A semiclassical Hilbert space for random matrix theory

सैद्धांतिक भौतिकी के सबसे गहरे कोनों में, शोधकर्ता यह समझने की कोशिश कर रहे हैं कि अंतरिक्ष और समय का सुचारू, निरंतर ताना-बाना क्वांटम कणों के अराजक, अस्थिर व्यवहार से कैसे उभरता है। यह क्वांटम गुरुत्वाकर्षण की केंद्रीय पहेली है: ब्रह्मांड एक ठोस, अनुमानित मंच की तरह कैसे दिखाई देता है, जबकि इसके सबसे सूक्ष्म स्तरों पर, यह वास्तव में अनिश्चितता का एक उथल-पुथल भरा समुद्र है। इसका अध्ययन करने का एक शक्तिशाली तरीका रैंडम मैट्रिसेस (random matrices) को देखना है। एक विशाल संख्या ग्रिड की कल्पना करें, जहाँ प्रत्येक प्रविष्टि विशिष्ट नियमों के अनुसार यादृच्छिक रूप से चुनी गई है। हालाँकि ये ग्रिड अराजक प्रतीत होते हैं, लेकिन जब वे अनंत रूप से बड़े हो जाते हैं, तो वे छिपे हुए पैटर्न और सुचारू आकृतियाँ प्रकट करते हैं जो अंतरिक्ष की ज्यामिति के समान होती हैं। यह दृष्टिकोण विशेष रूप से 'सैकदेव-ये-किताएव' (Sachdev-Ye-Kitaev) मॉडल नामक एक विशिष्ट प्रकार के क्वांटम सिस्टम का अध्ययन करने में सफल रहा है, जो ब्लैक होल और 'होलोग्राफिक सिद्धांत' के बारे में विचारों का परीक्षण करने के लिए एक सरलीकृत प्रयोगशाला के रूप में कार्य करता है—यह विचार कि अंतरिक्ष के एक आयतन को उसकी सीमा पर संग्रहीत सूचना द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

हाल के कार्यों से प्राप्त एक प्रमुख अंतर्दृष्टि यह है कि इन जटिल क्वांटम प्रणालियों के व्यवहार को उन दिशाओं या एक "आधार" (basis) के सेट को देखकर समझा जा सकता है जिसे प्रणाली समय के साथ स्वाभाविक रूप से अन्वेषण करती है। प्रत्येक एकल कण को ट्रैक करने के बजाय, भौतिक विज्ञानी उन अवस्थाओं के एक अनुक्रम पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं जिन्हें प्रणाली विकसित होते समय अनुभव करती है। यह अनुक्रम, जिसे 'क्रायलोव आधार' (Krylov basis) कहा जाता है, एक सीढ़ी की तरह कार्य करता है। जैसे-जैसे प्रणाली इस सीढ़ी पर ऊपर बढ़ती है, यह एक छिपी हुई सरलता को प्रकट करती है: जटिल क्वांटम गतिशीलता को बहुत सरल, लगभग शास्त्रीय नियमों के एक सेट द्वारा वर्णित किया जा सकता है। एक प्रसिद्ध मॉडल, जिसे 'डबल-स्क्ल्ड SYK मॉडल' कहा जाता है, में यह पाया गया कि यह सीढ़ी अंतरिक्ष के दो दूरस्थ क्षेत्रों को जोड़ने वाले वर्महोल (wormhole) की लंबाई के अनुरूप थी, जो यह सुझाव देती है कि अंतरिक्ष की ज्यामिति इस बात में कूटबद्ध है कि क्वांटम सूचना कैसे फैलती है।

