Green's Functions from Sample-based Krylov Quantum Diagonalization: An Impurity Solver for Dynamical Mean-Field Theory

वह पदार्थ जो अजीब और जिद्दी व्यवहार करता है, जैसे कि सुपरकंडक्टर्स (अतिचालक) जो बिना किसी प्रतिरोध के बिजली प्रवाहित करते हैं या वे चुंबकीय सामग्रियां जो हमारे हार्ड ड्राइव को शक्ति प्रदान करती हैं, अक्सर उन सरल नियमों को चुनौती देता है जिनका उपयोग हम साधारण ठोस पदार्थों को समझाने के लिए करते हैं। इन सामग्रियों में, इलेक्ट्रॉन स्वतंत्र रूप से नहीं चलते; वे एक-दूसरे पर इतनी मजबूती से धक्का और खिंचाव डालते हैं कि एक इलेक्ट्रॉन का व्यवहार उसके पड़ोसियों के व्यवहार से अटूट रूप से जुड़ा होता है। इन सामग्रियों के काम करने के तरीके को समझने के लिए, वैज्ञानिकों को "ग्रीन'स फंक्शन" (Green's function) की गणना करनी होती है, जो एक गणितीय उपकरण है जो इस भीड़भाड़ वाले, अराजक वातावरण में एक इलेक्ट्रॉन के घूमने के मानचित्र (मैप) की तरह कार्य करता है। यह मानचित्र सामग्री के ऊर्जा स्तरों और प्रकाश या बिजली के प्रति उसकी प्रतिक्रिया को प्रकट करता है, लेकिन बड़े सिस्टम के लिए इसकी गणना करना एक बहुत बड़ा कार्य है। सिस्टम के आकार के साथ इलेक्ट्रॉनों की संभावित व्यवस्थाओं की संख्या इतनी तेजी से बढ़ती है कि सबसे शक्तिशाली सुपरकंप्यूटर भी जल्दी ही अपनी मेमोरी खत्म कर देते हैं, जिससे शोधकर्ताओं को वास्तव में जिन सामग्रियों की उन्हें परवाह है, उनके केवल छोटे, सरलीकृत संस्करणों का अध्ययन करने के लिए मजबूर होना पड़ता है।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब क्वांटम कंप्यूटरों का उपयोग करके इस समस्या से निपटने का एक नया तरीका प्रस्तावित किया है, जिसमें पूरे सिस्टम को एक साथ सिम्युलेट करने के बजाय, चतुर, छोटे 'स्नैपशॉट्स' (snapshots) लेने का तरीका अपनाया गया है। एक अध्ययन में, जो एक मॉडल सिस्टम पर केंद्रित है जो धातु में इलेक्ट्रॉनों के व्यवहार की नकल करता है, शोधकर्ताओं ने 'सैंपल-बेस्ड क्रायलोव क्वांटम डायगोनलाइजेशन' (sample-based Krylov quantum diagonalization) नामक तकनीक को अनुकूलित किया। क्वांटम कंप्यूटर से सिस्टम की पूरी, विशाल अवस्था को अपनी मेमोरी में रखने के लिए कहने के बजाय, उन्होंने इसे बहुत कम समय के लिए सिस्टम को विकसित करने और फिर परिणामों को मापने के लिए कहा। इस प्रक्रिया को कई बार दोहराकर और सबसे सामान्य परिणामों को एकत्र करके, वे बिना कभी भी उस असंभव डेटा को संग्रहीत किए किए बिना इलेक्ट्रॉन की गति के पूर्ण मानचित्र को पुनर्गठित करने में सक्षम थे, जिसकी पारंपरिक तरीकों द्वारा आवश्यकता होती है। यह दृष्टिकोण आज के शोर वाले, अपूर्ण क्वांटम कंप्यूटरों पर काम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, जो अभी तक पुराने तरीकों के लिए आवश्यक लंबे, जटिल सर्किट नहीं चला सकते हैं।

शोधकर्ताओं ने इस पद्धति का परीक्षण 'सिंगल-इम्प्योरिटी एंडरसन मॉडल' (single-impurity Anderson model) नामक एक विशिष्ट मॉडल पर किया, जो एक इलेक्ट्रॉन के समुद्र के साथ परस्पर क्रिया करने वाले एक एकल परमाणु का वर्णन करता है। उन्होंने एक सिमुलेशन तैयार किया जहाँ इस केंद्रीय परमाणु को बारह साइटों की एक श्रृंखला से जोड़ा गया था, जो आसपास के वातावरण का प्रतिनिधित्व करती थी। इस सेटअप में, केंद्रीय परमाणु एक मजबूत प्रतिकर्षण बल (repulsive force) रखता है जो दो इलेक्ट्रॉनों को एक ही स्थान पर रहने से रोकता है, जो एक प्रमुख विशेषता है जो एक धातु जो बिजली संचालित करती है और एक कुचालक जो नहीं करती है, के बीच संक्रमण को संचालित करती है। टीम ने इस क्वांटम डिवाइस को सिम्युलेट करने के लिए एक क्लासिकल कंप्यूटर का उपयोग किया, जिससे वे अपने नए तरीके की तुलना इस सिस्टम के सटीक, पूर्ण समाधान के विरुद्ध कर सके। उन्होंने पाया कि क्वांटम विकास का नमूना (sampling) लेकर, वे कुल संभावित अवस्थाओं के बहुत छोटे अंश का उपयोग करके इलेक्ट्रॉन के ऊर्जा मानचित्र को उच्च सटीकता के साथ पुनर्गठित कर सकते थे। बारह साइटों वाले सिस्टम के लिए, इस पद्धति ने आवश्यक कम्प्यूटेशनल स्पेस को तीन से चार क्रम (orders of magnitude) तक कम कर दिया, जिसका अर्थ है कि इसे पूर्ण गणना के लिए आवश्यक करोड़ों के बजाय केवल कुछ हजार अवस्थाओं को संभालना पड़ा।

