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Quantum amplitude estimation beyond power-of-two schedules

यह शोध पत्र एक पूर्णतः समानांतर, गैर-अनुकूली क्वांटम एम्प्लीट्यूड एस्टिमेशन विधि प्रस्तुत करता है जो पारंपरिक पावर-ऑफ-टू शेड्यूल्स और सबस्पेस पोस्ट-प्रोसेसिंग को एक ज्यामितीय सीढ़ी (अनुपात $r \approx 1.45$ ) और सटीक मैक्सिमम-लाइक्लीहुड एस्टिमेशन से प्रतिस्थापित करता है, जिससे क्वेरी जटिलताएँ प्राप्त होती हैं जो सर्वोत्तम अनुकूली बेंचमार्क के बराबर या उनसे बेहतर हैं और साथ ही अधिकतम अनुक्रमिक गहराई को महत्वपूर्ण रूप से कम करती हैं।

मूल लेखक: Farrokh Labib

प्रकाशित 2026-09-03

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Farrokh Labib

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क्वांटम दुनिया में, वैज्ञानिक अक्सर एक जटिल प्रणाली के भीतर छिपे हुए एक गुप्त नंबर को मापने की आवश्यकता महसूस करते हैं, ठीक वैसे ही जैसे कि एक तराजू के झुकने के तरीके को देखकर रेत के एक अकेले कण का सटीक वजन अनुमान लगाने की कोशिश करना। यह कार्य, जिसे एम्प्लीट्यूड एस्टीमेशन (amplitude estimation) कहा जाता है, कई सबसे आशाजनक क्वांटम अनुप्रयोगों के पीछे का इंजन है, जिसमें वित्तीय जोखिमों की गणना से लेकर रासायनिक प्रतिक्रियाओं का अनुकरण करना शामिल है। चुनौती यह है कि क्वांटम प्रणालियाँ नाजुक होती हैं, और आप जितना अधिक देखते हैं, प्रणाली उतनी ही बदल जाती है। एक सटीक उत्तर प्राप्त करने के लिए, शोधकर्ताओं को पारंपरिक रूप से चरणों की एक लंबी श्रृंखला बनानी पड़ती थी, जहाँ प्रत्येक चरण दूसरे के परिणाम पर निर्भर करता था। इस क्रमिक दृष्टिकोण का अर्थ यह था कि यदि एक कंप्यूटर को अगला चरण शुरू करने से पहले एक गणना पूरी होने का इंतजार करना पड़ता, तो पूरी प्रक्रिया बहुत लंबा समय ले सकती थी, भले ही कंप्यूटर के पास एक साथ काम करने के लिए कई प्रोसेसर उपलब्ध हों। वर्षों से, सर्वोत्तम तरीके या तो तेज़ थे लेकिन उन्हें इस धीमी, चरण-दर-चरण प्रतीक्षा की आवश्यकता थी, या वे तेज़ और समानांतर (parallel) थे लेकिन एक विश्वसनीय उत्तर प्राप्त करने के लिए उन्हें बहुत अधिक प्रयासों की आवश्यकता थी जिससे समय और संसाधन बर्बाद होते थे।

एक शोधकर्ता ने अब बिना किसी समझौते के गति और दक्षता दोनों पाने का एक तरीका खोज लिया है। उन्होंने पाया कि इन क्वांटम चरणों को व्यवस्थित करने का पुराना तरीका अनावश्यक रूप से कठोर था। लंबे समय तक, वैज्ञानिक प्रत्येक चरण में अपनी गणना की गहराई को दोगुना करने के नियम का पालन करते थे, एक ऐसा पैटर्न जो तार्किक लगता था लेकिन वास्तव में प्रणाली को भ्रमित होने के प्रति संवेदनशील बना देता था। इस पैटर्न को चरणों के थोड़े अधिक घने, अधिक बार होने वाले क्रम में बदलकर, उन्होंने एक ऐसा तरीका बनाया जो अपने सभी गणनाओं को विभिन्न प्रोसेसरों पर एक साथ चला सकता है, फिर भी कम कुल प्रयासों के साथ सही उत्तर तक पहुँचता है। उनका नया दृष्टिकोण केवल एक छोटा सा बदलाव नहीं है; यह सबसे परिष्कृत, चरण-दर-चरण तरीकों के प्रदर्शन से मेल खाता है और यह पूरी तरह से समानांतर है, और यह उस स्तर की निश्चितता के साथ किया जाता है जो पहले एक बहुत अधिक जटिल सेटअप के लिए आवश्यक माना जाता था।