एक नए अध्ययन में, शोधकर्ताओं ने इस विचार को लिया है और इसे एक बहुत व्यापक श्रेणी के रैंडम सिस्टम पर लागू किया है, जो विशिष्ट डबल-स्क्ल्ड SYK मॉडल से आगे बढ़ता है। उन्होंने यह पूछा कि क्या यह सुंदर संबंध क्वांटम विकास और ज्यामितीय स्थान के बीच एक अद्वितीय विशेषता है या अराजक क्वांटम प्रणालियों की एक सामान्य विशेषता है। यह पता लगाने के लिए, उन्होंने रैंडम मैट्रिक्स मॉडल्स की एक विस्तृत श्रृंखला का परीक्षण किया, जो कई परस्पर क्रिया करने वाले भागों वाले सिस्टम के गणितीय विवरण हैं। उन्होंने इस बात पर ध्यान केंद्रित किया कि ये प्रणालियाँ तब कैसे विकसित होती हैं जब वे तापीय साम्यावस्था (thermal equilibrium) की स्थिति में होती हैं, जो एक ऐसी स्थिति है जहाँ प्रणाली एक स्थिर तापमान पर स्थिर हो जाती है। इन विकासों की गणितीय संरचना का विश्लेषण करके, उन्होंने पाया कि उसी प्रकार का "सीढ़ी" विवरण लगभग इन सभी मॉडलों में दिखाई देता है। ठीक विशिष्ट डबल-स्क्ल्ड SYK मामले की तरह, शोधकर्ताओं ने पाया कि जटिल क्वांटम व्यवहार को अवस्थाओं की एक सरल, एक-आयामी श्रृंखला में मैप किया जा सकता था। यह श्रृंखला एक अर्ध-शास्त्रीय "बल्क" (bulk) स्थान के रूप में कार्य करती है, एक छिपा हुआ आंतरिक भाग जहाँ भौतिकी सुचारू और स्थानीय दिखती है, बिल्कुल एक ब्लैक होल के भीतर के स्थान की तरह।

इसके बाद टीम ने जांच की कि क्या होता है जब वे इन प्रणालियों के बहुत कम-ऊर्जा व्यवहार पर ज़ूम करते हैं, जो सिस्टम के सबसे गहरे, सबसे स्थिर भागों के अनुरूप है। उन्होंने पाया कि मॉडलों के एक बड़े वर्ग के लिए, जो सिस्टम के उच्च-ऊर्जा विवरणों को संशोधित करते हैं जबकि निम्न-ऊर्जा व्यवहार को समान रखते हैं, इस सीढ़ी पर विवरण एक विशिष्ट, गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत से ज्ञात समीकरण की ओर अभिसरित होता है। यह समीकरण, जिसे 'लिविल (Liouville) हैमिल्टोनियन' के रूप में जाना जाता है, दो-आयामी गुरुत्वाकर्षण का वर्णन करता है, विशेष रूप से एक वर्महोल के खिंचाव और सिकुड़ने का। यह परिणाम महत्वपूर्ण है क्योंकि यह सुझाव देता है कि एक विशिष्ट मॉडल का एक आकस्मिक चमत्कार नहीं है, बल्कि अराजक क्वांटम प्रणालियों की एक विस्तृत श्रृंखला की एक मजबूत विशेषता है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि भले ही उन्होंने सिस्टम के "अल्ट्रावॉयलेट" विवरणों—उच्च-ऊर्जा, लघु-दूरी के नियमों—को बदला हो, निम्न-ऊnya ज्यामिति अपरिवर्तित रही और वर्महोल की तरह दिखना जारी रखा जो गुरुत्वाकर्षण के नियमों द्वारा शासित है।

अध्ययन ने इन प्रणालियों का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले गणितीय उपकरणों और उनके द्वारा प्रतिनिधित्व किए जाने वाले भौतिक अवधारणाओं के बीच संबंध को भी स्पष्ट किया। 'ऑर्थोगोनल पॉलिनोमिअल्स' (orthogonal polynomials) का उपयोग करने वाली एक विधि का उपयोग करके, जो जटिल डेटा को व्यवस्थित करने के लिए गणित का एक मानक उपकरण है, शोधकर्ता "सीढ़ी" अवस्थाओं को नियंत्रित करने वाले नियमों को कुशलतापूर्वक निकालने में सक्षम थे। उन्होंने प्रदर्शित किया कि जिस गति से सिस्टम इस सीढ़ी पर ऊपर बढ़ता है, वह अंतर्निहित रैंडम मैट्रिक्स के ऊर्जा स्पेक्ट्रम के आकार द्वारा निर्धारित होता है। विशेष रूप से, स्पेक्ट्रम के किनारों के पास ऊर्जा स्तरों के वितरण का तरीका यह निर्धारित करता है कि सिस्टम बड़े पैमाने पर कैसे व्यवहार करता है। शोधकर्ताओं ने पाया कि यदि ऊर्जा स्पेक्ट्रम में तीखे किनारों के साथ एक विशिष्ट आकार है, तो सिस्टम का विकास एक मुक्त कण के एक रेखा पर कूदने की नकल करता है, लेकिन एक सूक्ष्म, घातीय क्षमता (exponential potential) के साथ जो इसे वापस खींचती है, जिससे गुरुत्वाकर्षण प्रभाव उत्पन्न होता है।

