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Equation of state of dense magnetized QCD matter via a robust analytic continuation

यह शोध पत्र भौतिक क्वार्क द्रव्यमानों के साथ लैटिस सिमुलेशन और काल्पनिक रासायनिक विभव (imaginary chemical potentials) से विश्लेषणात्मक निरंतरता (analytic continuation) करने के लिए एक नवीन $T'$ -विस्तार योजना का उपयोग करके सघन, चुंबकितित QCD पदार्थ के समीकरण अवस्था (equation of state) की गणना करता है, जिससे साइन समस्या (sign problem) को दरकिनार किया जा सके और भारी-आयन घटना विज्ञान (heavy-ion phenomenology) के लिए सारणीबद्ध परिणाम प्रदान करने हेतु व्यवस्थित त्रुटियों को कम किया जा सके।

मूल लेखक: S. Borsányi, B. B. Brandt, G. Endrődi, J. N. Guenther, G. Markó, M. A. Petri, A. D. M. Valois

प्रकाशित 2026-09-07

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CC BY 4.0

मूल लेखक: S. Borsányi, B. B. Brandt, G. Endrődi, J. N. Guenther, G. Markó, M. A. Petri, A. D. M. Valois

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

न्यूट्रॉन सितारों के हृदय की गहराइयों में और भारी परमाणु नाभिकों के आपस में टकराने के ठीक बाद के क्षणभंगुर, उग्र क्षणों में, पदार्थ एक ऐसी अवस्था में मौजूद होता है जो हमारे दैनिक जीवन में मिलने वाली किसी भी चीज़ से भिन्न है। यह ब्रह्मांड के सबसे मौलिक निर्माण खंडों का एक सूप है, जहाँ प्रोटॉन और न्यूट्रॉन क्वार्क्स और ग्लूऑन्स के एक उबलते हुए प्लाज्मा में विलीन हो जाते हैं। यह चरम पदार्थ कैसे व्यवहार करता है, इसे समझने के लिए भौतिक विज्ञानी इसके 'इक्वेशन ऑफ स्टेट' (अवस्था का समीकरण) का अध्ययन करते हैं, जो नियमों का एक समूह है जो बताता है कि दबाव, ऊर्जा और तापमान एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं। वास्तविक दुनिया में, यह पदार्थ अक्सर दो चरम स्थितियों के अधीन होता है: यह अविश्वसनीय रूप से सघन होता है, जिसमें सामान्य से अधिक कण भरे होते हैं, और यह ऐसे शक्तिशाली चुंबकीय क्षेत्रों में स्नान करता है जो पृथ्वी पर पाए जाने वाले किसी भी चीज़ को बौना बना देते हैं। हालांकि हमारे पास इस बात का एक अच्छा मानचित्र है कि यह पदार्थ गर्म होने पर लेकिन सघन न होने पर कैसा व्यवहार करता है, लेकिन वह क्षेत्र जहाँ यह गर्म और सघन दोनों है, एक धुंधली सीमा बना हुआ है, मुख्य रूप से इसलिए क्योंकि इसे सीधे सिम्युलेट करने के लिए आवश्यक गणित को हल करना अत्यंत कठिन है।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब इस धुंध को पार कर लिया है, और इस सघन, चुंबकीय पदार्थ के व्यवहार को चित्रित करने के लिए एक शक्तिशाली नई तकनीक का उपयोग किया है। क्वार्क्स की परस्पर क्रियाओं को एक डिजिटल ग्रिड पर सिम्युलेट करके, उन्होंने गणना की कि कैसे इस विलक्षण पदार्थ का दबाव और ऊर्जा तब बदलता है जब इसे तीव्र चुंबकीय क्षेत्रों और उच्च घनत्व के अधीन किया जाता है। उनका कार्य एक स्पष्ट, विश्वसनीय संख्याओं का सेट प्रदान करता है जिसका उपयोग टकराते हुए कणों के बीम और न्यूट्रॉन सितारों के कोर के भीतर क्या होता है, इसका मॉडल बनाने के लिए किया जा सकता है। उनकी सफलता की कुंजी एक चतुर गणितीय युक्ति थी जिसने उन्हें भौतिकी के एक बड़े अवरोध को पार करने की अनुमति दी, जिससे एक समस्या जो पहले बहुत अस्थिर थी, एक सुदृढ़ और सटीक गणना में बदल गई।

