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Verifiable quantum advantage in extremely low depth

यह शोध पत्र एक सैंपलिंग समस्या प्रस्तुत करता है जिसे अत्यंत उथले क्वांटम सर्किटों (या तो $\mathsf{QNC}^0[\log\log]$ या $\mathsf{QAC}^0$ ) द्वारा हल किया जा सकता है, जो लैटिस-आधारित धारणाओं के तहत शास्त्रीय रूप से कठिन है और एक शास्त्रीय कंप्यूटर द्वारा कुशलतापूर्वक सत्यापित किया जा सकता है, जिससे मिड-सर्किट मापन या फीड-फॉरवर्ड के बिना सत्यापन योग्य क्वांटम लाभ का प्रदर्शन होता है।

मूल लेखक: Alexandru Gheorghiu

प्रकाशित 2026-09-02

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Alexandru Gheorghiu

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क्वांटम कंप्यूटरों की वास्तविक शक्ति को समझने की खोज में, वैज्ञानिक लगातार एक भ्रामक रूप से सरल प्रश्न पूछ रहे हैं: उस समस्या को हल करने के लिए वास्तव में कितनी क्वांटम मशीनरी की आवश्यकता है जिसे एक क्लासिकल कंप्यूटर हल नहीं कर सकता? दशकों तक, प्रचलित दृष्टिकोण यह सुझाव देता था कि निर्णायक लाभ प्राप्त करने के लिए, एक क्वांटम सिस्टम को जटिल, गहरे गणनाओं को करने की आवश्यकता होती है, जो हजारों ऑपरेशनों को एक लंबी, जटिल श्रृंखला में बुनती हैं। यह गहराई मशीन की उस अनूठी क्षमता का स्रोत मानी जाती थी जिससे वह उन संभावनाओं को तलाश सकती है जो साधारण कंप्यूटरों के लिए छिपी रहती हैं। हालाँकि, जांच की एक नई रेखा इस अंतर्ज्ञान को चुनौती देती है, यह परखते हुए कि क्या क्वांटम सर्किट के सबसे प्रतिबंधित, उथले (shallow) संस्करण—जो केवल कुछ ही ऑपरेशनों को निष्पादित करते हैं—अभी भी सर्वश्रेष्ठ क्लासिकल एल्गोरिदम को मात दे सकते हैं। दांव ऊंचे हैं क्योंकि यदि ऐसा न्यूनतम क्वांटम सिस्टम एक कठिन समस्या को हल कर सकता है, तो यह सिद्ध करेगा कि क्वांटम लाभ केवल विशाल, त्रुटिपूर्ण मशीनों की विशेषता नहीं है, बल्कि सबसे सरल क्वांटम संरचनाओं का भी एक मौलिक गुण है। महत्वपूर्ण रूप से, इस लाभ के उपयोगी होने के लिए, एक मानक कंप्यूटर का उपयोग करने वाले मानव पर्यवेक्षक को परिणाम को तेजी से और निश्चितता के साथ सत्यापित करने में सक्षम होना चाहिए, जिससे एक सैद्धांतिक संभावना एक व्यावहारिक परीक्षण में बदल जाए।

