Power Series for the Quantum Statistical Mechanics Probability with Results for the Second Virial Coefficient of Helium
यह शोध पत्र क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी में विग्नर-किर्कवुड युग्म क्रम-विनिमेय फलन (Wigner-Kirkwood pair commutation function) के लिए एक पुनरावर्ती रूप से उत्पन्न शक्ति श्रेणी (recursively generated power series) प्रस्तुत करता है, जो 65 K से ऊपर के तापमान के लिए हीलियम के द्वितीय विरल गुणांक (second virial coefficient) को सफलतापूर्वक पुनरुत्पादित करता है और एक सामान्य क्वांटम मोंटे कार्लो एल्गोरिदम के लिए संभावित अनुप्रयोगों का सुझाव देता है।
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यह समझने के लिए कि पदार्थ बहुत ठंडा होने पर कैसा व्यवहार करता है, वैज्ञानिकों को दो ऐसी दुनियाओं के बीच सेतु बनाना होगा जो आमतौर पर एक-दूसरे के प्रतिकूल लगती हैं: रोजमर्रा की वस्तुओं की सुचारू, अनुमानित गति और परमाणुओं की चंचल, अनिश्चित प्रकृति। शास्त्रीय दुनिया में, यदि आप जानते हैं कि एक कण कहाँ है और वह कितनी तेजी से चल रहा है, तो आप सटीक भविष्यवाणी कर सकते हैं कि वह कहाँ जाएगा। लेकिन क्वांटम दुनिया में, जो परमाणुओं और अणुओं के व्यवहार को नियंत्रित करती है, कणों के निश्चित पथ नहीं होते हैं। इसके बजाय, वे संभावनाओं के एक धुंधलेपन (blur) के रूप में मौजूद होते हैं, और उनकी स्थिति और गति एक ऐसे तरीके से जुड़ी होती है जो सटीक भविष्यवाणी को असंभव बना देती है। यह क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी (quantum statistical mechanics) का क्षेत्र है, जो यह वर्णन करने का प्रयास करता है कि इन धुंधले कणों के विशाल समूह मिलकर कैसे कार्य करते हैं। दशकों से, कंप्यूटर सिमुलेशन इस क्वांटम धुंधलेपन को संभालने में संघर्ष करते रहे हैं, विशेष रूप से जब हीलियम जैसी गैसों के दबाव के तहत व्यवहार की भविष्यवाणी करने की कोशिश की जाती है। कठिनाई एक विशिष्ट गणितीय बाधा में निहित है जिसे 'कम्यूटेशन फंक्शन' (commutation function) कहा जाता है, जो एक जटिल गणना है जो एक-दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करने वाले कणों की क्वांटम अनिश्चितता को ध्यान में रखती है। इस गणना के विश्वसनीय तरीके के बिना, वैज्ञानिक ऐसे अनुमानों (approximations) का उपयोग करने के लिए मजबूर रहे हैं जो उच्च तापमान पर तो अच्छा काम करते हैं लेकिन चीजें ठंडी होने पर विफल हो जाते हैं, या ऐसी विधियों पर निर्भर रहे हैं जो गणनात्मक रूप से इतनी महंगी हैं कि वे केवल परमाणुओं के छोटे समूहों का ही सिमुलेशन कर सकती हैं।
फिल अटाड नामक एक शोधकर्ता ने इस समस्या से निपटने का एक नया तरीका प्रस्तावित किया है, जो 65 केल्विन से ऊपर के तापमान पर हीलियम गैस के व्यवहार की सफलतापूर्वक भविष्यवाणी करने वाला एक तरीका प्रदान करता है। इस कार्य का मूल एक नई गणितीय रेसिपी, या 'पावर सीरीज़' (power series) है, जो दो हीलियम परमाणुओं के बीच जटिल क्वांटम परस्पर क्रिया को संख्याओं की एक सरल सूची में तोड़ देती है जिसे कंप्यूटर स्वचालित रूप से उत्पन्न कर सकता है। पूरी क्वांटम पहेली को एक साथ हल करने के बजाय, यह विधि परमाणुओं के जोड़ों के बीच की परस्पर क्रिया पर ध्यान केंद्रित करती है, और उनके व्यवहार को पदों (terms) के एक अनुक्रम में विस्तारित करती है जो छोटे और छोटे होते जाते हैं। इस दृष्टिकोण ने शोधकर्ता को "सेकंड विरियल कोएफिशिएंट" (second virial coefficient) की गणना करने की अनुमति दी, जो एक विशिष्ट संख्या है जो हमें बताती है कि एक वास्तविक गैस, परमाणुओं के बीच के बलों के कारण, एक