टीम को जिस चुनौती का सामना करना पड़ा उसे 'साइन प्रॉब्लम' (चिह्न समस्या) के रूप में जाना जाता है। जब भौतिक विज्ञानी मानक कंप्यूटर विधियों का उपयोग करके उच्च घनत्व पर पदार्थ को सिम्युलेट करने का प्रयास करते हैं, तो गणना अक्सर ऐसे परिणाम उत्पन्न करती है जो एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं या निरर्थक हो जाते हैं, जिससे सिस्टम के वास्तविक व्यवहार को देखना असंभव हो जाता है। इससे बचने के लिए, शोधकर्ताओं ने पहले 'इमेजिनरी केमिकल पोटेंशियल' (काल्पनिक रासायनिक क्षमता) पर पदार्थ का सिम्युलेशन किया, जो एक गणितीय अवधारणा है जो एक सुरक्षित, स्थिर आधार के रूप में कार्य करती है। इसके बाद, उन्हें इन परिणामों को प्रकृति में पाए जाने वाली वास्तविक, भौतिक स्थितियों में अनुवादित करने की आवश्यकता थी। अतीत में, यह अनुवाद मानक विधियों का उपयोग करके किया जाता था जो घनत्व बढ़ने के साथ तेजी से अविश्वसनीय और त्रुटिपूर्ण हो जाते थे। टीम ने इसके बजाय 'टी-प्राइम एक्सपेंशन' (T-prime expansion) नामक एक नवीन दृष्टिकोण अपनाया। यह विधि इस तथ्य को पहचानकर काम करती है कि घनत्व के प्रति पदार्थ की प्रतिक्रिया को इसके तापमान के एक सरल पुनर्गठन (rescaling) के रूप में समझा जा सकता है। तापमान पैमाने को समायोजित करके, न कि जटिल डेटा को एक कठोर वक्र में जबरदस्ती फिट करने की कोशिश करके, उन्होंने वास्तविक दुनिया के उत्तर तक पहुँचने का एक बहुत अधिक स्थिर मार्ग खोजा।

इस नई विधि को तीव्र चुंबकीय क्षेत्रों की उपस्थिति में काम करने योग्य बनाने के लिए, शोधकर्ताओं को अपने दृष्टिकोण को परिष्कृत करना पड़ा। उन्होंने पाया कि कुछ गुणों, जैसे कि दबाव के लिए कच्चा डेटा, चुंबकीय क्षेत्र के मजबूत होने पर सुचारू रूप से व्यवहार नहीं करता था, जो सामान्यतः टी-प्राइम पद्धति को तोड़ देता। उन्होंने इसे डेटा को 'स्टेफ़न-बोल्ट्ज़मैन लिमिट' (Stefan-Boltzmann limit) नामक एक सैद्धांतिक सीमा के विरुद्ध सामान्यीकृत करके हल किया, जो बताता है कि अत्यधिक उच्च तापमान पर पदार्थ कैसा व्यवहार करता है। एक बार जब उन्होंने अपने परिणामों को इस सीमा से विभाजित कर दिया, तो डेटा फिर से सुचारू और अनुमानित हो गया, जिससे टी-प्राइम विस्तार का पूर्ण रूप से कार्य करना संभव हो गया। इसने उन्हें पहले की तुलना में बहुत अधिक घनत्व तक अपनी विश्वसनीय गणनाओं का विस्तार करने की अनुमति दी, जो रासायनिक क्षमता से तापमान के आयामहीन अनुपात का लगभग 3.0 तक पहुँच गया, जो भारी-आयन टकरावों के लिए प्रासंगिक स्थितियों को कवर करता है।

