवल $|11\rangle$ शाखा और एक अन्य को आबादी देकर), न कि सभी चार शाखाओं पर यूनिफॉर्म सुपरपोजिशन के साथ।
मानक मापों के साथ संबंध:
- प्योरिटी ( $\gamma$ ): $\gamma = 1 - 2\zeta$ ।
- सामान्यीकृत लीनियर एंट्रॉपी ( $S_L$ ): $S_L = \zeta / \zeta_{max}$ ।
- कॉनकरेंस ( $C$ ): दो-क्यूबिट प्योर स्टेट्स के लिए, $C = 2\sqrt{\zeta}$ ।
- वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी: लेखक न्यूटन की आइडेंटिटीज (Newton's identities) का उपयोग करके $\text{Tr}(\rho^k)$ को $\zeta$ के पदों में व्यक्त करने के लिए ट्रेस पावर्स को व्युत्पन्न करते हैं, जिससे वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी को सिंगल कंट्रोल क्यूबिट के लिए $\zeta$ के बहुपद (polynomial) के माध्यम से अनिश्चित काल तक क्रमबद्ध रूप से अनुमानित किया जा सकता है।
ऑपरेटर एंटैंगलिंग पावर: पेपर $\zeta$ $ζ$ को ज़ानार्डी एट अल. [5] द्वारा परिभाषित ऑपरेटर एंटैंगलिंग पावर ( $e_p$ $e_{p}$ ) से जोड़ता है। हाार-रैंडम (Haar-random) इनपुट्स पर $\zeta$ $ζ$ का औसत निकालकर, लेखक GCU आर्किटेक्चर के लिए एक क्लोज्ड-फॉर्म बाउंड व्युत्पन्न करते हैं:
$e_p^0(U) \leq \frac{(M-1)N}{(M+1)(N+1)}$
जहाँ $M$ $M$ कंट्रोल शाखाओं की संख्या है और $N$ $N$ टारगेट डायमेंशन है।
- इष्टतमता (Optimality): डायमेंशन पेयर्स $(d_1, d_2) = (2,2), (2,3), (2,4)$ के लिए, यह सीमा पिछले साहित्य से प्राप्त संख्यात्मक रूप से इष्टतम मानों को सटीक रूप से पुनरुत्पादित करती है, जो यह सुझाव देती है कि नियंत्रित यूनिटरी आर्किटेक्चर इन विशिष्ट आयामों के लिए एंटैंगलमेंट जनरेशन के लिए इष्टतम है। $(3,4)$ के लिए, एकल GCU ब्लॉक ग्लोबल ऑप्टिमम से कम रह जाता है।

महत्व और दावे

पेपर का दावा है कि प्रस्तावित मात्रा $\zeta$ गणनात्मकता (computability) और पूर्वानुमान क्षमता (predictability) में एक महत्वपूर्ण लाभ प्रदान करती है। यह सर्किट डिजाइनरों को पूर्ण स्टेट-वेक्टर सिमुलेशन की घातीय लागत से बचते हुए, इनपुट संभाव्यता वितरणों और यूनिटरी ओवरलैप से सीधे एक नियंत्रित यूनिटरी गेट द्वारा उत्पन्न एंटैंगलमेंट को मात्रात्मक रूप से मापने में सक्षम बनाता है।

लेखक तर्क देते हैं कि उनका ढांचा उन सटीक भौतिक स्थितियों (जैसे कि ट्रैसेलेसनेस ऑफ द रिलेटिव यूनिटरी) की पहचान करता है जो अधिकतम एंटैंगलमेंट उत्पन्न करने के लिए आवश्यक हैं। इसके अलावा, एंटैंगलिंग पावर पर व्युत्पन्न ऊपरी सीमा विशिष्ट आयामों के लिए मनमाने यूनिटरीज के सामान्य बाउंड की तुलना में अधिक सटीक (tighter) है, और कई मामलों में, यह प्रदर्शित करती है कि नियंत्रित यूनिटरी आर्किटेक्चर केवल एक ह्यूरिस्टिक प्रतिबंध नहीं है, बल्कि एंटैंगलमेंट जनरेशन के लिए इष्टतम विन्यास है। कार्य यह भी सुझाव देता है कि $\zeta$ टॉमोग्राफी-मुक्त अनुमान तकनीकों (जैसे हैडामार्ड टेस्ट) के साथ संगत है, जो वास्तविक हार्डवेयर पर एंटैंगलिंग गेट्स के विश्लेषण के लिए एक संसाधन-कुशल विधि प्रदान करता है, हालांकि लेखक नोट करते हैं कि वर्तमान ढांचा द्विपक्षीय (bipartite) सेटिंग्स तक ही सीमित है और इंट्रा-रजिस्टर एंटैंगलमेंट को कैप्चर नहीं करता है।

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