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$N$ -dimensional discrete Fourier transform via bosonic Hamiltonian

यह शोध पत्र एक नवीन बोसोनिक हैमिल्टोनियन ढांचे का प्रस्ताव करता है जो एकल-चरणीय मल्टीमोड विकास (single-stage multimode evolution) का उपयोग करके फोटोनिक इंटीग्रेटेड सर्किट्स में $N$ -आयामी डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म को साकार करता है, जिससे $\mathcal{O}(N\log\log{N})$ की काफी बेहतर स्केलिंग जटिलता प्राप्त होती है और पारंपरिक आर्किटेक्चर की तुलना में बहुत कम इंटरफेरोमीटरों के साथ बड़े पैमाने के ट्रांसफॉर्म का निर्माण सक्षम होता है।

मूल लेखक: Edgar Barriga, Camila Muñoz, Alejandro Muñoz, Santiago Rojas-Rojas, Pablo Solano, Carla Hermann-Avigliano, Aldo Delgado

प्रकाशित 2026-09-09

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Edgar Barriga, Camila Muñoz, Alejandro Muñoz, Santiago Rojas-Rojas, Pablo Solano, Carla Hermann-Avigliano, Aldo Delgado

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

आधुनिक कंप्यूटिंग की दुनिया में, एक ऐसा गणितीय उपकरण है जो इतना मौलिक है कि यह डिजिटल संगीत संपीड़न (कंप्रेशन) से लेकर ऑनलाइन बैंकिंग की सुरक्षा तक, सब कुछ आधार प्रदान करता है। यह उपकरण 'डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म' (discrete Fourier transform) है, जो एक जटिल सिग्नल को उसके व्यक्तिगत आवृत्ति घटकों (frequency components) में तोड़ने की एक विधि है, ठीक वैसे ही जैसे एक प्रिज्म सफेद रोशनी को इंद्रधनुष के रंगों में विभाजित करता है। हालांकि यह प्रक्रिया शास्त्रीय कंप्यूटरों के लिए एक सामान्य कार्य है, लेकिन क्वांटम भौतिकी में एक नया क्षितिज खुला है, जहाँ वैज्ञानिक इसी समान रूपांतरण को क्वांटम अवस्थाओं (quantum states) पर करने का प्रयास कर रहे हैं। इसे कुशलतापूर्वक करना शक्तिशाली नए एल्गोरिदम को अनलॉक करने की कुंजी है, जैसे कि वे एल्गोरिदम जो एन्क्रिप्शन कोड को तोड़ने के लिए बड़े नंबरों को गुणनखंडित (factoring) करने में सक्षम हैं। हालाँकि, इन क्वांटम गणनाओं को करने के लिए भौतिक मशीनों का निर्माण एक दीवार से टकरा गया है। वर्तमान डिज़ाइन हजारों छोटे ऑप्टिकल स्विचों को लंबी, क्रमिक श्रृंखलाओं में जोड़ने पर निर्भर करते हैं, एक ऐसी विधि जो जैसे-जैसे सिस्टम बड़ा होता जाता है, असंभव रूप से भारी और त्रुटिपूर्ण होती जाती है। चुनौती इस जटिल रूपांतरण को एक एकल, संक्षिप्त चरण में करने का तरीका खोजने की थी, जिसमें घटकों की एक विशाल असेंबली लाइन की आवश्यकता न हो।

