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Level-Four Modular Symmetry Selected by the Harmonic Pattern of Quark and Lepton Masses

यह शोध पत्र प्रस्तावित करता है कि क्वार्क और लेप्टॉन के द्रव्यमान अनुपात और मिश्रण पैरामीटर एक लेवल-फोर मॉड्यूलर सिमिट्री ( $S_4$ ) द्वारा नियंत्रित होते हैं जो उनके द्रव्यमानों में एक हार्मोनिक पैटर्न से व्युत्पन्न है, जिससे प्रायोगिक डेटा के विरुद्ध सीकेएम (CKM) मैट्रिक्स, न्यूट्रिनो गुणों और यूनिटैरिटी ट्रायंगल की उच्च परिशुद्धता के साथ एक पैरामीटर-मुक्त भविष्यवाणी संभव हो पाती है।

मूल लेखक: Vernon Barger

प्रकाशित 2026-09-10

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Vernon Barger

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

ब्रह्मांड कुछ चुनिंदा मौलिक निर्माण खंडों से बना है, लेकिन ये हिस्से एक सरल, एकसमान समूह में नहीं आते हैं। पदार्थ के कणों के तीन विशिष्ट परिवार, या पीढ़ियाँ (generations) हैं, जिनमें से प्रत्येक पिछली पीढ़ी से भारी है, और इनके विशिष्ट भार के कारणों ने दशकों से भौतिकविदों को उलझा रखा है। जबकि इन कणों के सबसे भारी संस्करण दुर्लभ और क्षणिक होते हैं, हल्के संस्करण हमारे शरीर के परमाणुओं और आकाश के सितारों का निर्माण करते हैं। वैज्ञानिकों ने लंबे समय से इन कणों के द्रव्यमान को अत्यधिक सटीकता के साथ मापा है, फिर भी उन्हें जोड़ने वाला पैटर्न संख्याओं की एक दीवार के पीछे छिपा रहा है। प्रश्न केवल यह नहीं है कि कणों में द्रव्यमान क्यों है, बल्कि यह भी है कि उनका द्रव्यमान विशिष्ट रूप से ही क्यों है, और क्या कोई एकल, सुरुचिपूर्ण नियम पदार्थ के पूरे वंशावली वृक्ष को नियंत्रित करता है।

एक नया अध्ययन प्रस्तावित करता है कि यह छिपा हुआ नियम संगीत की सामंजस्यता (musical harmony) का एक रूप है, जिसे कण भौतिकी की भाषा में अनुवादित किया गया है। विस्कॉन्सिन-मैडिसन विश्वविद्यालय में कार्यरत एक शोधकर्ता ने क्वार्क्स (quarks) और आवेशित लेप्टॉन (charged leptons), जो पदार्थ के दो मुख्य समूह हैं, के द्रव्यमान का परीक्षण किया। विभिन्न पीढ़ियों के द्रव्यमानों के बीच के अनुपात को देखकर, एक स्पष्ट पैटर्न उभर कर आया। सबसे हल्के और मध्यम कणों के बीच, और मध्यम और सबसे भारी के बीच के चरण, एक विशिष्ट दो-से-एक (two-to-one) संबंध का पालन करते हैं। संगीत के संदर्भ में, यह एक नोट और उसके सप्तक (octave) के बीच के संबंध के समान है, जो ध्वनि के स्पेक्ट्रम में दोहराया जाने वाला एक मौलिक अंतराल है। यह पैटर्न यादृच्छिक नहीं है; यह विभिन्न प्रकार के कणों में लगातार दिखाई देता है, लेकिन एक मोड़ के साथ। जब अप-टाइप (up-type) क्वार्क्स की तुलना डाउन-टाइप (down-type) क्वार्क्स से की जाती है, तो द्रव्यमान का क्रम एक दिशा में होता है, लेकिन जब डाउन-टाइप क्वार्क्स की तुलना आवेशित लेप्टॉन से की जाती है, तो क्रम उलट जाता है। यह दर्पण प्रतिबिंब (mirroring) एक गहरे समरूपता (symmetry) का सुझाव देता है, एक घड़ी जैसी संरचना जहाँ कण एक विशिष्ट अनुक्रम में व्यवस्थित होते हैं जो प्रत्येक चार चरणों के बाद दोहराया जाता है।

