Efficient protocol for the Markovian Mpemba effect in $N$-level systems

कल्पना कीजिए कि मेज पर रखी गर्म कॉफी का एक कप धीरे-धीरे ठंडा हो रहा है। सामान्य ज्ञान हमें बताता है कि कॉफी जितनी गर्म शुरू होगी, उसे कमरे के तापमान तक पहुँचने में उतना ही अधिक समय लगना चाहिए। फिर भी, ऊष्मागतिकी (thermodynamics) के एक विचित्र मोड़ के रूप में, जिसे 'मपेम्बा प्रभाव' (Mpemba effect) कहा जाता है, एक प्रणाली जो संतुलन से जितनी दूर से शुरू होती है, वह कभी-कभी अपनी अंतिम, शांत अवस्था में उससे भी तेज़ी से पहुँच सकती है जो इसके करीब से शुरू हुई थी। यह घटना, जिसका नाम एक तंजानियाई छात्र के नाम पर रखा गया है जिसने देखा कि कुछ स्थितियों में ठंडा पानी गर्म पानी की तुलना में तेजी से जम सकता है, ट्रैप्ड आयनों से लेकर घूमते कणों तक सब कुछ में देखी गई है। हालाँकि वैज्ञानिक लंबे समय से जानते हैं कि यह प्रभाव मौजूद है, लेकिन उन विशिष्ट स्थितियों को खोजना जो इसे सक्रिय करती हैं, घास के ढेर में सुई खोजने जैसा रहा है। इन प्रणालियों का वर्णन करने के लिए आवश्यक गणितीय स्थान इतना विशाल है कि बड़े, जटिल कण समूहों के लिए, इस समस्या को 'ब्रूट फोर्स' (brute force) द्वारा हल करना लगभग असंभव हो जाता है। एक स्पष्ट मानचित्र के बिना, प्रयोगों को डिजाइन करना या इस गति-वृद्धि (speed-up) पर आधारित अनुप्रयोगों का निर्माण करना एक महत्वपूर्ण चुनौती बना हुआ है।

इजराइल के टेक्निऑन (Technion) के एक शोधकर्ता ने अब इस जटिलता के माध्यम से एक मार्ग प्रशस्त किया है। सबसे सरल संभव प्रणाली—केवल तीन ऊर्जा स्तरों वाले एक समूह—के व्यवहार का विच्छेदन करके, उन्होंने इस घटना को नियंत्रित करने वाले सटीक नियमों का पता लगाया। उन्होंने पाया कि इसकी कुंजी प्रणाली के आंतरिक संक्रमणों (internal transitions) के एक विशिष्ट, नाजुक विन्यास में निहित है, जिसे वे एक "विलक्षण बिंदु" (singular point) कहते हैं। इस सटीक बिंदु पर, प्रणाली का व्यवहार कई गतियों के मिश्रण के बजाय एक एकल गति द्वारा नियंत्रित होता है, और मपेम्बा प्रभाव यहाँ घटित नहीं हो सकता। हालाँकि, शोधकर्ता ने पाया कि यदि आप प्रणाली के मापदंडों (parameters) को सही दिशा में इस विलक्षण बिंदु से थोड़ा सा विचलित करते हैं, तो यह प्रभाव उभर आता है। इस अंतर्दृष्टि ने उन्हें एक अत्यधिक कुशल एल्गोरिदम बनाने में सक्षम बनाया जो बहुत बड़ी प्रणालियों में इस प्रभाव के लिए सही सेटिंग्स खोजने में सक्षम है, जिससे जटिल सामग्रियों में इस थर्मल शॉर्टकट को इंजीनियर करने की क्षमता अनलॉक हो सकती है।