इस सफलता का मुख्य आधार यह है कि शोधकर्ता ने अपने क्वांटम सीढ़ी के "रंगों" (rungs) को कैसे व्यवस्थित किया। एक सीढ़ी की कल्पना करें जहाँ प्रत्येक रंग माप के एक अलग स्तर का प्रतिनिधित्व करता है। पारंपरिक विधि में ऐसे रंग उपयोग किए जाते थे जो हर बार दूरी को दोगुना करके अलग होते थे, जैसे कि 1, 2, 4, 8 और इसी तरह। शोधकर्ता ने महसूस किया कि यह विशिष्ट अंतराल भ्रम की कगार पर स्थित है। जब रंगों के बीच की दूरी बहुत अधिक होती है, तो एक चरण का डेटा दो बहुत समान संभावित उत्तरों के बीच स्पष्ट रूप से अंतर नहीं कर पाता है, जिससे त्रुटियां होती हैं जिन्हें ठीक करने के लिए कई अतिरिक्त प्रयासों की आवश्यकता होती है। इस पैटर्न को एक ऐसी सीढ़ी में बदलकर जहाँ रंग अधिक करीब रखे गए हों, जिसमें प्रत्येक चरण के बीच लगभग 1.45 का अनुपात हो, प्रणाली प्रत्येक पैमाने की बार-बार जांच करती है। यह अतिरेक (redundancy) एक सुरक्षा जाल के रूप में कार्य करता है, जो त्रुटियों को विनाशकारी होने से पहले ही पकड़ लेता है, बिना उस पुराने, व्यापक-अंतराल वाली सीढ़ी की तरह बहुत अधिक अतिरिक्त प्रयासों की आवश्यकता के।

इसे काम करने के लिए, शोधकर्ता ने अंतिम उत्तर की गणना करने के तरीके को भी बदल दिया। कच्चे डेटा से परिणाम का अनुमान लगाने के लिए अनुमानों या ह्यूरिस्टिक्स (heuristics) के सेट का उपयोग करने के बजाय, उन्होंने एक सटीक गणितीय विधि का उपयोग किया जो सभी संभावनाओं में से एकल सबसे संभावित उत्तर को खोजती है। यह विधि डेटा को एक संपूर्ण इकाई के रूप में मानती है, जो सत्य को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए परिणामों के पूरे पैटर्न को देखती है। क्योंकि नया सीढ़ी डिज़ाइन डेटा को भ्रमित होने से रोकता है, इसलिए इस सटीक गणना को तेजी से और विश्वसनीयता से किया जा सकता है। परिणाम यह है कि यह प्रणाली पूरी तरह से नियतात्मक (deterministic) है, जिसका अर्थ है कि यह एक निश्चित योजना का पालन करती है जो मध्यवर्ती परिणामों के आधार पर कभी नहीं बदलती है, जिससे इसकी गणना का प्रत्येक भाग प्रोसेसरों के एक क्लस्टर पर एक साथ चलाया जा सकता है।

अपने परीक्षणों में, यह नई विधि उल्लेखनीय रूप से कुशल साबित हुई। वांछित त्रुटियों की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए, बहुत बड़ी से लेकर अत्यंत छोटी त्रुटियों तक, नए दृष्टिकोण को 95% विश्वास के साथ सफल होने के लिए वांछित त्रुटि के व्युत्क्रम (inverse) के बीच 2.8 से 3.1 गुना की आवश्यकता थी। यह प्रदर्शन सबसे अच्छे अनुकूलन योग्य (adaptive) तरीकों के औसत-मामले की दक्षता से मेल खाता है, जिन्हें वर्तमान में स्वर्ण मानक माना जाता है, लेकिन यह बिना किसी क्रमिक देरी के किया जाता है। जबकि सर्वोत्तम अनुकूलन योग्य तरीकों को चरणों की एक श्रृंखला के माध्यम से काम करने के लिए एक एकल प्रोसेसर की आवश्यकता होती है जो उनके अधिकतम गहराई से लगभग 13 गुना लंबी होती है, नया तरीका किसी भी एकल प्रोसेसर पर अधिकतम गहराई को त्रुटि के व्युत्क्रम के केवल 0.21 गुना तक रखता है। इसका मतलब है कि कई प्रोसेसरों वाला क्वांटम कंप्यूटर उन पुराने क्रमिक तरीकों को चलाने वाले एकल प्रोसेसर की तुलना में बहुत कम समय में समस्या को हल कर सकता है।