यह अध्ययन देखे गए इस पैटर्न को लेता है और एक विशिष्ट गणितीय ढांचे का उपयोग करता है जिसे 'मॉड्यूलर सिमेट्री' (modular symmetry) के रूप में जाना जाता है। इस ढांचे में, कणों के गुण एक एकल जटिल संख्या द्वारा निर्धारित होते हैं, एक आकार पैरामीटर (shape parameter) जो एक डायल की तरह कार्य करता है। शोधकर्ता ने पाया कि दो-से-एक हार्मोनिक पैटर्न और दर्पण क्रम केवल तभी सार्थक हैं जब इस डायल को एक विशिष्ट मान पर सेट किया जाए और यदि कणों को नियंत्रित करने वाली समरूपता समूह का आकार एक विशेष स्तर, जिसे 'लेवल फोर' कहा जाता है, के बराबर हो। यह चयन मनमाना नहीं है; डेटा इस विशिष्ट चुनाव को अनिवार्य बनाता है। यदि समरूपता का आकार कुछ भी अन्य होता, तो पैटर्न कायम नहीं रहता। यह कणों की तीन पीढ़ियों को एक ट्रिपलेट (triplet) में व्यवस्थित करने वाली एक परिमित समरूपता समूह (finite group of symmetries) की ओर ले जाता है, जिसमें एक विशेष "दर्पण" कण होता है जो व्यवस्था के चिह्न (sign) को उलट देता है। यह संरचना केवल एक अनुमान नहीं है; यह एकमात्र ऐसी विन्यास (configuration) है जो बिना किसी समायोज्य नॉब या स्वतंत्र पैरामीटर के मापे गए डेटा के साथ फिट बैठती है।

इस समरूपता को निर्धारित करने के बाद, शोधकर्ता ने तीन आवेशित लेप्टॉन—इलेक्ट्रॉन, म्यूऑन और ताऊ—के ज्ञात द्रव्यमानों का उपयोग करके डायल की सटीक सेटिंग निर्धारित की। इस एकल सेटिंग ने, समरूपता नियमों के साथ मिलकर, सभी छह क्वार्क्स के द्रव्यमान की गणना करने की अनुमति दी। उल्लेखनीय रूप से, मॉडल ने अप, डाउन, चार्म, स्ट्रेंज, टॉप और बॉटम क्वार्क्स के द्रव्यमान की उच्च सटीकता के साथ भविष्यवाणी की, जो मापे गए मूल्यों से एक प्रतिशत के अंश के भीतर मेल खाते हैं। मॉडल केवल द्रव्यमान तक ही सीमित नहीं रहा; इसने उन संभावनाओं की भी भविष्यवाणी की जिनसे ये कण एक-दूसरे में परिवर्तित होते हैं, जिसे संख्याओं के एक मैट्रिक्स द्वारा वर्णित किया जाता है जिसे CKM मैट्रिक्स कहा जाता है। इस मैट्रिक्स का प्रत्येक मान, जिसमें वह कोण भी शामिल है जो पदार्थ और प्रति-पदार्थ के बीच समरूपता के उल्लंघन को मापता है, सीधे कण द्रव्यमान और एकल डायल सेटिंग से प्राप्त किया गया था। अनुमानित मान प्रयोगात्मक मापों के साथ इतनी सटीकता से मेल खाते थे कि मॉडल ने संपूर्ण "यूनिटैरिटी ट्रायंगल" (unitarity triangle) को सफलतापूर्वक पुनर्गठित किया, जो कण भौतिकी के मानक मॉडल की निरंतरता का परीक्षण करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक ज्यामितीय आकार है।