वे इस निष्कर्ष तक कैसे पहुँचे, इसे समझने के लिए, पहले यह देखना होगा कि ये प्रणालियाँ कैसे ठंडी होती हैं। क्वांटम यांत्रिकी और सांख्यिकीय भौतिकी की दुनिया में, एक प्रणाली को अक्सर विभिन्न ऊर्जा अवस्थाओं में होने की संभावना द्वारा वर्णित किया जाता है। जैसे-जैसे प्रणाली अपने वातावरण, या एक थर्मल बाथ (thermal bath) के साथ परस्पर क्रिया करती है, ये संभावनाएँ तब तक बदलती रहती हैं जब तक कि प्रणाली एक स्थिर, थर्मल अवस्था तक नहीं पहुँच जाती। इस बदलाव की गति इस बात पर निर्भर करती है कि प्रणाली कितनी तेज़ी से इन ऊर्जा स्तरों के बीच कूद सकती है। तीन अलग-अलग ऊर्जा स्तरों वाली प्रणाली के लिए, शोधकर्ता ने कूदने की दर (jump rates) और तापमान के प्रत्येक संभावित संयोजन का मानचित्र तैयार किया। उन्होंने पाया कि यह प्रभाव केवल तभी दिखाई देता है जब प्रणाली की आंतरिक संरचना, ठंडा होने के तरीके और इसके संभावित थर्मल अवस्थाओं के आकार के बीच एक बहुत ही विशिष्ट संरेखण (alignment) की अनुमति देती है।

अध्ययन से पता चला कि सभी तीन-स्तरीय प्रणालियाँ समान नहीं होती हैं। यह प्रभाव इस बात पर बहुत निर्भर करता है कि ऊर्जा स्तरों के बीच की दूरी कितनी है। यदि स्तरों के बीच का अंतर समान है या ऊर्जा बढ़ने के साथ बढ़ता है, तो प्रणाली के पास इस प्रभाव को प्रदर्शित करने के कई तरीके होते हैं। लेकिन यदि ऊर्जा बढ़ने के साथ अंतराल कम होता जाता है, तो स्थितियाँ बहुत सख्त हो जाती हैं, और प्रभाव को प्राप्त करना कठिन हो जाता है। इसके अलावा, शोधकर्ता ने पाया कि जैसे-जैसे आसपास का तापमान गिरता है, प्रभाव के घटित होने की संभावना कम होती जाती है। बहुत कम तापमान पर, केवल एक विशिष्ट भौतिक तंत्र ही व्यवहार्य रहता है, और फिर भी, इसके लिए प्रणाली के ऊर्जा स्तरों की एक बहुत ही विशेष व्यवस्था की आवश्यकता होती है। यही कारण है कि प्रकृति में यह प्रभाव इतना दुर्लभ है; अधिकांश प्रणालियों में ऊर्जा अंतराल और संक्रमण दरों का सही संयोजन नहीं होता जो इसे सक्रिय कर सके।

तीन-स्तरीय मामले में महारत हासिल करने के बाद, शोधकर्ता ने अधिक ऊर्जा स्तरों वाली बड़ी प्रणालियों की ओर अपना ध्यान केंद्रित किया। उन्होंने महसूस किया कि एक बड़े सिस्टम में मापदंडों के हर संभावित संयोजन की जाँच करना गणनात्मक रूप से असंभव है, लेकिन उनके द्वारा पहचाना गया "विलक्षण बिंदु" सभी प्रणालियों में मौजूद होता है। इस बिंदु पर, अवस्थाओं के बीच संक्रमण दरें एक सरल, पूर्वानुमेय पैटर्न का पालन करती हैं जहाँ प्रणाली मपेम्बा प्रभाव प्रदर्शित करने की अपनी क्षमता खो देती है। सफलता तब मिली जब उन्होंने एक बड़ी प्रणालियों के विशाल पैरामीटर स्पेस को खोजने के लिए एक रणनीति प्रस्तावित की, जो इस विलक्षण बिंदु से शुरू होती है और केवल अवस्थाओं के एक जोड़े में एक छोटा, नियंत्रित परिवर्तन करती है।