एक शोधकर्ता ने अब एक विशिष्ट गणितीय पहेली का निर्माण किया है जो इस घटना को प्रदर्शित करती है। उन्होंने एक ऐसा कार्य डिजाइन किया जिसे एक क्वांटम कंप्यूटर एक अविश्वसनीय रूप से उथले सर्किट का उपयोग करके हल कर सकता है, जो इतना छोटा है कि वह बुनियादी लॉजिक गेट्स के स्तर से मुश्किल से ऊपर उठता है। फिर भी, इसी पहेली को हल करना किसी भी क्लासिकल कंप्यूटर के लिए प्रभावी रूप से असंभव बना हुआ है, बशर्ते कि कुछ मानक गणितीय कठिनाइयाँ बनी रहें। इस उपलब्धि को जो बात विशेष रूप से उल्लेखनीय बनाती है, वह यह है कि समाधान कोई 'ब्लैक बॉक्स' नहीं है; एक क्लासिकल पर्यवेक्षक उत्तर की कुशलता से जांच कर सकता है और पुष्टि कर सकता है कि क्वांटम मशीन ने वास्तव में यह उपलब्धि हासिल की है। शोधकर्ता ने इस कार्य को करने के दो अलग-अलग तरीके बनाकर इसे हासिल किया। पहला एक ऐसे सर्किट का उपयोग करता है जो थोड़ा गहरा है लेकिन केवल क्वबिट्स के बीच मानक, सरल कनेक्शनों पर निर्भर करता है। दूसरा, और भी अधिक प्रभावशाली, एक 'कांस्टेंट डेप्थ' (constant depth) सर्किट का उपयोग करता है, जिसका अर्थ है कि यह समस्या कितनी भी बड़ी हो जाए, गहरा नहीं होता है, लेकिन इसके लिए एक विशिष्ट प्रकार के गेट की आवश्यकता होती है जो एक साथ कई इनपुट को संभाल सके। दोनों संस्करण वहां सफल होते हैं जहां क्लासिकल कंप्यूटर विफल होते हैं, और दोनों ऐसे परिणाम उत्पन्न करते हैं जिन्हें तुरंत सत्यापित किया जा सकता है। इसके अलावा, चूंकि अनबाउंडेड फैन-इन (unbounded fan-in) वाले सर्किट को अनबाउंडेड फैन-आउट (unbounded fan-out) वाले सर्किट द्वारा सिम्युलेट किया जा सकता है, इसलिए यह कार्य दूसरे द्वारा भी हल किया जा सकता है, हालांकि लेखक अनबाउंडेड फैन-इन वाले कांस्टेंट-डेप्थ संस्करण को अधिक महत्वपूर्ण उपलब्धि के रूप में रेखांकित करते हैं।

इस खोज का मूल यह है कि कैसे शोधकर्ता ने एक ज्ञात क्रिप्टोग्राफिक चुनौती को इन उथले मशीनों के अनुकूल प्रारूप में अनुवादित किया। उन्होंने एक ऐसी समस्या से शुरुआत की जो शोर वाले डेटा में छिपे पैटर्न खोजने की कठिनाई पर आधारित है, जिसे 'लर्निंग विद एरर्स' (learning with errors) के रूप में जाना जाता है। समान विचारों का उपयोग करके क्वांटम लाभ सिद्ध करने के पिछले प्रयासों में, क्वांटम कंप्यूटर को गणना के बीच में मापन (measurements) करने और उन परिणामों को अगले चरणों का मार्गदर्शन करने के लिए मशीन में वापस फीड करने वाली एक लंबी, बहु-चरणीय प्रक्रिया करनी पड़ती थी। यह "इंटरैक्टिव" दृष्टिकोण आवश्यक था कि क्वांटम अवस्था लंबे समय तक सुसंगत (coherent) और स्थिर बनी रहे। नया कार्य इस पूरी प्रक्रिया को दरकिनार करता है। शोधकर्ता ने समस्या को इस तरह से एनकोड करने की विधि विकसित की जिससे क्वांटम कंप्यूटर ऑपरेशनों का एक एकल, छोटा, अटूट क्रम चला सके और फिर अंत में केवल एक बार परिणाम को माप सके। यह मध्य-सर्किट मापन और फीडबैक की आवश्यकता को समाप्त करता है, जिससे हार्डवेयर की आवश्यकताएं काफी सरल हो जाती हैं।

