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How to choose a good rational basis for elliptic Feynman integrals?

यह शोध पत्र एलिप्टिक फाइबन इंटीग्रल्स (elliptic Feynman integrals) के लिए एक रैशनल बेसिस (rational basis) का निर्माण करने हेतु लीडिंग सिंगुलैरिटीज (leading singularities) के एलिप्टिक सामान्यीकरणों का उपयोग करते हुए एक विधि का विस्तार करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि उनके डिफरेंशियल इक्वेशन्स (differential equations) के ऑफ-डायगोनल ब्लॉक्स (off-diagonal blocks) में एक सार्वभौमिक $\epsilon$ -डिपेंडेंट संरचना होती है जो डिकपलिंग ट्रांसफॉर्मेशन (decoupling transformations) के तहत संरक्षित रहती है।

मूल लेखक: Ekta Chaubey, Vasily Sotnikov

प्रकाशित 2026-09-09

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ekta Chaubey, Vasily Sotnikov

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

उच्च-ऊर्जा कण भौतिकी (particle physics) की दुनिया में, वैज्ञानिक ब्रह्मांड को आकार देने वाले मौलिक बलों को समझने के लिए उप-परमाणु कणों के टकराव का अध्ययन करते हैं। जब दो कण आपस में टकराते हैं, तो वे बिखर जाते हैं, जिससे नए कणों का एक छिड़काव उत्पन्न होता है। इन टकरावों में वास्तव में क्या होगा, इसका सटीक अनुमान लगाने के लिए, भौतिक विज्ञानी 'स्कैटरिंग एम्पलीट्यूड' (scattering amplitudes) नामक जटिल गणितीय वस्तुओं का उपयोग करते हैं। ये अनिवार्य रूप से ब्लूप्रिंट हैं जो हर संभावित परिणाम की संभावना बताते हैं। इन ब्लूप्रिंटों की गणना करना अत्यंत कठिन है, विशेष रूप से तब जब इसमें आभासी कणों (virtual particles) के लूप शामिल हों जो अस्तित्व में आते और गायब होते रहते हैं। दशकों से, भौतिकविदों ने पाया है कि इन गणनाओं को संभालने का सबसे कुशल तरीका समस्या को दो अलग-अलग भागों में विभाजित करना है: एक तर्कसंगत भाग (rational part), जिसमें सरल भिन्न और बहुपद शामिल हैं, और एक ट्रांसेंडेंटल भाग (transcendental part), जिसमें जटिल, बहु-मान वाले फलन (functions) शामिल हैं जो परस्पर क्रिया की गहरी ज्यामितीय संरचना को दर्शाते हैं। इन दोनों भागों को अलग रखना महत्वपूर्ण है क्योंकि यह शोधकर्ताओं को सीमित डेटा से पूर्ण उत्तर को पुनर्गठित करने के लिए शक्तिशाली आधुनिक तकनीकों का उपयोग करने की अनुमति देता है। हालाँकि, यह पृथक्करण तब अविश्वसनीय रूप से कठिन हो जाता है जब समस्या की अंतर्निहित ज्यामिति 'एलिप्टिक कर्व्स' (elliptic curves) से जुड़ी होती है, जो एक साधारण वृत्त या गोले की तुलना में अधिक जटिल गणितीय आकृति है।

