Mean-field theory for quantum spin chains

पदार्थ अक्सर नाटकीय तरीकों से अपना चरित्र बदल लेता है। पानी बर्फ में जम जाता है, लोहा चुंबकीय हो जाता है, या एक सुपरकंडक्टर अचानक बिना किसी प्रतिरोध के बिजली का संचालन करने लगता है। ये अवस्था परिवर्तन (phase transitions) हैं, वे क्षण जहाँ एक सामग्री व्यवस्था की एक अवस्था से दूसरी अवस्था में स्थानांतरित होती है। बीसवीं सदी के अधिकांश समय के लिए, भौतिकविदों ने इन परिवर्तनों को ऊष्मा द्वारा संचालित समझा। जैसे-जैसे कोई पदार्थ ठंडा होता है, उसके परमाणुओं की यादृच्छिक हलचल धीमी हो जाती है, जिससे वे एक सुव्यवस्थित, संगठित पैटर्न में व्यवस्थित हो पाते हैं। यह तापीय उत्तेजना (thermal agitation) व्यवस्था की दुश्मन है; जब यह जीत जाती है, तो सामग्री अव्यवस्थित होती है, जैसे कि एक गैस। जब व्यवस्था जीत जाती है, तो सामग्री संरचित हो जाती है, जैसे कि एक क्रिस्टल।

हालाँकि, प्रकृति के पास व्यवस्था बनाने का एक दूसरा तरीका भी है जिसका तापमान से कोई लेना-देना नहीं है। सबसे ठंडे संभव तापमान पर भी, जहाँ सभी तापीय गति समाप्त हो चुकी होती है, क्वांटम मैकेनिक्स कणों को उतार-चढ़ाव (fluctuate) करने की अनुमति देता है। ये ऊष्मा की यादृच्छिक थरथराहट नहीं हैं, बल्कि ब्रह्मांड में निहित एक मौलिक, अपरिहार्य अनिश्चितता है। एक भौतिक नॉब (knob) को बदलकर—जैसे कि चुंबकीय क्षेत्र की शक्ति या किसी सामग्री पर दबाव—वैज्ञानिक विशुद्ध रूप से इन क्वांटम उतार-चढ़ाव के माध्यम से एक प्रणाली को अवस्था परिवर्तन से गुजरने के लिए मजबूर कर सकते हैं। यह एक क्वांटम अवस्था परिवर्तन (quantum phase transition) है। जबकि ऊष्मा-संचालित परिवर्तनों को नियंत्रित करने वाले नियम अच्छी तरह से मानचित्रित हैं, इन ठंडे, क्वांटम बदलावों के नियम कहीं अधिक रहस्यमय और अनुमान लगाने में कठिन हैं।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने एक क्लासिक उपकरण, जिसे 'मीन-फील्ड थ्योरी' (mean-field theory) कहा जाता है, का उपयोग करके इन क्वांटम बदलावों का वर्णन करने के तरीके पर एक नया दृष्टिकोण अपनाया है। यह दृष्टिकोण, जिसका उपयोग दशकों से ऊष्मा-संचालित परिवर्तनों को समझने के लिए किया जाता रहा है, एक जटिल समस्या को सरल बनाकर काम करता है। प्रत्येक परमाणु और उसके पड़ोसियों के साथ वह कैसे परस्पर क्रिया करता है, इसका पता लगाने के बजाय, यह सिद्धांत यह मान लेता है कि प्रत्येक परमाणु शेष भीड़ से एक औसत, सुचारू प्रभाव महसूस करता है। यह कमरे के तापमान का अनुमान लगाने जैसा है जैसे कि एक स्थान पर हवा को मापकर यह मान लेना कि पूरा कमरा एक समान है, बजाय इसके कि हर झोंके और गर्म स्थान का मानचित्रण किया जाए। हालाँकि यह विधि एक सन्निकटन (approximation) के रूप में जानी जाती है, शोधकर्ता यह देखना चाहते थे कि क्या यह अभी भी क्वांटम श्रृंखलाओं (quantum chains), जो परमाणुओं की एक-आयामी रेखाएँ हैं, के व्यवहार में स्पष्ट और उपयोगी अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकती है। उन्होंने दो विशिष्ट मॉडलों पर ध्यान केंद्रित किया: परमाणुओं की एक सरल रेखा जो दो दिशाओं में संकेत दे सकती है, और एक अधिक जटिल संस्करण जहाँ परमाणु कुछ न करने का विकल्प भी चुन सकते हैं।

