Infinite ergodic theory and functional statistics of non-confined Feller process

चीजों के समय के साथ चलने और बदलने के अध्ययन में, वैज्ञानिक अक्सर 'एर्गोडिसिटी' (ergodicity) नामक एक अवधारणा पर भरोसा करते हैं। कल्पना कीजिए कि आप पानी के एक गिलास में रंग की एक बूंद को फैलते हुए देख रहे हैं। यदि आप पर्याप्त समय तक प्रतीक्षा करते हैं, तो वह एकल बूंद अंततः गिलास के हर हिस्से में पहुँच जाएगी, और उस एक बूंद का औसत व्यवहार एक साथ छोड़ी गई दस लाख बूंदों के औसत व्यवहार से पूरी तरह मेल खा जाएगा। यह कई भौतिक प्रणालियों के लिए एक मानक नियम है: समय और स्थान एक-दूसरे के पूरक हैं, और एक ही चीज़ को लंबे समय तक देखने से आपको पूरे के बारे में सब कुछ पता चल जाता है। हालाँकि, प्रकृति में अपवाद भी हैं। कुछ जटिल वातावरणों में, विशेष रूप से जहाँ गति वस्तु की अपनी स्थिति से प्रभावित होती है, यह नियम टूट जाता है। इन दुर्लभ मामलों में, एक प्रणाली अनंत की ओर बढ़ सकती है, कभी भी एक स्थिर पैटर्न में नहीं ठहरती, और एक एकल पथ का औसत व्यवहार एक यादृच्छिक, अप्रत्याशित चीज़ बन जाता है जो एक प्रयोग से दूसरे प्रयोग में बदलता रहता है।

यह 'इनफिनिट एर्गोडिक थ्योरी' (infinite ergodic theory) का क्षेत्र है, जो उन प्रणालियों को समझने के लिए समर्पित है जो स्थिर होने से इनकार करती हैं। इस व्यवहार का एक प्रमुख मॉडल 'फेलर प्रोसेस' (Feller process) है, जो एक विशिष्ट प्रकार के यादृच्छिक धक्के और खिंचाव के साथ चलते हुए कण का गणितीय विवरण है। जब यह प्रक्रिया सीमित होती है, तो यह एक bounded क्षेत्र के भीतर रहती है और अनुमानित व्यवहार करती है। लेकिन जब यह असीमित होती है, तो कण अनंत की ओर बहता रहता है, और किसी विशिष्ट स्थान पर इसके पाए जाने की संभावना कभी भी एक पूर्ण संख्या (whole number) के बराबर नहीं होती। दशकों से, वैज्ञानिक इन यात्राओं के समय को समझते आए हैं, लेकिन कण वास्तव में कहाँ समय बिताता है, इसकी स्थानिक संरचना (spatial structure) एक रहस्य बनी रही। कण का इतिहास विभिन्न स्थानों पर कैसा दिखता है? क्या एक स्थान पर बिताया गया समय दूसरे स्थान पर बिताए गए समय के साथ सहसंबंध (correlate) रखता है?

हाल ही के एक अध्ययन में, बार्सिलोना के यूनिवर्सिटैट ऑटोनोमा के भौतिक विज्ञानी विसेन्स मेंडेज़ (Vicenç Mendez) ने इस छिपे हुए स्थानिक परिदृश्य का मानचित्र तैयार किया है। असीमित फेलर प्रोसेस का विश्लेषण करके, मेंडेज़ ने पाया कि कण का इतिहास स्वतंत्र घटनाओं का एक अराजक मिश्रण नहीं है। इसके बजाय, कण किसी स्थान पर जो समय बिताता है, वह एक सरल, सुंदर संरचना द्वारा नियंत्रित होता है। शोध से पता चलता है कि एक कण किसी विशिष्ट बिंदु पर कितना समय बिताता है, यह दो अलग-अलग कारकों का गुणनफल है: एक निश्चित आकार जो स्वयं स्थान द्वारा निर्धारित होता है, और एक एकल, यादृच्छिक घड़ी जो पूरी प्रणाली के लिए एक साथ चलती है। इसका अर्थ यह है कि यदि आप अपने शुरुआती बिंदु से दो अलग-अलग दूरियों पर कण को देखते हैं, तो वहां रुकने के समय में होने वाले उतार-चढ़ाव स्वतंत्र नहीं होंगे। वे एक ही वैश्विक यादृच्छिक आयाम (global random amplitude) द्वारा संचालित होकर, पूर्ण सामंजस्य में ऊपर और नीचे जाएंगे।