लंबे समय तक, भौतिकविदों को इन एलिप्टिक गणनाओं के तर्कसंगत और ट्रांसेंडेंटल भागों को अलग करने का एक स्पष्ट तरीका खोजने के लिए संघर्ष करना पड़ा। मानक दृष्टिकोण समीकरणों को एक ऐसे रूप में बदलने का था जहाँ जटिलता को सलीके से पैक किया जा सके, लेकिन इसके लिए अक्सर नए, कृत्रिम गणितीय फलनों को पेश करने की आवश्यकता होती थी जो अपनी स्वयं की भ्रमित करने वाली अस्पष्टताओं को साथ लाते थे। यह एक अस्त-व्यस्त कमरे को व्यवस्थित करने के लिए सारा कचरा एक नए बॉक्स में डालने जैसा था जो मूल बॉक्स जितना ही अस्त-व्यस्त था। बॉन विश्वविद्यालय और जोहान्स गुटेनबर्ग यूनिवर्सिटी मेन्ज़ में काम कर रहे इस अध्ययन के शोधकर्ताओं ने एक मौलिक प्रश्न पूछा: क्या इन गणनाओं के लिए एक विशिष्ट शुरुआती बिंदु, या एक "आधार" (basis) चुनने का कोई बेहतर तरीका है जो एलिप्टिक कर्व्स शामिल होने पर भी, बिना किसी अनावश्यक भ्रम के, समस्या की अंतर्निहित ज्यामिति का सम्मान करता हो? उन्होंने एक विशिष्ट सेट के शुरुआती मानों, या एक "आधार" को चुनने के लिए एक नई विधि प्रस्तावित की, जो समस्या की अंतर्निहित ज्यामिति का सम्मान करती है बिना अनावश्यक भ्रम पैदा किए।

टीम ने "लीडिंग सिंगुलैरिटीज" (leading singularities) से प्रेरित एक तकनीक पर ध्यान केंद्रित किया, जो अनिवार्य रूप से एक गणितीय इंटीग्रल (integral) की सबसे चरम, प्रभावी विशेषताएं हैं। सरल मामलों में, भौतिक विज्ञानी इन विशेषताओं का उपयोग एक आदर्श शुरुआती बिंदु बनाने के लिए कर सकते थे। शोधकर्ताओं ने इस विचार को एलिप्टिक मामले तक विस्तारित किया, जिससे एक नया तर्कसंगत आधार बनाया गया जो स्वयं एलिप्टिक कर्व की ज्यामिति द्वारा निर्देशित है। उन्होंने पाया कि इंटीग्रल्स को कर्व द्वारा परिभाषित विशिष्ट बीजगणितीय आकृतियों के साथ मिलाने से, वे एक ऐसा आधार बना सकते हैं जहाँ एक छोटे पैरामीटर (parameter) पर निर्भरता, जिसका उपयोग गणनाओं को नियंत्रित करने के लिए किया जाता है, एक बहुत ही सरल और अनुमानित पैटर्न का पालन करती है। यह पैटर्न रैखिक (linear) है, जिसका अर्थ है कि जटिलता एक सीधी, प्रबंधनीय रेखा में बढ़ती है, न कि अनियंत्रित रूप से घूमती है। यह खोज बताती है कि गणना के तर्कसंगत भाग को उन भ्रमित करने वाली अस्पष्टताओं से मुक्त और स्वच्छ रखा जा सकता है जो आमतौर पर इन समस्याओं में व्याप्त रहती हैं।

उनके कार्य का एक प्रमुख हिस्सा इस बात को देखना था कि गणना के विभिन्न भाग एक-दूसरे के साथ कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। इन जटिल प्रणालियों में, मुख्य एलिप्टिक भाग छोटे, सरल भागों से जुड़ा होता है जिन्हें 'सबसेक्टर्स' (subsectors) कहा जाता है। शोधकर्ताओं ने "ऑफ-डायगोनल" (off-diagonal) ब्लॉक्स की जांच की, जो वे गणितीय पद हैं जो वर्णन करते हैं कि ये विभिन्न भाग एक-दूसरे से कैसे संवाद करते हैं। उन्होंने पाया कि इन जोड़ने वाले क्षेत्रों में भी, जटिलता एक सार्वभौमिक संरचना का पालन करती है। विशेष रूप से, गणना की छोटे पैरामीटर पर निर्भरता को एक सरल रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है जो उन्हें हल करने के लिए समीकरणों को रूपांतरित करने के बाद भी स्थिर रहता है। यह खोज महत्वपूर्ण है क्योंकि यह दिखाती है कि समस्या के मुख्य भाग में देखी गई सरलता, सभी अलग-अलग हिस्सों के बीच के कनेक्शन में भी विस्तृत होती है। यह संकेत देता है कि उनके द्वारा निर्मित नया तर्कसंगत आधार केवल एक स्थानीय समाधान नहीं है, बल्कि एक मजबूत ढांचा है जो पूरे सिस्टम में काम करता है।