शोधकर्ताओं ने एक शास्त्रीय, द्वि-आयामी ग्रिड के परस्पर क्रिया करने वाले परमाणुओं की समस्या को एक एक-आयामी क्वांटम श्रृंखला की भाषा में अनुवादित करना शुरू किया। उन्होंने दिखाया कि एक समतल, वर्गाकार ग्रिड के माध्यम से ऊर्जा किस तरह समय के साथ प्रवाहित होती है, वह गणितीय रूप से एक एकल क्वांटमान (one-dimensional quantum) श्रृंखला के व्यवहार के समान है। इसने उन्हें एक अच्छी तरह से समझली गई शास्त्रीय प्रणाली को क्वांटम समस्या के रूप में पुनर्गठित करने की अनुमति दी। फिर उन्होंने इस क्वांटम रेखा पर मीन-फील्ड सन्निकटन लागू किया। इस सरलीकृत दृष्टिकोण में, उन्होंने व्यक्तिगत परमाणुओं के बीच की अव्यवized, जटिल परस्पर क्रियाओं को एक एकल, औसत क्षेत्र (average field) से बदल दिया जिसे प्रत्येक परमाणु महसूस करता है। इसने अरबों परस्पर क्रिया करने वाले भागों वाली एक लगभग असंभव गणना को एक प्रबंधनीय समस्या में बदल दिया जिसे मानक बीजगणित (algebra) के साथ हल किया जा सकता था।

जब उन्होंने पहले मॉडल, यानी परमाणुओं की सरल रेखा के लिए इस सरलीकृत समीकरण को हल किया, तो उन्हें एक स्पष्ट बिंदु मिला जहाँ प्रणाली अपना स्वरूप बदल लेती है। परस्पर क्रिया की शक्ति के एक निश्चित सीमा से नीचे, परमाणु अव्यवस्थित रहते हैं, यादृच्छिक रूप से बदलते रहते हैं। उस सीमा के ऊपर, वे एक समान दिशा में लॉक हो जाते हैं, जिससे चुंबकीय व्यवस्था उत्पन्न होती है। शोधकर्ताओं ने ठीक से गणना की कि यह टिपिंग पॉइंट (tipping point) कहाँ होता है और परस्पर क्रिया मजबूत होने पर व्यवस्था कैसे बढ़ती है। उन्होंने पुष्टि की कि यह संक्रमण एक विशिष्ट पैटर्न का पालन करता है, जिसे 'यूनिवर्सलिटी क्लास' (universality class) कहा जाता है, जो यह बताता है कि टिपिंग पॉइंट के पास भौतिक मात्राएँ कैसे बदलती हैं। उनके परिणाम इस प्रकार के संक्रमण के अपेक्षित व्यवहार से मेल खाते थे, जिससे पता चलता है कि मीन-फील्ड दृष्टिकोण, एक सन्निकटन होने के बावजूद, क्वांटम बदलाव के आवश्यक भौतिकी को पकड़ लेता है।

अध्ययन और भी दिलचस्प हो गया जब उन्होंने उसी पद्धति को दूसरे मॉडल पर लागू किया, वह मॉडल जहाँ परमाणु 'कुछ न करने' का विकल्प भी चुन सकते थे। यह मॉडल भौतिकी में इसलिए प्रसिद्ध है क्योंकि इसमें सरल रेखा की तुलना में बहुत समृद्ध और जटिल व्यवहार है। अपने शास्त्रीय रूप में, यह मॉडल एक विशेष बिंदु के लिए जाना जाता है जहाँ संक्रमण की प्रकृति बदल जाती है। शोधकर्ताओं ने पाया कि इस मॉडल का क्वांटम संस्करण उल्लेखनीय रूप से समान व्यवहार करता है। जैसे-जैसे उन्होंने क्रिस्टल फील्ड (crystal field) की शक्ति को समायोजित किया—एक ऐसा बल जो परमाणुओं को "कुछ न करने" की स्थिति में रहने के लिए प्रोत्साहित करता है—उन्होंने संक्रमण में एक बदलाव देखा। कमजोर क्रिस्टल फील्ड के लिए, व्यवस्था से अव्यवस्था की ओर परिवर्तन सुचारू रूप से होता है, जिसमें परमाणु धीरे-धीरे संरेखित होते हैं। यह एक निरंतर संक्रमण (continuous transition) है। हालाँकि, जैसे-जैसे क्रिस्टल फील्ड मजबूत होता जाता है, संक्रमण अचानक और तीव्र हो जाता है। प्रणाली बिना किसी सुचारू मध्य मार्ग के, अव्यवस्थित अवस्था से एक व्यवस्थित अवस्था में अचानक कूद जाती है। यह एक प्रथम-क्रम का संक्रमण (first-order transition) है, एक क्रमिक स्लाइड के बजाय एक अचानक झटका।

