⚛️ phenomenology

Toward a Unified Axion Cosmology

यह शोध पत्र स्यूपरसिमेट्रिक SO(10) GUT और स्ट्रिंग थ्योरी पर आधारित एक एकीकृत एक्सियन कॉस्मोलॉजी फ्रेमवर्क प्रस्तावित करता है, जहाँ एक मल्टी-एक्सियन सिस्टम $10^{-22}$ eV मोड के माध्यम से डार्क मैटर और हाई-रेडशिफ्ट ब्लैक होल सीड्स की एक साथ व्याख्या करता है, और एक क्षणिक $10^{-28}$ eV घटक के माध्यम से हबल टेंशन को हल करता है जो प्री-रिकॉम्बिनेशनन विस्तार दर को संशोधित करता है।

मूल लेखक: Takeshi Fukuyama

प्रकाशित 2026-08-25

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Takeshi Fukuyama

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ब्रह्मांड उन अदृश्य सामग्रियों से भरा है जो हर उस चीज़ को आकार देती हैं जिसे हम देखते हैं, गैलेक्सियों के घूमने के तरीके से लेकर बिग बैंग के ठीक बाद के शुरुआती क्षणों तक। दशकों से, भौतिकविदों ने एक विशिष्ट प्रकार के अदृश्य कण की खोज की है जिसे 'एक्सियन' (axion) कहा जाता है। मूल रूप से इस बात को सुलझाने के लिए प्रस्तावित किया गया था कि ब्रह्मांड पदार्थ और प्रति-पदार्थ (matter and antimatter) के बीच अंतर क्यों करता है, एक्सियन तब से डार्क मैटर के लिए एक प्रमुख दावेदार बन गया है, जो वह रहस्यमय पदार्थ है जो गैलेक्सियों को एक साथ थामे रखता है। हालाँकि, हालिया अवलोकनों ने हमारे ब्रह्मांड के मानक मॉडल में दरारें दिखाई हैं। हम ऐसे अतिविशाल ब्लैक होल देखते हैं जो ब्रह्मांड के इतिहास में बहुत जल्दी बन गए थे, और आज ब्रह्मांड कितनी तेज़ी से फैल रहा है, इसके माप प्रारंभिक ब्रह्मांड के आधार पर की गई भविष्यवाणियों से मेल नहीं खाते। ये विसंगतियां बताती हैं कि एक ही प्रकार के एक्सियन की सरल तस्वीर अधूरी हो सकती है, और इन कणों का एक समृद्ध, अधिक जटिल परिवार काम में हो सकता है।

एक नए अध्ययन में, ओसाका विश्वविद्यालय के ताकेशी फुकुयामा एक एकीकृत ढांचा प्रस्तावित करते हैं जो इन कणों की उत्पत्ति को भौतिकी के सबसे भव्य पैमानों से जोड़ता है, बलों के एकीकरण से लेकर ब्रह्मांड के जन्म तक। शोधपत्र सुझाव देता है कि जबकि एक विशिष्ट प्रकार का एक्सियन कण भौतिकी की मौलिक पहेली को हल करता है, स्ट्रिंग थ्योरी द्वारा अनुमानित अन्य बहुत हल्के एक्सियनों का एक विशाल स्पेक्ट्रम आज के अजीब ब्रह्मांडीय घटनाओं के लिए जिम्मेदार हो सकता है। इन समस्याओं को अलग-अलग मानने के बजाय, लेखक उन्हें एक ही कहानी में बुनते हैं जहाँ एक्सियन परिवार के विभिन्न सदस्य ब्रह्मांड के विकास को आकार देने में अलग-अलग, महत्वपूर्ण भूमिकाएँ निभाते हैं।