शोधकर्ता ने यह भी दिखाया कि यह विधि उस शोर (noise) के प्रति भी मजबूत है जो अनिवार्य रूप से क्वांटम प्रणालियों में प्रवेश करता है। उन्होंने प्रदर्शित किया कि यदि प्रणाली बाहरी कारकों द्वारा थोड़ी विचलित हो जाती है, तो विधि प्रयोग की मौलिक संरचना को बदले बिना, केवल उस शोर को ध्यान में रखते हुए गणना को समायोजित करके सही उत्तर पा सकती है। यह लचीलापन सुझाव देता है कि यह विधि केवल एक सैद्धांतिक जिज्ञासा नहीं है बल्कि अगली पीढ़ी के क्वांटम उपकरणों के लिए एक व्यावहारिक उपकरण है। शोधकर्ता ने लाखों सिम्युलेटेड परीक्षणों के माध्यम से अपने निष्कर्षों की पुष्टि की, जिससे पता चला कि नया तरीका मानक विश्वास स्तरों पर पिछले सर्वश्रेष्ठ गैर-अनुकूलन योग्य बेंचमार्क से 30 से 35% और उच्च विश्वास स्तरों पर और भी बड़े अंतर से लगातार बेहतर प्रदर्शन करता है।

यह खोज विशेष रूप से महत्वपूर्ण है क्योंकि यह उस अंतर को पाट देती है जिसे कई लोग अप्राप्य मानते थे। वर्षों से, व्यापार-बंद (trade-off) स्पष्ट था: या तो आपके पास एक तेज़, समानांतर विधि थी जो कम सटीक थी, या एक अत्यधिक सटीक विधि थी जो धीमी और क्रमिक थी। यह कार्य दिखाता है कि यह अंतर भौतिक विज्ञान का कोई मौलिक नियम नहीं था बल्कि एक उप-इष्टतम डिज़ाइन विकल्प का परिणाम था। केवल अपने माप चरणों के अंतराल को बदलकर और डेटा की व्याख्या करने के अधिक सटीक तरीके का उपयोग करके, शोधकर्ता ने दक्षता के एक नए स्तर को अनलॉक किया। यह विधि एक कंप्यूटर के लिए निर्देशों की एक एकल पंक्ति में वर्णित करने के लिए पर्याप्त सरल है, फिर भी यह सबसे जटिल अनुकूलन योग्य रणनीतियों के प्रदर्शन का मुकाबला करती है।

क्वांटम कंप्यूटिंग के भविष्य के लिए इसके निहितार्थ पर्याप्त हैं। जैसे-जैसे क्वांटम कंप्यूटर बड़े और अधिक सक्षम होते जा रहे हैं, गणनाओं को एक लंबी श्रृंखला के बजाय समानांतर में चलाना अधिक महत्वपूर्ण होता जाएगा। यह नया दृष्टिकोण शोधकर्ताओं को एक क्वांटम प्रोसेसर की पूरी शक्ति का उपयोग करने, कार्यभार को कई इकाइयों में एक साथ वितरित करने की अनुमति देता है। यह प्रारंभिक दोष-सहिष्णु (fault-tolerant) उपकरणों के लिए गहराई की सीमाओं को संभालने के लिए एक स्पष्ट मार्ग भी प्रदान करता है, जहाँ कंप्यूटर द्वारा त्रुटियां जमा होने से पहले कितने चरण लिए जा सकते हैं, यह प्रतिबंधित होता है। इन परिदृश्यों में, यह विधि कुशलतापूर्वक स्केल करती है, यह बनाए रखते हुए कि कुल चरणों की संख्या सीमित होने पर भी इसका प्रदर्शन बना रहता है।

