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Perfect $(s,r)$ -state transfer

यह शोध पत्र क्वांटम स्पिन नेटवर्क में पूर्ण (s,r)-स्टेट ट्रांसफर की अवधारणा प्रस्तुत करता है, जो उन ग्राफ्स के अनंत परिवारों को अभिलक्षित करता है जहाँ उलझे हुए (entangled) क्यूबिट युग्मों को संभावित रूप से परिवर्तित एंटैंगलमेंट स्तरों के साथ स्थानांतरित किया जा सकता है, और साथ ही ट्रांसफर फिडेलिटी को अधिकतम करने के लिए एल्गोरिदम प्रदान करता है तथा टाइमिंग त्रुटियों के प्रति संवेदनशीलता का विश्लेषण भी करता है।

मूल लेखक: Stephen Kirkland, Hermie Monterde, Sarah Plosker

प्रकाशित 2026-09-11

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Stephen Kirkland, Hermie Monterde, Sarah Plosker

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क्वांटम कंप्यूटिंग की सूक्ष्म दुनिया में, सूचना साधारण स्विचों में संग्रहीत नहीं होती है जो या तो चालू या बंद होते हैं, बल्कि पदार्थ की उन नाजुक अवस्थाओं में होती है जो एक साथ कई विन्यासों में मौजूद हो सकती हैं। इस सूचना को एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाने के लिए, वैज्ञानिक चुंबकों या 'स्पिन्स' के एक नेटवर्क की कल्पना करते हैं, जो एक धागे पर पिरोए गए मोतियों की तरह जुड़े होते हैं। जब इनमें से एक स्पिन उत्तेजित होता है, तो वह एक ही जगह नहीं रहता; वह नेटवर्क में लहरों की तरह फैलता है, जिसे 'क्वांटम वॉक' कहा जाता है। वर्षों से, शोधकर्ता एक विशिष्ट लक्ष्य पर ध्यान केंद्रित कर रहे हैं: सूचना के एक एकल टुकड़े को एक मोती से दूसरे तक पूरी तरह से पहुँचाना, ताकि वह अपने मूल स्वरूप में बिना किसी बदलाव के पहुँचे। इसे 'परफेक्ट स्टेट ट्रांसफर' (पूर्ण अवस्था स्थानांतरण) कहा जाता है, और यह विश्वसनीय क्वांटम कंप्यूटर बनाने के लिए एक अत्यंत महत्वपूर्ण लक्ष्य है। हालाँकि, वास्तविक दुनिया के क्वांटम सिस्टम शायद ही कभी इतने सरल होते हैं। अक्सर, भेजी जाने वाली सूचना केवल एक अकेला मोती नहीं होती, बल्कि मोतियों का एक जोड़ा होता है जो 'एंटैंगल्ड' (उलझा हुआ) होता है, जिसका अर्थ है कि उनकी नियति एक-दूसरे से जुड़ी होती है, चाहे वे एक-दूसरे से कितनी भी दूर क्यों न हों। इन जोड़ों को हिलाना कहीं अधिक जटिल है, और हाल तक, उनके यात्रा करने के नियमों को ठीक से समझा नहीं गया था।

गणितज्ञों की एक टीम ने अब इस मानचित्र का विस्तार किया है कि ये एंटैंगल्ड जोड़े कैसे चलते हैं, जिससे यह पता चला है कि वे उन तरीकों से यात्रा कर सकते हैं जिन्हें पहले असंभव माना जाता था। उन्होंने खोजा कि न केवल कणों के एक जोड़े को एक स्थान से दूसरे स्थान तक ले जाना संभव है, बल्कि यात्रा के दौरान उनके जुड़ाव का मूल स्वरूप भी बदल सकता है। अपने अध्ययन में, उन्होंने दिखाया कि एक निश्चित स्तर के एंटैंगमेंट के साथ शुरू होने वाला कणों का जोड़ा अपने गंतव्य पर अलग स्तर के एंटैंगमेंट के साथ पहुँच सकता है। यह पिछले विचारों से एक महत्वपूर्ण विचलन है, जो यह मानते थे कि कणों के बीच के संबंध की मजबूती को बिल्कुल समान रहना चाहिए। शोधकर्ताओं ने पाया कि विशिष्ट परिस्थितियों में, सिस्टम वास्तव में एंटैंगमेंट को बढ़ा सकता है, जिससे आगमन पर कणों के बीच का लिंक शुरुआत की तुलना में अधिक मजबूत हो जाता है। यह सुझाव देता है कि न केवल क्वांटम डेटा को स्थानांतरित किया जा सकता है, बल्कि यात्रा के दौरान इसे बेहतर भी बनाया जा सकता है, जो एक ऐसी विशेषता है जो भविष्य के क्वांटम नेटवर्क के लिए महत्वपूर्ण हो सकती है।

