Beyond Strong Subadditivity: Holographic Entropy Inequalities Along Renormalization Group Flows

सैद्धांतिक भौतिकी के विशाल परिदृश्य में, एक मौलिक नियम है जो यह नियंत्रित करता है कि ब्रह्मांड के विकसित होने के साथ सूचना कैसे साझा की जाती है और कैसे खो जाती है। एक क्वांटम प्रणाली की कल्पना करें, जैसे कि कणों का एक संग्रह, जो जुड़ावों के एक जटिल जाल की तरह है। जब आप इस जाल के एक छोटे से हिस्से को देखते हैं, तो आप कुछ सूचना देखते हैं; जब आप एक बड़े हिस्से को देखते हैं, तो आप अधिक देखते हैं। हालाँकि, दो अलग-अलग टुकड़ों को मिलाने से आप कितनी नई जानकारी प्राप्त कर सकते हैं, इसकी एक सख्त सीमा है। यह सीमा 'स्ट्रॉन्ग सबएडिटिविटी' (strong subadditivity) के रूप में जानी जाती है, जो एक गणितीय सिद्धांत है जो सूचना के संरक्षण के नियम की तरह कार्य करता है। यह सुनिश्चित करता है कि दो क्षेत्रों के बीच साझा की गई सूचना, तीसरे क्षेत्र के साथ उनके व्यक्तिगत साझाकरण के योग से अधिक नहीं हो सकती। यह नियम इतना सुदृढ़ है कि यह भौतिकविदों को यह सिद्ध करने में मदद करता है कि ब्रह्मांड की एक पसंदीदा दिशा होती है: जैसे-जैसे प्रणालियाँ उच्च-ऊर्जा, अराजक अवस्थाओं से निम्न-ऊर्जा, शांत अवस्थाओं की ओर विकसित होती हैं, उनकी जटिलता का एक विशिष्ट माप हमेशा कम होता जाता है। यह कमी ही हमें अतीत को भविष्य से अलग करने में सक्षम बनाती है और पुष्टि करती है कि प्रारंभिक ब्रह्मांड के कुछ विवरण जैसे ही ब्रह्मांड ठंडा होता है, अपूरणीय रूप से खो जाते हैं।

द दशकों से, भौतिकविदों ने सोचा है कि क्या यह नियम अपने प्रकार का एकमात्र नियम है। यदि ब्रह्मांड ज्यामिति और गुरुत्वाकर्षण के अधिक गहरे, जटिल नियमों द्वारा शासित है, जैसा कि होलोग्राफिक सिद्धांत द्वारा सुझाव दिया गया है, तो सूचना के प्रवाह को नियंत्रित करने वाले अन्य, अधिक जटिल नियम भी हो सकते हैं। ये संभावित नए नियम न केवल क्षेत्रों के जोड़ों में, बल्कि तीन, चार या उससे भी अधिक क्षेत्रों के एक साथ परस्पर क्रिया करने वाले समूहों में शामिल होंगे। यदि ऐसे नियम मौजूद हैं, तो वे एक नए प्रकार के "समय के तीर" (arrow of time) या वास्तविकता के मौलिक निर्माण खंडों को गिनने के एक नए तरीके को प्रकट कर सकते हैं। प्रश्न यह है कि क्या इन जटिल, बहु-पक्षीय नियमों का उपयोग सरल युग्म-नियम (pair-rule) की तरह ही ब्रह्मांड के विकास को ट्रैक करने के लिए किया जा सकता है।

नोरथईस्टर्न यूनिवर्सिटी और ब्रुकहेवन नेशनल लेबोरेटरी के शोधकर्ताओं की एक टीम ने इस प्रश्न की जांच करने के लिए एक विशिष्ट प्रकार के सैद्धांतिक मॉडल का अध्ययन किया जहाँ गुरुत्वाकर्षण और क्वांटम यांत्रिकी आपस में जुड़े हुए हैं। उन्होंने पूछा कि क्या ये अधिक जटिल, बहु-पक्षीय सूचना नियम ब्रह्मांड के विकास के लिए एक नए, सार्वभौमिक पैमाने के रूप में कार्य कर सकते हैं, जैसा कि सरल युग्म-नियम द्वारा प्रदान किया जाता है। उनका उत्तर एक सूक्ष्म 'हाँ' और 'ना' है। उन्होंने पाया कि जबकि ये जटिल नियम इस बात पर प्रतिबंध लगाते हैं कि सूचना कैसे बदलती है, वे एक एकल, सार्वभौमिक मापने वाले यंत्र के रूप में काम नहीं कर सकते जो हर जगह और हर समय काम करे। शोधकर्ताओं ने पाया कि ये जटिल नियम एक सरल, स्थिर स्नैपशॉट से एक गतिशील, विकसित होने वाली प्रक्रिया में संक्रमण के दौरान जीवित रहने के लिए बहुत नाजुक हैं, जिससे अपनी अनूठी शक्ति खो जाती है।

