Accelerating Fourier--Motzkin elimination: redundancy removal and the choice of variable elimination order
यह शोध पत्र इम्बर्ट के रेडंडेंसी टेस्ट (redundancy test) को लीनियर प्रोग्रामिंग के साथ सुरक्षित रूप से संयोजित करने की एक विधि प्रस्तावित करके और एक वेरिएबल एलिमिनेशन ऑर्डरिंग नियम पेश करके फूरियर-मोटोज़किन एलिमिनेशन (Fourier-Motzkin elimination) की कम्प्यूटेशनल अक्षमता को संबोधित करता है, जो विशेष रूप से एंट्रोपिक कॉज़ल स्ट्रक्चर्स (entropic causal structures) के लिए प्रोसेसिंग समय और असमानताओं (inequalities) की संख्या को काफी कम कर देता है।
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गणित और कंप्यूटर विज्ञान की दुनिया में, सीधी रेखाओं और सपाट सतहों द्वारा परिभाषित आकृतियों, जिन्हें पॉलीहेड्रा (polyhedra) कहा जाता है, से जुड़ी एक निरंतर चुनौती बनी रहती है। एक जटिल, बहु-पक्षीय वस्तु की कल्पना करें जो अंतरिक्ष में तैर रही है, जिसे नियमों या असमानताओं (inequalities) के एक सेट द्वारा परिभाषित किया गया है जो यह बताते हैं कि कौन से बिंदु अंदर हैं और कौन से बाहर। वैज्ञानिक और इंजीनियर अक्सर यह समझने की आवश्यकता महसूस करते हैं कि यदि वे कुछ आयामों को अनदेखा कर दें, तो यह वस्तु कैसी दिखेगी, यानी इसे एक निम्न-आयामी सतह पर प्रभावी रूप से समतल करना। 'प्रोजेक्शन' (projection) कही जाने वाली यह प्रक्रिया, घटकों को एक-एक करके हटाकर उनके आकार की गणना करने के लिए महत्वपूर्ण है, जो कंप्यूटर चिप डिजाइन करने से लेकर नेटवर्क के माध्यम से सूचना के प्रवाह को समझने तक के क्षेत्रों में समस्याओं को हल करने के काम आती है। हालाँकि, जब गणितज्ञ इन आकृतियों को गणना करने के लिए एक-एक करके चर (variables) को हटाने का प्रयास करते हैं, तो एक कुख्यात समस्या उत्पन्न होती है: आकार का वर्णन करने वाले नियमों की संख्या में भारी विस्फोट हो जाता है। दशकों पहले विकसित एक विधि, जिसे फूरियर-मोटोज़किन एलिमिनेशन (Fourier–Motzkin elimination) के रूप में जाना जाता है, इस काम के लिए मानक उपकरण है, लेकिन यह अक्सर अनावश्यक नियमों का एक विशाल, अनियंत्रित ढेर उत्पन्न करती है, जिससे सरल आकृतियों के अलावा किसी भी चीज़ के लिए गणना करना असंभव हो जाता है।
शशांक खन्ना, जो यूनिवर्सिटी ऑफ यॉर्क और एक्स-मार्सिले यूनिवर्सिटी के बीच कार्यरत एक शोधकर्ता हैं, ने इस जटिलता के विस्फोट को इस विधि के कार्य करने के तरीके को परिष्कृत करके संबोधित किया है। मुख्य समस्या यह है कि मानक दृष्टिकोण वास्तव में आवश्यक होने की तुलना में बहुत अधिक असमानताएँ बना देता है, जिनमें से कई डुप्लिकेट या दूसरों के अनावश्यक संस्करण होते हैं। इसे ठीक करने के लिए, विधि को लगातार इन अतिरिक्त नियमों की जाँच करनी चाहिए और उन्हें हटाना चाहिए। खन्ना ने इस जाँच के दो सामान्य तरीकों की जांच की: एक जो तेज़ है लेकिन कभी-कभी नियमों को छोड़ देता है, और दूसरा जो धीमा है लेकिन पूरी तरह से सटीक है। उन्होंने पाया कि इन दोनों विधियों को मिलाने की एक लोकप्रिय रणनीति—पहले तेज़ जाँच का उपयोग करना और फिर धीमी जाँच का—वास्तव में गणित को बिगाड़ देती है, जिससे सिस्टम