अध्ययन से पता चला कि यह विधि तब सबसे अच्छा काम करती है जब सिस्टम ऐसी अवस्था में होता है जो न तो पूरी तरह से सरल है और न ही पूरी तरह से अराजक। जब इलेक्ट्रॉनों के बीच की अंतःक्रिया बहुत कमजोर होती है, तो सिस्टम स्वतंत्र कणों के एक शांत समुद्र की तरह व्यवहार करता है, और जब यह बहुत मजबूत होती है, तो इलेक्ट्रॉन एक कठोर पैटर्न में बंध जाते हैं। इन दोनों चरम मामलों में, विधि ने उत्तर आसानी से खोज लिया। हालांकि, मध्य मार्ग में, जहाँ सामग्री धातु से कुचालक में बदलने की कगार पर होती है, इलेक्ट्रॉन एक जटिल, उतार-चढ़ाव वाली अवस्था में होते हैं। यहाँ, शोधकर्ताओं ने पाया कि पूर्ण चित्र को पकड़ने के लिए विधि को थोड़े अधिक नमूनों (samples) की आवश्यकता थी, लेकिन यह फिर भी सफल रही जहाँ पारंपरिक तरीके विफल हो जाते। परिणामों ने दिखाया कि स्पेक्ट्रल विशेषताएं (spectral features), जो ऊर्जा मानचित्र में विशिष्ट शिखर और घाटियाँ हैं जो सामग्री के गुणों को परिभाषित करती हैं, अंतःक्रिया की एक विस्तृत श्रृंखला में निष्ठापूर्वक पुनरुत्पादित की गईं।

सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्षों में से एक यह था कि इस विधि को जटिल ऑपरेशनों को करने की आवश्यकता नहीं थी जिनमें अतिरिक्त "सहायक" बिट्स, जिन्हें एनसिलास (ancillas) कहा जाता है, शामिल होते हैं, जो वर्तमान उपकरणों में त्रुटियों का एक स्रोत होते हैं। इसके बजाय, क्वांटम डिवाइस को केवल अवस्था तैयार करने, उसे थोड़े समय के लिए विकसित होने देने और फिर इलेक्ट्रॉनों की स्थिति को मापने की आवश्यकता थी। इन मापों को अंतिम उत्तर से जोड़ने का सारा भारी काम एक क्लासिकल कंप्यूटर द्वारा किया गया था। श्रम का यह विभाजन क्वांटम सर्किट को उथला (shallow) और सरल रखता है, जिससे यह निकट भविष्य में उपलब्ध हार्डवेयर के लिए एक यथार्थवादी उम्मीदवार बन जाता है। शोधकर्ताओं ने उल्लेख किया कि हालांकि यह वर्तमान में एक सिमुलेशन है, जिस तरह से सिस्टम बड़ा होने पर आवश्यक नमूनों की संख्या बढ़ती है, वह उत्साहजनक है। जैसे-जैसे साइटों की श्रृंखला आठ से बारह तक बढ़ी, सटीक उत्तर प्राप्त करने के लिए आवश्यक कुल संभावित अवस्थाओं का अंश वास्तव में कम हो गया, जिससे पता चलता है कि यह विधि उन बड़े सिस्टमों तक स्केल कर सकती है जो वर्तमान में पहुंच से बाहर हैं।

कार्य ने इस सामान्य प्रश्न को भी संबोधित किया कि इन गणनाओं के लिए कौन सा शुरुआती बिंदु सबसे अच्छा है। टीम ने सिस्टम की प्रारंभिक अवस्था सेट करने के दो अलग-अलग तरीकों का परीक्षण किया: एक सरल, गैर-परस्पर क्रिया वाले चित्र पर आधारित और दूसरा अधिक जटिल, स्व-संगत (self-consistent) चित्र पर आधारित। उन्होंने पाया कि इस विशिष्ट कार्य के लिए सरल शुरुआती बिंदु जटिल वाले के समान ही प्रभावी था, जो भविष्य के प्रयोगों के लिए सेटअप को सरल बनाता है। इसके अलावा, उन्होंने प्रदर्शित किया कि यह विधि इलेक्ट्रॉन को जोड़ने या हटाने के लिए आवश्यक गणितीय "शाखाओं" (branching) को संभाल सकती है, जो पूर्ण ऊर्जा मानचित्र बनाने के लिए एक आवश्यक कदम है। चुनिği गए नमूनों को सावधानीपूर्वक चुनकर और उन्हें त्यागकर, उन्होंने सुनिश्चित किया कि अंतिम परिणाम भौतिकी के मौलिक नियमों, जैसे कि संभाव्यता के संरक्षण का सम्मान करता है।