अपने निष्कर्षों को समझने के लिए, व्यक्ति को सबसे पहले यह देखना होगा कि उन्होंने इन नियमों का परीक्षण कैसे किया। शोधकर्ताओं ने एक ऐसी स्थिति पर ध्यान केंद्रित किया जहाँ वे ब्रह्मांड की कल्पना एक केंद्रीय बिंदु से बाहर की ओर फैलते हुए संकेंद्रित छल्लों या परतों की एक श्रृंखला के रूप में कर सकते हैं। उन्होंने यह परीक्षण किया कि इन छल्लों की सूचना सामग्री कैसे बदलती है जैसे-जैसे वे बढ़ते हैं। सबसे सरल मामले में, जिसमें केवल दो छल्ले शामिल हैं, सूचना संरक्षण के मौजूदा नियम इतने मजबूत हैं कि वे गारंटी देते हैं कि जैसे-जैसे छल्ले फैलते हैं, जटिलता का एक विशिष्ट माप हमेशा नीचे जाता है। यही प्रसिद्ध 'एफ-थ्योरम' (F-theorem) का आधार है, जो कुछ क्वांटम प्रणालियों में समय की अपरिवर्तनीयता को सिद्ध करता है। शोधकर्ता यह देखना चाहते थे कि क्या कई छल्लों के एक साथ परस्पर क्रिया करने वाले अधिक जटिल व्यवस्थाओं के लिए भी इसी तरह की गारंटी मौजूद थी।

उन्होंने छह अलग-अलग क्षेत्रों वाले एक विशिष्ट, अत्यधिक जटिल नियम का परीक्षण करके शुरुआत की। यह नियम एक स्थिर, अपरिवर्तित स्थितियों में सत्य माना जाता है, लेकिन टीम यह देखना चाहती थी कि क्या यह तब भी बना रहता है जब क्षेत्रों को बढ़ने और बदलने की अनुमति दी जाती है। उन्होंने पाया कि जब उन्होंने बढ़ते हुए तंत्र पर इस नियम को लागू करने की कोशिश की, तो वह विशिष्ट, बहु-पक्षीय सूचना, जिसने नियम को विशेष बनाया था, गायब होती हुई प्रतीत हुई। एक नए, जटिल प्रतिबंध का पता लगाने के बजाय, नियम पहले से ज्ञात बुनियादी युग्म-नियमों के एक सरल योग में सिमट गया। यह ऐसा था जैसे जटिल नियम एक सूक्ष्म, बहु-आयामी आकार को मापने की कोशिश कर रहा हो, लेकिन जब आकार हिलने लगा, तो मापन उपकरण केवल उसके हिस्सों द्वारा डाली गई सरल, द्वि-आयामी छायाओं को ही देख सका। शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि यह उनकी गणना में कोई दोष नहीं था बल्कि एक मौलिक सीमा थी: किसी भी निश्चित सेट के क्षेत्रों का उपयोग करके ब्रह्मांड के विकास को ट्रैक करने के लिए इन जटिल नियमों का उपयोग करने का कोई भी प्रयास अनिवार्य रूप से पहले से ज्ञात सरल नियमों में बदल जाएगा।

हालाँकि, कहानी एक मृत अंत पर समाप्त नहीं होती है। शोधकर्ताओं ने इस सीमा को दरकिनार करने के दो चतुर तरीके खोजे, हालांकि प्रत्येक की अपनी शर्तें थीं। पहला तरीका सेटअप को बदलने में शामिल था ताकि "केंद्र" का मापन स्थिर न होकर बढ़ते हुए शेल (shell) के साथ चलता रहे। पहले से बढ़े हुए तंत्र को केंद्रीय संदर्भ बिंदु में समाहित करके, वे एक विशिष्ट प्रकार के सूचना प्रवाह को अलग करने में सक्षम हुए। उन्होंने पाया कि एक बहुत ही विशिष्ट स्थिति के तहत—जहाँ कुछ क्षेत्रों के बीच सूचना पूरी तरह से संतुलित थी—नई सूचना जोड़ी जा सकने की दर सख्ती से सीमित थी। यह सीमा सहसंबंधों (correlations) के विकास के लिए एक गति सीमा की तरह काम करती थी, यह सुनिश्चित करते हुए कि सूचना एक निश्चित दर से अधिक तेजी से नहीं फैल सकती है। हालांकि इसने एक नया प्रतिबंध प्रदान किया, लेकिन यह एक सार्वभौमिक पैमाना नहीं था; यह केवल तभी काम करता था जब तंत्र एक बहुत ही विशिष्ट, संतुलित अवस्था में होता था, और यह आकार और रूप के शुद्ध विस्तार के बजाय आकार और रूप के मिश्रित परिवर्तन का वर्णन करता था।