इसे सफल बनाने के लिए, शोधकर्ता को उन मानक गणितीय धारणाओं से थोड़ा अधिक मजबूत सेट पर निर्भर रहना पड़ा जो पिछले अध्ययनों में उपयोग किए गए थे। उन्होंने एक विशिष्ट स्थिति पेश की कि कैसे एक मॉड्यूलर सिस्टम में संख्याएँ जोड़ने पर कुछ सूचना के बिट्स, जिन्हें 'कैरी बिट्स' (carry bits) के रूप में जाना जाता है, व्यवहार करते हैं। हालांकि यह धारणा अभी तक मानक गणित के आधार पर सिद्ध नहीं हुई है, लेकिन लेखक ने इसकी वैधता का समर्थन करने वाले मजबूत साक्ष्य प्रदान किए हैं। उन्होंने तर्क दिया कि यदि कोई क्लासिकल कंप्यूटर उनकी पहेली को हल कर सकता है, तो इसका तात्पर्य इन अंतर्निहित गणितीय धारणाओं को तोड़ने में एक बड़ी सफलता से होगा, जो व्यापक रूप से असंभव माना जाता है। परिणाम एक मजबूत प्रदर्शन है कि उथले क्वांटम सर्किट में क्लासिक रूप से कठिन समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त आंतरिक संरचना होती है। शोधकर्ता ने दिखाया कि क्वांटम मशीन कई संभावित इनपुट का सुपरपोजिशन तैयार करती है, उन्हें एक स्थानीय, उथले एनकोडिंग के माध्यम से संसाधित करती है, और फिर समाधान को एनकोड करने वाले पैटर्न को प्रकट करने के लिए आउटपुट को मापती है।

इस कार्य के निहितार्थ दोहरे हैं। पहला, यह सैद्धांतिक रूप से जो संभव है और निकट-अवधि के क्वांटम उपकरणों के साथ जो व्यावहारिक रूप से प्राप्त किया जा सकता है, उसके बीच के अंतर को कम करता है। यह दिखाकर कि कांस्टेंट-डेप्थ सर्किट इस लाभ को प्राप्त कर सकते हैं, अध्ययन यह सुझाव देता है कि भविष्य के "क्वांटमनेस" के परीक्षणों के लिए उन विशाल, गहरे सर्किटों की आवश्यकता नहीं हो सकती है जो वर्तमान में हमारी इंजीनियरिंग क्षमताओं से परे हैं। दूसरा, यह क्वांटम और क्लासिकल शक्ति के बीच की सीमा को स्पष्ट करता है। शोधकर्ता ने स्पष्ट रूप से उल्लेख किया कि उनका परिणाम उन सर्किटों पर भी लागू होता है जिनमें अनबाउंडेड फैन-आउट गेट्स होते हैं, जो एक अलग प्रकार का शक्तिशाली ऑपरेशन है जिसे उनके कांस्टेंट-डेप्थ अनबाउंडेड फैन-इन मॉडल की तुलना में कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक शक्तिशाली माना जाता है। इसके बजाय, उनकी सफलता उनके एनकोडिंग की विशिष्ट संरचना और अंतर्निहित लैटिस समस्याओं की कठोरता पर निर्भर करती है। अध्ययन यह दावा नहीं करता है कि उसने एक सार्वभौमिक क्वांटम कंप्यूटर बनाने की समस्या को हल कर लिया है, न ही यह सुझाव देता है कि ये उथले सर्किट बड़ी संख्याओं का गुणनखंड (factor) कर सकते हैं या वर्तमान एन्क्रिप्शन को तोड़ सकते हैं। बल्कि, यह एक सटीक, सत्यापन योग्य सैंपलिंग कार्य प्रदान करता है जो एक स्पष्ट बेंचमार्क के रूप में कार्य करता है।