शोधकर्ता का कार्य इस बात पर भी प्रकाश डालता है कि उन धारणाओं की पुन: जांच करना कितना महत्वपूर्ण है जो मानक अभ्यास बन गई हैं। प्रत्येक चरण में गहराई को दोगुना करने का विकल्प एक ऐसा चलन था जो लंबे समय तक बिना किसी चुनौती के चलता रहा। इस परंपरा पर सवाल उठाकर और एक अलग अनुपात का परीक्षण करके, उन्होंने एक ऐसा समाधान खोजा जो अधिक सरल और प्रभावी है। यह सुझाव देता है कि क्वांटम कंप्यूटिंग के अन्य क्षेत्र भी हो सकते जहाँ इसी तरह के पुनर्मूल्यांकन से महत्वपूर्ण सुधार हो सकते हैं। यह विधि किसी विशिष्ट प्रकार के क्वांटम हार्डवेयर या संकीर्ण समस्याओं तक सीमित नहीं है; यह एम्प्लीट्यूड एस्टीमेशन किए जाने के तरीके में एक सामान्य सुधार है।

अंत में, यह शोध एक समाधान प्रस्तुत करता है जो सुंदर और शक्तिशाली दोनों है। यह एक जटिल, क्रमिक प्रक्रिया को एक सुव्यवस्थित, समानांतर प्रक्रिया से बदल देता है जो कम संसाधनों के साथ बेहतर परिणाम प्राप्त करती है। नया तरीका केवल एक सैद्धांतिक सुधार नहीं है; इसका व्यापक रूप से सिमुलेशन में परीक्षण किया गया है और यह विभिन्न परिस्थितियों में लगातार काम करता हुआ दिखाया गया है। यह क्वांटम अनुप्रयोगों के लिए एक व्यावहारिक मार्ग प्रदान करता है जिन्हें उच्च सटीकता की आवश्यकता होती है, जैसे वित्तीय मॉडलिंग से लेकर वैज्ञानिक खोज तक। इस प्रक्रिया को तेज़, अधिक विश्वसनीय और अधिक कुशल बनाकर, यह कार्य क्वांटम कंप्यूटिंग के वादे को वास्तविकता के एक कदम और करीब लाता है। शोधकर्ता ने दिखाया है कि कभी-कभी, आगे बढ़ने का सबसे अच्छा तरीका एक ऊंची सीढ़ी बनाना नहीं है, बल्कि रारों को एक स्मार्ट पैटर्न में रखना है।

तकनीकी सारांश: पावर-ऑफ-टू शेड्यूल्स से परे क्वांटम एम्प्लीट्यूड एस्टिमेशन (Quantum Amplitude Estimation)

समस्या विवरण
क्वांटम एम्प्लीट्यूड एस्टिमेशन (QAE) का लक्ष्य एक मार्क किए गए घटक के आयाम (amplitude) $a$ का अनुमान लगाना है, जो एक यूनिटरी ऑपरेटर के $O(1/\epsilon)$ अनुप्रयोगों का उपयोग करता है, जिससे क्लासिकल सैंपलिंग की तुलना में द्विघातीय (quadratic) गति प्राप्त होती है। आधुनिक गैर-अनुकूली (non-adaptive) QAE वेरिएंट ग्रोवर डेप्थ (जिसे "शेड्यूल" कहा जाता है) को पहले से ही निर्धारित कर देते हैं, जिससे सभी सर्किट समानांतर (parallel) रूप से चलाए जा सकते हैं। हालांकि, मौजूदा गैर-अनुकूली विधियों को ऐतिहासिक रूप से सबसे अच्छे अनुकूली (adaptive) तरीकों (जैसे कि chebAE) की तुलना में काफी अधिक क्वेरीज़ की आवश्यकता होती है। यह शोध पत्र पहचानता है कि प्रदर्शन का यह अंतर दो पारंपरिक डिजाइन विकल्पों से उत्पन्न होता है:

पोस्ट-प्रोसेसिंग: वर्चुअल एरेज़ पर सबस्पेस-आधारित विधियों (जैसे ESPRIT) या साइन-रिकवरी ह्यूरिस्टिक्स के बजाय सटीक सांख्यिकीय अनुमान का उपयोग करना।
शेड्यूलिंग: पावर-ऑफ-टू (power-of-two) डेप्थ लैडर ( $n, 2n, 4n, \dots$ ) पर निर्भरता।

कार्यप्रणाली
लेखक एक पूर्णतः समानांतर, नियत-शेड्यूल (deterministic-schedule) एस्टिमेटर प्रस्तावित करते हैं जो इन दोनों सीमाओं को दो स्वतंत्र नवाचारों के माध्यम से संबोधित करता है:

सटीक मैक्सिमम लाइकलीहुड (ML) पोस्ट-प्रोसेसिंग:
सबस्पेस विधियों या ह्यूरिस्टिक्स के बजाय, यह शोध पत्र कच्चे बाइनोमियल काउंट्स (binomial counts) पर सटीक ग्लोबल मैक्सिमम लाइकलीहुड अनुमान का उपयोग करता है। चूंकि पैरामीटर स्पेस एक-आयामी है, इसलिए ग्लोबल ML अनुमान को एक महीन ग्रिड पर लॉग-लाइकेलीहुड का मूल्यांकन करके और सर्वोत्तम पीक को परिष्कृत करके मशीन प्रिसिजन तक सटीक रूप से निकाला जा सकता है। इस प्रक्रिया के लिए प्रत्येक बैच के अनुमानों के लिए केवल एक मैट्रिक्स गुणन की आवश्यकता होती है, जिससे आइजनडीकंपोजिशन (eigendecompositions) या वर्चुअल एरे निर्माण की आवश्यकता समाप्त हो जाती है। लेखक प्रदर्शित करते हैं कि मौजूदा शेड्यूल्स पर, यह सटीक ML दृष्टिकोण पिछले सर्वोत्तम गैर-अनुकूली बेंचमार्क की तुलना में $\sim 10\%$ सुधार करता है, जो यह दर्शाता है कि शेड्यूलर स्वयं, न कि एस्टिमेटर, मुख्य बाधा थी।
जियोमेट्रिक लैडर शेड्यूलिंग ( $r \approx 1.45$ ):
यह शोध पत्र तर्क देता है कि पावर-ऑफ-टू लैडर उप-इष्टतम (suboptimal) हैं। जबकि दोगुना डेप्थ वह सबसे तेज़ विकास दर है जहाँ आसन्न लाइकलीहुड बेसिन (likelihood basins) सांख्यिकीय रूप से अलग किए जा सकते हैं, यह शेड्यूलर को "भ्रम के किनारे" (edge of confusion) पर रखता है, जिसके लिए विनाशकारी "बेसिन फ्लिप्स" (त्रुटियाँ जहाँ अनुमान गलत लाइकलीहुड पीक में गिर जाता है) को दबाने के लिए उथले डेप्थ पर अत्यधिक शॉट्स की आवश्यकता होती है।
लेखक पावर-ऑफ-टू लैडर को एक जियोमेट्रिक लैडर से बदल देते हैं जहाँ डेप्थ $r \approx 1.45$ के अनुपात से बढ़ती है। यह सघन (denser) लैडर हर स्केल को पुनredundantly (अतिरिक्त रूप से) जांचता है। चेर्नॉफ बाउंड्स (Chernoff bounds) का उपयोग करके एक त्रुटि-प्रायिकता विश्लेषण दिखाता है कि यह अनुपात निम्नलिखित के बीच संतुलन को न्यूनतम करता है:

एलियासिंग विफलताएं (Aliasing failures): $r=2$ पर, फ्रिंज पैटर्न प्रतिद्वंद्वी ऑफसेट्स पर व्यवस्थित रूप से पुनर्गठित होते हैं, जिससे लगभग शून्य रिजेक्शन एक्सपोनेंट के "नॉच" बन जाते हैं। $r \approx 1.45$ पर, असंगत (incommensurate) फ्रिंज पीरियड रिजेक्शन एक्सपोनेंट को उच्च रखते हैं, जिससे विनाशकारी विफलताएं दुर्लभ ( $\lesssim 10^{-4}$ ) हो जाती हैं।
रिडंडेंसी लागत: जैसे-जैसे $r \to 1$ होता है, रिडंडेंसी की लागत (फिशर एफिशिएंसी फैक्टर $(r+1)/(r-1)$ ) हावी हो जाती है।
इष्टतम संतुलन 95% विश्वास के लिए $r \approx 1.45$ और 99% विश्वास के लिए $r \approx 1.35$ पर होता है।

इसके अतिरिक्त, डेप्थ-सीमित शासन (depth-limited regimes) के लिए, जहाँ अधिकतम डेप्थ $M$ बाधित है, लेखक यूनिफॉर्म स्केलिंग का प्रस्ताव करते हैं: सभी शॉट काउंट्स को एक सामान्य कारक $s$ से गुणा करना। यह सभी विफलता प्रायिकताओं (मिरर-इमेज अस्पष्टताओं सहित) को एक साथ तेजी से दबाता है, जैसा कि "एंकर्ड" रणनीतियों में होता है जो केवल बहुपद (polynomial) रूप से त्रुटियों को दबाती हैं।