दूसरा तरीका कुछ बड़े खंडों के बजाय अनंत संख्या में छोटे, कोणीय स्लाइसों वाले तंत्र को देखने में शामिल था। ब्रह्मांड को अनंत टुकड़ों में विभाजित एक वृत्त के रूप में कल्पना करके, शोधकर्ताओं ने एक नया नियम निकाला जो यह वर्णित करता था कि क्षेत्र के आकार में बदलाव के साथ सूचना की सामग्री कैसे बदलती है। यह नियम सरल युग्म-नियमों से स्वतंत्र था और इसने सूचना की ज्यामिति पर एक वास्तविक, जटिल प्रतिबंध को प्रकट किया। हालाँकि, जब उन्होंने इस आकार-आधारित नियम को समय के साथ ब्रह्मांड के विस्तार के नियम में बदलने की कोशिश की, तो उन्होंने पाया कि नियम क्षेत्र के विशिष्ट आकार से बंधा हुआ था। नियम को आकार से अलग नहीं किया जा सकता था; यह क्षेत्र के आकार से स्वतंत्र नहीं था, और यह एक स्पष्ट, सार्वभौमिक संख्या प्रदान नहीं करता था जो ब्रह्मांड के विकसित होने के साथ हमेशा घटती जाती। इस नियम से प्राप्त सूचना वास्तविक और नई थी, लेकिन यह पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण की ज्यामिति से अटूट रूप से जुड़ी हुई थी, जो इसे समय के तीर के एक स्वतंत्र माप बनने से रोकती थी।

शोधकर्ताओं ने एक अलग दृष्टिकोण का उपयोग करके भी अपने परिणामों की जांच की, जिसमें एक सीमा वाले ब्रह्मांड के एक सैद्धांतिक मॉडल में अंतरिक्ष की ज्यामिति को देखा गया। उन्होंने एक विशेष प्रकार के रूपांतरण (transformation) से जुड़ी गणना की जो स्थान और समय को मोड़ता है, ठीक वैसे ही जैसे एक लेंस प्रकाश को मोड़ता है। इस गणना ने उनके पिछले निष्कर्षों की पुष्टि की: इन जटिल विरूपणों (deformations) के प्रति तंत्र की प्रतिक्रिया सरल, युग्म-आधारित अंतःक्रियाओं द्वारा हावी थी। पूर्ण, परिमित विवरण में जटिल, बहु-पक्षीय सूचना मौजूद थी, लेकिन जब उन्होंने छोटे, क्रमिक परिवर्तनों के प्रति तंत्र की प्रतिक्रिया को मापने की कोशिश की, तो वह गायब हो गई। इसने पुष्टि की कि जो "युग्म कठोरता" (pair rigidity) उन्होंने देखी थी, वह इन होलोग्राफिक मॉडलों में सूचना के व्यवहार की एक मौलिक विशेषता है, न कि केवल उनके विशिष्ट गणितीय उपकरणों का एक परिणाम।

अंत में, इन शोधकर्ताओं का कार्य ब्रह्मांड में सूचना के परिदृश्य को स्पष्ट करता है। उन्होंने दिखाया है कि हालांकि ब्रह्मांड कई परस्पर क्रिया करने वाले भागों वाले जटिल नियमों के एक समृद्ध ताने-बाने द्वारा शासित है, ये नियम आसानी से समय के प्रवाह के एक सरल, सार्वभौमिक माप में अनुवादित नहीं होते हैं। जटिल नियम वास्तविक हैं और वे सूचना के विकास को नियंत्रित करते हैं, लेकिन वे एक सार्वभौमिक घड़ी के रूप में कार्य करने के लिए सिस्टम के विशिष्ट विवरणों के प्रति बहुत संवेदनशील हैं। सरल, युग्म-आधारित नियम ही जटिलता के एक सार्वभौमिक माप को बनाने का एकमात्र ज्ञात तरीका बने हुए हैं जो ब्रह्मांड के विकसित होने के साथ एकतंत्रीय रूप से (monotonically) घटता है। इसका मतलब यह नहीं है कि जटिल नियम बेकार हैं; बल्कि, इसका अर्थ यह है कि वे अधिक सूक्ष्म तरीके से कार्य करते हैं, जो सूचना के साझाकरण और आकार लेने के बारीक विवरणों को नियंत्रित करते हैं, न कि ब्रह्मांड के इतिहास के लिए एक व्यापक, व्यापक दिशा प्रदान करते हैं। दूसरे सार्वभौमिक माप की खोज, जो इन जटिल, बहु-पक्षीय अंतःक्रियाओं पर निर्भर करता है, भविष्य के लिए एक खुला अवसर बना हुआ है।