इस निष्कर्ष तक पहुँचने के लिए, मेंडेज़ ने दो अलग-अलग बिंदुओं पर बिताए गए समय के बीच सांख्यिकीय सहसंबंधों (statistical correlations) की गणना की। अधिकांश भौतिक प्रणालियों में, दो बिंदुओं के बीच का संबंध उनके बीच की दूरी बढ़ने के साथ कमजोर हो जाता है। यदि आप एक स्थान पर कण को देखते हैं और फिर बहुत दूर दूसरे स्थान पर, तो उनका व्यवहार आमतौर पर असंबंधित होता है। मेंडेज़ ने पाया कि इस विशिष्ट प्रकार की असीमित गति के लिए इसके विपरीत सत्य है। जैसे-जैसे समय बीतता है, किन्हीं भी दो स्थानों पर बिताए गए समय के बीच का सहसंबंध एक स्थिर, सार्वभौमिक संख्या बन जाता है। यह संख्या इस पर निर्भर नहीं करती कि स्थान एक-दूसरे से कितनी दूर हैं, और न ही यह इस पर निर्भर करती है कि किन विशिष्ट बिंदुओं को चुना गया है। चाहे दो अवलोकन बिंदु पास हों या बहुत दूर, उनका सामान्यीकृत संबंध बिल्कुल वैसा ही रहता है। यह पूरे स्थान में एक कठोर, वैश्विक सामंजस्य (global coherence) को प्रकट करता है, जहाँ पूरी प्रणाली स्वतंत्र भागों के बजाय एक समन्वित इकाई के रूप में कार्य करती है।

यह अध्ययन यह भी स्पष्ट करता है कि कण द्वारा विभिन्न क्षेत्रों में बिताए गए कुल समय के साथ क्या होता है। मूल बिंदु के पास छोटे, सीमित क्षेत्रों के लिए, वहां बिताया गया समय धीरे-धीरे बढ़ता है और एक विशिष्ट सांख्यिकीय पैटर्न का पालन करता है जिसे 'मिटैग-लेफ़लर वितरण' (Mittag-Leffler distribution) कहा जाता है। यह वितरण एक प्रकार की यादृच्छिकता का वर्णन करता है जहाँ औसत व्यवहार परिणाम की भविष्यवाणी करने के लिए पर्याप्त नहीं होता; एक प्रयोग का परिणाम दूसरे से काफी भिन्न होगा, भले ही वे समान परिस्थितियों में चलाए गए हों। यह पुष्टि करता है कि प्रणाली "कमजोर एर्गोडिसिटी ब्रेकिंग" (weak ergodicity breaking) प्रदर्शित करती है, जहाँ औसत के मानक नियम विफल हो जाते हैं। हालाँकि, शोध एक स्पष्ट रेखा भी खींचता है। जब वैज्ञानिकों ने उन अवलोकनीय (observables) मात्राओं को देखा जो बहुत बड़ी होती हैं—विशेष रूप से, वे फलन (functions) जो कण की स्थिति की घात (power) पर निर्भर करते हैं—तो नियम फिर से बदल गए। ये गैर-समाकलनीय (non-integrable) मात्राएँ उसी समन्वित, मिटैग-लेफ़लर पैटर्न का पालन नहीं करती हैं। इसके बजाय, वे एक अलग प्रकार के स्व-समान स्केलिंग (self-similar scaling) को प्रदर्शित करती हैं, जो मूल से बहुत दूर के चरम विचलन (extreme excursions) द्वारा संचालित होती है। यह अंतर सिद्ध करता है कि समन्वित वैश्विक व्यवहार स्थान को घेरने की एक विशिष्ट विशेषता है, न कि इस प्रणाली में सभी प्रकार के मापों के लिए एक सार्वभौमिक नियम।

इस कार्य के निहितार्थ केवल फेलर प्रोसेस के विशिष्ट गणित तक ही सीमित नहीं हैं। यह इस बात को समझने के लिए एक एकीकृत ढांचा प्रदान करता है कि मल्टीप्लिकेटिव नॉइज़ (multiplicative noise)—जहाँ यादृच्छिकता सिस्टम की अवस्था पर निर्भर करती है—के साथ सिस्टम असीमित होने पर कैसा व्यवहार करते हैं। यह निष्कर्ष कि एक एकल यादृच्छिक आयाम पूरे स्थानिक क्षेत्र को सिंक्रोनाइज़ कर सकता है, यह सुझाव देता है कि इन अनंत प्रणालियों में, प्रक्रिया की "घड़ी" एक वैश्विक गुण है। यह अलग-अलग दरों पर टिक-टिक करने वाले स्थानीय टाइमर का संग्रह नहीं है, बल्कि एक एकल, उतार-चढ़ाव वाली लय है जो हर जगह एक साथ घनत्व (occupation density) को निर्धारित करती है। यह अंतर्दृष्टि अनंत एर्गोडिक प्रणालियों की स्थानिक संरचना के बारे में लंबे समय से चले आ रहे प्रश्नों को हल करने में मदद करती है, यह दिखाते हुए कि भले ही एक प्रणाली कभी स्थिर न हो, फिर भी इसके द्वारा अनंत डोमेन की खोज करने के तरीके में एक गहरा और कठोर क्रम होता है। यह कार्य प्रदर्शित करता है कि भले ही कण हमेशा के लिए भटकता रहे, लेकिन उसका पथ स्वतंत्र कदमों का एक यादृच्छिक बिखराव नहीं है, बल्कि पूरे परिदृश्य में एक सुसंगत, समन्वित यात्रा है।