यह कहानी इस परिवार के सबसे परिचित सदस्य के साथ शुरू होती है: 'क्यूसीडी (QCD) एक्सियन'। इस कण का आविष्कार परमाणु नाभिकों को नियंत्रित करने वाले नियमों में एक विशिष्ट विसंगति को ठीक करने के लिए किया गया था। फुकुयामा के मॉडल में, यह एक्सियन सभी मूलभूत बलों को एकीकृत करने वाले सिद्धांत, विशेष रूप से सुपरसिमेट्रिक SO(10) ग्रैंड यूनिफाइड थ्योरी से स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। यहाँ, एक्सियन कोई मनमाना जोड़ नहीं है, बल्कि इस बात का एक आवश्यक परिणाम है कि कैसे ब्रह्मांड ठंडा होने के दौरान अपनी समरूपता (symmetry) को तोड़ता है। इस विशिष्ट एक्सियन का द्रव्यमान एक ऐसे दायरे में है जहाँ यह वह डार्क मैटर हो सकता है जिसे हम खोज रहे हैं, लेकिन शोधपत्र तर्क देता है कि यह एकल कण आकाश में हम जो कुछ भी देखते हैं, उसे समझाने के लिए पर्याप्त नहीं है।

शेष रहस्यों को संबोधित करने के लिए, लेखक "एक्सिवर्स" (axiverse) की ओर मुड़ते हैं, जो स्ट्रिंग थ्योरी से एक अवधारणा है जो विभिन्न द्रव्यमानों वाले एक्सियन जैसे कणों के एक विशाल परिदृश्य की भविष्यवाणी करती है। इस ढांचे में, ब्रह्मांड केवल एक प्रकार के एक्सियन से नहीं, बल्कि उनके पूरे स्पेक्ट्रम से भरा है, जो भारी क्यूसीडी एक्सियन से लेकर अविश्वसनीय रूप से हल्के, लगभग भारहीन कणों तक फैला हुआ है। शोधपत्र इन दो विशेष कणों पर ध्यान केंद्रित करता है, जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान इतना कम है कि इसे समझना कठिन है, और प्रत्येक एक अलग ब्रह्मांडीय समस्या को हल करता है।

पहला विशेष कण लगभग $10^{-22}$ इलेक्ट्रॉन वोल्ट का द्रव्यमान रखता है। इतना हल्का होने के कारण, यह व्यक्तिगत कणों के संग्रह के बजाय एक विशाल, सुसंगत तरंग (coherent wave) की तरह व्यवहार करता है जो पूरी गैलेक्सियों में फैल सकती है। शोधपत्र सुझाव देता है कि यह कण 'बोज़-आइंस्टीन कंडेनसेट' (Bose-Einstein condensate) बना सकता है, जो पदार्थ की एक ऐसी अवस्था है जहाँ कण अपनी व्यक्तिगत पहचान खो देते हैं और एक एकल क्वांटम इकाई के रूप में कार्य करते हैं। इस अवस्था में, कण एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं, जिससे एक गुरुत्वाकर्षण अस्थिरता पैदा होती है जो कंडेनसेट को ढहने (collapse) के लिए मजबूर करती है। यह पतन ब्रह्मांड के इतिहास में बहुत जल्दी, तेजी से और हिंसक रूप से होता है। ये बीज फिर उन अतिविशाल ब्लैक होल में विकसित हो सकते हैं जिन्हें हम दृश्य ब्रह्मांड के किनारों पर देखते हैं, जिससे यह रहस्य सुलझ जाता है कि बिग बैंग के इतने कम समय के भीतर इतने विशाल पिंड कैसे बने। यह प्रक्रिया एक बार की घटना नहीं है; शोधपत्र सुझाव देता है कि ये कंडेनसेट ढह सकते हैं, पुनर्वितरित हो सकते हैं और फिर से ढह सकते हैं, जो संभावित रूप से प्राचीन ब्लैक होल के वितरण में एक विशिष्ट, दोहराव वाला पैटर्न छोड़ सकते हैं।

दूसरा कण इससे भी हल्का है, जिसका द्रव्यमान लगभग $10^{-28}$ इलेक्ट्रॉन वोल्ट है। यह कण एक अलग भूमिका निभाता है, जो ब्रह्मांड के प्रकाश के प्रति पारदर्शी होने से ठीक पहले ऊर्जा के एक अस्थायी विस्फोट के रूप में कार्य करता है। जैसे-जैसे ब्रह्मांड का विस्तार हुआ, यह कण हिलने और दोलन करने लगा, जिससे ब्रह्मांड के 'सूप' में थोड़ी लेकिन महत्वपूर्ण मात्रा में ऊर्जा जुड़ गई। इस अतिरिक्त ऊर्जा ने ब्रह्मांड को एक संक्षिप्त अवधि के लिए थोड़ा तेज़ी से फैलने का कारण दिया। इस अस्थायी त्वरण ने "ध्वनि क्षितिज" (sound horizon) के आकार को बदल दिया, जो ब्रह्मांड के विस्तार की दर को मापने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक मौलिक पैमाना है। इस पैमाने को थोड़ा छोटा करके, यह मॉडल आज की विस्तार दर को मापने के विभिन्न तरीकों के बीच के तनाव को हल करने में मदद करता है। यह एक स्थायी परिवर्तन नहीं है; कण का प्रभाव जल्दी ही फीका पड़ जाता है, जिससे ब्रह्मांड ज्ञात मानक नियमों के अनुसार विकसित होता है।