समान नियमों को मायावी न्यूट्रिनो (neutrinos) पर भी लागू किया गया, जो वे रहस्यमय कण हैं जो पदार्थ के साथ बहुत कम अंतःक्रिया करते हैं। मॉडल ने भविष्यवाणी की कि ये कण एक 'सामान्य क्रम' (normal ordering) का पालन करेंगे, जहाँ सबसे हल्का पहला है, और उनके द्रव्यमान अत्यंत छोटे हैं, जिनका योग एक विशिष्ट मान है जो वर्तमान ब्रह्मांडीय सीमाओं के भीतर फिट बैठता है। इसने यह भी भविष्यवाणी की कि न्यूट्रिनो पदार्थ और प्रति-पदार्थ के बीच की समरूपता का उसी तरह उल्लंघन नहीं करते हैं जैसे क्वार्क्स करते हैं, जो एक विशिष्ट, संरक्षित चरण (conserved phase) का सुझाव देता है। इसके अलावा, मॉडल ने न्यूट्रिनो मिक्सिंग के कोण के लिए एक सटीक भविष्यवाणी प्रदान की, जो JUNO और DUNE जैसे भविष्य के प्रयोगों द्वारा सीधे जांची जा सकती है। अध्ययन ने समरूपता टूटने (symmetry breaking) के मूल पर भी विचार किया, यह सुझाव देते हुए कि ब्रह्मांड में एक दूसरा, छिपा हुआ ज्यामितीय आकार मौजूद है जो क्वार्क क्षेत्र में पदार्थ-प्रति-पदार्थ असंतुलन को समझाने के लिए आवश्यक चरण (phase) पेश करता है, जबकि न्यूट्रिनो क्षेत्र को अप्रभावित छोड़ देता है।

इस कार्य की शक्ति इसकी मितव्ययिता और इसकी भविष्य कहने की शक्ति में निहित है। यह डेटा में बड़ी संख्या में चरों को फिट करने पर निर्भर नहीं करता है; इसके बजाय, यह द्रव्यमान में पाए गए एक सरल पैटर्न से शुरू होता है और फिर वह पैटर्न पूरे सिद्धांत की संरचना को निर्देशित करने देता है। आवेशित लेप्टॉन से उभरने वाला आधार संख्या, एक तर्कसंगत भिन्न (rational fraction), क्वार्क द्रव्यमान, मिश्रण कोणों और न्यूट्रिनो स्पेक्ट्रम के माध्यम से गुजरता है, जो आठ अलग-अलग स्वतंत्र तरीकों से प्रकट होता है। यह पुनरावृत्ति बताती है कि यह पैटर्न संयोग नहीं है बल्कि प्रकृति की एक मौलिक विशेषता है। मॉडल कई तीक्ष्ण भविष्यवाणियाँ करता है जिन्हें आने वाले वर्षों में परखा जा सकता है, जैसे कि न्यूट्रिनो मिश्रण कोण का सटीक मान और न्यूट्रिनो का कुल द्रव्यमान। यदि भविष्य के प्रयोग इन मूल्यों की पुष्टि करते हैं, तो यह इस विचार को मान्य करेगा कि ब्रह्मांड में पदार्थ की विविधता एक एकल, हार्मोनिक समरूपता द्वारा शासित है, एक क्लॉकवर्क तंत्र जहाँ पीढ़ियों के बीच के चरण एक संगीत पैमाने के अंतराल की तरह सटीक और अपरिहार्य हैं।

तकनीकी सारांश: क्वार्क और लेप्टॉन द्रव्यमानों के हार्मोनिक पैटर्न द्वारा चयनित लेवल-फोर मॉड्यूलर सिमेट्री