निर्माण में एक 'चैलेंज-एंड-रिस्पॉन्स' प्रोटोकॉल शामिल है जहाँ एक वेरीफायर (verifier) एक प्रूवर (prover) को पब्लिक की (public key) भेजता है। प्रूवर, जो क्वांटम मशीन के रूप में कार्य करता है, एक क्वांटम अवस्था तैयार करता है, उथले सर्किट को लागू करता है, और संख्याओं का एक सेट वापस करता है। वेरीफायर फिर जांचता है कि क्या वे संख्याएं एक विशिष्ट संबंध को संतुष्ट करती हैं। यदि प्रूवर एक क्लासिकल कंप्यूटर है, तो वह सर्वोत्तम संभव रणनीतियों के बावजूद तीन-चौथाई से अधिक समय में सही संबंध उत्पन्न करने में विफल रहेगा। यदि प्रूवर ईमानदार क्वांटम मशीन है, तो वह लगभग हर बार सफल होता है। शोधकर्ता ने सत्यापित किया कि उनके क्वांटम कार्यान्वयन में केवल 'पॉलीनोमियल विड्थ' (polynomial width) का उपयोग किया गया है, जिसका अर्थ है कि क्वबिट्स की संख्या समस्या के आकार के साथ उचित रूप से बढ़ती है, और गहराई अत्यंत कम रहती है। कम गहराई, क्लासिकल कठोरता और कुशल सत्यापन का यह संतुलन क्वांटम लाभ के लिए न्यूनतम आवश्यकताओं को समझने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है।

हालांकि अध्ययन उन धारणाओं पर आधारित है जो अभी तक पूरी तरह से सिद्ध नहीं हुई हैं, लेखक अपने परिणामों को इन गणितीय विश्वासों के अधीन रखने के मामले में सावधान हैं। वे स्वीकार करते हैं कि उनके द्वारा उपयोग की जाने वाली विशिष्ट "कैरी-प्रेडिकेट" (carry-predicate) धारणा क्षेत्र में एक नया जुड़ाव है, हालांकि वे आंशिक साक्ष्य प्रदान करते हैं कि यह संभवतः सत्य है। यह पारदर्शिता सुनिश्चित करती है कि वैज्ञानिक समुदाय इन धारणाओं का आगे परीक्षण और परिशोधन कर सके। कार्य वर्तमान दृष्टिकोणों की सीमाओं को भी उजागर करता है; उदाहरण के लिए, वे नोट करते हैं कि विशेष फैन-इन गेट्स के बिना केवल मानक गेट्स का उपयोग करने के लिए सर्किट की गहराई को और कम करना एक खुला प्रश्न बना हुआ है। शोधकर्ता सुझाव देते हैं कि केवल सरल गेट्स के साथ वास्तव में एक कांस्टेंट-डेप्थ सर्किट प्राप्त करने के लिए नए गणितीय निर्माणों की आवश्यकता हो सकती है जो वर्तमान में खोजना कठिन है।

अंततः, यह शोध पत्र इस बात का एक ठोस उदाहरण प्रस्तुत करता है कि कैसे एक क्वांटम सिस्टम न्यूनतम संसाधनों के साथ एक क्लासिकल सिस्टम से बेहतर प्रदर्शन कर सकता है। यह बातचीत को अमूर्त जटिलता सिद्धांत (complexity theory) से एक मूर्त, सत्यापन योग्य प्रोटोकॉल की ओर ले जाता है। गहरे सर्किटों और मध्य-सर्किट मापन की आवश्यकता को हटाकर, शोधकर्ता ने दिखाया है कि क्वांटम लाभ का सार बहुत उथली संरचनाओं में भी पाया जा सकता है। यह खोज शुरुआती क्वांटम उपकरणों के लिए जो कुछ भी संभव हो सकता है, उसके क्षितिज को विस्तृत करती है और यह जांचने के लिए एक नया, कठोर मानक प्रदान करती है कि क्या कोई मशीन वास्तव में क्वांटम यांत्रिकी का उपयोग कर रही है। आगे का मार्ग इन धारणाओं को परिष्कृत करने और यह पता लगाने में निहित है कि क्या इसी तरह की तकनीकों को अन्य क्रिप्टोग्राफिक कार्यों पर लागू किया जा सकता है, लेकिन मुख्य परिणाम अडिग है: एक उथला क्वांटम सर्किट वास्तव में एक ऐसी समस्या को हल कर सकता है जो क्लासिकल कंप्यूटरों के लिए कठिन है और सत्यापन के लिए आसान है।

तकनीकी सारांश: अत्यंत कम गहराई में सत्यापन योग्य क्वांटम लाभ (Verifiable Quantum Advantage)