इस शोधपत्र की एक प्रमुख अंतर्दृष्टि यह है कि ये दो बहुत अलग कण एक ही सैद्धांतिक संरचना के भीतर कैसे सह-अस्तित्व में रह सकते हैं। भारी क्यूसीडी एक्सियन बलों के एकीकरण से आता है, जबकि अति-हल्के कण स्ट्रिंग थ्योरी की जटिल ज्यामिति से उत्पन्न होते हैं। लेखक दिखाते हैं कि स्ट्रिंग थ्योरी का गणित स्वाभाविक रूप से द्रव्यमान की एक विस्तृत श्रृंखला उत्पन्न करता है, और इन ब्रह्मांडीय प्रभावों के लिए आवश्यक विशिष्ट द्रव्यमान कई अलग-अलग बलों के एक्सियन क्षेत्रों पर परस्पर प्रभाव से उत्पन्न हो सकते हैं। शोधपत्र एक तकनीकी चुनौती को भी संबोधित करता है: अति-हल्के कण के लिए सही प्रभाव डालने हेतु, इसे एक विशिष्ट तरीके से व्यवहार करने की आवश्यकता है जो इसे अपने संक्षिप्त प्रभाव के बाद जल्दी से कम (dilute) होने की अनुमति दे। लेखक सुझाव देते हैं कि कई एक्सियन क्षेत्रों की जटिल अंतःक्रियाएं एक ऐसा 'पोटेंशियल एनर्जी लैंडस्केप' बना सकती है जो इस तीव्र क्षय की अनुमति देता है, एक ऐसी विशेषता जो एक एकल, सरल एक्सियन प्रदान नहीं कर सकता था।

यह कार्य यह दावा नहीं करता है कि इसने इन विशिष्ट कणों के अस्तित्व को सिद्ध कर दिया है या यह सटीक तंत्र है कि ब्रह्मांड कैसे काम करता है। इसके बजाय, यह एक सुसंगत और गणितीय रूप से सुसंगत चित्र प्रस्तुत करता है जो कण भौतिकी के गहरे प्रश्नों को ब्रह्मांड विज्ञान के सबसे पहेलीनुमा अवलोकनों से जोड़ता है। यह सुझाव देता है कि ब्रह्मांड का इतिहास कई एक्सियन क्षेत्रों की भाषा में लिखा गया है, जहाँ परिवार के विभिन्न सदस्य विभिन्न समस्याओं को हल करते हैं। क्यूसीडी एक्सियन पदार्थ के नियमों को ठीक करता है, एक भारी एक्सियन-जैसा कण पहले ब्लैक होल बनाने में मदद करता है, और एक अत्यंत हल्का कण प्रारंभिक ब्रह्मांड के विस्तार को समायोजित करता है। इन विचारों को एक साथ लाकर, शोधपत्र एक रोडमैप प्रदान करता है कि कैसे ब्लैक होल और कॉस्मिक बैकग्राउंड रेडिएशन के भविष्य के अवलोकन इन विचारों का परीक्षण कर सकते हैं, जो संभावित रूप से वास्तविकता की एक छिपी हुई परत को प्रकट कर सकते हैं जो भौतिकी के सबसे छोटे पैमानों को ब्रह्मांड की सबसे बड़ी संरचनाओं से जोड़ती है।