चिली के शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब एक ऐसा समाधान प्रस्तावित किया है जो इस बात की पुनर्कल्पना करता है कि प्रकाश इन सूक्ष्म परिपथों (circuits) के माध्यम से कैसे यात्रा करता है। स्विचों की एक लंबी श्रृंखला के माध्यम से फोटॉन को जबरन भेजने के बजाय, वे सुझाव देते हैं कि उन्हें एक एकल, सावधानीपूर्वक इंजीनियर किए गए 'इंटरेक्शन रीजन' (interaction region) के माध्यम से निर्देशित किया जाए जहाँ कई पथ एक साथ क्रॉस और मिश्रित होते हैं। शोधकर्ताओं ने इन परिपथों को 'वेवगाइड्स' (waveguides) के नेटवर्क के रूप में मॉडल किया, जो अनिवार्य रूप से सूक्ष्म चैनल हैं जो प्रकाश को ले जाते हैं, ठीक वैसे ही जैसे फाइबर ऑप्टिक केबल डेटा ले जाते हैं लेकिन सूक्ष्म स्तर पर। उनके नए दृष्टिकोण में, इन चैनलों में प्रकाश तरंगें 'इवेनेसेंट कपलिंग' (evanescent coupling) नामक घटना के माध्यम से एक-दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करती हैं, जहाँ पड़ोसी तरंगों के विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र ओवरलैप होते हैं और ऊर्जा का आदान-प्रदान करते हैं। इन अंतःक्रियाओं की सटीक शक्ति और प्रत्येक चैनल के माध्यम से प्रकाश की गति की गणना करके, टीम ने ऐसे विन्यास (configurations) खोज निकाले जहाँ प्रकाश केवल एक बार गुजरने के बाद वांछित क्वांटम पैटर्न में पूरी तरह से परिवर्तित होकर निकलता है।

टीम ने वेवगाइड्स को व्यवस्थित करने के दो अलग-अलग तरीके खोजे। पहले दृष्टिकोण ने चैनलों को एक नियमित बहुभुज (regular polygon) के शीर्षों (vertices) के रूप में माना, जहाँ प्रत्येक चैनल प्रत्येक अन्य चैनल के साथ अंतःक्रिया करता है। गणितीय विश्लेषण का उपयोग करते हुए, उन्होंने पाया कि यह "ऑल-टू-ऑल" कनेक्शन छह चैनलों तक के सिस्टम के लिए बहुत अच्छा काम करता है। उदाहरण के लिए, पंचकोणीय व्यवस्था वाले पांच-चैनल वाले सिस्टम के लिए, प्रकाश स्वाभाविक रूप से सही पैटर्न में विकसित होता है। हालाँकि, यह विधि एक भौतिक सीमा से टकराती है: जैसे-जैसे चैनलों की संख्या बढ़ती है, बाहरी चैनलों के बीच की दूरी बढ़ती जाती है, और उनकी अंतःक्रिया की शक्ति तेजी से गिरती है। छह चैनलों से परे, वर्तमान तकनीक के साथ अंतःक्रिया बहुत कमजोर हो जाती है। इसे हल करने के लिए, शोधकर्ताओं ने ग्राफ़ थ्योरी (graph theory) पर आधारित दूसरे दृष्टिकोण की ओर रुख किया, जहाँ उन्होंने वेवगाइड्स को एक ऐसे नेटवर्क के नोड्स के रूप में माना जिसमें हर चैनल का हर दूसरे से जुड़ना आवश्यक नहीं है।

इस ग्राफ़-आधारित मॉडल में, शोधकर्ताओं ने महसूस किया कि केवल चैनलों को जोड़ना पर्याप्त नहीं था; उन्हें वेवगाइड्स के भौतिक गुणों को बदलकर विशिष्ट चैनलों में प्रकाश की गति को भी समायोजित करने की आवश्यकता थी। इसने एक नया 'डिग्री ऑफ फ्रीडम' प्रदान किया, जिससे वे बहुत बड़े सिस्टम के लिए समाधान खोजने में सक्षम हुए। व्यापक कंप्यूटर सिमुलेशन के माध्यम से, उन्होंने विशिष्ट ज्यामितीय लेआउट की पहचान की जो आठ चैनलों तक के सिस्टम के लिए रूपांतरण कर सकते थे, और उन्होंने नौ और दस चैनलों वाले सिस्टम के लिए आंशिक समाधान भी खोजे। बड़े सिस्टमों के लिए, उन्होंने तीन मार्गदर्शक नियमों, या 'कन्जेक्चर' (conjectures), का प्रस्ताव दिया ताकि सही विन्यासों की खोज को सीमित किया जा सके। ये नियम सुझाव देते हैं कि चैनलों के बीच कनेक्शनों की संख्या काम करने के लिए एक विशिष्ट सीमा के भीतर होनी चाहिए, जो एक ऐसा निष्कर्ष है जो उन अरबों संभावित व्यवस्थाओं को छानने में मदद करता है जिन्हें अन्यथा परीक्षण करना असंभव होगा।