टीम ने उस क्रिस्टल फील्ड के लिए एक सटीक मान की पहचान की जहाँ व्यवहार में यह परिवर्तन होता है। उन्होंने इसे 'ट्राइक्रीटिकल पॉइंट' (tricritical point) कहा। इस विशिष्ट सेटिंग पर, संक्रमण पूरी तरह से सुचारू भी नहीं है और न ही पूरी तरह से अचानक, बल्कि यह बिल्कुल किनारे पर स्थित है। अपने समाधान की गणितीय संरचना का विश्लेषण करके, उन्होंने पुष्टि की कि इस बिंदु पर प्रणाली का व्यवहार अन्य स्थानों पर देखे गए सुचारू संक्रमणों से भिन्न है। उन्होंने यह भी देखा कि प्रणाली बाहरी चुंबकीय क्षेत्रों के प्रति कैसी प्रतिक्रिया देती है और पाया कि ऑर्डर पैरामीटर (order parameter) के बदलने का तरीका इस बात पर निर्भर करता है कि प्रणाली सुचारू शासन (smooth regime) में है या अचानक शासन (abrupt regime) में। ये अंतर अलग-अलग यूनिवर्सलिटी क्लासेस के फिंगरप्रिंट्स हैं, जो पुष्टि करते हैं कि मीन-फील्ड थ्योरी दोनों प्रकार के क्वांटम व्यवहार के बीच अंतर करने में सही है।

अपने निष्कर्षों को पुख्ता करने के लिए, शोधकर्ताओं ने कॉम्प्लेक्स प्लेन (complex plane) में अपने समीकरणों की गणितीय जड़ों (roots) की भी जांच की। यह एक परिष्कृत तकनीक है जहाँ वैज्ञानिक अपने समीकरणों के समाधानों को एक मानचित्र के रूप में देखते हैं जिसमें काल्पनिक संख्याएँ (imaginary numbers) शामिल होती हैं। जिस तरह से ये बिंदु क्लस्टर करते हैं और स्थितियाँ बदलने पर चलते हैं, वे अवस्था परिवर्तन की प्रकृति के बारे में गहरी जानकारी प्रकट करते हैं। उन्होंने पाया कि सुचारू संक्रमणों के लिए, बिंदु एक विशिष्ट पैटर्न में क्लस्टर करते हैं, जबकि अचानक संक्रमणों के लिए, वे एक अलग आकार बनाते हैं। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि ट्राइक्रीटिकल पॉइंट पर, पैटर्न फिर से बदल जाता है, जो एक तीसरा, विशिष्ट सिग्नेचर प्रदान करता है। इसने पुष्टि की कि सुचारू से अचानक संक्रमण में बदलाव मॉडल की एक मौलिक विशेषता है, न कि केवल उनके सन्निकटन का एक प्रभाव।

शोधकर्ताओं ने निष्कर्ष निकाला कि मीन-फील्ड थ्योरी, जिसे अक्सर क्वांटम यांत्रिकी की नाजुक दुनिया के लिए बहुत सरल मानकर खारिज कर दिया जाता है, वास्तव में क्वांटम अवस्था परिवर्तनों को समझने के लिए एक शक्तिशाली और शिक्षाप्रद उपकरण है। यह ब्लूम-कैपेल मॉडल (Blume-Capel model) के जटिल फेज डायग्राम को सफलतापूर्वक पुनरुत्पादित करता है, जिसमें ट्राइक ביותר महत्वपूर्ण बिंदु का अस्तित्व भी शामिल है जहाँ संक्रमण की प्रकृति बदल जाती है। हालाँकि यह सिद्धांत क्वांटम दुनिया के हर सूक्ष्म विवरण को नहीं पकड़ पाता है, फिर भी यह एक स्पष्ट, पारदर्शी ढांचा प्रदान करता है जो ऊष्मा-संचालित और क्वांटम-संचालित परिवर्तनों के बीच के उपमाओं को देखना आसान बनाता है। यह कार्य प्रदर्शित करता है कि बहुत छोटे और बहुत ठंडे के क्षेत्र में भी, औसत प्रभाव का सरल विचार यह प्रकट कर सकता है कि पदार्थ स्वयं को कैसे व्यवस्थित करता है।