शोधकर्ताओं ने अपने समीकरणों में दिखाई देने वाली एक विशिष्ट पूर्णांक संख्या (integer number) के मूल की भी व्याख्या की, जो यह निर्धारित करती है कि जटिलता कैसे स्केल करती है। उन्होंने दिखाया कि यह संख्या मनमानी नहीं है, बल्कि एक विशिष्ट बिंदु पर गणितीय इंटीग्रैंड (integrand) के स्थानीय व्यवहार द्वारा निर्धारित होती है, ठीक वैसे ही जैसे एक पहाड़ी की ढलान यह निर्धारित करती है कि गेंद कितनी तेजी से नीचे लुढ़केगी। इस संबंध को समझकर, उन्होंने इस संख्या की पूरी गणना करने से पहले ही इसकी भविष्यवाणी करने का एक तरीका प्रदान किया। उनका कार्य सुझाव देता है कि जटिल कण भौतिकी समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए, समीकरणों को स्थापित करने का एक पसंदीदा तरीका है जो तर्कसंगत गुणांकों को सरल और ट्रांसेंडेंटल फलनों को सुव्यवस्थित रखता है। यह दृष्टिकोण मल्टीस्केल समस्याओं (multiscale problems), जो एक साथ कई अलग-अलग ऊर्जा स्तरों से जुड़ी होती हैं, को हल करने के लिए एक व्यवस्थित रणनीति प्रदान करता है।

हालाँकि यह शोध पत्र यह दावा नहीं करता कि इसने हर संभावित एलिप्टिक समस्या को हल कर दिया है, लेकिन यह इस बात के पुख्ता प्रमाण देता है कि यह नई विधि उनके द्वारा परीक्षण किए गए इंटीग्रल्स के परिवारों के लिए काम करती है। उन्होंने पाया कि कुछ जटिल मामलों में, केवल तर्कसंगत संख्याओं का उपयोग करके समीकरणों को पूरी तरह से सरल बनाना असंभव है, लेकिन उनकी विधि यह सुनिश्चित करती है कि शेष जटिलता यथासंभव न्यूनतम और संरचित हो। यह भौतिकविदों को तर्कसंगत जानकारी (जो कणों की परस्पर क्रिया के विशिष्ट विवरणों को एनकोड करती है) को ट्रांसेंडेंटल जानकारी (जो सार्वभौमिक ज्यामितीय संरचना को एनकोड करती है) से अलग करने की अनुमति देता है। परिणाम, स्कैटरिंग एम्पलीट्यूड की गणना के लिए एक स्पष्ट मार्ग प्रदान करता है जिसकी आवश्यकता लार्ज हैड्रॉन कोलाइडर जैसे केंद्रों पर सटीक प्रयोगों के लिए होती है। एम्पलीट्यूड के तर्कसंगत और बहु-मान वाले भागों के बीच एक स्वच्छ पृथक्करण स्थापित करके, यह कार्य अधिक कुशल विश्लेषणात्मक गणनाओं और अधिक स्थिर संख्यात्मक समाधानों के लिए मार्ग प्रशस्त करता है, जिससे भौतिकविदों को अपने सिद्धांतों से सबसे सटीक संभव भविष्यवाणियां निकालने में मदद मिलती है।

तकनीकी सारांश: एलिप्टिक फाईनमैन इंटीग्रल्स के लिए एक अच्छा रैशनल बेसिस (Rational Basis) कैसे चुनें?