समस्या विवरण
यह शोध पत्र स्टैंडर्ड मॉडल में फर्मियन द्रव्यमान और मिश्रण कोणों (mixing angles) की पदानुक्रमित संरचना (hierarchical structure) के मूल का पता लगाता है। जबकि पिछले फेनोमेनोलॉजिकल दृष्टिकोण, जैसे कि फ्रोगैट-निलसन तंत्र (Froggatt-Nielsen mechanism), आवैश्वविक मानों (vacuum expectation values) और ऑर्डर-वन गुणांकों वाले फ्लेवोन क्षेत्रों (flavon fields) का उपयोग करते हैं, वे अक्सर डेटा में देखे गए विशिष्ट पैटर्न के लिए एक भविष्य कहनेवाला मूल (predictive origin) की कमी रखते हैं। विशेष रूप से, यह शोध पत्र क्वार्क और आवेशित-लेप्टॉन द्रव्यमान अनुपातों में देखे गए 'दो-से-एक' (two-to-one) लॉगरिदमिक जनरेशन स्टेप्स और अप-डाउन तथा डाउन-लेप्टॉन क्षेत्रों के बीच मिरर ऑर्डरिंग (mirrored ordering) की जांच करता है। केंद्रीय समस्या यह निर्धारित करना है कि क्या यह पैटर्न एक विशिष्ट डिस्क्रीट सिमेट्री को चुनता है और क्या एक पैरामीटर-मुक्त ढांचा बनाया जा सकता है जो बिना किसी निरंतर मुक्त पैरामीटर (continuous free parameters) के सभी फर्मियन द्रव्यमान और मिश्रणों को पुनरुत्पादित कर सके।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक पारंपरिक फ्लेवोन क्षेत्र के स्थान पर मॉड्यूलर फ्लेवर सिमेट्री के ढांचे के भीतर एक एकल जटिल मोडुलस क्षेत्र, $\tau$ , का उपयोग करता है। कार्यप्रणाली निम्नलिखित चरणों के माध्यम से आगे बढ़ती है:

पैटर्न विश्लेषण और सिमेट्री चयन: लेखक द्रव्यमान मैट्रिक्स के गैर-कारक सामग्री (non-factorizable content) को अलग करने के लिए फर्मियन द्रव्यमानों के दोहरे अनुपातों (plaquettes) का विश्लेषण करता है। वे जनरेशन स्टेप्स की व्याख्या एक $Z_N$ क्लॉक पर चार्ज काउंटिंग के रूप में करते हैं। अंतराल के "दो-से-एक" अनुपात और क्षेत्रों के बीच मिरर ऑर्डरिंग के देखे गए पैटर्न को केवल लेवल चार ( $N=4$ ) और चार के गुणज न होने वाले किसी भी स्तर पर ही साकार किया जा सकता है। यह चयन प्रमेय (selection theorem) परिमित मॉड्यूलर समूह को $\Gamma_4 \simeq S_4$ के रूप में पहचानता है।
मॉड्यूलर फ्रेमवर्क निर्माण: मॉडल अर्ध-पूर्णांक भार (half-integral weights) की अनुमति देने के लिए मॉड्यूलर समूह के मेटाप्लेक्टिक कवर (metaplectic cover) का उपयोग करता है। यूकावा कपलिंग को मोडुलस $\tau$ पर जैकोबी थीटा कांस्टेंट्स ( $\theta_2, \theta_3, \theta_4$ ) के रूप में पहचाना जाता है।
पैरामीटर फिक्सिंग: इस ढांचे में कोई निरंतर मुक्त पैरामीटर नहीं है। पदानुक्रम का आधार, $\epsilon$ , और मोडुलस $\tau$ , $Z$ -स्केल पर आवेशित-लेप्टॉन द्रव्यमान अनुपातों ( $m_\tau/m_\mu$ और $m_\mu/m_e$ ) द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होते हैं। मोडुलस को विशुद्ध रूप से काल्पनिक ( $\tau \approx 1.0685i$ ) पाया गया है, और आधार को एक परिमेय संख्या $\epsilon = 14/75$ के रूप में पहचाना गया है।
पोस्टुलेट्स और इंसर्शन: मॉडल आठ पोस्टुलेट्स (विशिष्ट थीटा कांस्टेंट्स और ऑटोमोर्फी फैक्टर्स का समावेश) का उपयोग करता है ताकि क्वार्क द्रव्यमान और मिश्रण मैट्रिक्स को उत्पन्न किया जा सके। ये इंसर्शन लेवल-फोर नियमों (चार्ज काउंटिंग, वेट ड्रेसिंग, और यूनिट गुणांक) द्वारा बाधित हैं, लेकिन उन्हें डेटा में फिट नहीं किया गया है; बल्कि, उन्हें सिस्टम को पूर्ण करने के लिए आवश्यक संरचनात्मक तत्वों के रूपв रूप में पहचाना गया है।
न्यूट्रिनो सेक्टर विस्तार: वही हार्मोनिक संरचना न्यूट्रिनो पर लागू की जाती है, जिसमें रिएक्टर एंगल को न्यूट्रिनो द्रव्यमान अनुपात से जोड़ने के लिए एक एकल थीटा इंसर्शन का उपयोग किया जाता है, और द्रव्यमान स्पेक्ट्रम को पूरा करने के लिए एक हार्मोनिक स्थिति का उपयोग किया जाता है।