यह दृष्टिकोण 'डायनामिकल मीन-फील्ड थ्योरी' (dynamical mean-field theory) के लिए एक आशाजनक मार्ग प्रदान करता है, जो दृढ़ता से सहसंबद्ध (strongly correlated) सामग्रियों का अध्ययन करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक शक्तिशाली ढांचा है। इस ढांचे में, परमाणुओं के एक जटिल जाली (lattice) को एक एकल अशुद्धि (impurity) समस्या पर मैप किया जाता है, जिसे पूरे पदार्थ के गुणों को खोजने के लिए बार-बार हल किया जाना चाहिए। बाधा हमेशा 'इम्प्योरिटी सॉल्वर' (impurity solver) रही है, जो वह चरण है जो एकल साइट के लिए इलेक्ट्रॉन व्यवहार की गणना करता है। यदि इस सॉल्वर को वर्तमान में संभव से अधिक बड़ी संख्या में बाथ साइटों (bath sites) के साथ क्वांटम कंप्यूटर पर चलाया जा सकता है, तो यह वैज्ञानिकों को बहुत अधिक सटीकता के साथ सामग्रियों को मॉडल करने की अनुमति देगा। शोधकर्ता सुझाव देते हैं कि उनकी विधि एक नया इम्प्योरिटी सॉल्वर बन सकती है, जो पहले से कहीं अधिक बड़े और अधिक यथार्थवादी सिस्टम के अध्ययन को सक्षम करेगी। हालांकि अध्ययन एक विशिष्ट मॉडल तक सीमित था और इसमें अभी तक सिद्धांत के पूर्ण स्व-संगत लूप को शामिल नहीं किया गया था, परिणाम एक मजबूत 'प्रूफ ऑफ कॉन्सेप्ट' प्रदान करते हैं कि ऐसी गणना संभव है।

अध्ययन ने यह भी देखा कि विभिन्न स्थितियों, जैसे कि इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण की ताकत को बदलने के तहत यह विधि कैसे प्रदर्शन करती है। उन्होंने पाया कि सटीकता के एक विशिष्ट स्तर तक पहुँचने के लिए आवश्यक नमूनों की संख्या एक सीधी रेखा में नहीं थी; यह बहुत उच्च शक्ति पर गिरने से पहले मध्यम अंतःक्रियात्मक शक्ति पर चरम पर पहुँचती है। यह व्यवहार भौतिक रूप से समझ में आता है, क्योंकि मध्यवर्ती क्षेत्र वह है जहाँ सिस्टम सबसे जटिल होता है और इसे वर्णित करने के लिए सबसे अधिक जानकारी की आवश्यकता होती है। इस शिखर के बावजूद, आवश्यक नमों की कुल संख्या कुल संभावित अवस्थाओं का एक छोटा हिस्सा बनी रही, यहाँ तक कि सबसे कठिन मामलों के लिए भी। शोधकर्ताओं ने निष्कर्ष निकाला कि विधि मजबूत है और उनके सिमुलेशन में देखे गए अनुकूल स्केलिंग से पता चलता है कि यह निकट भविष्य में क्वांटम हार्डवेयर के लिए एक व्यावहारिक उपकरण हो सकती है।

अंततः, यह कार्य प्रदर्शित करता है कि हमें जटिल पदार्थ भौतिकी की कुछ सबसे कठिन समस्याओं को हल करने के लिए त्रुटि-मुक्त क्वांटम कंप्यूटरों की प्रतीक्षा करने की आवश्यकता नहीं है। क्वांटम माप की संभावabilistic प्रकृति को अपनाकर और चतुर सैंपलिंग तकनीकों का उपयोग करके, शोधकर्ता जटिल सामग्रियों में इलेक्ट्रॉनों के घूमने के बारे में आवश्यक जानकारी निकाल सकते हैं। यह पद्धति, जिसे पहले असाध्य माना जाता था, उसे एक प्रबंधनीय समस्या में बदल देती है, जो उन्नत सामग्रियों के भविष्य को समझने और डिजाइन करने में मदद करने वाले सिमुलेशन की एक नई पीढ़ी के द्वार खोलती है। निष्कर्ष बताते हैं कि सही एल्गोरिदम के साथ, आज के शोर वाले क्वांटम कंप्यूटर भी दृढ़ता से सहसंबद्ध पदार्थ के गहरे रहस्यों पर प्रकाश डालना शुरू कर सकते हैं।