इस कार्य का महत्व इसकी जटिलता में नाटकीय कमी लाने में निहित है। पारंपरिक डिजाइनों में, इस रूपांतरण को करने के लिए आवश्यक घटकों की संख्या चैनलों की संख्या के वर्ग (square) के साथ बढ़ती है, जिसका अर्थ है कि एक हजार चैनलों वाले सिस्टम को दस लाख घटकों की आवश्यकता होगी। नया तरीका, इन एकल-चरण अंतःक्रियाओं को बिल्डिंग ब्लॉक्स के रूप में उपयोग करके, विकास दर को बहुत धीमी गति तक कम कर देता है। शोधकर्ताओं ने गणना की कि अपने नए बिल्डिंग ब्लॉक्स का उपयोग करके, वे एक ऐसा सिस्टम असेंबल कर सकते हैं जो दो हजार से अधिक चैनलों को संभाल सकता है, जिसमें केवल लगभग दो हजार घटकों का उपयोग होगा, जो पुराने तरीकों की तुलना में लाखों घटकों के विपरीत है। यह दक्षता 'बोसन सैंपलिंग' (boson sampling) जैसे अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण है, जो एक परीक्षण है जिसका उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया जाता है कि क्वांटम कंप्यूटर शास्त्रीय कंप्यूटरों से बेहतर प्रदर्शन कर सकते हैं, जिसके लिए सैकड़ों फोटॉन को एक साथ संचालित करने की आवश्यकता होती है।

टीम ने इन उपकरणों को बनाने की व्यावहारिक वास्तविकता को भी संबोधित किया। उन्होंने एक विधि विकसित की जिससे यह परीक्षण किया जा सके कि क्या उनके सैद्धांतिक समाधान वास्तव में निर्मित किए जा सकते हैं, जिसमें कांच या क्रिस्टल में सूक्ष्म संरचनाओं को उकेरते समय होने वाली अपरिहार्य खामियों पर विचार किया गया है। उन्होंने पाया कि हालांकि कई गणितीय समाधान मौजूद हैं, लेकिन उनमें से केवल एक अंश ही उन सूक्ष्म त्रुटियों के अनुकूल है जो निर्माण के दौरान स्थिति निर्धारण में होती हैं। एक सख्त चयन मानदंड लागू करके, उन्होंने विशिष्ट लेआउट की पहचान की जो न केवल गणितीय रूप से सुदृढ़ हैं बल्कि वर्तमान तकनीक के साथ भौतिक रूप से भी साकार करने योग्य हैं। छोटे सिस्टम के लिए, उन्होंने सटीक ब्लूप्रिंट भी प्रदान किए, जिसमें चैनलों के बीच की सटीक दूरी और आवश्यक अंतःक्रिया लंबाई शामिल है, जो यह दर्शाता है कि इन उपकरणों को 'फेम्टोसेकंड लेजर राइटिंग' जैसी मानक तकनीकों का उपयोग करके आज ही बनाया जा सकता है।

अंततः, यह शोध क्वांटम फोटोनिक्स के लिए एक नया मार्ग प्रदान करता है। घटकों को एक साथ जोड़ने के विचार से हटकर, एक एकल, जटिल अंतःक्रिया को डिजाइन करके जो सारा कठिन कार्य एक साथ करती है, शोधकर्ताओं ने दिखाया है कि यह संभव है कि क्वांटम सर्किट को जटिलता की दीवार से टकराए बिना स्केल किया जा सके। उनका कार्य बड़े, अधिक कुशल क्वांटम उपकरणों के निर्माण के लिए लुप्त कड़ियों को प्रदान करता है, जो शक्तिशाली क्वांटम एल्गोरिदम के वादे को वास्तविकता के करीब लाता है। निष्कर्ष बताते हैं कि क्वांटम कंप्यूटिंग का भविष्य अधिक भागों वाली बड़ी मशीनें बनाने में नहीं, बल्कि स्मार्ट, अधिक एकीकृत सिस्टम डिजाइन करने में है जहाँ प्रकाश अपने सबसे जटिल कार्यों को करने के लिए एक एकल, पूरी तरह से ट्यून किए गए परिदृश्य के माध्यम से प्रवाहित होता है।