समस्या विवरण
मल्टी-लूप स्कैटरिंग एम्पलीट्यूड (Scattering Amplitudes) की विश्लेषणात्मक गणना, परिणामों को तर्कसंगत गुणांकों (Rational Coefficients) के साथ ट्रांसेंडेंटल फंक्शन्स (Transcendental Functions) के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करने पर निर्भर करती है। जबकि तर्कसंगत और बीजगणितीय मामलों (वर्गमूल वाले) के लिए यह पृथक्करण अच्छी तरह से समझा गया है, एलिप्टिक फाईनमैन इंटीग्रल्स के लिए यह काफी जटिल हो जाता है। एलिप्टिक मामले में, एक $\epsilon$ -फैक्टराइज्ड बेसिस (जहाँ डायमेंशनल रेगुलेटर $\epsilon$ डिफरेंशियल इक्वेशन्स से अलग हो जाता है) का निर्माण करने के लिए आमतौर पर पूर्ण एलिप्टिक इंटीग्रल्स (Complete Elliptic Integrals) से जुड़ी रूपांतरणों की आवश्यकता होती है। ये रूपांतरण सहायक बहु-मान वाले कार्यों (Auxiliary Multivalued Functions) और मोनोड्रोमी अस्पष्टताओं (Monodromy Ambiguities) को पेश करते हैं जो भौतिक सीमा स्थितियों (Physical Boundary Conditions) द्वारा निर्धारित नहीं होते हैं। फलस्वरूप, एलिप्टिक इंटीग्रल्स के लिए कोई सार्वभौमिक रूप से ज्ञात, सरल संबंध नहीं है जो एक रैशनल बेसिस (जहाँ गुणांक तर्कसंगत होते हैं) और एक $\epsilon$ -फैक्टराइज्ड बीजगणितीय/एलिप्टिक बेसिस के बीच हो। केंद्रीय प्रश्न यह है कि क्या एलिप्टिक इंटीग्रल्स के लिए एक पसंदीदा रैशनल बेसिस मौजूद है जो मोनोड्रोमी-इनवेरिएंट ट्रांसेंडेंटल फंक्शन बेसिस के निर्माण के लिए एक प्राकृतिक शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य कर सके, जिससे एम्पलीट्यूड के तर्कसंगत और बहु-मान वाले भागों के बीच एक स्वच्छ पृथक्करण बना रहे।

कार्यप्रणाली
लेखक Ref. [1] द्वारा प्रस्तावित एक विधि पर आधारित कार्य करते हैं, जो एलिप्टिक लीडिंग सिंगुलैरिटीज (Leading Singularities - LS) का उपयोग करके रैशनल बेसिस का निर्माण करता है। यह कार्यप्रणाली तीन मुख्य चरणों में आगे बढ़ती है:

एलिप्टिक लीडिंग सिंगुलैरिटी निर्माण:
- लेखक रैशनल मामले में उपयोग किए जाने वाले $d\log$ इंटीग्रैंड निर्माण का सामान्यीकरण करते हैं। केवल एक लॉगरिदमिक फॉर्म होने के बजाय, वे इंटीग्रैंड के बीजगणितीय भाग (मैक्सिमल कट के बाद) को अंतर्निहित एलिप्टिक कर्व के कोहोमोलॉजी (Cohomology) द्वारा स्वाभाविक रूप से चुने गए बीजगणितीय एक-रूपों (One-forms) के आधार पर मिलाते हैं।
- ये आधार रूप प्रथम, द्वितीय और तृतीय प्रकार के एबेलियन डिफरेंशियल ( $\omega_\psi, \omega_\phi, \omega_{\pi}$ ) के अनुरूप हैं।
- तर्कसंगत गुणांक इस प्रकार निर्धारित किए जाते हैं कि एंसेट (Ansatz) इन विशिष्ट एक-रूपों से मेल खाता हो और मानक लॉगरिदमिक लीडिंग सिंगुलैरिटीज पर शून्य हो जाए। इससे एक रैशनल बेसिस $J_R$ प्राप्त होता है।
होमोजेनियस ब्लॉक्स का विश्लेषण:
- दिखाया गया है कि इस रैशनल बेसिस $J_R$ के लिए डिफरेंशियल इक्वेशन्स (DEs) में एक डायगोनल एलिप्टिक ब्लॉक है जो $\epsilon$ के रैखिक है: $dJ_R = [M^{(0)}_R(s) + \epsilon M^{(1)}_R(s)] J_R$ ।
- एक यूनिवर्सल ट्रांसफॉर्मेशन $T_C$ , जो एलिप्टिक लीडिंग सिंगुलैरिटीज (Periods और Quasi-periods) से निर्मित है, को $J_R$ पर लागू किया जाता है। यह इसे एक नए बेसिस $J_C$ में बदल देता है जो एक ऐसे DE को संतुष्ट करता है जहाँ मैट्रिक्स एलिमेंट्स की $\epsilon$ -निर्भरता या तो $\epsilon$ के रूप में या $1-n\epsilon$ के रूप में फैक्टराइज होती है, जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
- इस नए बेसिस में लीडिंग-ऑर्डर (LO) कनेक्शन निलपोटेंट (Nilpotent) है, जिससे समाधानों को $\epsilon$ के क्रमों (Order-by-order) में इटरेटेड इंटीग्रल्स के रूप में बनाया जा सकता है।
ऑफ-डायगोनल ब्लॉक्स तक विस्तार:
- यह शोध मैक्सिमल कट (डायगोनल ब्लॉक्स) से परे ऑफ-डायगोनल ब्लॉक्स तक विश्लेषण का विस्तार करता है जो एलिप्टिक सेक्टर को उसके सबसेक्टर्स से जोड़ते हैं।
- लेखक यह जांचते हैं कि क्या $J'_{R,\phi} = J_{R,\phi} + \sum r_i(s, \epsilon) J_{R,i}$ जैसे रैशनल शिफ्ट्स ऑफ-डायगोनल DE ब्लॉक्स को सरल बना सकते हैं।
- वे प्रदर्शित करते हैं कि हालांकि केवल रैशनल शिफ्ट्स के माध्यम से पूर्ण $\epsilon$ -फैक्टराइजेशन हमेशा संभव नहीं है, फिर भी एक विशिष्ट प्रतिबंधित संरचना को हमेशा लागू किया जा सकता है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