आदर्श गैस के व्यवहार से कितनी विचलित होती है। जब शोधकर्ता ने इस नई श्रृंखला को हीलियम पर लागू किया, तो परिणाम 65 केल्विन से ऊपर के तापमान के लिए वास्तविक प्रयोगशाला मापों से लगभग पूरी तरह मेल खा गए। यह सहमति महत्वपूर्ण है क्योंकि यह सुझाव देती है कि नए तरीके ने अंततः क्वांटम यांत्रिकी को एक ऐसे प्रारूप में अनुवादित करने का एक विश्वसनीय तरीका खोज लिया है जिसका उपयोग कंप्यूटर बड़े सिस्टम को सिम्युलेट करने के लिए कर सकते हैं, जिससे पहले की तुलना में परमाणुओं के बहुत बड़े समूहों के अध्ययन का मार्ग प्रशस्त हो सकता है।
इस नए तरीके की सफलता एक विशिष्ट नियम पर निर्भर करती है कि गणना को कैसे व्यवहार करने की अनुमति दी जानी चाहिए। इन क्वांटम परस्पर क्रियाओं के गणितीय विवरण में, गणना का एक हिस्सा ऐसा है जो काल्पनिक (imaginary) हो सकता है, एक ऐसी अवधारणा जो इस संदर्भ में एक 'फेज' (phase) या तरंग की तरह कार्य करती है। शोधकर्ता ने पाया कि यदि गणना को उन क्षेत्रों में भटकने की अनुमति दी जाती है जहाँ यह काल्पनिक भाग बहुत बड़ा हो जाता है, तो परिणाम बेहद गलत और अनिश्चित हो जाते हैं। हालाँकि, गणना को एक विशिष्ट सीमा तक सीमित करके जहाँ यह काल्पनिक भाग छोटा रहता है, परिणाम प्रयोगशाला में देखे गए डेटा के साथ पूर्ण तालमेल में आ जाते हैं। यह प्रतिबंध एक फिल्टर की तरह कार्य करता है, यह सुनिश्चित करता है कि केवल भौतिक रूप से सार्थक क्वांटम विवरण ही शामिल किए जाएं। अध्ययन से पता चलता है कि इस फिल्टर के बिना, हीलियम का अनुमानित व्यवहार स्पष्ट रूप से गलत है, लेकिन इसके साथ, सिमुलेशन प्रयोगशाला में देखी जाने वाली वस्तु से लगभग अभिन्न है। यह निष्कर्ष इस बात का पुख्ता प्रमाण प्रदान करता है कि क्वांटम दुनिया, जब इस नई श्रृंखला के लेंस से देखी जाती है, तो स्वाभाविक रूप से इन विशिष्ट स्थितियों तक स्वयं को सीमित करती है, जिससे उस गणितीय अराजकता को रोका जा सके जिसने पिछली कोशिशों को परेशान किया था।
इस सफलता के बावजूद, इस पद्धति की अपनी सीमाएं हैं। जब तापमान 65 केल्विन से नीचे गिरता है, तो यह श्रृंखला टूटने लगती है, जिससे परिणाम नकारात्मक से लेकर असंभव रूप से बड़े सकारात्मक मानों तक झूलने लगते हैं। यह विफलता बताती है कि अध्ययन में उपयोग किया गया गणितीय विस्तार अत्यधिक ठंड के लिए उपयुक्त नहीं है जहाँ क्वांटम प्रभाव और भी अधिक प्रभावी हो जाते हैं। शोधकर्ता ने परमाणु परस्पर क्रिया क्षमता (atomic interaction potential) के विभिन्न संस्करणों का परीक्षण किया, जिसमें 'हार्ट्री-फॉक डिस्पर्शन पोटेंशियल' (Hartree-Fock dispersion potential) नामक एक अधिक जटिल क्षमता भी शामिल थी, लेकिन पाया कि सरल 'लेनाड्र-जोन्स पोटेंशियल' (Lennard-Jones potential), जो परमाणुओं के बीच आकर्षण और प्रतिकर्षण का वर्णन करता है, उच्च-तापमान परिणामों को सही करने के लिए पर्याप्त था। अध्ययन ने यह भी नोट किया कि कुल दबाव में परमाणुओं की गतिज ऊर्जा (kinetic energy) का योगदान बहुत कम है, जो उच्च तापमान पर कुल प्रभाव का केवल लगभग एक प्रतिशत हिस्सा है, हालांकि यह हिस्सा गैस के ठंडा होने पर बढ़ता जाता है। कार्य इस निष्कर्ष के साथ समाप्त होता है कि हालांकि यह समस्या अभी भी सभी तापमानों के लिए हल नहीं हुई है, फिर भी यह नई पावर सीरीज़ शास्त्रीय ढांचे में क्वांटम सिस्टम को सिम्युलेट करने के लिए अब तक के सबसे आशाजनक दृष्टिकोणों में से एक का प्रतिनिधित्व करती है, जो यह समझने के लिए एक स्पष्ट मार्ग प्रदान करती है कि क्वांटम यांत्रिकी हमारे चारों ओर की शास्त्रीय दुनिया को कैसे जन्म देती है।
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