तकनीकी सारांश: बोसोनिक हैमिल्टोनियन के माध्यम से N-आयामी डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म

समस्या विवरण
डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म (DFT) शास्त्रीय एल्गोरिदम और क्वांटम सूचना प्रसंस्करण दोनों में एक मौलिक यूनिटरी ऑपरेटर है, जो विशेष रूप से शोर के एल्गोरिदम (Shor's algorithm) और बोसॉन सैंपलिंग (Boson sampling) में एक प्रमुख घटक के रूप में कार्य करता है। फोटोनिक इंटीग्रेटेड सर्किट्स (PICs) में $N$ -आयामी DFT (विशेष रूप से क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म इंटरफेरोमीटर, या QFTI) को लागू करना वर्तमान में मौजूदा आर्किटेक्चर द्वारा बाधित है। रेक (Reck) और क्लेमेंट्स (Clements) आर्किटेक्चर पर आधारित मानक डिजाइन, जो मैक-ज़ेंडर इंटरफेरोमीटर (MZIs) के कैस्केड का उपयोग करते हैं, $O(N^2)$ की स्थानिक जटिलता (spatial complexity) परिणाम देते हैं। बारक एट अल (Barak et al.) जैसे अनुकूलन, जो कूली-टकी (Cooley-Tukey) एल्गोरिदम को मैप करते हैं, ने इसे घटाकर $O(N \log N)$ कर दिया है, फिर भी बड़े पैमाने के अनुप्रयोगों, जैसे कि $N=2500$ मोड के साथ बोसॉन सैंपलिंग के लिए संसाधन आवश्यकताएं अत्यधिक हैं। चुनौती यह है कि $N$ -आयामी DFT को आवश्यक ऑप्टिकल घटकों की संख्या को महत्वपूर्ण रूप से कम करने के लिए मल्टीमोड इवोल्यूशन के एक एकल चरण (single stage) में साकार किया जाए।

कार्यप्रणाली
लेखक एक वेवगाइड एरे (waveguide array) में युग्मित बोसोनिक स्थानिक मोड के विकास के माध्यम से $N$ -आयामी DFT को साकार करने का प्रस्ताव करते हैं, जो एक बोसोनिक हैमिल्टोनियन द्वारा नियंत्रित होता है। इस प्रणाली को एक ग्राफ के रूप में मॉडल किया गया है जहाँ वर्टिस (vertices) वेवगाइड्स का प्रतिनिधित्व करते हैं और एड्ज (edges) इवेनेसेंट कपलिंग (evanescent couplings) का प्रतिनिधित्व करते हैं। इवोल्यूशन ऑपरेटर $U = e^{-iCz}$ द्वारा दिया गया है, जहाँ $C$ कपलिंग मैट्रिक्स है और $z$ प्रसार लंबाई (propagation length) है। DFT मैट्रिक्स $F_N$ प्राप्त करने के लिए, लेखक इस विकास को इंटरेक्शन रीजन से पहले और बाद में फेज शिफ्टर्स ( $\Phi_{in}$ और $\Phi_{out}$ ) के साथ पूरक करते हैं।

अनुसंधान दो अलग-अलग मॉडलिंग फ्रेमवर्क का उपयोग करता है:

पॉलीगोनल मॉडल (पूर्ण ग्राफ): लेखक उन प्रणालियों का विश्लेषण करते हैं जहाँ प्रत्येक वेवगाइड अन्य सभी वेवगाइड्स के साथ कपल होती है (पूर्ण ग्राफ)। वे नॉर्मलाइजेशन और फेज मैचिंग स्थितियों को संतुष्ट करने के लिए कपलिंग गुणांकों के लिए विश्लेणात्मक समीकरण व्युत्पन्न करते हैं। यह दृष्टिकोण $N=4, 5, 6$ के लिए विश्लेणात्मक समाधान प्रदान करता है और $N=31$ तक संख्यात्मक समाधान देता है। हालाँकि, यह मॉडल दूरी के साथ इवेनेसेंट कपलिंग स्ट्रेंथ के घातीय क्षय (exponential decay) के कारण सीमित है, जिससे यह केवल $N \leq 6$ के लिए प्रयोगात्मक रूप से व्यवहार्य है।
ग्राफ-आधारित मॉडल (गैर-पूर्ण ग्राफ): दूरी की सीमाओं को दूर करने के लिए, लेखक गैर-पूर्ण जुड़े हुए ग्राफों (non-complete connected graphs) का पता लगाते हैं। महत्वपूर्ण रूप से, वे हैमिल्टोनियन के भीतर विशिष्ट वेवगाइड्स के लिए गैर-शून्य प्रसार स्थिरांक ( $\beta_l \neq 0$ $β_{l} \neq = 0$ ) पेश करते हैं। यह मॉडल को उन ज्यामितिों में DFT को साकार करने की अनुमति देता है जिनमें ऑल-टू-ऑल कपलिंग की आवश्यकता नहीं होती है।
- संख्यात्मक रणनीति: लेखक नॉर्मलाइजेशन स्थिति $|U_{jk}|^2 = 1/N$ को संतुष्ट करने के लिए एक रूट-फाइंडिंग समस्या तैयार करते हैं। वे कपलिंग स्थिरांकों ( $C_{jk}$ ) और प्रसार स्थिरांकों ( $\beta_l$ ) को हल करने के लिए लेवनबर्ग-मार्क्वार्ट (Levenberg-Marquardt) एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं।
- कॉम्प्लेक्स हैडेमेड मैट्रिसेस (CHMs): लेखक उन समाधानों के बीच अंतर करते हैं जो केवल नॉर्मलाइजेशन को संतुष्ट करते हैं (CHMs) और वे जो DFT की विशिष्ट फेज संरचना से मेल खाते हैं। वे "डिफेक्ट" (एक बीजगणितीय इनवेरिएंट) और "एफाइन फैमिलीज़" (affine families) की अवधारणा का उपयोग यह सत्यापित करने के लिए करते हैं कि क्या कोई समाधान DFT के अनुरूप है। उन आयामों के लिए जहाँ DFT का डिफेक्ट गैर-शून्य है (जैसे, $N=6$ ), वे सही फेज संरचना सुनिश्चित करने के लिए गैर-एफाइन मापदंडों की जांच करते हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम

सिंगल-स्टेज रियलाइजेशन: शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि $N$ -आयामी DFT को मल्टीमोड इवोल्यूशन के एक एकल चरण के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें केवल इनपुट और आउटपुट पर फेज शिफ्टर्स की आवश्यकता होती है, न कि MZIs के गहरे कैस्केड की।
विश्लेणात्मक और संख्यात्मक समाधान:
- पॉलीगोनल मॉडल: $N=4, 5, 6$ के लिए विश्लेणात्मक समाधान प्रदान किए गए हैं। CHM स्थिति के लिए कपलिंग मैट्रिक्स के लिए संख्यात्मक समाधान $N=31$ तक पाए गए हैं, हालांकि कपलिंग क्षय के कारण प्रयोगात्मक व्यवहार्यता $N \leq 6$ तक सीमित है।
- ग्राफ-आधारित मॉडल: लेखक $N \leq 8$ के लिए सभी वैध ज्यामितीय कॉन्फ़िगरेशन रिपोर्ट करते हैं, $N=9$ के लिए आंशिक अन्वेषण, और $N=10$ के लिए चयनित मामले प्रस्तुत करते हैं। वे पहचानते हैं कि गैर-प्राइम आयामों के लिए, अलग-अलग प्रसार स्थिरांक आवश्यक हैं।
गैर-एफाइन मापदंडों की खोज: $N=6$ के मामले में, लेखक 6-आयामी DFT के निर्माण के लिए आवश्यक लापता गैर-एफाइन मापदंडों को उजागर करते हैं। वे दिखाते हैं कि 6-आयामी DFT, CHMs के एक गैर-एफाइन परिवार से संबंधित है, जो 6-आयामी फूरियर मैट्रिक्स संरचना की समझ में एक अंतराल को भरता है।
स्केलिंग लॉ और दक्षता: नए बिल्डिंग ब्लॉक्स (पहचाने गए सिंगल-स्टेज कॉन्फ़िगरेशन) का उपयोग करके और उन्हें कूली-टकी और गुड-थॉमस डिकम्पोजिशन के माध्यम से संयोजित करके, लेखक आवश्यक इंटरफेरोमीटर की संख्या के लिए एक नया स्केलिंग लॉ व्युत्पन्न करते हैं। जटिलता $O(N \log \log N)$ $O (N lo g lo g N)$ के रूप में स्केल होती है।
- विशिष्ट तुलना: एक 2520-आयामी QFTI (बोसॉन सैंपलिंग के लिए प्रासंगिक) के लिए, प्रस्तावित विधि में केवल 1459 इंटरफेरोमीटर (गुड-थॉमस डिकम्पोजिशन का उपयोग करके) या 2625 इंटरफेरोमीटर ( $N=4,5$ ब्लॉक्स के साथ कूली-टकी का उपयोग करके) की आवश्यकता होती है। यह रेक और क्लेमेंट्स आर्किटेक्चर द्वारा आवश्यक $\approx 3 \times 10^6$ इंटरफेरोमीटर की तुलना में एक भारी कमी है।
फैब्रिकेशन टॉलरेंस: लेखक भौतिक स्वीकार्यता के आधार पर संख्यात्मक समाधानों को फ़िल्टर करने के लिए एक संवेदनशीलता मानदंड स्थापित करते हैं। वे प्रदर्शित करते हैं कि एक ही $N$ के लिए कई ज्यामितीय कॉन्फ़िगरेशन मौजूद हैं, जो एक "डिज़ाइन रिसोर्स" प्रदान करते हैं जहाँ विशिष्ट लेआउट को फैब्रिकेशन त्रुटियों (जैसे, वेवगाइड पोजिशनिंग) के प्रति टॉलरेंस को अधिकतम करने के लिए चुना जा सकता है।

महत्व
यह पेपर दावा करता है कि ये निष्कर्ष स्थानिक जटिलता को काफी कम करने के साथ बड़े पैमाने के QFTIs को असेंबल करने के लिए एक मार्ग प्रदान करते हैं, जिससे उच्च-आयामी क्वांटम सूचना प्रसंस्करण और बोसॉन सैंपलिंग अधिक व्यवहार्य हो जाता है। यह कार्य सैद्धांतिक हैमिल्टोनियन इवोल्यूशन और व्यावहारिक PIC डिज़ाइन के बीच के अंतर को पाटता है:

DFT को साकार करने वाले कपलिंग ज्योमेट्री के लिए एक व्यवस्थित खोज प्रदान करके।
गैर-पूर्ण ग्राफों में प्रसार स्थिरांक की आवश्यकता को पहचानकर।
6-आयामी DFT के संरचनात्मक मापदंडों को हल करके।
एक स्केलिंग लॉ ( $O(N \log \log N)$ ) प्रदर्शित करके जो विशाल इंटरफेरोमीटर (जैसे, $N=2520$ ) को असेंबल करने की अनुमति देता है, जिसकी घटकों की संख्या वर्तमान प्रयोगात्मक क्षमताओं के तुल्य है, जबकि पिछले तरीकों की द्विघात या घातीय स्केलिंग के विपरीत।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि जबकि पॉलिगोनल मॉडल सैद्धांतिक रूप से मजबूत है, ग्राफ-आधारित मॉडल (अनुकूलित प्रसार स्थिरांक के साथ) $N > 6$ के लिए 3D वेवगाइड्स में प्रयोगात्मक कार्यान्वयन के लिए व्यवहार्य मार्ग है। वे नोट करते हैं कि $N \geq 10$ के लिए कॉन्फ़िगरेशन की खोज गणनात्मक रूप से गहन है और तीन अनुमानों (conjectures) द्वारा निर्देशित है।

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