इस कार्य के सबसे सम्मोहक पहलुओं में से एक यह है कि यह विशिष्ट डबल-स्क्ल्ड SYK मॉडल के विशिष्ट, जटिल विवरणों पर निर्भर किए बिना सूक्ष्म क्वांटम दुनिया और स्थूल गुरुत्वाकर्षण दुनिया के बीच एक ठोस सेतु प्रदान करता है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि "बल्क" हिल्बर्ट स्पेस (Hilbert space), जो सिस्टम के आंतरिक भाग का वर्णन करने वाला गणितीय स्थान है, रैंडम मैट्रिक्स मॉडल्स की एक विशाल श्रेणी के लिए निर्मित किया जा सकता है। यह स्थान केवल एक गणितीय युक्ति नहीं है; यह वास्तव में क्वांटम सिस्टम का गुरुत्वाकर्षण द्वैत (gravitational dual) प्रतीत होता है। यह तथ्य कि यह निर्माण अलग-अलग उच्च-ऊर्जा व्यवहारों वाले मॉडलों के लिए काम करता है, यह सुझाव देता है कि गुरुत्वाकर्षण का उद्भव इन प्रकार के सिस्टम में एक सार्वभौमिक घटना है। यह संकेत देता है कि अंतरिक्ष की ज्यामिति, विशेष रूप से एक वर्महोल की लंबाई, इस बात का सीधा परिणाम है कि क्वांटम सूचना कैसे व्यवस्थित और विकसित होती है।

शोधकर्ताओं ने एंट्रॉपी (entropy) के प्रश्न को भी संबोधित किया, जो विकार का माप है या एक सिस्टम के व्यवस्थित होने के तरीकों की संख्या है। उन्होंने दिखाया कि उनके द्वारा विकसित अर्ध-शास्त्रीय विवरण अंतर्निहित क्वांटम सिस्टम की एंट्रॉपी को सही ढंग से पुनरुत्पादित करता है, लेकिन एक सुचारू, मोटे तौर पर (coarse-grained) तरीके से। यह उस चीज़ के अनुरूप है जिसकी हम गुरुत्वाकर्षण से अपेक्षा करते हैं, जहाँ चिकनी ज्यामिति जिसे हम देखते हैं, कई सूक्ष्म क्वांटम अवस्थाओं का एक औसत है। अध्ययन पुष्टि करता है कि अर्ध-शास्त्रीय विवरण केवल एक सन्निकटन नहीं है बल्कि सिस्टम के ऊष्मागतिकी का एक वफादार प्रतिनिधित्व है। क्रायलोव आधार में एक निश्चित, परिमित गहराई तक अपने विश्लेषण को सीमित करके, वे पूर्ण क्वांटम विवरण में मौजूद अवस्थाओं की घातीय रूप से बड़ी संख्या का हिसाब रखे बिना, किसी भी दिए गए तापमान या समय पर सिस्टम के आवश्यक भौतिकी को पकड़ने में सक्षम थे।

संक्षेप में, यह कार्य एक विशिष्ट क्वांटम मॉडल से प्राप्त एक गहन अंतर्दृष्टि को रैंडम सिस्टम की एक सामान्य श्रेणी तक विस्तारित करता है। यह प्रदर्शित करता है कि एक अर्ध-शास्त्रीय, गुरुत्वाकर्षण विवरण का उद्भव अराजक क्वांटम गतिशीलता की एक मजबूत विशेषता है। शोधकर्ताओं ने दिखाया है कि सही अवस्थाओं के सेट को देखकर—क्रायलोव आधार—रैंडम मैट्रिसेस के अराजक से अंतरिक्ष-समय की छिपी हुई ज्यामिति को प्रकट होते देखा जा सकता है। यह सुझाव देता है कि क्वांटम यांत्रिकी और गुरुत्वाकर्षण के बीच का संबंध पहले की तुलना में अधिक गहरा और अधिक सार्वभौमिक है, जो इस बारे में एक नया दृष्टिकोण प्रदान करता है कि सामान्य सापेक्षता की सुचारू दुनिया क्वांटम यांत्रिकी की असतत, संभावabilistic दुनिया से कैसे उत्पन्न होती है। निष्कर्ष इस बात के पुख्ता प्रमाण प्रदान करते हैं कि "बल्क" हिल्बर्ट स्पेस, जिसमें विविक्त वर्महोल लंबाई है, इन क्वांटम सिस्टम के गुरुत्वाकर्षण द्वैत का वर्णन करने के लिए प्राकृतिक भाषा है, भले ही सिस्टम के उच्च-ऊर्जा विवरणों को बदला गया हो।