इन सिमुलेशन के परिणाम बताते हैं कि चुंबकीय पदार्थ कैसे व्यवहार करता है, इसकी एक समृद्ध और जटिल तस्वीर। शोधकर्ताओं ने दबाव, एंट्रॉपी, ऊर्जा घनत्व और एक मात्रा की गणना की जिसे 'ट्रेस एनोमली' (trace anomaly) कहा जाता है, जो यह मापता है कि पदार्थ आदर्श व्यवहार से कितना विचलित होता है। उन्होंने पाया कि चुंबकीय क्षेत्र का प्रभाव एकसमान नहीं है; इसके बजाय, यह एक विशिष्ट तापमान सीमा में सबसे नाटकीय है जिसे 'क्रॉसओवर रीजन' (crossover region) कहा जाता है, जहाँ पदार्थ कणों की गैस से क्वार्क्स के तरल में परिवर्तित होता है। इस क्षेत्र में, चुंबकीय क्षेत्र थर्मोडायनामिक गुणों में उछाल पैदा करता है, जिससे विशिष्ट शिखर (peaks) बनते हैं। जैसे-जैसे चुंबकीय क्षेत्र मजबूत होता जाता है, ये शिखर कम तापमान की ओर स्थानांतरित हो जाते हैं, जो इस तथ्य को दर्शाता है कि चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में संक्रमण स्वयं ठंडे तापमान पर होता है।

अध्ययन ने यह भी पता लगाया कि पदार्थ का घनत्व बढ़ने पर ये गुण कैसे बदलते हैं। उन्होंने देखा कि अधिक बेरयॉन्स (baryons), जो प्रोटॉन और न्यूट्रॉन को बनाने वाले कण हैं, जोड़ने से चुंबकीय क्षेत्र के प्रभावों को बढ़ावा मिलता है। जैसे-जैसे घनत्व बढ़ता है, डेटा में शिखर अधिक तीक्ष्ण और स्पष्ट होते जाते हैं। दिलचस्प बात यह है कि बहुत उच्च तापमान पर, चुंबकीय क्षेत्र का प्रभाव फीका पड़ जाता है, और पदार्थ एक साधारण, आदर्श गैस की तरह व्यवहार करने लगता है, चाहे चुंबकीय शक्ति कितनी भी हो। उनके द्वारा अध्ययन किए गए सबसे कमजोर चुंबकीय क्षेत्र के लिए, टीम ने अपने नए उच्च-घनत्व परिणामों को शून्य घनत्व के मौजूदा डेटा के साथ जोड़कर, अवस्था के समीकरण की एक पूर्ण तस्वीर प्रदान की। यह संपूर्ण डेटासेट अब अन्य वैज्ञानिकों के लिए भारी-आयन टकरावों और न्यूट्रॉन सितारों के आंतरिक भाग के मॉडलिंग के लिए उपयोग करने हेतु उपलब्ध है।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनका कार्य एक 'प्रूफ ऑफ प्रिंसिपल' (सिद्धांत का प्रमाण) के रूप में कार्य करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि टी-प्राइम विस्तार चुंबकीय क्षेत्रों की उपस्थिति में भी एक सुदृढ़ उपकरण है। हालाँकि उनके वर्तमान सिमुलेशन एक विशिष्ट ग्रिड आकार पर किए गए थे, उनकी विधि की स्थिरता बताती है कि इसे और भी सटीक बनाने के लिए महीन ग्रिड के साथ और अधिक परिष्कृत किया जा सकता है। निष्कर्ष इस बात की पुष्टि करते हैं कि घनत्व और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच की परस्पर क्रिया अवस्था के समीकरण के लिए एक गैर-तुच्छ परिदृश्य बनाती है, जिसमें सबसे महत्वपूर्ण परिवर्तन ठीक चरण संक्रमण (phase transition) के किनारे पर होते हैं। इस जटिल क्षेत्र में नेविगेट करने का एक विश्वसनीय तरीका प्रदान करके, शोधकर्ताओं ने ब्रह्मांड के सबसे चरम वातावरण के अधिक सटीक मॉडल के द्वार खोल दिए हैं, जिससे सैद्धांतिक भविष्यवाणियों और कण त्वरकों में एकत्र किए गए प्रायोगिक डेटा और ब्रह्मांड में देखे गए डेटा के बीच के अंतर को पाटने में मदद मिली है।