प्रमुख परिणाम
प्रस्तावित विधि निम्नलिखित प्रदर्शन मेट्रिक्स प्राप्त करती है (यह मानते हुए कि लक्षित त्रुटियां $3.5 \times 10^{-3}$ से $1 \times 10^{-6}$ तक हैं और एम्प्लीट्यूड $a \in (0.1, 0.9)$ हैं):

क्वेरी कॉम्प्लेक्सिटी: 95% विश्वास पर, कुल क्वेरी कांस्टेंट 2.8–3.1/ $\epsilon$ है। यह chebAE (सर्वश्रेष्ठ बेंचमार्क्ड अनुकूली विधि) की औसत-मामला जटिलता से मेल खाता है और इसकी अधिकतम-प्रेक्षित जटिलता को 1.6 के कारक से पीछे छोड़ देता है।
सीक्वेंशियल डेप्थ: अधिकतम सीक्वेंशियल डेप्थ 0.21/ $\epsilon$ है, जबकि chebAE का 2.9/ $\epsilon$ है (एक 13 $\times$ की कमी)। यह प्रोसेसरों के बीच पूर्ण समानांतरकरण (parallelization) को सक्षम बनाता है।
गैर-अनुकूली बेंचमार्क्स के साथ तुलना: csAE (सर्वश्रेष्ठ पिछला गैर-अनुकूली तरीका) के सापेक्ष, 95% विश्वास पर कांस्टेंट 30–35% सुधरते हैं और 99% विश्वास पर 1.5–1.7 $\times$ सुधरते हैं।
डेप्थ-लिमिटेड शासन: डेप्थ-लिमिटेड ऑपरेशन के लिए, यह विधि एक ट्रेड-ऑफ कांस्टेंट $M \cdot N_{tot} \approx (0.4\text{--}0.6)/\epsilon^2$ प्राप्त करती है, जो शेड्यूलर के क्रैमर-राओ (Cramér–Rao) लिमिट के $\sim 1.1\times$ के भीतर है।
नॉइज़ अवेयरनेस: लाइकलीहुड फॉर्मूलेशन शोर-जागरूक अनुमान (noise-aware estimation) के लिए सीधे विस्तारित होता है; ज्ञात डिपोलराइजिंग रेट के लिए, मॉडल केवल रिस्पॉन्स प्रोबेबिलिटीज को समायोजित करता है, जो शोर बढ़ने के साथ क्रमिक गिरावट (graceful degradation) दिखाता है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह पूर्ण समानांतरता का लाभ बनाए रखते हुए गैर-अनुकूली और अनुकूली QAE के बीच के अधिकांश प्रदर्शन अंतर को पाट देता है।

इष्टतमता (Optimality): एक ज़िव-ज़काई (Ziv–Zakai) बाउंड विश्लेषण इंगित करता है कि सटीक ML अनुमान इस शेड्यूलर पर 68% और 95% विश्वास के लिए किसी भी एस्टिमेटर के लिए सैद्धांतिक इष्टतम के 4–6% के भीतर है। यह सुझाव देता है कि शेष सुधार की गुंजाइश पोस्ट-प्रोसेसिंग में नहीं, बल्कि स्वयं शेड्यूलर के डिजाइन में है।
तंत्र (Mechanism): यह कार्य मात्रात्मक रूप से स्पष्ट करता है कि पावर-ऑफ-टू लैडर क्यों विफल होते हैं (व्यवस्थित एलियासिंग) और क्यों $r \approx 1.45$ वाला जियोमेट्रिक लैडर सफल होता है (अतिरिक्त शॉट्स के बिना स्केल्स की रेडंडेंट चेकिंग)।
व्यावहारिकता: यह विधि कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल है (प्रति बैच एक मैट्रिक्स गुणन) और मजबूत है, जिसमें किसी भी अनुकूली फीडबैक लूप की आवश्यकता नहीं है। यह अनुकूली विधियों में निहित सीक्वेंशियल बॉटलनैक के बिना, समानांतर डेप्थ और कुल क्वेरी काउंट के बीच इष्टतम ट्रेड-ऑफ को साकार करती है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि $r \approx 1.45$ अनुपात वाले जियोमेट्रिक लैडर और सटीक मैक्सिमम लाइकलीहुड पोस्ट-प्रोसेसिंग का संयोजन एक सरल, नियत और इष्टतम गैर-अनुकूली QAE प्रोटोकॉल बनाता है।

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