उन्होंने इस रणनीति का परीक्षण किया, जिसे वे "सिंगल पेयर ऑफ स्टेट्स डेविएशन" (single pair of states deviation) प्रोटोकॉल कहते हैं, बीस ऊर्जा स्तरों वाले एक सिम्युलेटेड सिस्टम पर। पूरे संभावनाओं के ब्रह्मांड की खोज करने के बजाय, उन्होंने अवस्थाओं के एक जोड़े को यादृच्छिक रूप से चुना और उन दरों को थोड़ा सा समायोजित किया जिस पर प्रणाली उनके बीच कूदती है। परिणाम आश्चर्यजनक थे। मामलों के एक महत्वपूर्ण प्रतिशत में, यह छोटा सा समायोजन मपेम्बा प्रभाव को ट्रिगर करने के लिए पर्याप्त था। वास्तव में, शून्य तापमान पर (जहाँ बाथ का इन्वर्स टेम्परेचर शून्य है), इस विधि के साथ प्रभाव खोजने की सफलता दर लगभग नब्बे प्रतिशत थी। शोधकर्ता ने पाया कि चुनी गई अवस्थाओं का विशिष्ट जोड़ा मायने रखता था; निम्नतम ऊर्जा स्तरों वाले जोड़े प्रभाव उत्पन्न करने के लिए विशेष रूप से प्रभावी थे, जबकि उच्चतम स्तरों वाले जोड़े कम विश्वसनीय थे।

अध्ययन ने यह भी स्पष्ट किया कि क्या काम नहीं करता है। पिछले शोध ने सुझाव दिया था कि यदि किसी बड़ी प्रणाली में कोई भी तीन-स्तरीय उप-समूह (sub-group) शामिल है जो कुछ शर्तों को पूरा करने में विफल रहता है, तो पूरी प्रणाली इस प्रभाव को प्रदर्शित नहीं कर सकती। नया कार्य दिखाता है कि यह पूरी तरह से सच नहीं है। एक बड़ी प्रणाली अभी भी मपेम्बा प्रभाव प्रदर्शित कर सकती है भले ही उसके कुछ उप-समूह सख्त मानदंडों को पूरा न करते हों, बशर्ते कि पर्याप्त संख्या में वे इसे पूरा करते हों। हालाँकि, इसका उल्टा भी सच है: यदि कोई प्रणाली अपने उप-समूहों में बुनियादी शर्तों को पूरा करने में विफल रहती है, तो इसकी बहुत कम संभावना है कि वह प्रभाव दिखाएगी। शोधकर्ता ने अपने नए प्रोटोकॉल का उपयोग यह पुष्टि करने के लिए किया कि विलक्षण बिंदु पर ध्यान केंद्रित करके, वे बड़ी प्रणाली के भीतर उन कुछ ट्रिपलेट्स (triplets) की कुशलता से पहचान सकते हैं जो इस प्रभाव के लिए जिम्मेदार हैं, जिससे एक साथ पूरी जटिल प्रणाली का विश्लेषण करने की आवश्यकता से बचा जा सकता है।

यह कार्य प्रयोगकर्ताओं के लिए एक व्यावहारिक रोडमैप प्रदान करता है। यह अनुमान लगाने के बजाय कि कौन सी सामग्रियां या स्थितियां मपेम्बा प्रभाव उत्पन्न कर सकती हैं, शोधकर्ता अब इस एल्गोरिदम का उपयोग यह गणना करने के लिए कर सकते हैं कि सटीक संक्रमण दरें क्या होनी चाहिए। किसी प्रणाली को उसके विलक्षण बिंदु के करीब ट्यून करके और फिर अवस्थाओं के एक विशिष्ट जोड़े में एक छोटे, गणना किए गए समायोजन के माध्यम से, वे विश्वसनीय रूप से इस प्रभाव को प्रेरित कर सकते हैं। यह संभावित अनुप्रयोगों के द्वार खोलता है, जैसे कि क्वांटम कंप्यूटरों के लिए तेज़ कूलिंग प्रोटोकॉल को डिजाइन करना या सेंसर की दक्षता में सुधार करना। इस असामान्य थर्मलाइजेशन (thermalization) को अनुमान लगाने और नियंत्रित करने की क्षमता का अर्थ है कि जो कभी एक जिज्ञासु सांख्यिकीय संयोग था, वह इंजीनियरिंग के लिए एक उपकरण बन सकता है। शोधकर्ता ने ऊष्मागतिकी के एक रहस्य को एक समाधान योग्य पहेली में बदल दिया है, यह दिखाते हुए कि कणों के जटिल नृत्य में भी, एक एकल, सही ढंग से रखी गई चाल पूरे तंत्र की लय को बदल सकती है।