पूर्णांक $n$ का उद्गम: पेपर में $(1-n\epsilon)$ में दिखने वाले पूर्णांक $n$ के लिए एक व्युत्पत्ति प्रदान की गई है। यह दिखाया गया है कि $n$ दूसरे प्रकार के डिफरेंशियल से जुड़े डबल पोल (Double Pole) पर इंटीग्रैंड के स्थानीय $\epsilon$ -निर्भर स्केलिंग द्वारा निर्धारित होता है। विशेष रूप से, $n = \sum (b_i \nu_i)/2$ , जहाँ $b_i$ बाइकोव रिप्रेजेंटेशन (Baikov Representation) में अपरिमेय बहुपदों (Irreducible Polynomials) के घातांकों के $\epsilon$ -गुणांक हैं, और $\nu_i$ डबल पोल पर उनकी कोटियाँ (Orders) हैं।
ऑफ-डायगोनल ब्लॉक्स की संरचना: एलिप्टिक LS के माध्यम से निर्मित रैशनल बेसिस के लिए ऑफ-डायगोनल DE ब्लॉक्स का लक्षण वर्णन करना एक प्राथमिक परिणाम है। लेखक पाते हैं कि उनके नुस्खे के अनुसार निर्मित रैशनल बेसिस के लिए, इन ब्लॉक्स के $\epsilon$ $ϵ$ निर्भरता को एक सार्वभौमिक संरचना में व्यवस्थित किया जा सकता है:
- प्रथम-प्रकार के पीरियड्स ( $\psi$ ) और तृतीय-प्रकार के पीरियड्स ( $\pi_a$ ) से जुड़ने वाले एंट्रियां $\epsilon$ के समानुपाती बनाई जा सकती हैं।
- द्वितीय-प्रकार के पीरियड ( $\phi$ ) से जुड़ने वाले एंट्रियां $\frac{\epsilon}{1-n\epsilon} \omega^1 + \frac{\epsilon^2}{1-n\epsilon} \omega^2$ के रूप में होती हैं।
- यह संरचना $T_C$ द्वारा उपयोग किए गए ट्रांसफॉर्मेशन द्वारा संरक्षित रहती है जो होमोजेनियस एलिप्टिक ब्लॉक को डीकपल (Decouple) करता है।
मोनोड्रोमी इनवेरियंस (Monodromy Invariance): पेपर तर्क देता है कि रैशनल बेसिस $J_R$ मोनोड्रोमी-इनवेरिएंट ट्रांसेंडेंटल फंक्शन्स को परिभाषित करने के लिए एक प्राकृतिक ढांचा प्रदान करता है। डीकप्ल्ड सिस्टम के इटरेटेड इंटीग्रल सॉल्यूशंस पर इनवर्स ट्रांसफॉर्मेशन $T_C^{-1}$ लागू करके, वे फंक्शन्स को पुनर्गठित करते हैं जो होमोजेनियस DEs के मोनोड्रोमी ग्रुप के तहत इनवेरिएंट होते हैं। यह एम्पलीट्यूड के तर्कसंगत गुणांकों और बहु-मान वाले ट्रांसेंडेंटल फंक्शन्स के बीच स्वच्छ पृथक्करण सुनिश्चित करता है।
सीमाएं और अवलोकन: लेखक नोट करते हैं कि जबकि प्रतिबंधित $\epsilon$ निर्भरता रैशनल बेसिस के लिए बनी रहती है, एक पूर्ण $\epsilon$ -फैक्टराइज्ड बेसिस (स्थिर इंटरसेक्शन मैट्रिक्स के साथ) प्राप्त करने के लिए आम तौर पर ट्रांसेंडेंटल फंक्शन्स $E(s)$ के सेट को बढ़ाने और गैर-तर्कसंगत रूपांतरणों को पेश करने की आवश्यकता होती है। पेपर यह दावा नहीं करता है कि रैशनल बेसिस स्वयं $\epsilon$ -फैक्टराइज्ड है, बल्कि यह कि यह इष्टतम रैशनल शुरुआती बिंदु है।