शोधकर्ताओं ने इस समस्या को स्पिन्स के नेटवर्क को एक 'ग्राफ' (एक गणितीय आकृति जो बिंदुओं और रेखाओं से बनी होती है) के रूप में मानकर हल किया। उन्होंने कणों की गति को नियमों के एक सेट का उपयोग करके मॉडल किया जो समय के साथ सिस्टम के विकास का वर्णन करते हैं। केवल एक बिंदु के एक स्थान से दूसरे स्थान तक जाने को देखने के बजाय, उन्होंने परीक्षण किया कि क्या होता है जब शुरुआती बिंदु दो बिंदुओं का एक संयोजन होता है, और गंतव्य भी दो बिंदुओं का एक संयोजन होता है। उन्होंने पाया कि कई अलग-अलग प्रकार के नेटवर्कों में पूर्ण स्थानांतरण संभव है, जिसमें 'कम्प्लीट ग्राफ' (जहाँ प्रत्येक बिंदु प्रत्येक अन्य बिंदु से जुड़ा होता है) और 'स्टार-शेप्ड नेटवर्क' (जहाँ एक केंद्रीय बिंदु कई बाहरी बिंदुओं को जोड़ता है) शामिल हैं। इन परिदृश्यों में, उन्होंने समय के विशिष्ट क्षणों की पहचान की जब स्थानांतरण पूर्ण शुद्धता (फिडेलिटी) के साथ होता है, जिसका अर्थ है कि सूचना बिना किसी हानि के पहुँचती है।

सबसे आश्चर्यजनक निष्कर्षों में से एक यह है कि एंटैंगमेंट की डिग्री को संरक्षित करना आवश्यक नहीं है। शोधकर्ताओं ने प्रदर्शित किया कि यदि कणों का एक जोड़ा कमजोर जुड़ाव के साथ शुरू होता है, तो वह एक मजबूत जुड़ाव के साथ पहुँच सकता है, प्रभावी रूप से यात्रा द्वारा "बढ़ा हुआ" (बूस्टेड) हो सकता है। इसके विपरीत, एक मजबूत जुड़ाव कमजोर जुड़ाव के रूप में पहुँच सकता है। यह लचीलापन क्वांटम सिस्टम को डिजाइन करने के नए अवसर खोलता है। उदाहरण के लिए, यदि सिस्टम को एंटैंगमेंट बढ़ाने के लिए सेट किया जाता है, तो इसका उपयोग क्वांटम कंप्यूटर के दूरस्थ हिस्सों के बीच मजबूत लिंक बनाने के लिए किया जा सकता है। टीम ने यह भी दिखाया कि इस 'बूस्टिंग प्रभाव' को समय में पीछे जाकर उलट दिया जा सकता है, जो कि क्वांटम जगत में एक भौतिक रूप से वैध अवधारणा है। इसका अर्थ है कि यदि स्थानांतरण के परिणामस्वरूप कमजोर जुड़ाव होता है, तो सैद्धांतिक रूप से एक मजबूत जुड़ाव प्राप्त करने के लिए घड़ी को पीछे घुमाया जा सकता है, या इसके विपरीत।