समस्या विवरण (Problem Statement)
यह शोध पत्र क्वांटम जटिलता सिद्धांत (quantum complexity theory) के एक मौलिक अंतराल को संबोधित करता है: एक ऐसे कार्य का अभाव जो एक साथ अत्यंत उथले (shallow) क्वांटम सर्किट द्वारा हल करने योग्य हो, शास्त्रीय बहुपद-समय (polynomial-time) एल्गोरिदम के लिए कठिन हो, और एक शास्त्रीय कंप्यूटर द्वारा कुशलतापूर्वक सत्यापन योग्य हो। जबकि पिछले कार्यों ने स्थापित किया है कि स्थिरांक-गहराई वाले क्वांटम सर्किट (विशेष रूप से अनबाउंडेड फैन-आउट के साथ $QNC^0_f$ ) शास्त्रीय रूप से कठिन समस्याओं को हल कर सकते हैं, और क्वांटम गुणों के संवादात्मक प्रमाण (interactive proofs of quantumness) मौजूद हैं, कोई भी ज्ञात "व्हाइट-बॉक्स" समस्या इन तीनों मानदंडों को बाउंडेड-अरिटी गेट्स (bounded-arity gates) का उपयोग करके सब-लॉगैरिथमिक गहराई या अनबाउंडेड फैन-इन के साथ स्थिरांक गहराई में संतुष्ट नहीं करती है। विशेष रूप से, कम-गहराई वाले क्वांटम गुणों के मौजूदा प्रमाण अक्सर मिड-सर्किट मेजरमेंट, क्लासिकल फीड-फॉरवर्ड, या ब्लैक-बॉक्स रैंडम ओरैकल्स पर निर्भर करते हैं, जो सर्किट गहराई की गारंटी को अस्पष्ट करते हैं या अनबाउंडेड फैन-आउट गेट्स की आवश्यकता रखते हैं। मुख्य प्रश्न यह है कि क्या $QNC^0[\log \log]$ (बाउंडेड फैन-इन के साथ लॉग-लॉग गहराई) और $QAC^0$ (अनबाउंडेड फैन-इन के साथ स्थिरांक गहराई) जैसे प्रतिबंधित वर्गों के भीतर एक सत्यापन योग्य क्वांटम लाभ प्राप्त किया जा सकता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक लर्निंग विद एरर्स (LWE) ढांचे पर आधारित एक सैंपलिंग समस्या का निर्माण करते हैं, जो अरबदजेवा एवं अन्य [AGGM25] के सिंगल-राउंड क्वांटमनेस प्रूफ को बहुत कम-गहराई वाले सर्किटों में संकलित (compile) करता है। मुख्य तकनीकी नवाचार रैंडमाइज्ड एनकोडिंग (randomized encodings) का उपयोग करना है ताकि LWE-आधारित ट्रैपडोर क्लॉ-फ्री फंक्शन्स (TCFs) के मूल्यांकन को एक स्थानीय, उथले कंप्यूटेशन में बदला जा सके।