महत्व
पेपर का दावा है कि प्रस्तावित रैशनल बेसिस, जो एलिप्टिक लीडिंग सिंगुलैरिटीज के माध्यम से निर्मित है, मल्टी-स्केल एलिप्टिक फाईनमैन इंटीग्रल्स के लिए एक व्यवस्थित रणनीति प्रदान करता है। इसका महत्व निम्नलिखित में निहित है:

ज्यामितीय निरंतरता (Geometric Consistency): यह रैशनल बेसिस चयन में सीधे अंतर्निहित एलिप्टिक ज्यामिति के बारे में जानकारी को शामिल करता है।
मोनोड्रोमी इनवेरियंस: यह उन ट्रांसेंडेंटल फंक्शन बेसिस के निर्माण की सुविधा प्रदान करता है जहाँ तर्कसंगत और बहु-मान वाले भाग स्पष्ट रूप से अलग होते हैं, जिससे सहायक होमोजेनियस सॉल्यूशंस के मनमाने चुनाव से जुड़ी गेज-जैसी अस्पष्टताओं से बचा जा सके।
संरचना की सार्वभौमिकता: यह खोज कि ऑफ-डायगोनल ब्लॉक्स की $\epsilon$ निर्भरता एक सार्वभौमिक, प्रतिबंधित रूप का पालन करती है (जो डीकपलिंग द्वारा संरक्षित है), यह सुझाव देती है कि मैक्सिमल कट पर देखी गई सरलता पूरे सिस्टम में फैली हुई है।
व्यावहारिक उपयोगिता: यह दृष्टिकोण इटरेटेड-इंटीग्रल रिप्रेजेंटेशन (जो ज्यामिति को एनकोड करता है) और तर्कसंगत गुणांकों वाले स्कैटरिंग एम्पलीट्यूड के लिए उपयुक्त फंक्शन बेसिस के बीच एक ठोस इंटरफेस प्रदान करता है, जो जटिल मल्टी-स्केल एम्पलीट्यूड के विश्लेषणात्मक पुनर्निर्माण और संख्यात्मक मूल्यांकन दोनों में सहायता कर सकता है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि हालांकि ऑफ-डायगोनल ब्लॉक्स में अवशिष्ट स्वतंत्रता (Residual Freedoms) को समझने और उच्च-जीनस ज्योमेट्री (Higher-genus Geometries) तक विस्तार करने के लिए और अधिक कार्य की आवश्यकता है, प्रस्तावित विधि एलिप्टिक सेक्टर्स को संभालने के लिए एक मजबूत आधार स्थापित करती है।

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