आवश्यक नियमों को भी हटा देता है और गलत उत्तर देता है। एक विशिष्ट उदाहरण के साथ इस विफलता को सिद्ध करके, उन्होंने दिखाया कि इन दोनों विधियों को सीधे आपस में नहीं मिलाया जा सकता है। इसके बजाय, उन्होंने प्रदर्शित किया कि उन्हें सुरक्षित रूप से संयोजित किया जा सकता है, लेकिन केवल तभी जब कंप्यूटर हर बार धीमी, सटीक जाँच किए जाने पर इस बात की स्मृति को रीसेट कर दे कि प्रत्येक नियम कैसे बनाया गया था। यह सुनिश्चित करता है कि तेज़ जाँच हमेशा सूचना के पूर्ण और सही सेट के साथ काम कर रही है।
इस जाँच प्रक्रिया को ठीक करने के अलावा, खन्ना ने उस क्रम को भी संबोधित किया जिसमें चरों को हटाया जाता है, एक ऐसा चुनाव जो यह नाटकीय रूप रूप से प्रभावित करता है कि गणना में कितना समय लगेगा। पारंपरिक दृष्टिकोण 'ग्रीडी' (greedy) होता है, जिसका अर्थ है कि यह हमेशा उस चर को चुनता है जो अगले ही चरण में सबसे कम नए नियम बनाता हुआ प्रतीत होता है। हालाँकि, खन्ना ने पाया कि यह अल्पकालिक रणनीति अक्सर बाद में बहुत बड़ा संकट पैदा कर देती है। उन्होंने एक नया नियम प्रस्तावित किया जो एक कदम आगे की सोचता है: केवल तत्काल आउटपुट को गिनने के बजाय, कंप्यूटर अस्थायी रूप से प्रत्येक शेष चर को हटाने का प्रयास करता है, परिणामी अव्यवस्था को साफ करता है, और फिर उस चर को चुनता है जो नियमों की सबसे कम संख्या छोड़ता है। क्योंकि ये परीक्षण स्वतंत्र होते हैं, इसलिए इन्हें कई कंप्यूटर प्रोसेसरों पर एक साथ निष्पादित किया जा सकता है। यह दृष्टिकोण, हालांकि शुरू में अधिक कंप्यूटिंग शक्ति की मांग करता है, कुल समय को नाटकीय रूप से कम कर देता है। यादृच्छिक आकृतियों (random shapes) पर परीक्षणों में, इस नई क्रमबद्धता नियम ने निश्चित क्रम की तुलना में प्रक्रिया को छह से पच्चीस गुना तक तेज कर दिया।
विशेष रूप से 'कॉज़ल स्ट्रक्चर्स' (causal structures) से जुड़ी समस्याओं के लिए इसका प्रभाव और भी महत्वपूर्ण है, जो ऐसे आरेख हैं जिनका उपयोग यह मानचित्रण करने के लिए किया जाता है कि विभिन्न घटनाएँ एक-दूसरे को कैसे प्रभावित करती हैं, जो अक्सर क्वांटम भौतिकी या जटिल नेटवर्क के अध्ययन में उपयोग किए जाते हैं। जब शोधकर्ता इन संरचनाओं में देखे गए चरों के बीच संभावित सहसंबंधों (correlations) को निर्धारित करने का प्रयास करते हैं, तो उन्हें दर्जनों छिपे हुए चरों को हटाना पड़ता है, जिससे सैकड़ों असमानताओं वाली प्रणालियाँ बन जाती हैं। इन कठिन मामलों में, खन्ना की विधि ने नियमों की संख्या को, जिसे कंप्यूटर को प्रत्येक चरण में संभालना पड़ता है, मानक निश्चित क्रम की तुलना में एक से दो क्रम (orders of magnitude) कम रखा। इस कमी ने उन गणनाओं को, जो पहले करने के लिए बहुत महंगी थीं, प्रबंधनीय कार्यों में बदल दिया। शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि हालांकि एक आदर्श क्रम खोजना असंभव हो सकता है, लेकिन यह व्यावहारिक, एक-कदम-आगे की रणनीति जटिल कॉज़ल स्ट्रक्चर्स के एंट्रोपिक विश्लेषण को संभव बनाती है, जिससे सौ से अधिक चरों वाले सिस्टम के अध्ययन का मार्ग प्रशस्त होता है जो पहले पहुंच से बाहर थे।
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