तकनीकी सारांश: एक एकीकृत एक्सियन कॉस्मोलॉजी की ओर

समस्या विवरण
यह शोध पत्र दो विशिष्ट ब्रह्मांडीय विसंगतियों (anomalies) को समझाने में मानक QCD एक्सियन मॉडल की अपर्याप्तता को संबोधित करता है: उच्च रेडशिफ्ट ( $z \gtrsim 7$ ) पर सुपरमैसिव ब्लैक होल्स (SMBHs) का प्रारंभिक निर्माण और हबल टेंशन (CMB से अनुमानित $H_0$ और स्थानीय दूरी संकेतकों के बीच का अंतर)। जबकि QCD एक्सियन 'स्ट्रॉन्ग CP समस्या' का समाधान करता है, यह स्वाभाविक रूप से इन घटनाओं की व्याख्या नहीं करता है। इसके अतिरिक्त, QCD एक्सियन की सैद्धांतिक उत्पत्ति को अक्सर स्ट्रिंग थ्योरी द्वारा अनुमानित अल्ट्रालाइट एक्सियन-लाइक पार्टिकल्स (ALPs) के "एक्सिवर्स" (axiverse) से अलग माना जाता है। यह शोध पत्र इन डोमेन को एकीकृत करने का प्रयास करता है: यह जांचना कि क्या एक मल्टी-एक्सियन ढांचा, जो ग्रैंड यूनिफाइड थ्योरीज (GUTs) और हेटरोटिक स्ट्रिंग थ्योरी को जोड़ता है, स्वाभाविक रूप से ब्रह्मांड विज्ञान के लिए आवश्यक विशिष्ट अल्ट्रालाइट मास स्केल्स उत्पन्न कर सकता है।

कार्यप्रणाली और सैद्धांतिक ढांचा
लेखक एक एकीकृत ढांचे का निर्माण करता है जो QCD एक्सियन और स्ट्रिंग-प्रेरित ALPs के एक क्षेत्र के बीच अंतर करता है:

QCD एक्सियन की उत्पत्ति: QCD एक्सियन को न्यूनतम सूपरसिमेट्रिक SO(10) GUT के भीतर पहचाना गया है। यह उन 126 और $\overline{126}$ हिग्स मल्टीप्लेट्स के ड्यू-फ्लैट (D-flat) दिशा के सापेक्ष चरण (relative phase) के रूप में उभरता है जो मध्यवर्ती पाटी-सालाम (Pati–Salam) समरूपता को तोड़ने के लिए जिम्मेदार हैं। यह तंत्र स्वाभाविक रूप से पेसेई-क्विन (PQ) स्केल को $f_a \sim 10^{12}$ GeV पर निर्धारित करता है, जिससे QCD एक्सियन द्रव्यमान $m_a \sim 10^{-6}$ eV प्राप्त होता है।
स्ट्रिंग-प्रेरित ALPs: शोध पत्र हेटरोटिक स्ट्रिंग एक्सिवर्स परिदृश्य को अपनाता है, जहाँ कॉम्पैक्टिफिकेशन कई ALPs उत्पन्न करता है जिनके सूक्ष्म डिके कांस्टेंट (decay constants) GUT स्केल ( $f_i \sim 10^{16}$ GeV) के करीब होते हैं। उनके द्रव्यमान नॉन-पर्टर्बेटिव इंस्टेंटन क्रियाओं ( $S_i$ ) के माध्यम से उत्पन्न होते हैं, जिससे द्रव्यमानों का एक घातांकीय पदानुक्रम (exponential hierarchy) बनता है।
ब्रह्मांडीय चयन (Cosmological Selection): किसी एकल कॉम्पैक्टिफिकेशन से विशिष्ट द्रव्यमानों को व्युत्पन्न करने के बजाय, लेखक प्रस्तावित करता है कि ब्रह्मांडीय आवश्यकताएं व्यापक स्ट्रिंग स्पेक्ट्रम से दो विशिष्ट आइजनमोड्स (eigenmodes) का चयन करती हैं:
- एक मोड जिसका $m_{22} \sim 10^{-22}$ eV है।
- एक मोड जिसका $m_{28} \sim 10^{-28}$ eV है।
मल्टी-एक्सियन डायनेमिक्स: शोध पत्र एक मल्टी-एक्सियन सिस्टम के प्रभावी क्षमता (effective potential) का विश्लेषण करता है। यह तर्क देता है कि इंस्टेंटन चार्ज वेक्टर्स का संरेखण (alignment) सिद्धांत रूप में एक हल्का आइजन-डायरेक्शन बना सकता है जिसका संवर्धित प्रभावी डिके कांस्टेंट ( $f_{\text{eff}} \gg f_i$ ) होता है। इसके अलावा, कई नॉन-पर्टर्बेटिव सेक्टर्स का इस हल्के डायरेक्शन पर प्रोजेक्शन एक मल्टी-हार्मोनिक क्षमता उत्पन्न कर सकता है, जो संभावित रूप से निचले क्रम के पदों (जैसे कि क्वाड्रेटिक) को दबा सकता है ताकि तीव्र पोस्ट-क्रिटिकल डाइल्यूशन (dilution) संभव हो सके।