अध्ययन में इस बात पर भी चर्चा की गई कि जब पूर्ण स्थानांतरण संभव नहीं होता है तो क्या होता है। कई वास्तविक स्थितियों में, नेटवर्क पूरी तरह से आकार में नहीं होगा कि निर्दोष गति की अनुमति दे सके। शोधकर्ताओं ने एक विधि विकसित की जिससे अपूर्ण मामलों में सर्वोत्तम परिणाम प्राप्त किया जा सके। उन्होंने एक एल्गोरिदम बनाया जो एक नेटवर्क को स्कैन कर सकता है और गंतव्य के सर्वोत्तम जोड़ी बिंदुओं की पहचान कर सकता है, जिससे सूचना के यथासंभव पूर्ण रूप से पहुँचने की संभावना अधिकतम हो सके। यह उन इंजीनियरों के लिए एक व्यावहारिक उपकरण है जो अपूर्ण हार्डवेयर के साथ काम कर रहे होंगे, यह सुनिश्चित करते हुए कि भले ही आदर्श पथ मौजूद न हो, फिर भी सिस्टम उच्च दक्षता के साथ कार्य कर सके।

इसके अलावा, टीम ने यह भी देखा कि ये पूर्ण स्थानांतरण छोटे त्रुटियों के प्रति कितने संवेदनशील हैं। एक वास्तविक प्रयोग में, स्थानांतरण कब पूरा होता है, इसका सटीक क्षण मापना कठिन होता है। यदि माप एक सेकंड के बहुत छोटे हिस्से के लिए भी जल्दी या देर से लिया जाता है, तो स्थानांतरण की गुणवत्ता गिर जाती है। शोधकर्ताओं ने विभिन्न प्रकार के नेटवर्कों के लिए गणना की कि यह गुणवत्ता कितनी तेजी से गिरती है। उन्होंने पाया कि कुछ नेटवर्क दूसरों की तुलना में बहुत अधिक सहिष्णु (फॉरगिविंग) होते हैं। उदाहरण के लिए, एक विशिष्ट प्रकार के सघन (डेंस) नेटवर्क में, जो उन्होंने अध्ययन किया, स्थानांतरण मानक नेटवर्क की तुलना में समय संबंधी त्रुटियों के प्रति लगभग पांच गुना कम संवेदनशील था। यह सुझाव देता है कि सही नेटवर्क संरचना चुनकर, वैज्ञानिक ऐसे क्वांटम सिस्टम बना सकते हैं जो प्रयोगशाला में होने वाली अपरिहार्य छोटी गलतियों के प्रति अधिक मजबूत हों।

इस कार्य में उन गणितीय शर्तों की भी खोज की गई जो इन स्थानांतरणों के होने के लिए आवश्यक हैं। उन्होंने पाया कि जबकि कुछ नेटवर्क सरल संख्याओं के साथ पूर्ण स्थानांतरण की अनुमति देते हैं, अन्य को कणों की अवस्था का वर्णन करने के लिए जटिल संख्याओं (कॉम्प्लेक्स नंबर्स) की आवश्यकता होती है। यह अंतर महत्वपूर्ण है क्योंकि यह निर्धारित करता है कि एंटैंगमेंट कैसे बदलता है। उन मामलों में जहाँ संख्याएँ सरल हैं, एंटैंगमेंट आमतौर पर समान रहता है। लेकिन जब जटिल संख्याओं का उपयोग किया जाता है, तो एंटैंगमेंट बदल सकता है, जिससे जुड़ाव की मजबूती को बढ़ाना या कम करना संभव हो जाता है। शोधकर्ताओं ने ऐसे ग्राफों के विशिष्ट उदाहरण दिए जहाँ ऐसा होता है, यह दिखाते हुए कि यह केवल एक सैद्धांतिक संभावना नहीं है बल्कि एक ऐसी विशेषता है जिसे सिस्टम में इंजीनियर किया जा सकता है।

अंततः, यह शोध इस समझ को व्यापक बनाता है कि क्वांटम सूचना कैसे चलती है। यह केवल एक कण के A से B तक जाने के सरल विचार से आगे बढ़कर एंटैंगल्ड जोड़ों की जटिलता को अपनाता है। यह दिखाकर कि यात्रा के दौरान एंटैंगमेंट की ताकत को बदला जा सकता है, यह अध्ययन क्वांटम इंजीनियरों के लिए एक नया उपकरण प्रदान करता है। यह सुझाव देता है कि यात्रा का उपयोग भेजी जा रही सूचना की गुणवत्ता में सुधार करने के लिए किया जा सकता है। हालांकि यह शोध पत्र गणितीय मॉडलों और सैद्धांतिक प्रमाणों पर केंद्रित है, इसके निहितार्थ स्पष्ट हैं: क्वांटम संचार का भविष्य न केवल डेटा को स्थानांतरित करने पर, बल्कि उन कनेक्शनों के स्वरूप को आकार देने पर निर्भर हो सकता है जो उसे ले जाते हैं। एंटैंगमेंट को बढ़ाने या सिस्टम को समय संबंधी त्रुटियों के प्रति अधिक प्रतिरोधी बनाने की क्षमता अगली पीढ़ी की तकनीक के लिए आवश्यक बड़े पैमाने के क्वांटम नेटवर्क बनाने की कुंजी हो सकती है।