प्रोटोकॉल संरचना: प्रोटोकॉल एक सिंगल-राउंड चैलेंज-रिस्पॉन्स कार्य है। सत्यापनकर्ता (verifier) या तो एक TCF $f$ (LWE पर आधारित) या एक इंजेक्टिव फंक्शन $g$ (लैटिस नॉलेज धारणा पर आधारित) का नमूना लेता है जो कम्प्यूटेशनल रूप से अविभेद्य (indistinguishable) हैं। प्रूवर को एक रिस्पॉन्स $(y, d)$ (या उसका एनकोडेड समकक्ष) लौटाना होता है जो विशिष्ट बीजगणितीय संबंधों को संतुष्ट करता है।
रैंडमाइज्ड एनकोडिंग: गहराई को प्राप्त करने के लिए, लेखक एक बाइनरी एफ़ाइन मैप एनकोडिंग को रिंग $\mathbb{Z}_q$ $Z_{q}$ पर मैप्स में सामान्यीकृत करते हैं। एनकोडिंग $Mv + \eta$ $M v + η$ (जहाँ $M$ $M$ एक मैट्रिक्स है, $v$ $v$ एक इनपुट वेक्टर है, और $\eta$ $η$ शोर/noise है) के वैश्विक कंप्यूटेशन को स्थानीय रूप से गणनीय प्रतीकों की एक स्ट्रिंग में बदल देती है।
- पाथ-मास्क एनकोडिंग (Path-Mask Encoding): इनपुट के योग को "पाथ मास्क" ( $h$ ) का उपयोग करके एनकोड किया जाता है जो रैंडम वैल्यूज को एक पथ के साथ ले जाते हैं, जो योग होने पर रद्द (cancel) हो जाते हैं। यह सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक आउटपुट सिंबल केवल एक निश्चित संख्या में स्रोत शब्दों (source words) पर निर्भर करता है।
- इनपुट मास्किंग (Input Masking): पंक्तियों (rows) में इनपुट के पुन: उपयोग को रोकने के लिए (जो लोकैलिटी को तोड़ देगा), मास्क ( $r$ ) की दूसरी परत लागू की जाती है।
- लोकैलिटी (Locality): प्रत्येक एनकोडेड सिंबल अधिकतम तीन स्रोत शब्दों (इनपुट, मास्क, या नॉइज़) पर निर्भर करता है। यह क्वांटम प्रूवर को एनकोडिंग का समानांतर (parallel) मूल्यांकन करने की अनुमति देता है।
क्वांटम रणनीति: ईमानदार क्वांटम प्रूवर ब्रांच बिट, इनपुट, नॉइज़ और एनकोडिंग मास्क पर सुपरपोजिशन तैयार करता है। वह एनकोडिंग का स्थानीय रूप से मूल्यांकन करता है, नॉइज़ रजिस्टर को मिटा देता है (जो अब आउटपुट के साथ एंटैंगल्ड है), और रजिस्टरों को हैडामाड बेसिस (Hadamard basis) में मापता है। इससे एक दिशा $D$ और एक बिट $C$ प्राप्त होता है जो TCF की "क्लॉ" (claw) संरचना से प्राप्त पैरिटी संबंध को संतुष्ट करता है।
सत्यापन (Verification): सत्यापनकर्ता ट्रैपडोर का उपयोग करके या तो इमेज की वैधता की जांच करता है (इंजेक्टिव मामले में) या दो प्री-इमेज और उनके संबंधित मास्क को रिकवर करता है (TCF मामले में) ताकि पैरिटी समीकरण को सत्यापित किया जा सके।

मुख्य धारणाएं (Key Assumptions)
समस्या की शास्त्रीय कठोरता दो गैर-मानक लेकिन अच्छी तरह से प्रेरित धारणाओं पर निर्भर करती है:

सबएक्सपोनेंशियल नॉलेज-ऑफ-लैटिस-पॉइंट (LK-1/4): एक एल्गोरिदम जो लैटिस के करीब एक बिंदु आउटपुट करता है, उसे निकटतम लैटिस वेक्टर का "ज्ञान" होना चाहिए। इसका उपयोग $g$ के लिए प्री-इमेज निकालने के लिए किया जाता है।
एडेप्टिव-हार्डकोर-बिट विद कैरी प्रेडिकेट्स (Adaptive-Hardcore-Bit with Carry Predicates): LWE के लिए एडेप्टिव-हार्डकोर-बिट प्रॉपर्टी का एक सुदृढ़ संस्करण। यह दावा करता है कि कोई भी कुशल शास्त्रीय एल्गोरिदम सीक्रेट के उस पैरिटी की भविष्यवाणी नहीं कर सकता जिसमें न केवल लीनियर टर्म्स बल्कि LWE समीकरणों के आंशिक योग से उत्पन्न होने वाले "कैरी बिट्स" भी शामिल हों। लेखक इस धारणा के लिए साक्ष्य प्रदान करते हैं लेकिन नोट करते हैं कि यह अभी तक सीधे मानक LWE से प्राप्त होना सिद्ध नहीं हुआ है।