प्रमुख योगदान और परिणाम

स्केल्स का एकीकृत मूल: यह कार्य एक प्रस्तावित सेतु है जहाँ SO(10) GUT के मध्यवर्ती स्केल ( $\sim 10^{12}$ GeV) और स्ट्रिंग स्केल ( $\sim 10^{16}$ GeV) सह-अस्तित्व में हैं, और QCD एक्सियन तथा ब्रह्मांडीय ALPs अलग लेकिन संबंधित क्षेत्रों से उत्पन्न होते हैं। लेखक नोट करता है कि जबकि यह ढांचा इन स्केल्स को जोड़ता है, एक ठोस हेटरोटिक कॉम्पैक्टिफिकेशन से आवश्यक संरेखण और हार्मोनिक संबंधों की विशिष्ट प्राप्ति यहाँ व्युत्पन्न नहीं की गई है और यह एक खुला प्रश्न बना हुआ है।
$10^{-22}$ eV मोड और SMBH बीज (Seeds):
- $10^{-22}$ eV एक्सियन को प्रमुख डार्क मैटर घटक के रूप में प्रस्तावित किया गया है।
- इसकी बड़ी डी ब्रोग्ली वेवलेंथ (de Broglie wavelength) $z \sim 30$ पर बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट (BEC) के निर्माण की अनुमति देती है।
- शोध पत्र एक तंत्र का विवरण देता है जहाँ आकर्षक स्व-परस्पर क्रिया (attractive self-interactions) - जो कोसाइन पोटेंशियल विस्तार में निहित है - कंडेनसेट को अस्थिर करती है, जिससे गैर-रेखीय पतन (nonlinear collapse) शुरू होता है।
- यह पतन उच्च-रेडशिफ्ट SMBHs के लिए विशाल बीज प्रदान करता है, जो कोणीय संवेग बाधा (angular momentum barrier) को पार करता है जो मानक बेरियोनिक एक्रिशन परिदृश्यों को बाधित करती है।
- लेखक सुझाव देता है कि पतन और पुन: संघनन (recondensation) के बार-बार होने वाले चक्र उच्च-रेडशिफ्ट कॉम्पैक्ट ऑब्जेक्ट्स की प्रचुरता में एक लॉग-पीरियडिक मॉड्यूलेशन उत्पन्न कर सकते हैं।
$10^{-28}$ eV मोड और हबल टेंशन:
- $10^{-28}$ eV मोड को प्री-रिकॉम्बिनेशन विस्तार इतिहास को संशोधित करने के लिए प्रस्तावित किया गया है।
- पिछले मॉडलों के विपरीत जो साउंड होराइजन इंटीग्रल को ट्रंकेट करते हैं, यह शोध पत्र तर्क देता है कि एक्सियन अपनी ऊर्जा घनत्व योगदान ( $\rho_{28}$ ) के माध्यम से हबल पैरामीटर $H(z)$ को संशोधित करता है, जिससे कोमोविंग साउंड होराइजन ( $r_s$ ) कम हो जाता है।
- हबल टेंशन को हल करने के लिए (जिसके लिए $\sim 7.7\%$ कमी की आवश्यकता है), मॉडल को साउंड-होराइजन-वेटेड एक्सियन अंश $\langle F_{28} \rangle_s \sim 0.15$ की आवश्यकता होती है।
- यह अंश $f_{\text{eff}} \sim 10^{18}$ GeV के प्रभावी डिके कांस्टेंट को दर्शाता है, जो सूक्ष्म हेटरोटिक स्केल से दो क्रम (two orders) अधिक है। शोध पत्र तर्क देता है कि एक मल्टी-एक्सियन-मल्टी-इंस्टेंटन सिस्टम सिद्धांत रूप में इतने संवर्धित प्रभावी फील्ड रेंज वाले संरेखित हल्के डायरेक्शन को प्रदान कर सकता है।
- यह सुनिश्चित करने के लिए कि एक्सियन देर से ब्रह्मांड को ओवरक्लोज (overclose) न करे, लेखक एक मल्टी-हार्मोनिक क्षमता (जैसे, $V \propto [1-\cos(\theta)]^n$ जहाँ $n>1$ ) प्रस्तावित करता है। यह क्वाड्रेटिक टर्म को दबा देता है, जिससे ऊर्जा घनत्व क्रिटिकल एपोक के बाद पदार्थ (matter) की तुलना में तेजी से (जैसे विकिरण या उससे भी तेज) कम हो जाता है।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि यह एक "एकीकृत एक्सियन कॉस्मोलॉजी" प्रदान करता है जो कण भौतिकी (स्ट्रॉन्ग CP समाधान), ग्रैंड यूनिफिकेशन और स्ट्रिंग थ्योरी को विशिष्ट ब्रह्मांडीय अवलोकनों से जोड़ता है। इसका प्राथमिक महत्व निम्नलिखित में है:

भूमिकाओं का विभेदन: यह QCD एक्सियन (स्ट्रॉन्ग CP समाधान के लिए) और ब्रह्मांडीय ALPs (SMBHs और हबल टेंशन को संबोधित करने के लिए) के बीच स्पष्ट अंतर करता है, और इस धारणा से बचता है कि एक ही एक्सियन को सभी समस्याओं को हल करना चाहिए।
हबल टेंशन के लिए तंत्र: यह अर्ली डार्क एनर्जी तंत्र को रिफाइन करता है, यह जोर देते हुए कि साउंड होराइजन में कमी फ्राइडमैन समीकरण के संशोधन का एक गतिशील परिणाम है, न कि ध्वनिक प्रसार (acoustic propagation) का ट्रंकेशन। यह आवश्यक प्रभावी फील्ड रेंज ( $f_{\text{eff}} \sim 10^{18}$ GeV) को मात्रात्मक रूप से निर्धारित करता है और मल्टी-एक्सियन संरेखण को इस संवर्धित प्रभावी फील्ड रेंज को प्राप्त करने के लिए सैद्धांतिक तंत्र के रूप में पहचानता है।
गैर-रेखीय पतन (Nonlinear Collapse): यह SMBH बीज निर्माण के लिए BEC पतन परिदृश्य को सुदृढ़ करता है, गुरुत्वाकर्षण (संघनन) और आकर्षक स्व-परस्पर क्रिया (अस्थिरता) की पूरक भूमिकाओं पर प्रकाश डालता है।
स्ट्रिंग थ्योरी पर प्रतिबंध: शोध पत्र यह प्रतिपादित करता है कि ब्रह्मांडीय आवश्यकताएं न केवल एक्सिवर्स से द्रव्यमानों का चयन करती हैं, बल्कि अंतर्निहित मल्टी-एक्सियन क्षेत्र पर गैर-तुच्छ प्रतिबंध भी लगाती हैं, जिसके लिए आवश्यक क्षणिक व्यवहार (transient behavior) और संवर्धित फील्ड रेंज को साकार करने के लिए विशिष्ट संरेखण और मल्टी-हार्मोनिक क्षमता संरचनाओं की आवश्यकता होती है।

लेखक नोट करता है कि हालांकि ढांचा सैद्धांतिक रूप से सुसंगत है, एक ठोस हेटरोटिक कॉम्पैक्टिफिकेशन से आवश्यक संरेखण और हार्मोनिक संबंधों की विशिष्ट प्राप्ति अभी भी एक खुला प्रश्न है जिसके लिए आगे के सूक्ष्म अन्वेषण की आवश्यकता है। इसी तरह, $10^{-28}$ eV क्षेत्र को CMB और लार्ज-स्केल स्ट्रक्चर डेटा के साथ पूरी तरह से परखने के लिए मात्रात्मक ब्रह्मांडीय विश्लेषण की आवश्यकता है।

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