तकनीकी सारांश: एक सुदृढ़ विश्लेषणात्मक निरंतरता (Analytic Continuation) के माध्यम से सघन चुंबकीय QCD पदार्थ का समीकरण अवस्था (Equation of State)

समस्या विवरण
गैर-शून्य चुंबकीय क्षेत्रों और परिमित बेरियन घनत्व (finite baryon density) पर प्रबल रूप से अंतःक्रियात्मक पदार्थ का समीकरण अवस्था (EoS) का निर्धारण, प्रारंभिक ब्रह्मांड, न्यूट्रॉन सितारों के आंतरिक भाग और भारी-आयन टकरावों (HICs) को समझने के लिए महत्वपूर्ण है। जबकि लैटिस QCD शून्य रासायनिक क्षमता ( $\mu_B = 0$ ) पर उच्च-परिशुद्धता परिणाम प्रदान करता है, वास्तविक, गैर-शून्य $\mu_B$ पर सिमुलेशन 'साइन प्रॉब्लम' (sign problem) के कारण बाधित होते हैं। मौजूदा दृष्टिकोण, जैसे कि टेलर विस्तार (Taylor expansions), अपने अनुप्रयोग की सीमा (आमतौर पर $\hat{\mu}_B \lesssim 3.0$ ) में सीमित हैं, जबकि काल्पनिक रासायनिक क्षमता से मानक विश्लेषणात्मक निरंतरता अक्सर बड़े व्यवस्थित अनिश्चितताओं से ग्रस्त होती है, विशेष रूप से उच्च घनत्व की ओर एक्सट्रपलेशन (extrapolation) करते समय। इसके अतिरिक्त, चुंबकीय क्षेत्र ( $B$ ) की उपस्थिति, जो HICs और मैग्नेटार के लिए प्रासंगिक है, ऊष्मप्रवैगिकी चर (thermodynamic observables) में गैर-एकदिष्ट (non-monotonic) तापमान निर्भरता लाती है जो मानक निरंतरता विधियों को जटिल बनाती है। यह कार्य HICs (स्ट्रेंजनेस न्यूट्रलिटी और आइसोपिनिक विषमता) के तहत स्थितियों में सघन, चुंबकीय QCD पदार्थ के EoS को कंप्यूट करने के लिए एक सुदृढ़ विधि की आवश्यकता को संबोधित करता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखकों ने भौतिक द्रव्यमान वाले रूटेड स्टेगर्ड क्वार्क्स के $2+1+1$ डायनेमिकल फ्लेवर्स का उपयोग करके $32^3 \times 8$ लैटिस पर लैटिस QCD सिमुलेशन किए। सिमुलेशन ने $T = 135$ MeV से $200 $MeV तक के तापमान को कवर किया और इसमें$ eB = 0.3, 0.5, $और$ 0.8 $GeV$ ^2 $के बाहरी चुंबकीय क्षेत्र शामिल थे। HICs के लिए प्रयोगात्मक बाधाओं को पूरा करने हेतु, लेखकों ने स्ट्रेंजनेस न्यूट्रलिटी ($ n_S=0 $) और एक आइसोपिनिक विषमता अनुपात$ n_Q/n_B = r = 0.4$ लागू किया।

साइन प्रॉब्लम से बचने के लिए, लेखकों ने काल्पनिक रासायनिक क्षमता ( $\hat{\mu}_B = i\pi j/8$ ) पर लैटिस QCD सिमुलेशन किए और एक नवीन विश्लेषणात्मक निरंतरता योजना लागू की: $T'$ -विस्तार (expansion)।