प्रमुख योगदान

लेवल-फोर सिमेट्री का चयन: शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि द्रव्यमान अनुपातों (2:1 स्टेप्स और मिरर ऑर्डरिंग के साथ) का विशिष्ट "हार्मोनिक" पैटर्न गणितीय रूप से एक लेवल-फोर मॉड्यूलर सिमेट्री ( $S_4$ ) को अनिवार्य बनाता है, जिसमें ट्रिपलेट रिप्रेजेंटेशन में जनरेशन और साइन सिंगलेट ( $1'$ ) में मिरर होता है।
फर्मियन सेक्टर का पैरामीटर-मुक्त पुनरुत्पादन: मॉडल तीन आवेशित-लेप्टॉन द्रव्यमानों और इलेक्ट्रोवीक स्केल के बिना किसी भी फिट किए गए निरंतर पैरामीटर के छह क्वार्क द्रव्यमानों को पुनरुत्पादित करता है।
CKM मैट्रिक्स की भविष्यवाणी: पूर्ण कोबब्बर-रोबिनो-माल्डाना (CKM) मैट्रिक्स, जिसमें CP-वाइलेटिंग फेज $\delta$ शामिल है, व्युत्पन्न किया गया है। यह फेज इनपुट के रूप में नहीं, बल्कि यूनिटैरिटी द्वारा आवश्यक परिमाणों के "क्लोजर डिफेक्ट" (closure defect) के रूप में उभरता है।
न्यूट्रिनो भविष्यवाणियाँ: मॉडल एक सामान्य द्रव्यमान क्रम (normal mass ordering) की भविष्यवाणी करता है, आवेशित लेप्टॉन डेटा के आधार पर रिएक्टर एंगल $\theta_{13}$ के लिए एक विशिष्ट मान देता है, एक CP-कंजर्विंग डिरैक फेज ( $\delta_{CP} = \pi$ ), और क्वांटाइज्ड प्रभावी मेजरोना द्रव्यमान प्रदान करता है।
अल्ट्रावॉयलेट कम्पलीशन संदर्भ: इस ढांचे को मैग्नेटाइज्ड टोरोइडल कॉम्पैक्टिफिकेशन का कपलिंग डिक्शनरी माना गया है, जिसमें पाटी-सालाम यूनिफिकेशन को प्राकृतिक गेज एम्बेडिंग के रूप में सुझाया गया है।

परिणाम
शोध पत्र प्रयोगात्मक डेटा के विरुद्ध सटीक संख्यात्मक भविष्यवाणियों की एक श्रृंखला प्रस्तुत करता है:

द्रव्यमान (Masses): छह क्वार्क द्रव्यमानों को $1\sigma$ के भीतर विचलन के साथ पुनरुत्पादित किया गया है (जैसे, $m_t$ 169.85 GeV बनाम 169.92 GeV अनुमानित; $m_b$ 2.863 GeV बनाम 2.857 GeV)।
CKM मैट्रिक्स: मिश्रण कोणों की भविष्यवाणी की गई है: $|V_{us}| = 0.2255$ , $|V_{cb}| = 0.04197$ , और $|V_{ub}| = 0.003721$ । CP फेज $\delta = 1.138$ (मापा गया $1.139 \pm 0.023$ ) है। जार्लको इनवेरिएंट $J = 3.11 \times 10^{-5}$ (मापा गया $(3.09 \pm 0.07) \times 10^{-5}$ ) है।
यूनिटैरिटी ट्रायंगल: इसका शीर्ष $(\bar{\rho}, \bar{\eta}) = (0.161, 0.348)$ पर है, जो त्रुटियों के भीतर UTfit ग्लोबल एनालिसिस से मेल खाता है।
न्यूट्रिनो: मॉडल $\sin^2 \theta_{13} = 0.02203$ (JUNO डेटा के साथ $0.7\sigma$ सुसंगत), $\sin^2 \theta_{23} = 0.4652$ (प्रथम ऑक्टेंट), और न्यूट्रिनो द्रव्यमान योग $\Sigma m_\nu = 0.0589$ eV की भविष्यवाणी करता है। प्रभावी मेजरोना द्रव्यमान 1.3–3.9 meV की सीमा में क्वांटाइज्ड है।
सुसंगतता जाँच (Consistency Checks): आधार $\epsilon = 14/75$ को आठ अलग-अलग संबंधों से स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया गया है जो क्वार्क पदानुक्रम, टॉप यूकावा कपलिंग, CKM मैट्रिक्स और आवेशित लेप्टॉन तक फैले हुए हैं, जो सभी $0.6\sigma$ के भीतर हैं।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि फर्मियन द्रव्यमान पैटर्न संयोग मात्र नहीं हैं, बल्कि लेवल-फोर मॉड्यूलर सिमेट्री का प्रत्यक्ष परिणाम हैं जिसे डेटा द्वारा स्वयं चुना गया है। महत्व "फिटिंग" पैरामीटर्स से "डेराइविंग" संख्याओं की ओर संक्रमण में निहित है:

भविष्यवाणी शक्ति (Predictive Power): मॉडल उन मात्राओं के लिए विशिष्ट, पैरामीटर-मुक्त भविष्यवाणियाँ करता है जो आमतौर पर फ्लेवर मॉडल्स में इनपुट होते हैं, जैसे कि CP फेज और न्यूट्रिनो द्रव्यमान क्रम।
संरचनात्मक मूल: यह "दो-से-एक" पदानुक्रम और जॉर्ज-जार्ग्को संबंधों के लिए एक ज्यामितीय मूल प्रदान करता है, उन्हें $S_4$ समूह संरचना और थीटा फंक्शन्स के गुणों के परिणाम के रूप में व्याख्यायित करता है।
परीक्षण क्षमता (Testability): शोध पत्र एक स्पष्ट परीक्षण कार्यक्रम की रूपरेखा तैयार करता है। प्रमुख परीक्षणों में CP फेज $\gamma$ का सटीक माप शामिल है (जो $65.2^\circ$ की क्लोजर भविष्यवाणी और $67.5^\circ$ के एक क्वांटाइज्ड विकल्प के बीच अंतर करता है), न्यूट्रिनो द्रव्यमान क्रम (जिसे JUNO द्वारा तय किया जाना है), और न्यूट्रिनलेस डबल बीटा डिके (जिसमें 4 meV से नीचे कोई सिग्नल नहीं दिखना चाहिए) है।
विनम्रता (Modesty): लेखक स्वीकार करते हैं कि CKM मैट्रिक्स को क्लोज करने के लिए उपयोग किए गए एक संबंध ( $|V_{td}|^2 = |V_{cb}|^3$ ) को अनुभवजन्य अवलोकनों से अपनाया गया था, हालांकि वे तर्क देते हैं कि यह उनके नियमों के आधे-इकाई (half-unit) इंसर्शन के बराबर है। वे यह भी नोट करते हैं कि अल्ट्रावॉयलेट कम्पलीशन (विशेष रूप से फेज के लिए जिम्मेदार दूसरे टॉरस का आकार) में वर्तमान कार्यान्वयन में एक फिट किया गया पैरामीटर शामिल है, हालांकि एक क्वांटाइज्ड विकल्प प्रस्तावित है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र फर्मियन द्रव्यमान और मिश्रणों का एक एकीकृत, पैरामीटर-मुक्त विवरण प्रस्तुत करता है जहाँ सिमेट्री ग्रुप, मोडुलस और पदानुक्रम आधार, आवेशित-लेप्टॉन क्षेत्र द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होते हैं, और शेष सेक्टर के गुण गणना योग्य परिणामों के रूप में उभरते हैं।

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