परिणाम (Results)
लेखक क्वांटम सैंपलर के दो कार्यान्वयन प्रस्तुत करते हैं:

$QNC^0[\log \log]$ : केवल एक- और दो-क्विबिट गेट्स (बाउंडेड फैन-इन) का उपयोग करके $O(\log \log \lambda)$ गहराई वाला सर्किट।
$QAC^0$ : अनबाउंडेड फैन-इन गेट्स (सामान्यीकृत टोफ़ोली गेट्स) का उपयोग करके स्थिरांक गहराई $O(1)$ वाला सर्किट।

थ्योरम 1.1 (अनौपचारिक): निर्धारित धारणाओं के तहत, ऐसे सैंपलिंग समस्याओं का एक परिवार मौजूद है जहाँ:

एक ईमानदार क्वांटम सैंपलर $1 - \text{negl}(\lambda)$ की प्रायिकता के साथ स्वीकार किया जाता है।
कोई भी यूनिफॉर्म क्लासिकल सैंपलर जो $2^{o(\lambda)}$ समय में चलता है, $3/4 + \text{negl}(\lambda)$ की प्रायिकता के साथ स्वीकार किया जाता है।
क्वांटम कंप्यूटेशन के लिए किसी मिड-सर्किट मेजरमेंट या फीड-फॉरवर्ड की आवश्यकता नहीं है; इसमें एक सिंगल यूनिटरी सर्किट और उसके बाद एक अंतिम मेजरमेंट लेयर शामिल है।

महत्व और दावे (Significance and Claims)
लेखक यह दावा करते हैं कि वे पहले ऐसे सत्यापन योग्य क्वांटम लाभ का उदाहरण प्रदान करते हैं जिसके लिए न तो अनबाउंडेड फैन-आउट गेट्स (जो गहराई पदानुक्रमों को कोलैप्स करने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली हैं) या मिड-सर्किट मेजरमेंट की आवश्यकता है। रैंडमाइज्ड एनकोडिंग का उपयोग करके AGGM प्रोटोकॉल को संकलित करके, लेखक प्रदर्शित करते हैं कि उथले क्वांटम सर्किटों में शास्त्रीय रूप से कठिन कार्यों को हल करने के लिए पर्याप्त संरचना होती है जिनके समाधान कुशलतापूर्वक सत्यापन योग्य होते हैं।

लेखक अपनी सीमाओं के बारे में विनम्र हैं:

निर्माण "कैरी-प्रेडिकेट" धारणा पर निर्भर है, जो अभी तक मानक LWE से सीधे सिद्ध नहीं हुई है।
सर्किट की चौड़ाई (width) बहुपद है लेकिन बड़ी है (अनुमानित $e^{O(\lambda^4 \log^6 \lambda)}$ ), जिससे तत्काल निकट-अवधि (near-term) प्रयोगात्मक कार्यान्वयन अव्यावहारिक हो जाता है।
यह परिणाम अभी तक केवल बाउंडेड-अरिटी गेट्स का उपयोग करके एक स्थिरांक-डेप्थ सर्किट (वास्तविक $QNC^0$ ) प्राप्त नहीं करता है, क्योंकि $L$ -बिट नंबरों ( $L = \Theta(\log^2 \lambda)$ ) पर अंकगणित के लिए या तो $O(\log \log \lambda)$ गहराई या अनबाउंडेड फैन-इन की आवश्यकता होती है।

यह कार्य उथले क्वांटम कंप्यूटेशन की समझ को व्यापक बनाता है, यह दिखाते हुए कि अनबाउंडेड फैन-आउट या इंटरैक्टिव फीडबैक की शक्ति के बिना भी, क्वांटम सर्किट प्रशंसनीय क्रिप्टोग्राफिक धारणाओं के तहत शास्त्रीय कंप्यूटेशन पर एक सत्यापन योग्य लाभ बनाए रख सकते हैं।

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