सामान्यीकरण (Normalization): यह पहचानते हुए कि चुंबकीय क्षेत्र ( $B$ ) के प्रभाव में बेरियन घनत्व और दबाव व्युत्पन्न जैसे चर तापमान के साथ गैर-एकदिष्ट व्यवहार प्रदर्शित करते हैं (जो $T'$ -विस्तार के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को असंभव बनाता है), लेखकों ने इन चरों को निश्चित चुंबकीय फ्लक्स पर उनके स्टेफ़न-बोल्ट्ज़मैन (Stefan-Boltzmann) सीमाओं द्वारा सामान्यीकृत किया। इससे एकदिष्टता (monotonicity) बहाल हो गई।
पुनः पैमाना (Rescaling): सामान्यीकृत चरों $f_k(T, \hat{\mu}_B, B)$ को उनके शून्य-घनत्व समकक्षों के माध्यम से एक रीस्केलिंग फंक्शन $T'_k(T, \hat{\mu}_B^2, B)$ द्वारा संबंधित किया गया, ताकि $f_k(T, \hat{\mu}_B, B) = f_k(T'_k, 0, B)$ हो सके।
विस्तार (Expansion): रीस्केलिंग फंक्शन को $\hat{\mu}_B^2$ में टेलर सीरीज़ में विस्तारित किया गया। गुणांक $\lambda^{(k)}_2$ और $\lambda^{(k)}_4$ को काल्पनिक रासायनिक क्षमता के डेटा से निकाला गया।
निरंतरता (Continuation): इस योजना का उपयोग वास्तविक $\hat{\mu}_B$ के लिए चरों को विश्लेषणात्मक रूप से निरंतर बनाने के लिए किया गया। चार्ज रासायनिक क्षमता $\hat{\mu}_Q$ के लिए, जिसे गैर-एकदिष्टता हटाने के लिए सामान्यीकृत नहीं किया जा सका था, विभिन्न फिट फंक्शन का उपयोग करके एक मानक विश्लेषणात्मक निरंतरता का उपयोग किया गया।

मुख्य योगदान

$T'$ -विस्तार का सामान्यीकरण: प्राथमिक पद्धतिगत योगदान बाहरी चुंबकीय क्षेत्रों में मौजूद QCD पदार्थ के लिए $T'$ -विस्तार योजना का विस्तार करना है। लेखकों ने प्रदर्शित किया कि स्थिर चुंबकीय फ्लक्स पर उनके स्टेफ़न-बोल्ट्ज़मैन सीमा द्वारा चरों को सामान्यीकृत करने से वे गैर-एकदिष्टता की समस्याएँ दूर हो जाती हैं जो पहले इस विधि के अनुप्रयोग को रोकती थीं।
कम व्यवस्थित त्रुटियाँ (Reduced Systematic Errors): शोध पत्र सामान्यीकृत $T'$ -विस्तार और मानक विश्लेषणात्मक निरंतरता के बीच एक विस्तृत तुलना प्रदान करता है। परिणाम दिखाते हैं कि $T'$ -विस्तार काफी कम व्यवस्थित अनिश्चितताएं प्रदान करता है, विशेष रूप से $\hat{\mu}_B \gtrsim 2.0$ के लिए, जिससे $\hat{\mu}_B \approx 3.0$ तक अधिक स्थिर एक्सट्रपलेशन संभव होता है।
भौतिक बाधाएं: यह अध्ययन चुंबकीय क्षेत्रों की उपस्थिति में यथार्थवादी HIC स्थितियों (स्ट्रेंजनेस न्यूट्रलिटी और $r=0.4$ ) के तहत EoS की गणना करता है, जो इस स्तर के नियंत्रण के साथ पहले कवर नहीं किया गया था।
डेटा प्रकाशन: लेखक दबाव, एंट्रॉपी घनत्व, ऊर्जा घनत्व और ट्रेस एनोमली (trace anomaly) के लिए सारणीबद्ध परिणाम प्रदान करते हैं, जिनका उपयोग सीधे हाइड्रोडायनामिक सिमुलेशन में किया जाना है।

परिणाम
अध्ययन ने परिमित $\mu_B$ और $B$ के कारण ऊष्मप्रवैगिकी चरों में परिवर्तन की गणना की:

दबाव (Pressure): दबाव में परिवर्तन ( $\Delta \hat{P}$ ) $\hat{\mu}_B$ के साथ एकदिष्ट है। हालांकि, दबाव परिवर्तन की तापमान निर्भरता बड़े चुंबकीय क्षेत्रों के लिए गैर-एकदिष्ट हो जाती है, जो क्रॉसओवर क्षेत्र ( $T \approx 155-170$ MeV) के आसपास एक पीक संरचना प्रदर्शित करती है। यह पीक बढ़ते चुंबकीय क्षेत्र की शक्ति के साथ निम्न तापमान की ओर खिसक जाती है।
एंट्रॉपी और ऊर्जा घनत्व: एंट्रॉपी परिवर्तन ( $\Delta \hat{S}$ ) और ऊर्जा घनत्व परिवर्तन ( $\Delta \hat{\epsilon}$ ) क्रॉसओवर क्षेत्र में स्पष्ट पीक संरचनाएं दिखाते हैं। ये पीक बढ़ते चुंबकीय क्षेत्र और बढ़ते बेरियन रासायनिक क्षमता दोनों द्वारा प्रबल होती हैं। पूर्ण एंट्रॉपी घनत्व अधिकांश $\hat{\mu}_B$ के लिए एकदिष्ट रहता है लेकिन $\hat{\mu}_B \gtrsim 2.0$ के लिए गैर-एकदिष्टता विकसित करता है।
ट्रेस एनोमली (Trace Anomaly): ट्रेस एनोमली परिवर्तन ( $\Delta \hat{I}$ ) क्रॉसओवर क्षेत्र में एक पीक प्रदर्शित करता है जो $B$ और $\hat{\mu}_B$ द्वारा प्रबल होता है। पूर्ण ट्रेस एनोमली एक व्यापक पीक (जो $B=0$ की विशेषता है) के साथ एक तीक्ष्ण पीक भी विकसित करता है जो चुंबकीय क्षेत्र और घनत्व के कारण क्रॉसओवर के पास विकसित होता है।
कंटीनम इनपुट: निम्नतम चुंबकीय क्षेत्र ( $eB = 0.3$ GeV $^2$ ) के लिए, लेखकों ने अपने परिमित-घनत्व परिणामों को शून्य-घनत्व डेटा (चुंबकीय ससेप्टिबिलिटी और दबाव) के साथ संयोजित किया ताकि पूर्ण EoS का अनुमान लगाया जा सके, यह मानते हुए कि इस तापमान सीमा में चार्म क्वार्क का योगदान नगण्य है।

महत्ता और दावे
लेखक इस कार्य को मुख्य रूप से एक प्रूफ-ऑफ-प्रिंसिपल अध्ययन के रूप में प्रस्तुत करते हैं। वे दावा करते हैं कि सामान्यीकृत $T'$ -विस्तार बाहरी चुंबकीय क्षेत्रों की उपस्थिति में और भारी-आयन स्थितियों के तहत भी सुदृढ़ रहता है, जो उन स्थानों पर एक नियंत्रित विधि प्रदान करता है जहाँ मानक विधियाँ विफल या अस्थिर हो जाती हैं।

यह विधि $\hat{\mu}_B \lesssim 3.0$ तक विश्वसनीय EoS के निर्धारण की अनुमति देती है।
उच्च-क्रम गुणांक $\lambda^{(k)}_4$ को पैरामीट्रिक रूप से दबा हुआ पाया गया, जो यह सुझाव देता है कि खोजे गए पैरामीटर रेंज के भीतर अग्रणी-क्रम ट्रंकेशन (leading-order truncation) पर्याप्त है।
$\lambda^{(k)}_2$ के रीस्केलिंग गुणांकों की चुंबकीय क्षेत्र निर्भरता अनिश्चितताओं के भीतर शून्य पाई गई, जिसका अर्थ है कि प्रमुख चुंबकीय निर्भरता को स्टेफ़न-बोल्ट्ज़मैन सामान्यीकरण द्वारा कैप्चर किया गया है, जबकि अंतर्निहित रीस्केलिंग संरचना $B=0$ के मामले के समान ही रहती है।

शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि हालांकि वर्तमान परिणाम एक निश्चित लैटिस स्पेसिंग ( $N_t=8$ ) पर हैं, यह ढांचा भविष्य के कार्यों के लिए एक ठोस आधार प्रदान करता है जिसमें कंटिन्यूम एक्सट्रपलेशन और बड़े चुंबकीय क्षेत्र शामिल हैं। प्रयोगात्मक मॉडलिंग के लिए तत्काल अनुप्रयोग हेतु सारणीबद्ध परिणाम उपलब्ध कराए गए हैं।

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