तकनीकी सारांश: परफेक्ट (s, r)-स्टेट ट्रांसफर

समस्या विवरण
यह शोध पत्र अनडायरेक्टेड ग्राफ्स द्वारा मॉडल किए गए स्पिन नेटवर्क में क्वांटम स्टेट ट्रांसफर (QST) की समस्या को संबोधित करता है। जबकि पूर्व के महत्वपूर्ण कार्यों ने सिंगल वर्टेक्स स्टेट्स ( $e_a \to e_b$ ) के बीच परफेक्ट वर्टेक्स स्टेट ट्रांसफर (PST) और रियल $s$ के लिए लीनियर कॉम्बिनेशन ( $e_a + s e_b \to e_\alpha + s e_\beta$ ) के बीच परफेक्ट s-पेयर स्टेट ट्रांसफर पर ध्यान केंद्रित किया था, यह कार्य परफेक्ट (s, r)-स्टेट ट्रांसफर के दायरे को व्यापक बनाता है। यह सामान्यीकरण एक इनपुट स्टेट $u = e_a + s e_b$ से आउटपुट स्टेट $\mu = e_\alpha + r e_\beta$ तक ट्रांसफर पर विचार करता है, जहाँ $s, r \in \mathbb{C}$ संभावित रूप से भिन्न जटिल संख्याएँ (complex numbers) हैं।

यहाँ पेश किया गया एक महत्वपूर्ण भौतिक अंतर एंटैंगलमेंट (entanglement) का व्यवहार है। पैरामीटर $s$ (और $r$ ) वर्टिसेस $a$ और $b$ पर क्वबिट्स के बीच एंटैंगलमेंट की डिग्री के माप के रूप में कार्य करता है। यह शोध जांच करता है कि क्या परफेक्ट स्टेट ट्रांसफर एंटैंगलमेंट की इस डिग्री को संरक्षित करता है (अर्थात $|s| = |r|$ ) या इसे बदल देता है ( $|s| \neq |r|$ )। दूसरा मामला "एंटैंगलमेंट बूस्टिंग" (entanglement boosting) की अनुमति देता है, जहाँ ट्रांसफर प्रक्रिया लक्षित क्वबिट्स के बीच एंटैंगलमेंट की डिग्री को बढ़ा देती है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक ट्रांजिशन ऑपरेटर $U(t) = \exp(itH)$ द्वारा परिभाषित निरंतर-समय क्वांटम वॉक्स (continuous-time quantum walks) के ढांचे का उपयोग करते हैं, जहाँ $H$ एक हर्मिटियन हैमिल्टोनियन (विशेष रूप से एडजेसेंसी मैट्रिक्स $A$ या लैप्लासियन मैट्रिक्स $L$ ) है। विश्लेषण स्पेक्ट्रल डीकंपोजिशन और स्ट्रॉन्ग कोसपेक्रलिटी (strong cospectrality) की अवधारणा पर आधारित है।

मुख्य कार्यप्रणाली के चरण शामिल हैं:

स्पेक्ट्रल कैरेक्टराइजेशन: आइगेनवैल्यू सपोर्ट और फेज फैक्टर्स का उपयोग करके जटिल वेक्टर्स के बीच PST के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ स्थापित करना।
ग्राफ क्लास विश्लेषण: विशिष्ट ग्राफ परिवारों में परफेक्ट (s, r)-स्टेट ट्रांसफर के लिए व्यवस्थित रूप से स्थितियाँ प्राप्त करना:
- पूर्ण ग्राफ ( $K_n$ )।
- $A$ और $L$ दोनों के तहत पूर्ण द्विपक्षीय ग्राफ ( $K_{a,b}$ )।
- स्टार ग्राफ ( $K_{1,n}$ ) और उनके सामान्यीकरण (रेगुलर इंटीग्रल ग्राफ्स पर कोन्स)।
फ्रैक्शनल रिवाइवल कंस्ट्रक्शन: फ्रैक्शनल रिवाइवल (जहाँ $U(\tau)$ वर्टिसेस के एक उपसमुच्चय पर एक यूनिटरी ब्लॉक के रूप में कार्य करता है) और कार्टेशियन उत्पाद ( $X \square Y$ ) के ज्ञात परिणामों का लाभ उठाकर (s, r)-स्टेट ट्रांसफर के नए उदाहरण उत्पन्न करना।
ऑप्टिमाइज़ेशन: उन मामलों में जहाँ परफेक्ट ट्रांसफर असंभव है, लेखक एक एल्गोरिदम तैयार करते हैं जो एक निश्चित समय $t$ के लिए दो नॉन-जीरो एंट्रीज वाले लक्षित वेक्टर को खोजने के लिए फिडेलिटी (fidelity) को अधिकतम करता है।
सेंसिटिविटी एनालिसिस: रीडआउट टाइम एरर के प्रति फिडेलिटी फंक्शन की दूसरी डेरिवेटिव (second derivative) की गणना करना ताकि (s, r)-स्टेट्स के लिए ट्रांसफर की मजबूती (robustness) का आकलन किया जा सके।

प्रमुख योगदान और परिणाम

जटिल गुणांकों (Complex Coefficients) के लिए सामान्यीकरण: यह शोध पत्र परफेक्ट (s, r)-स्टेट ट्रांसफर को परिभाषित और कैरेक्टराइज करता है जहाँ $s, r \in \mathbb{C}$ हैं। यह उन मामलों के बीच अंतर करता है जहाँ एंटैंगलमेंट संरक्षित रहता है ( $|s|=|r|$ , जिसे $\ast$ से चिह्नित किया गया है) और जहाँ यह नहीं रहता है ( $|s| \neq |r|$ , जिसे $\dagger$ से चिह्नित किया गया है)।
ग्राफ के अनंत परिवार:
- पूर्ण ग्राफ ( $K_n$ ): दिखाया गया है कि PST केवल $n \in \{2, 3, 4\}$ के लिए होता है। $n \geq 5$ के लिए, परफेक्ट (s, r)-स्टेट ट्रांसफर नहीं होता है, जो ऑप्टिमाइज़ेशन तकनीकों की आवश्यकता को प्रेरित करता है।
- पूर्ण द्विपक्षीय ग्राफ ( $K_{a,b}$ ): लेखक $A$ और $L$ दोनों के सापेक्ष PST के लिए विस्तृत कैरेक्टराइजेशन प्रदान करते हैं। इन परिणामों में विभिन्न वर्टेक्स पार्टिशन्स के लिए $s$ , $r$ , और समय $\tau$ पर विशिष्ट स्थितियाँ शामिल हैं। विशेष रूप से, वे ऐसे परिदृश्य पहचानते हैं जहाँ एंटैंगलमेंट संरक्षित नहीं रहता है।
- स्टार ग्राफ और कोन्स: ऐसे उदाहरण निर्मित किए गए हैं जहाँ रीडआउट समय को चुनकर एंटैंगलमेंट की डिग्री को पूर्व-निर्धारित किया जा सकता है, या इसके विपरीत।
एंटैंगलमेंट बूस्टिंग: यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि परफेक्ट (s, r)-स्टेट ट्रांसफर एक एंटैंगल्ड स्टेट को उच्च स्तर के एंटैंगलमेंट वाले दूसरे स्टेट में मैप कर सकता है। श्रोडिंगर समीकरण की टाइम-रिवर्शल सिमेट्री (time-reversal symmetry) का उपयोग करके (नेगेटिव टाइम या कॉम्प्लेक्स कंजुगेशन की अनुमति देते हुए), सिस्टम को एंटैंगलमेंट बढ़ाने ( $m(s) < m(r)$ ) के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है।
ऑप्टिमाइज़ेशन एल्गोरिदम: जहाँ PST प्राप्त करना संभव नहीं है, वहाँ एल्गोरिदम 1 प्रदान किया गया है। एक दिए गए इनिशियल $s$ -पेयर स्टेट और समय $t$ के लिए, यह एल्गोरिदम उस वेक्टर की पहचान करता है जो ट्रांसफर की फिडेलिटी को अधिकतम करता है। यह "पीक स्टेट ट्रांसफर" से भिन्न है क्योंकि यह समय को स्थिर रखता है और लक्षित अवस्था को ऑप्टिमाइज़ करता है।
सेंसिटिविटी एनालिसिस: लेखक ट्रांसफर समय पर फिडेलिटी फंक्शन की दूसरी डेरिवेटिव के लिए सूत्र व्युत्पन्न करते हैं। वे दिखाते हैं कि इस डेरिवेटिव की गणना हैमिल्टोनियन और उसके वर्ग के $2 \times 2$ $2 \times 2$ प्रिंसिपल सब-मैट्रिक्स का उपयोग करके की जा सकती है।
- परिणाम: विशिष्ट निर्माणों (जैसे, कॉकटेल पार्टी ग्राफ्स पर कोन्स) में, (s, r)-स्टेट ट्रांसफर की संवेदनशीलता बेस ग्राफ पर मानक वर्टेक्स स्टेट ट्रांसफर की तुलना में काफी कम (लगभग 5 के कारक से) हो सकती है, जो टाइमिंग एरर के प्रति अधिक मजबूती का संकेत देती है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह वर्टेक्स स्टेट्स और रियल-कोएफिशिएंट पेयर्स से लेकर अधिक सामान्य कॉम्प्लेक्स-कोएफिशिएंट सेटिंग तक क्वांटम स्टेट ट्रांसफर के सैद्धांतिक क्षितिज का विस्तार करता है। इसका प्राथमिक महत्व है:

सैद्धांतिक विस्तार: (s, r)-स्टेट ट्रांसफर के लिए एक कठोर ढांचा प्रदान करना, जिसमें मौलिक ग्राफ श्रेणियों के लिए लक्षण वर्णन शामिल है।
एंटैंगलमेंट डायनेमिक्स: यह उजागर करना कि परफेक्ट स्टेट ट्रांसफर अनिवार्य रूप से एंटैंगलमेंट की डिग्री को संरक्षित नहीं करता है, जो "एंटैंगलमेंट बूस्टिंग" के लिए एक तंत्र प्रदान करता है जो क्वांटम रिसोर्स मैनेजमेंट के लिए भौतिक रूप से प्रासंगिक है।
व्यावहारिक मजबूती: सेंसिटिविटी एनालिसिस के माध्यम से यह प्रदर्शित करना कि कुछ (s, r)-स्टेट ट्रांसफर प्रोटोकॉल पारंपरिक वर्टेक्स स्टेट ट्रांसफर प्रोटोकॉल की तुलना में रीडआउट टाइम एरर के प्रति कम संवेदनशील हो सकते हैं।
ऑप्टिमाइज़ेशन: परफेक्ट ट्रांसफर की अनुपस्थिति में फिडेलिटी को अधिकतम करने के लिए एक ठोस विधि प्रदान करना, जो इस वास्तविकता को संबोधित करता है कि प्रायोगिक सेटिंग्स में पूर्ण फिडेलिटी प्राप्त करना अक्सर असंभव होता है।

लेखक नोट करते हैं कि हालांकि कई उदाहरणों में रियल या प्योरली इमेजिनरी गुणांक शामिल हैं, लेकिन उचित कॉम्प्लेक्स गुणांकों (नॉन-जीरो रियल और इमेजरी पार्ट्स) का मामला कम खोजा गया है, जो यह सुझाव देता है कि भविष्य की जांच के लिए एक दिशा है कि क्या ऐसी सामान्यताएं ट्रांसफर समय या ग्राफ स्पर्सिटी (sparsity) में लाभ प्रदान करती हैं। यह कार्य क्वांटम स्पिन नेटवर्क के भीतर एंटैंगल्ड क्वबिट पेयर्स की गतिशीलता को समझने के लिए एक आधारभूत कदम के रूप में प्रस्तुत किया गया है।

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